Учебное пособие челябинск 2007

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ИНСТИТУТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

В а л е е в а З. С.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Челябинск

2007

Рецензенты:

В.Н.Ни, профессор, доктор физико-математических наук, Челябинский институт Московского государственного университета коммерции (ЧИМГУК);

Г.В.Савельев, профессор, к.т.н., ЧВВКУ.
Валеева З.С.,старший преподаватель, ЧИПС

Теория вероятностей: Учебное пособие. ЧИПС – Челябинск:

2007.– 100 с.

В данном учебном пособии изложены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения типовых задач, приведены задачи самостоятельного решения. Большое внимание уделено законам теории вероятностей, наиболее применяемым в социально-экономических приложениях.

Пособие удовлетворяет квалификационным требованиям Министерства образования РФ.

Предназначается для студентов технических вузов, применяющих вероятностные методы при решении практических задач.

Глава 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Основные понятия теории вероятностей

Как математическая наука теория вероятностей возникла в середине XVII века с работами таких ученых, как Ферма, Паскаль. В России первые исследования по теории вероятностей были выполнены к середине XIX века. Они связаны с именами замечательных русских ученых: Лобачевского, Остроградского и Буняковского. Именно Буняковский дал терминологию новой науки на русском языке, и до сих пор она не подвергалась существенным изменениям. После работ выдающегося русского математика и механика Чебышева и его учеников Ляпунова и Маркова теорию вероятностей во всем мире стали называть «русской наукой». Эти замечательные традиции были продолжены советскими учеными. Назовем лишь некоторых крупнейших советских ученых: это Бернштейн, Хинчин, Колмогоров, Романовский, Смирнов, Гнеденко, Пугачев и другие. Философско-методологической основой теории вероятностей являются такие категории философии, как необходимость и случайность, возможность действовать.

Сейчас, пожалуй, нет области знания, в которой не использовались бы методы теории вероятностей. Выводы теории вероятностей применяются в физике и в химии, астрономии и геодезии, медицине и биологии, военной науке и космонавтике, теории стихосложения и лингвистике, психологии и теории обучения и т.д. На основе вероятностных методов появился целый ряд новых наук: теория информации, теория надежности, статистический контроль качества, планирование эксперимента и др.

Теория вероятностей является математической основой кибернетики, развитие которой, в свою очередь, способствовало еще большему возрастанию прикладного значения теории вероятностей.

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении опыта протекает каждый раз по-иному. Например: производится стрельба из орудия. При этом каждый снаряд имеет свою траекторию, т.к. на теоретическую траекторию влияют различные условия – отклонение в весе, изменение погоды и т.д.

Предметом изучения теории вероятностей являются случайные явления и закономерности массовых случайных явлений

Одним из основных понятий теории вероятностей является событие. Событием называется результат опыта, который произведен или может быть произведен.

ПРИМЕРЫ:

Получить оценку «отлично» на экзамене по математике – событие, а сам экзамен– опыт, испытание.
Ошибки при измерении размеров детали – событие, а само измерение – опыт.

События принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С и т.д. События различаются между собой по степени возможности их появления и по характеру взаимосвязи.
Случайные события. Классификация событий.

Событие, которое в данных условиях обязательно произойдет, называется достоверным.

Примеры: вынимание белого шара из урны с белыми шарами – достоверное событие.

Событие, которое в данных условиях не может произойти, называется невозможным.

Пример: загорание лампочки при отсутствии тока в электрической цепи.

Событие называется случайным или возможным, если в результате опыта оно может произойти, а может и не произойти. Например: получить оценку «отлично» при сдаче экзамена.
События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Пример: выпадение 1, 2, 3,4,5, 6 очков при одном бросании игральной кости.

События называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого.

Например: получить оценку «отлично» по физике и «хорошо» по математике при сдаче экзаменов.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого.

Например: выпадение четного числа очков и нечетного числа очков при одном бросании игральной кости.

Два несовместных события, из которых одно обязательно произойдет, называются противоположными.

Пример: сдача и не сдача экзамена по математике.

Противоположные события обозначаются А и .

Отдельное, единичное событие, которое является конечным результатом какого-либо явления, называется простым или элементарным событием.

Пример: выпадение герба при одном бросании монеты.

Событие называется сложным, если оно состоит из совпадения или последовательного появления двух или нескольких простых событий.

Пример: выпадение герба три раза при четырех бросаниях монеты.

Несколько несовместных событий образуют полную группу, если в результате опыта одно из них обязательно происходит. На практике широкое применение находит полная группа несовместных событий.

Пример: при бросании игральной кости 6 событий образуют полную группу.

Сумма и произведение событий

Определение 1. Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении события А или события В или обоих вместе.

Пример: пусть событие А означает получить оценку «отлично» по математике, событие В получить оценку «хорошо» по физике, тогда событие С = А + В означает получить оценку «отлично» по математике или получить оценку «хорошо» по физике или обе оценки вместе.

Определение 2. Суммой (объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Обозначение суммы: , . Непосредственно из определения суммы вытекает, что и если , то .

Например: В - попадание в «девятку», а А – попадание в мишень, тогда .

Определение 3. Произведением (пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Непосредственно из этих определений вытекает, что или и если , то .

Пример: пусть событие А означает получить оценку «отлично» по математике, событие В получить оценку «хорошо» по физике, тогда событие С = А В означает получить обе оценки вместе..

Относительная частота события и ее свойства

Пусть произведена серия из n опытов, в каждом из которых некоторое событие А может появиться или не появиться. Допустим событие А появилось m раз.

Относительной частотой события А называется отношение числа m появлений события к числу n всех произведенных опытов:

Далее, относительную частоту события будем называть просто частотой события.

ПРИМЕР: Монета брошена 15 раз. При этом герб выпал 7 раз. Тогда частота появления герба равна:

.

Свойства частоты

Частота события А есть неотрицательное число, заключенное между 0 и 1, т.е. . Это свойство вытекает из того, что , и, следовательно, .
Частота достоверного события равна единице. Это свойство вытекает из того, что достоверное событие наступает при каждом испытании, т.е. m = n.
Частота невозможного события равна нулю. Невозможное событие ни разу не наступает, т.е. m = 0, а значит, и .
Частота события меняется с изменением числа опытов. Это свойство очевидно.

Вероятность события

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Вероятность события дает количественную оценку возможности появления события. Формулу для непосредственного вычисления вероятности события дает классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих этому событию случаев к общему числу n всех единственно возможных и равновозможных случаев:

.

В этой формуле Р(А) – вероятность события А, n – общее число случаев, m – число случаев, благоприятствующих событию А.

Случай называется благоприятствующим некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой появление данного события.

Пример: в ящике находится 150 стандартных и 50 нестандартных деталей. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется нестандартной?

Пусть событие А – наугад взятая деталь нестандартна. Всего деталей n=150+50=200. Число случаев, благоприятствующих событию А, равно m=50. Тогда вероятность того, что взятая наугад деталь окажется нестандартной равна:

=0,25.
Свойства вероятности события

Вероятность события А есть число, заключенное между 0 и 1, т.е. . Свойство вытекает из того, что .
Вероятность достоверного события равна единице. Если событие достоверное, то все случаи будут благоприятствовать событию, т.е. m = n, а потому .
Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, если событие невозможно, то ни один случай не благоприятствует появлению события и m = 0, следовательно, .
Вероятность события не зависит от числа проведенных опытов и остается постоянной до тех пор, пока условия опыта не изменятся.

Связь частоты и вероятности

При увеличении числа опытов частота события все более теряет случайный характер. Случайные обстоятельства, свойственные отдельному опыту, в большой массе опытов взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, колеблясь около некоторого числа. Длительные наблюдения показали, что это постоянное число есть вероятность появления события. Вероятность события есть, по сути дела, предел частоты при увеличении числа опытов, а потому частоту называют статистической вероятностью.

Вероятность события можно вычислить как до проведения испытаний, так и после. Частота события вычисляется только после проведения испытаний.
Геометрическая вероятность

На практике часто встречаются испытания, исходы которых являются или не равновозможными или их число бесконечно. Так, если испытание состоит в том, что сигнальщик в течение часа должен принять мгновенный световой сигнал, то его возможными исходами можно считать появление сигнала в любой момент времени в течение этого часа. Множество исходов испытания такого типа бесконечно, оно может быть иллюстрировано геометрически в виде совокупности точек отрезка прямой, плоской фигуры или пространственного тела. Такую схему испытаний принято называть геометрической.

Пусть в результате испытания наудачу выбирается точка в области G. Требуется найти вероятность того, что точка окажется в области g, являющейся частью области G.

Пусть исходы испытаний распределены равномерно, т.е. можно считать, что вероятность попадания наудачу выбранной точки из области G в какую-либо часть g этой области пропорциональна мере этой части и не зависит от ее расположения и формы.

Тогда, ,

где и есть меры соответствующих областей, выраженные в единицах длины, площади или объема.

Элементы комбинаторики

Определение. Различные группы, составленные из каких- либо предметов и отличающихся одна от другой или порядком этих предметов, или самими предметами, называются соединениями. Предметы, из которых составлены соединения, называются элементами. Их обозначим а, в, с, … Соединения бывают трех родов: размещения, перестановки и сочетания (без повторений и с повторениями).

1) Размещениями без повторений из элементов по элементов называются такие соединения, из которых каждое содержит элементов, взятых из данных элементов, и которые отличаются одно от другого или хотя бы одним элементом или порядком расположения элементов .

Число всевозможных размещений, которые можно составить из n элементов по m, обозначим (А начальная буква французского слова “arrangement”, что означает размещение). Тогда .

Число всевозможных размещений из n элементов по m равно произведению m последовательных целых чисел, из которых большее есть .

, и т.д.

Если ввести обозначение произведения от 1 до n через факториал (!), то , в частности,.

Тогда число размещений равно .

Например, имеется 10 учебных предметов и 3 пары занятий в день. Тогда число способов составления расписания в 1 день равно: .

Пример: Сколько можно образовать целых чисел, из которых каждое изображалось бы тремя цифрами (номера машин)?

Решение: чисел.

2) Перестановками без повторений из элементов называются такие соединения, которые содержат все элементов и отличаются друг от друга только порядком элементов. Число всех перестановок из элементов обозначим через P_n ( начальная буква французского слова “permutation” что означает перестановка). Тогда

Число всех перестановок из n элементов равно произведению натуральных чисел от 1 до n.

Например, число способов размещения 12 студентов за столом, на котором поставлено 12 приборов, равно: .

3) Сочетаниями без повторений из элементов по называются такие соединения, которые содержат элементов и отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число всех сочетаний из элементов по равно ( начальная буква французского слова “combinaison” что значит сочетание).

Например, из 10 кандидатов на одну и ту же должность должны быть выбраны трое. Тогда число способов выбора равно: .

Свойство сочетаний: .

Правило Паскаля: .

Принцип умножения: Пусть необходимо выполнить одно за другим какие -то действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, после чего второе действие можно выполнить n₂ способами и т.д. до k^го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все действий вместе могут быть выполнены способами.

Пример: Сколько четырехзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5.

Решение:

.

Принцип сложения: Если два действия взаимно исключают одно другое, причем одно из них можно выполнить n₁ способами, а другое- n₂ способами, то какое-либо одно из них можно выполнить (n₁+n₂) способами. Этот принцип легко обобщить на случай произвольного конечного количества действий.

Пример: В нашем распоряжении есть 3 различных флага. На флагштоке поднимается сигнал, состоящий не менее чем из двух флагов. Сколько различных способов сигналов можно поднять на флагштоке, если порядок флагов в сигнале учитывается?

Решение: Пусть первым действием поднимем на флагшток 2 флага, а вторым действием поднимем 3 флага. По принципу умножения 2 флага можно поднятьспособами. Аналогично поднять 3 флага можно способами. Мы можем поднять только один сигнал из 2 флагов, либо сигнал из 3 флагов. Эти действия взаимно исключаются, не могут быть выполнены одновременно. Тогда общее количество сигналов равно .

Перестановки с повторениями: Пусть дано множество из n элементов, в котором n₁ элементов принадлежит к первому типу, n₂- ко второму типу и т.д. до n_k объектов k^го типа, причем элементы одного и того же типа не различимы между собой. Тогда общее число перестановок данного множества элементов равно:

, где .

Пример: Сколько различных перестановок можно образовать из всех букв слова “Миссисипи”?

Решение: .

Размещения с повторениями: Число размещений с повторениями из элементов по задается равенством .

Сочетания с повторениями: Сочетаниями из элементов по с повторениями называются неупорядоченные выборки из предметов по с возвращениями. Число сочетаний из элементов по с повторениями равно

.

Можно доказать следующее равенство: .

Примеры:

1) Упростить выражение .

Решение: .

2) Упростить выражение .

Решение: .

3) При расследовании хищения установлено, что у преступника семизначный телефонный номер, в котором ни одна цифра не повторяется. Следователь, полагая, что набор этих номеров потребует одного–двух часов, доложил о раскрытии преступления. Прав ли он?

Решение: Телефонный номер обычно не начинается с “0”. Значит, вычислим число комбинаций из девяти различных цифр по 7. Это размещение.

номеров.

Если на проверку тратить 1 мин. на 1 номер, то на всё уйдет 3 024 часа или 126 суток. Следователь, значит, не прав.

4) Сколькими способами семь разных учебников можно поставить на полке в один ряд?

Решение: P₇ = 7! = 5 040 способов.

5) В штате прокуратуры областного центра, имеется 5 следователей. Сколькими способами можно выбрать двух из них для проверки оперативной информации о готовящемся преступлении?

Решение: способами.

6) В розыгрыше первенства по футболу среди вузов принимает участие 16 команд, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего календарных игр?

Решение: игр.

7) В телефонном номере преступника встречаются только цифры 2, 4, 5, 7 семизначного телефонного номера. Сколько всего вариантов?

Решение: В семизначном номере встречаются только 4 цифры, остальные 3 повторяют какие-то из имеющихся. Следовательно, имеем задачу о размещениях из 4 цифр по семи, т.е. с повторениями.

16 384 номера.

8) Сколькими способами можно разложить в ряд две зелёные и 4 красные папки?

Решение: Число способов разложения равно числу перестановок с повторениями.

способов.

9) Сколькими способами можно переставит буквы в слове “какао”, чтобы получились всевозможные различные наборы букв?

Решение: В заданном слове 5 букв, причем “и” и “a” повторяются по два раза, а “o” встречается один раз.

Тогда способов.

10) В кондитерской имеется пять разных видов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырёх пирожных?

Решение: Можно выбрать как различные виды пирожных, так и повторяющиеся и даже составить набор из четырёх одинаковых пирожных. Порядок следования пирожных в наборе не имеет значения. Значит, будет число сочетаний с повторениями.

способов.
11)Сколько можно составить трехзначных чисел из нечетных цифр, если каждую из этих цифр использовать только один раз?

, , , .

12)В группе 25 студентов. Сколькими способами можно назначить из них актив в составе трех человек?

.

Пример вычисления вероятности события
В партии из n изделий m бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных l изделий ровно k окажутся бракованными ().

РЕШЕНИЕ:

Так как любая комбинация из n изделий по l имеет одинаковую возможность появления, то всех равновозможных случаев будет . Обозначим через А появление k бракованных изделий среди выбранных наудачу l изделий. Так как всех бракованных изделий m, то число способов, которыми можно выбрать k бракованных изделий, равно . Но это число надо умножить на количество способов, которыми можно вынуть оставшиеся годных из общего числа годных изделий. Число таких групп равно . Следовательно, всех случаев, благоприятствующих появлению события А, равно: .

Поэтому:

1.2. Основные теоремы теории вероятностей

Теоремы сложения вероятностей

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Доказательство. Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности n случаев. Предположим, что из этих случаев m благоприятствует событию А и k – событию В. Тогда

и .

Так как события А и В несовместны, то нет случаев, которые были бы благоприятны для А и В вместе. Следовательно, событию благоприятны m+k случаев. Тогда , но . Следовательно, .

Методом полной математической индукции теорему можно обобщить на произвольное число несовместных событий.

Следствие 1. Если событие А₁, А₂,…, А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Доказательство. Так как события образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие:

.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

Итак, .

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Это предложение есть частный случай первого следствия. Оно имеет большое применение в решении задач теории вероятностей. Часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события, чем вероятность прямого события.

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле:

ПРИМЕРЫ:

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,25. Найти вероятность промаха.

Пусть событие А – попадание при одном выстреле. Событие – промах при одном выстреле. Попадание и промах при одном выстреле – события противоположные. Значит, , т.е. , где , . Итак,.

Вероятность того, что стрелок, произведя выстрел, выбьет 10 очков, равна 0,3; 9 очков – 0,4 и, наконец, 8 или меньше очков – 0,3. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим события: А – выбить не менее 9 очков, А₁ – выбить 10 очков, А₂ – выбить 9 очков, А₃ – выбить 8 очков или меньше.

Очевидно, что . По теореме сложения вероятностей:
, т.е. .
Можно решить задачу иначе:
Очевидно, что , следовательно, по второму следствию,

.

Теоремы умножения вероятностей
Введем понятие независимых и зависимых событий, которые необходимы для рассмотрения теорем.

Определение 1. Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Пример: по одной цели стреляют два орудия одновременно. Пусть А – попадание в цель первым орудием, В – вторым орудием. Вероятность события А не зависит от того, произошло или нет событие В, т.е. А не зависит от В.

Определение 2. Два события называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от того, произошло другое событие или нет.

Пример: в ящике 80 деталей, из них 70 стандартных. Наудачу берут одну деталь, затем, не возвращая ее в ящик, испытание повторяют.

Рассмотрим события:

А – появление стандартной детали при первом испытании;

В – появление стандартной детали при втором испытании.

Если А произошло, то в ящике останется 79 деталей, причем стандартных будет 69 и тогда .

Если же при первом испытании А не произошло, то на 79 оставшихся деталей будет 70 стандартных и тогда .

Определение 3. Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место другое событие А, называется условной вероятностью события В.

Обозначение: .

Если события А и В независимы, то и .
Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

.

Доказательство. Обозначим:

n – число возможных случаев, в которых событие А наступает или не наступает;

m – число случаев, благоприятствующих событию А (очевидно, что );

k – число случаев, благоприятствующих событию В в предположении, что А уже наступило.

Тогда вероятность совместного появления события А и B будет:

.
Следствие 1. Если события А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Доказательство. Так как А не зависит от В, то .

Будем считать, что . Запишем дважды теорему сложения вероятностей:

Но , поэтому: или , т.е. В не зависит от А.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Доказательство.

, то , т.к. события независимы, следовательно: .

ПРИМЕРЫ:

В читальном зале 6 учебников по теории вероятностей, из них 3 в переплете. Взято два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Обозначим: А – первый взятый учебник в переплете;

В – второй учебник в переплете.

Тогда:

, .

Событие: оба учебника в переплете – есть АВ:

Стрелок ведет огонь по движущемуся объекту и делает два выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле 0,3; при втором – 0,4. Найти вероятность двух попаданий при двух выстрелах.

Обозначим: А – попадание при первом выстреле;

В – попадание при втором выстреле;

АВ – два попадания при двух выстрелах.

События А и В не зависят друг от друга, а потому _, _.

Вероятность появления хотя бы одного события

Определение. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий, либо часть из них, есть события независимые.

Для независимых в совокупности событий А₁, А₂,…, А_n также справедливо следствие из теоремы умножения вероятностей независимых событий, т.е.:

Р(.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂,…, А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

,

где q_i = P( = 1- p_i, p_i =Р (А_i) .

Доказательство. Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А₁, А₂,…, А_n. События А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно:

Р (А)+Р()=1

Р (А)=1- Р=1-Р(, т.е. .

Следствие. Если события А₁, А₂,…, А_n имеют одинаковую вероятность появления p, то события имеют также одинаковую вероятность q = . Тогда получаем

.

ПРИМЕРЫ:

Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6; для второго – 0,7; третьего – 0,75. Найти вероятность по крайней мере одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Обозначаем события:

А – хотя бы одно попадание;

А₁ – попадание первым стрелком;

А₂ – попадание вторым стрелком;

А₃ – попадание третьим стрелком.

Тогда: и

Определить расход снарядов, необходимых для выполнения огневой задачи с вероятностью 0,92, если для этого достаточно одного попадания, а вероятность попадания при одном выстреле равна 0,17.

Решение: Используем формулу . В этой формуле , . Из формулы найдем:

.

Формула полной вероятности
Пусть событие А может произойти вместе с одним из событий
Н₁, Н₂,…, Н_n, образующих полную группу несовместных событий, т.е. .Эти события принято называть гипотезами.

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти совместно с одной из гипотез Н₁, Н₂,…, Н_n, равна сумме произведений вероятностей каждой из этих гипотез на соответствующие им условные вероятности события А:

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Доказательство. Так как гипотезы Н₁, Н₂,…, Н_n образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез, т.е. .

Так как гипотезы несовместные, то и комбинации Н₁А, Н₂А,…,Н_nА также несовместны. Применяя к ним теорему сложения, получаем:

Применяя к каждому событию Н_iА теорему умножения вероятностей, получим:

ПРИМЕР. По объекту производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле 0,4; при втором – 0,5; при третьем – 0,7. Для вывода объекта из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании объект выходит из строя с вероятностью 0,2; при двух попаданиях – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов объект будет выведен из строя.

РЕШЕНИЕ: Обозначим через А – событие, состоящее в том, что в результате трех выстрелов объект будет выведен из строя.

Рассмотрим четыре гипотезы:

Н₀ – в объект не попало ни одного снаряда;

Н₁ – в объект попал один снаряд;

Н₂ – в объект попали два снаряда;

Н₃ – в объект попали три снаряда.

Найдем вероятность гипотез:

Условные вероятности события А при этих гипотезах:

Применяя формулу полной вероятности, получим:

Формула Байеса (теорема гипотез)

Пусть имеется полная группа несовместных событий – гипотез

Н₁, Н₂,…, Н_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно: .

Произведен опыт, в результате которого событие А появилось. Спрашивается, какие вероятности будут иметь гипотезы в связи с появлением события А. Иными словами, будем искать условные вероятности для каждой гипотезы.

Теорема. Вероятность гипотезы при условии, что событие А произошло, равна произведению вероятности этой гипотезы на соответствующую ей условную вероятность события А, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность события А.

Эта формула носит название формулы Байеса.

Доказательство. По теореме умножения вероятностей имеем , где .

Полагая, что , получим:

Выражая Р(А) по формуле полной вероятности, получим:

ПРИМЕР. Каждый из двух стрелков независимо друг от друга

произвел выстрел по некоторому объекту. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; вторым – 0,6. Объект поражен одним попаданием. Определить вероятность того, что объект поражен первым стрелком.

РЕШЕНИЕ: Событие А – поражение объекта одним попаданием. До опыта возможны следующие гипотезы:

Н₁ – ни один стрелок не попадет;

Н₂ – оба стрелка попадут;

Н₃ – первый стрелок попадет, второй – нет;

Н₄ – второй стрелок попадет, первый – нет.

Вероятности этих гипотез равны:

P(H₁)=0,3·0,4=0,12, P(H₂)=0,7·0,6=0,42, P(H₃)=0,7·0,4=0,28, P(H₄)=0,3·0,6=0,18.

Условные вероятности события А при этих гипотезах равны:

После опыта гипотезы Н₁ и Н₂ становятся невозможными, а вероятности гипотез Н₃ и Н₄ будут соответственно равны.

Следовательно, вероятность того, что объект поражен первым стрелком, равна 0,61.

Формула Бернулли

На практике часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появления события А в результате серии опытов. Если, например, производится серия выстрелов по одной и той же цели, то нас интересует не результат каждого выстрела, а общее число попаданий. В таких задачах требуется уметь определить вероятность любого заданного числа появления события в результате серии опытов.

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Например, несколько выстрелов представляют собой независимые опыты, если прицеливание производится заново перед каждым выстрелом, в противном случае (стрельба очередью, бомбометание серией) выстрелы представляют собой зависимые опыты.

Независимые опыты могут производиться в одинаковых или различных условиях. В первом случае вероятность события А во всех опытах одна и та же. Во втором случае, меняется от опыта к опыту.

Вероятность появления события А ровно m раз в n независимых опытах находится с помощью формулы Бернулли.

Теорема. Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью p, то вероятность того, что событие А появится ровно m раз, выражается формулой:

Р_n(m)= ,

где .

Доказательство. Так как , то для каждого опыта. Обозначим буквой В₁ одну комбинацию элементарных исходов, в которых событие А наступило m раз, n-m раз не наступило.

Предположим, что в первых m опытах событие произошло, а в последующих n-m опытах событие А не произошло:

Событие B_m состоит из суммы слагаемых вида B₁, причем в каждое слагаемое событие А должно входить m раз, а событие должно входить n-m раз. Число таких комбинаций равно , а потому:

Р_n(m)=

Полученная формула носит название формулы Бернулли. Она имеет в теории вероятностей широкое применение.

ПРИМЕР. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Какова вероятность получить три попадания при пяти выстрелах?

РЕШЕНИЕ: Так как , то .

Р₅(3)= .
Формула Пуассона (вероятность редких явлений)
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно р. Для определения вероятности появления события k раз в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же n велико, то формула Бернулли неприменима. При большом n и малом р используют асимптотическую формулу Пуассона, которая получается из формулы Бернулли при . Распределение Пуассона имеет вид:

,

где .

Формула Пуассона называется вероятностью редких явлений:

,  называется интенсивностью потока.

ПРИМЕР. Вероятность того, что на телефонную станцию в течение одного часа позвонит один абонент, равна 0,01. В течение часа позвонили 200 абонентов. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят 3 абонента.

РЕШЕНИЕ:, .

.

Локальная теорема Лапласа.
Вероятность появления события А ровно к раз при п независимых опытах вычисляется по локальной теореме Лапласа, если п > 10, p > 0,1, np > 9, которая имеет вид:

_,

_,

где - функция Лапласа, ее значения находятся по приложению 1. Функция Лапласа четная, т.е.

.

Замечание. Если

ПРИМЕР.

,

Интегральная теорема Лапласа.
Вероятность появления события А в n независимых

испытаниях от до раз вычисляется по интегральной теореме Лапласа:

где - интегральная функция Лапласа. Значение находим по приложению 2.

Интегральная функция Лапласа нечетная, т.е.

ПРИМЕР.

Вероятность появления события А в каждом опыте равна 0,2. Найти вероятность появления события от 80 до 100 раз при 400 опытах.

1.3.Случайные величины

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее не известно какое именно.

Случайные величины обозначаются большими буквами латинского алфавита, а их возможные значения – малыми буквами.

Случайные величины бывают дискретные ( прерывные) и непрерывные.

Определение. Величина Х называется дискретной случайной величиной, если она принимает отдельные изолированные значения. Множество ее значений представляет собой конечную или бесконечную последовательность чисел х₁, х₂,… . Если каждое событие имеет определенную вероятность появления p_i, то пишут P(X=x_i)=p_i.

НАПРИМЕР:

Число попаданий при трех выстрелах.
Число вызовов, поступивших на телефонную станцию за сутки.
Число метеоритов, падающих на землю в течение года.
Число студентов в группе, которые могут получить на экзамене оценку «отлично».

Во всех примерах случайные величины могут принимать отдельные значения.

Рассмотрим следующие примеры:

Абсцисса точки попадания при выстреле.
Вес наудачу взятого осколка снаряда.

Эти случайные величины принимают любые значения из некоторого числового промежутка. Такие случайные величины называются непрерывными.

Определение. Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый числовой промежуток, называются непрерывными случайными величинами.

Случайная величина будет описана полностью, если установлена связь между возможными ее значениями и вероятностью их появления.

Определение. Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Закон распределения задается либо формулой, выражающей вероятность p_i, как функцию от x_i, либо таблицей, в которой перечисляются все возможные значения случайной величины и их вероятности.

Дискретные случайные величины
Рассмотрим дискретную случайную величину Х с возможными значениями х₁, х₂,…, х_n. Каждое из этих значений возможно, но недостоверно и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, т.е. , , …, образуют полную группу несовместных событий:

,,…, .

Так как события образуют полную группу несовместных событий, то

Если множество возможных значений величины Х бесконечно, то ряд

должен быть сходящимся и его сумма должна быть равна единице.

Определение. Таблица, в которой перечислены все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, называются рядом распределения случайной величины.

X	х₁	х₂	…	х_n
p	р₁	р₂	…	р_n

Для наглядности ряд распределения изображают графически следующим образом: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности появления этих значений. Если полученные точки соединить отрезками прямых, то получится фигура, называемая многоугольником распределения.

Многоугольник распределения, как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. Он является одной из форм закона распределения.

ПРИМЕРЫ:

1.По мишени произведен один выстрел. Вероятность попадания в мишень равна 0,4. Построить ряд и многоугольник распределения числа попаданий.

Случайная величина Х – число попаданий в мишень имеет два значения 0 и 1 с вероятностями 0,6 и 0,4 соответственно. Тогда ряд распределения имеет вид

Х	0	1
Р	0,6	0,4

2.Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,6. Построить ряд и многоугольник распределения числа патронов, оставшихся неизрасходованными.

Случайная величина Х – число неизрасходованных патронов – имеет 4 возможных значения 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений соответственно равны:

Х	0	1	2	3
Р	0,064	0,096	0,24	0,6

Функция распределения случайной величины

Ряд распределения является исчерпывающей характеристикой дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины такой характеристики построить нельзя, т.к. непрерывная случайная величина имеет бесконечное множество значений, сплошь заполняющих некоторый числовой промежуток.

Для количественной характеристики распределения вероятностей непрерывной случайной величины удобно пользоваться не вероятностью события Х = х, а вероятностью события Х < х. Вероятность этого события очевидно есть функция от х.

Определение. Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х примет значение, не превышающее х, называется интегральной функцией распределения (или просто функцией распределения или интегральным законом распределения).

Обозначение:

Функция распределения – универсальная характеристика. Она существует для всех случайных величин – и непрерывных и дискретных.

Свойства функции распределения

1. - функция неубывающая, т.е. при . Событие можно представить двумя несовместными событиями, а именно .

По теореме сложения вероятностей несовместных событий получим:

,

или

Откуда:

, но ,

а поэтому

или ,

что и требовалось доказать.

2. Вероятность того, что случайная величина попадет на участок , равна приращению интегральной функции распределения на этом участке.

Это утверждение следует непосредственно из первого свойства. Действительно, если положим , то получим:

3. .

Это свойство следует из того, что есть невозможное событие.

4. .

Это свойство следует из того, что есть достоверное событие.

График функции распределения есть график неубывающей функции, значения которой меняются от 0 до 1.

Для непрерывной случайной величины – это непрерывная линия, график которой расположен в полосе от 0 до 1.

Для дискретной случайной величины – это ступенчатая фигура, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины.

График функции распределения дискретной величины рассмотрим на примере.

Пример:

Построить график функции распределения случайной величины Х, заданной рядом распределения:

Х	0	1	2	3
Р	0,064	0,096	0,24	0,6

Составим функцию распределения .

Построим график .

Вычислим .

Непрерывные случайные величины

Как уже говорилось, случайные величины, возможные значения которых составляют несчетное множество, называются непрерывными. Возможные значения случайной величины (непрерывной) заполняют некоторый промежуток.

Для количественной характеристики непрерывной случайной величины нами уже введена интегральная функция распределения: . Введем еще одну функцию распределения, называемую плотностью распределения.

Плотность распределения

Пусть дана непрерывная случайная величина Х с интегральной функцией распределения , которая непрерывна и дифференцируема.

Вычислим вероятность попадания случайной величины Х в интервал :

.

Отношение называется средней вероятностью, которая приходится на единицу длины интервала. Перейдем к пределу

.

Определение. Производная интегральной функции распределения называется дифференциальной функцией распределения или плотностью распределения, обозначается f(x), т. е.

.

Плотность вероятности указывает на то, что как часто случайная величина Х появляется в окрестности точки х при повторении опытов. График плотности распределения случайной величины называется кривой распределения.

Плотность распределения есть также одна из форм закона распределения. Плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х с плотностью распределения .

Величина называется элементом вероятности. Геометрически – это площадь прямоугольника, опирающегося на отрезок длиной и с высотой, равной . Вероятность попадания случайной величины Х на некоторый участок можно выразить через плотность распределения:

Геометрически – это площадь криволинейной трапеции.

Плотность распределения есть производная интегральной функции распределения. Поставим обратную задачу: выразить интегральную функцию распределения через дифференциальную, т.е. через . По определению

Геометрически - это площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс левее х.

ПРИМЕР:

Случайная величина Х задана плотностью распределения:

.
Построить график дифференциальной и интегральной функций распределения:

Построим графики интегральной и дифференциальной функций распределения.

Свойства плотности распределения
1.Плотность распределения неотрицательная функция ,т.к. интегральная функция неубывающая.

Действительно: .

Геометрически это означает, что площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

3..

4. F(x) =.

Числовые характеристики дискретной случайной величины
Случайные величины полностью характеризуются законом распределения. Однако во многих задачах практически нет необходимости так полно характеризовать случайную величину. Часто достаточно указать только параметры, характеризующие случайную величину, какое-то среднее значение, около которого группируются возможные числовые значения случайной величины; или какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего или центра. Такие характеристики, выражающие в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.

В теории вероятностей используются понятиями математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Математическое ожидание

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

Математическое ожидание обозначают также через или a и оно называется центром рассеивания распределения вероятностей случайной величины. При большом числе опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины Х приближается или сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.

ПРИМЕРЫ:

1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле p=0,4. Определить математическое ожидание числа попаданий при трех выстрелах. Возможное значение случайной величины Х – числа попаданий в цель – 0, 1, 2, 3.

Вероятность этих значений:

p₁=Р(Х=0)=0,6³=0,216,

p₂=Р(Х=1)=

p₃=Р(Х=2)=

p₄=Р(Х=3)=0,4³=0,064

Ряд распределения имеет вид:

X	0	1	2	3
P	0,216	0,432	0,288	0,064

Тогда

М(Х)=

2. Найти М(Х) числа произведенных до первого попадания выстрелов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна p.

Ряд распределения такой случайной величины представляет собой геометрическую прогрессию с бесконечным числом членов и знаменателем меньше единицы.

x_i	1	2	3	…	k	…	n	…
p_i	p	pq	pq²		pq^k-1		pq^n-1

Итак, .

Свойства математического ожидания
1. Если Х= С - const, то М (С)=С.

Действительно, постоянную величину С можно рассматривать как случайную величину, принимающую одно значение С с вероятностью p=1, тогда =C.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, т.е. .

Действительно:

3. .

Это свойство можно обобщить на сумму нескольких случайных величин.

4. , где X и Y независимые случайные величины.

Это свойство также можно обобщить на произведение нескольких взаимно независимых случайных величин.

5. Величину Х – М(Х) назовем отклонением случайной величины от ее математического ожидания. Тогда математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю, т.е. .

Действительно: .

ПРИМЕР:

Производится 3 выстрела по мишени с вероятностями попадания в цель соответственно при каждом выстреле: p₁=0,3; p₂=0,4; p₃=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

РЕШЕНИЕ:

Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина Х₁, принимающая два значения 0 и 1 с вероятностями 0,7 и 0,3. численно равно вероятности попадания.

Аналогично определим:

M(X₂)=0·0,6+1·0,4=0,4;

M(X₃)=0·0,4+1·0,6=0,6.

Общее число попаданий есть случайная величина Х: .

M(X)=M(X₁)+M(X₂)+M(X₃);

M(X)=0,3+0,4+0,6=1,3.

СЛЕДСТВИЕ. Математическое ожидание числа появления события А в n независимых испытаниях с одинаковой вероятностью p в каждом испытании равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: .

Доказательство: ,

где Х₁ – число наступлений А в первом испытании;

Х₂ – число наступлений событий А во втором испытании;

Х_n – число наступлений А в n-ом испытании.

Каждая из этих случайных величин может принимать только два значения: 0 и 1.

Математическое ожидание в каждом испытании численно равно значению вероятности появления события:

M(X₁)=M(X₂)=M(X_n)=p;

M(X)=M(X₁)+ M(X₂)+…+ M(X_n);

M(X)=p+p+p+…+p=n·p.

2. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,25. Найти математическое ожидание числа попаданий при 40 выстрелах.

,M(X)=np, .

3. Вероятность попадания при одном выстреле Р=0,3. Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попавших снарядов, равное 6.
РЕШЕНИЕ:

M(X)=np, n=.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
Зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить о распределении значений случайной величины около математического ожидания. Для оценки рассеивания возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания введена другая числовая характеристика, называемая дисперсией.

Определение. Дисперсией (рассеиванием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Исходя из определения, можно записать формулу для вычисления дисперсии дискретной величины:

т.к. вероятность появления значений х_i и одна и та же.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Такой величиной будет среднее квадратическое отклонение (или «стандарт») случайной величины, оно равно корню квадратному из дисперсии:

.

Практически не встречаются такие значения случайной величины, отклонения которых от ее математического ожидания во много раз больше, чем среднее квадратичное отклонение.

ПРИМЕР 1. Проводится три опыта, вероятность появления события А в каждом опыте равна 0,4. Определить дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – числа появлений события А.

Составим таблицу:

x_i	0	1	2	3
p_i	0,216	0,432	0,288	0,064
Х-М(Х)	-1,2	-0,2	0,8	1,8	М(Х)=1,2
(Х-M(Х))²	1,44	0,04	0,64	3,24

_.

Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: , или, иными словами, рассеивания отсутствуют.

Действительно:

2. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Это свойство можно обобщить на сумму нескольких взаимно независимых случайных величин.

4..

Доказательство:

6. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Закон распределения случайных величин считается заданным, если:

указано множество возможных значений случайных величин;
указан способ количественного определения вероятностей попадания случайных величин в произвольную область этого множества.

Законы распределения вероятностей определяются для функций от известных случайных величин: дискретных, непрерывных и смешанных. Как было изложено ранее, для дискретных случайных величин закон распределения вероятностей задается в виде ряда, многоугольника, функции распределения. Для непрерывных случайных величин закон распределения вероятностей задается в виде функции распределения (интегральной функции распределения) и плотности распределения (плотности вероятности, дифференциальной функции распределения).

В зависимости от случайных величин закон распределения вероятностей записывается по-разному: биномиального, равномерного, показательного распределений, распределения Пуассона, нормального закона распределения.

Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл:

Если значения случайной величины принадлежат интервалу то

.

Определение 2. Дисперсией непрерывной случайной величины Х, значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют математическое ожидание квадрата ее отклонения:

^.

Если значения случайной величины Х принадлежат всей числовой оси, тогда дисперсия равна:

Среднее квадратическое отклонение равно

ПРИМЕР. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, если:

Дисперсию можно вычислить, пользуясь формулой:

Следствие. Дисперсия числа появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления событий А одинакова и равна р, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

.

Доказательство:

Пусть случайная величина Х – число появлений события А в n независимых испытаниях, причем , где каждое слагаемое - случайная величина, принимающая только два значения, равные 0 и 1.

Вычислим одно из слагаемых:

По ранее вычисленному М(Х_i)=p, откуда .

ПРИМЕР.

Производится 10 независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попадания.

РЕШЕНИЕ:,,.

1.4.Модели законов распределения вероятностей, наиболее применяемые в социально-экономических приложениях

Биномиальное распределение
Дискретную случайную величину Х называют распределенной по биномиальному закону, если ее возможные значения равны:

0, 1, 2, …, а вероятность того, что Х=m выражается формулой Бернулли:

Р(Х=m)=P_n(m)=

По биномиальному закону распределяется случайная величина Х – число появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р.

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа n испытаний на вероятность p появления события в одном испытании:

M(X) = np.

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа n испытаний на вероятности p появления и q непоявления события в одном испытании:

D(X) = npq.

Равномерное распределение

Непрерывную случайную величину Х называют равномерно распределенной на отрезке [a, b], которому принадлежат все возможные значения Х, если ее плотность распределения на этом отрезке постоянна и равна , а вне промежутка равна нулю. Плотность распределения равномерно распределенной случайной величины имеет вид:

Закону равномерного распределения подчиняется, например, погрешность при измерениях с округлением.

Найдем интегральную функцию равномерного распределения:

;

;

; .

Итак, интегральная функция имеет вид:

Найдем числовые характеристики равномерного распределения случайной величины.

ПРИМЕР. Цена деления амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

РЕШЕНИЕ. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х, которая равномерно распределена в интервале между двумя соседними делениями. Тогда и .

Дифференциальная функция распределения (плотность распределения) имеет вид:
_.

Очевидно, что ошибка отсчета превышает 0,02, если она заключена в интервале (0,02; 0,08).

Искомая вероятность:

Показательное распределение

Непрерывную случайную величину называют распределенной по показательному закону, если она задана дифференциальной функцией распределения:

Найдем интегральную функцию распределения:

Итак, интегральная функция имеет вид:

Вычислим числовые характеристики случайной величины, подчиненной показательному закону распределения.

D(X)=, .

Функция надежности
Показательное распределение имеет случайную величину Т -длительность времени безотказной работы элемента.

Под элементом понимают устройство независимо от того, «простое» оно или «сложное» (например, электронная лампа, двигатель внутреннего сгорания и т.д.).

Вероятность отказа элемента за время длительностью t определяется интегральной функцией показательного закона распределения:

,

где  - интенсивность отказов, т.е. среднее число отказов в единицу времени.

Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время t:

.

ПРИМЕР. Известно, что среднее время наработки двигателя на отказ между тех. обслуживаниями 100 часов. Определить вероятность безотказной работы двигателя за 100 часов и 80 часов работы.

РЕШЕНИЕ:

Случайная величина Т – время безотказной работы двигателя распределена по показательному закону с математическим ожиданием часов.

Параметр показательного закона: .

Функция надежности: , при t>0. Тогда вероятность безотказной работы за 100 часов будет равна значению функции надежности: .

За 80 часов: .

Распределение Пуассона
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно р. Для определения вероятности появления события k раз в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же n велико, то формула Бернулли неприменима. При большом n и малом р используют асимптотическую формулу Пуассона, которая получается из формулы Бернулли при . Распределение Пуассона имеет вид:

,

где .

Формулу Пуассона называется вероятностью редких явлений:

,  называется интенсивностью потока.
Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
Это наиболее часто встречающийся закон распределения при решении практических задач. Главная его особенность в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие

законы, при весьма часто встречающиеся типичных условиях. Распределение вероятностей называется нормальным, если оно описывается дифференциальной функцией (плотность вероятностей) вида:

где а - математическое ожидание;

 - среднее квадратическое отклонение.

Нормальный закон распределения часто называют законом Гаусса. Функция определена при любых значениях х. Кривая распределения симметрична относительно прямой , асимптотически приближается к оси абсцисс, так как . При функция имеет максимальное значение, а именно: .

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок, подчиненной нормальному закону, равна:

Пользуясь заменой переменных, получим формулу

для вычисления вероятности попадания случайной величины на заданный участок:
,

где -интегральная функция Лапласа.

Для нахождения этого интеграла пользуются приложением 2.

Свойства функции Лапласа

;

Функция Лапласа нечетная, т.е...

Замечание. При x>5 принимают .

Вероятность попадания случайной величины Х на участок длины , симметричный относительно центра рассеивания а, т.е. математического ожидания, вычисляется по формуле:

С помощью функции Лапласа интегральная функция распределения выражается следующим образом:

ПРИМЕРЫ:

1. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией . Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервале
РЕШЕНИЕ:

По условию задачи .

Тогда искомая вероятность равна:

2. Определить вероятность попадания случайной величины Х, подчиненной нормальному закону распределения с числовыми характеристиками и , в полосу шириной . РЕШЕНИЕ:

По условию задачи .

3. Длина детали, изготовляемой автоматом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, причем , . Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть .

РЕШЕНИЕ:

По условию задачи ,

Вероятность брака выражается формулой:

.

4. Бомбардировщик, пролетавший вдоль моста длиной 30м и шириной 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины Х и Y (расстояние от вертикальной и горизонтальных осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально со средними квадратическими отклонениями, соответственно равными 6м и 4м, и математическими ожиданиями, равными нулю.

Найти:

а) вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы;

б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем для разрушения моста достаточно одного попадания.

РЕШЕНИЕ:

, , , ,a_x=0, a_y=0

.

Правило трех сигм.
Вычислим вероятность попадания случайной величины Х на

симметричный участок

Это означает, что в промежутке находятся

99,73% всех значений случайной величины Х.

Аналогично, можно вычислить вероятности попадания случайной величины Х на симметричные участки Это можно изобразить графически;

Промежуток является интервалом практически всех возможных значений нормально распределенной случайной величины Х, т.е. только 0,27% не попадает в этот интервал.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Пусть Е – срединное( вероятное )отклонение. Срединное отклонение Е определяется как половина длины симметричного промежутка относительно математического ожидания а, вероятность попадания в который равна , т.е.

Можно установить связь между срединным отклонением Е и средним квадратическим отклонением :

По определению срединного отклонения Е получим уравнение

Отсюда получим . По приложению 2 находим

, откуда где
Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины можно выразить через Е:

Тогда

Введем приведенную функцию Лапласа

Тогда получим

Шкала ошибок.

Практически ошибки находятся в интервале .
1.5. Закон больших чисел
Если производится достаточно большое число независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события остается постоянной, то относительная частота появления события будет мало отличаться от вероятности. Это означает, что при массовых явлениях с большой уверенностью можно предсказать появление ожидаемого события, если известна его вероятность. Закон больших чисел связан с именами Бернулли, Пуассона, П.Л. Чебышева, А.М. Ляпунова, А.А. Маркова. Дальнейшее глубокое развитие эти вопросы получили в работах советских ученых А.Н. Колмогорова,

И.Я. Хинчина.

Неравенство Чебышева
Пусть Х – случайная величина, – ее математическое ожидание, - дисперсия. Тогда при любом справедливо неравенство:

Это неравенство называется неравенством Чебышева. Геометрически оно означает, что сумма площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху кривой распределения, лежащих левее точки и правее точки, не больше величины .

Теорема Чебышева

Пусть Х₁, Х₂,…, Х_n – независимо случайные величины;

m₁,m₂,…,m_n–их математические ожидания; - их дисперсии. Пусть дисперсии не превосходят некоторого числа С:

.

Рассмотрим среднее арифметическое случайных величин:

Тогда при любом как угодно малом , имеет место неравенство:

Словами это соотношение выражают так: среднее арифметическое значение случайных величин, когда число слагаемых неограниченно возрастает, сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

следующая страница >>