А. Н. Кислов атомная физика учебное электронное текстовое издание Подготовлено кафедрой «Теоретическая физика и прикладная математика» Научный редактор: доц., канд физ мат наук В. М. Стоцкий Учебное пособие

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет  УПИ»

А.Н. Кислов

АТОМНАЯ ФИЗИКА

Учебное электронное текстовое издание

Подготовлено кафедрой

«Теоретическая физика и прикладная математика»

Научный редактор: доц., канд. физ.-мат. наук В.М. Стоцкий

Учебное пособие предназначено для студентов,

изучающих курс «Атомная физика».

Данное пособие служит дополнением к существующим учебным пособиям по атомной физике. В нем раскрыты программные вопросы курса «Атомная физика», поскольку написано оно в соответствии с программой, рекомендованной методическим советом ГОУ ВПО УГТУ-УПИ по одноименной дисциплине. Изложение ведется с учетом основ общей физики, которые студенты получили на первом этапе ее изучения. Учебное пособие состоит из девяти глав.

 ГОУ ВПО УГТУУПИ, 2007

Екатеринбург
2007

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 1. Развитие атомистических представлений о веществе . . . . . . . . . 6
1.1. Доказательства атомного строения вещества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Движение нерелятивистской заряженной частицы в постоянных

однородных электрическом и магнитном полях . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Определение электрического заряда электрона . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Основы релятивистской динамики частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Глава 2. Развитие атомистических представлений об излучении . . . . . . 22
2.1. Виды излучения. Энергетические величины излучения.

Интегральные и спектральные характеристики излучения . . . . . . . 22

2.2. Тепловое равновесное излучение. Испускательная

и поглощательная способности тела. Абсолютно черное тело . . . . 24

2.3. Законы теплового излучения: законы Кирхгофа,

Стефана – Больцмана и Вина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. Формула Рэлея – Джинса. «Ультрафиолетовая катастрофа» . . . . . . 30

2.5. Гипотеза квантов энергии. Формула Планка и следствия,

вытекающие из нее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

2.6. Явление внешнего фотоэффекта и его законы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.7. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта и его экспериментальная

проверка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.8. Внутренний фотоэффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.9. Фотоны, их энергия, масса и импульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.10. Эффект Комптона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Глава 3. Волновые свойства частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1. Корпускулярно-волновой дуализм в световых явлениях . . . . . . . . . 47

3.2. Гипотеза де Бройля о двойственной корпускулярно-волновой

природе частиц вещества и ее подтверждение . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3. Свойства волн де Бройля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4. Соотношение неопределенностей Гейзенберга . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Глава 4. Строение атома и теория Бора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1. Атомные спектры и их закономерности. Обобщенная формула

Бальмера. Комбинационный принцип Рица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

4.2. Модель атома Томсона и ее непригодность для описания

линейчатых оптических спектров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3. Опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц. Планетарная

модель атома, ее проверка и ее недостатки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

4.4. Квантовые постулаты Бора и их экспериментальное

подтверждение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

4.5. Теория строения водородоподобных атомов по Бору . . . . . . . . . . . 71

4.6. Учет движения ядра в теории Бора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

4.7. Магнитные свойства атома в теории Бора. Недостатки

теории Бора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Глава 5. Физические основы квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1. Основные положения квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2. Волновое уравнение Шредингера. Стационарное

уравнение Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3. Применение квантовой механики к простейшим задачам

о стационарных состояниях частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

5.4. Квантово-механическая теория атома. Электрон

в водородоподобном атоме. Энергетический спектр электрона.

Квантовые числа: главное, орбитальное и магнитное орбитальное .92

Глава 6. Орбитальный, спиновый и полный механический и

магнитный моменты электрона в атоме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.1. Орбитальный момент количества движения, магнитный

орбитальный момент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

6.2. Опыт Штерна и Герлаха. Собственный момент количества

движения электрона, магнитный спиновый момент.

Спиновое и магнитное спиновое квантовые числа . . . . . . . . . . . . . 100

6.3. Полный механический момент электрона, полный

и эффективный магнитные моменты. Внутреннее и

магнитное внутреннее квантовые числа. Фактор Ланде . . . . . . . . .105

6.4. Спин-орбитальное взаимодействие. Тонкая структура спектра . . 108
Глава 7. Структура и спектры сложных атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.1. Определение энергетических состояний электронов в сложных

атомах. Сложение моментов и типы связи электронов в атоме . . . 112

7.2. Застройка электронных оболочек в атоме. Принцип Паули.

Правило Хунда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

7.3. Оптические спектры сложных атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.4. Энергетические уровни и оптический спектр атома

во внешнем постоянном магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
Глава 8. Молекулярные спектры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.1. Особенности молекулярных спектров. Квантование

колебательных и вращательных уровней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

8.2. ИК-спектры поглощения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.3. Комбинационное рассеяние света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

Глава 9. Рентгеновское излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.1. Открытие рентгеновских лучей. Рентгеновские спектры.

Закон Мозли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.2. Дифракция и интерференционное отражение рентгеновских

лучей. Уравнения Лауэ и Вульфа – Брэгга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Предисловие

В основу настоящего издания положен курс лекций по дисциплине «Атомная физика», который в течение ряда лет читался автором в ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ» студентам физико-технического факультета. В учебном пособии рассмотрен круг только тех вопросов, которые были подробно освещены в лекционном курсе. Изложение ведется с учетом знаний, полученных студентами при изучении курса общей физики. Данное пособие служит дополнением к существующим учебным пособиям по атомной физике. В нем на достаточно содержательном уровне обсуждаются многие решающие эксперименты и гипотезы, приведшие к становлению современной физики. Необходимо отметить, что в настоящем пособии при написании некоторых важных формул учитывается то, что в атомной физике используют наряду с Международной системой единиц СИ предшествующую ей систему CГСЭ.

Содержание учебного пособия построено чисто логическим путем. Вначале рассматривается развитие атомистических представлений о веществе и излучении, после чего освещаются вопросы, связанные с волновыми свойствами материи. Следующие несколько глав посвящены изучению теории строения атома и основ квантовой механики. Заканчивается пособие рассмотрением различных видов спектров: оптических, молекулярных, рентгеновских. Вместе с тем следует сказать, что несмотря на такой способ изложения материала во многих главах большое внимание уделяется исторической последовательности развития рассматриваемых в них вопросов.

Пособие представляет собой достаточно законченное целое и может использоваться студентами в качестве базового при самостоятельной работе, а также при подготовке к экзаменам.

Глава 1. Развитие атомистических представлений о веществе

1.1. Доказательства атомного строения вещества
Атомная гипотеза о том, что вещество состоит из отдельных, очень маленьких частиц, возникла еще в Древней Греции. Творцом идеи о существовании атомов принято считать Демокрита. Однако создание научно-обоснованного атомистического учения стало возможным значительно позднее, в XVIII-XIX веках. Можно считать, что основы этого учения были изложены Ломоносовым в 1741 г., когда он сформулировал важнейшие положения созданной им корпускулярной теории о строении вещества. Согласно его представлениям, вещество состоит из мельчайших, физически неделимых частиц, обладающих способностью взаимного сцепления. Свойства вещества обусловлены свойствами этих частиц. Но идеи Ломоносова не были поняты современниками. Кроме того, в то время не было возможности опытным путем проверить его взгляды. Для формирования и развития атомистического учения не хватало определенных знаний. Эти знания были получены лишь в XIX веке.

В 1803 г. Дальтон установил закон кратных отношений, который непосредственно свидетельствовал о том, что элементы входят в состав химических соединений только определенными порциями. И это говорило о дискретном строении вещества. В 1809 г. Гей-Люссак, измеряя объемы газов, вступающих в реакцию и образующихся в результате реакции, пришел к обобщению, известному как закон простых объемных отношений. Согласно этому закону, объемы вступающих в реакцию газов и образующихся в результате реакции газообразных продуктов относятся друг к другу как небольшие целые числа. В 1811 г. Авогадро объяснил простые отношения между объемами газов, наблюдавшиеся при химических реакциях, установив следующий закон: в равных объемах любых газов, взятых при одной и той же температуре и давлении, содержится одинаковое число молекул. Все перечисленные выше законы были важнейшими этапами в развитии атомистической теории строения вещества.

Другим важным событием в становлении атомистических представлений о веществе было открытие дискретной структуры электрического заряда. Идея о существовании в веществе частиц, несущих электрический заряд, превратилась в научную гипотезу после открытия Фарадеем в 1833 г. двух законов об электролизе. Из опытов по электролизу был сделан вывод о дискретности электрического заряда, в связи с чем возникло предположение о наличии в веществе отрицательных и положительных элементарных носителей. Более полная информация о свойствах этих носителей была получена при изучении явления переноса электрического заряда в газах.

В 1858 г. Плюккер заметил, что если в разрядной трубке создать низкое давление (около 10^-3 мм рт. ст.), а к электродам приложить достаточно высокое напряжение (рис. 1.1), то из катода К будет выходить излучение, которое Гольдштейн в 1876 г. назвал «катодными лучами». Эти лучи обладают следующими свойствами:

– попадая на стекло, вызывают его люминесценцию;

– распространяются прямолинейно, в направлении нормали к поверхности катода;

– не меняют направление распространения при изменении формы или положения анода А;

– несут отрицательный электрический заряд.

В 1886 г. Гольдштейн, используя в разрядной трубке катод К с небольшим отверстием (рис. 1.2) и создавая газовый разряд при низком давлении, наблюдал за отверстием светящуюся область. Было установлено, что свечение вызывается потоком положительно заряженных частиц, проходящим через разреженный газ. Данное излучение назвали «каналовые лучи». В дальнейшем было выяснено, что «каналовые лучи» представляют собой поток ионов, летящих с различными скоростями.
В 1897 г. физик Джозеф Джон Томсон, изучая «катодные лучи», открыл частицы, из которых лучи состоят, – электроны, являющиеся носителями минимальной порции отрицательного заряда. Этот год считается годом рождения электрона. Отметим, что термин «электрон» ввел еще в 1891 г. Стоней, и обозначал он заряд одновалентного иона.

Томсону удалось не только доказать корпускулярную природу «катодных лучей», но и измерить отношение электрического заряда к массе частиц этих лучей, т.е. определить их удельный заряд. Это отношение примерно в 1836 раз больше, чем для ионов водорода. Из этого следовало, что электрон не атом, а его составная часть. Для подтверждения данного предположения, необходимо было измерить отдельно заряд и массу частиц «катодных лучей».

Прямые измерения величины заряда электрона были выполнены в 1911 г. Милликеном в опытах по наблюдению за движением в электрическом поле маленькой капли масла. Милликен обнаружил, что заряд капли всегда кратен некоторому минимальному заряду, значение которого равно 1.602·10¹⁹ Кл. Это значение и равно значению заряда электрона. Таким образом, было открыто фундаментальное свойство электрического заряда – его дискретность.

1.2. Движение нерелятивистской заряженной частицы

в постоянных однородных электрическом и магнитном полях
Заряженная частица характеризуется двумя параметрами – массой и зарядом. Отношение заряда к массе (удельный заряд) можно определить, исследуя движение частицы в электрическом и магнитном полях.

Рассмотрим частицу с зарядом q и массой m, движущуюся со скоростью в пространстве, в котором имеются постоянные во времени и однородные в пространстве электрическое поле с напряженностью и магнитное поле с индукцией . Со стороны этих полей на частицу действует сила , называемая силой Лоренца, которая имеет две составляющие – электрическую и магнитную . Первая из них обусловлена существованием электрического поля, вторая – магнитного поля:

(в системе CГСЭ), (1.1а)

(в системе СИ), (1.1б)
где , и образуют правую систему, с – скорость света в вакууме.

Считаем, что скорость частицы является нерелятивистской (v с), тогда, согласно второму закону Ньютона, для частицы можно записать следующее уравнение движения:

, (1.2)
где – ускорение частицы. Следовательно,
. (1.3)
Отношение q к m является одним из параметров этого уравнения, потому, изучая движение частицы в электрическом и магнитном полях, можно определить данное отношение. А если известен заряд q частицы, то можно найти и ее массу m.

Замечание. Поскольку магнитная составляющая силы Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы, то работа А этой составляющей на любом отрезке пути равна нулю, поэтому под действием магнитной составляющей значение кинетической энергии Т_кин, а следовательно, и абсолютная величина скорости частицы изменяться не будут. Данные величины изменяются лишь электрической составляющей силы Лоренца . Таким образом, электростатическое поле играет роль потенциального поля, причем
, (1.4)
где – потенциал электростатического поля, – градиент.

Рассмотрим движение заряженной частицы отдельно в электрическом и магнитном полях.

Вначале изучим движение в электростатическом поле. В этом случае = 0, а уравнение движения имеет вид
. (1.5)
Дважды интегрируя (1.5) по времени t, получим уравнение, описывающее изменение со временем радиус-вектора , который характеризует местоположение частицы:
, (1.6)
где и – скорость и радиус-вектор в момент времени t = 0 (начальные условия) соответственно.

Рассмотрим два частных случая: продольное и поперечное электрическое поле относительно начальной скорости частицы .

Пусть частица движется в электростатическом поле, создаваемом пластинами конденсатора, а вектор напряженности поля сонаправлен с вектором начальной скорости частицы . Допустим, что ось х декартовой системы координат ориентирована в пространстве как и вектор , а за начало координат возьмем точку влета частицы в поле (рис. 1.3). Тогда можно написать, что
= (Е,0,0) ,

= (,0,0) ,

= (0,0,0) .

Следовательно, уравнение движения частицы, записанное для декартовых компонент, имеет вид

(1.7)
Из (1.7) получим систему уравнений, которая описывает изменение декартовых компонент частицы со временем t (с учетом начальных условий):
(1.8)
Итак, в заданном электростатическом поле частица будет двигаться прямолинейно и равноускоренно.

Принимая во внимание, что

,
для момента времени t = 0 первое уравнение системы (1.7), умножив его на mv_o, можно преобразовать к виду
,
откуда следует равенство . Это равенство означает, что . Таким образом, пришли к закону сохранения энергии. Первое слагаемое – это кинетическая энергия, второе слагаемое – это потенциальная энергия частицы в начальный момент времени t = 0.

Предположим, что частица переместилась из точки с потенциалом электрического поля в точку с потенциалом (рис. 1.3), тогда, введя разность потенциалов как V = –, получим выражение

(в системе CГСЭ и СИ). (1.9а)
Если разность потенциалов V измеряется в вольтах (В), а m, v и q в единицах системы CГСЭ, то применяется следующая формула:
. (1.9б)
Пусть частица движется в электростатическом поле, силовые линии которого перпендикулярны вектору начальной скорости частицы . Считаем, что направление координатной оси х совпадает с направлением вектора , а начало координат совпадает с точкой влета частицы в поле (рис. 1.4). Тогда
= (0,Е,0) ,

= (,0,0) ,

= (0,0,0) .
Для этого случая имеем три скалярных уравнения:

Если их дважды проинтегрировать по времени t, то получим следующие уравнения (с учетом начальных условий):

Из первых двух уравнений этой системы легко найдем уравнение траектории частицы в плоскости у(х):
. (1.10)
Видно, что траекторией является парабола.

Исследуем движение заряженной частицы в магнитном поле. В этом случае = 0, а уравнение движения для нее имеет вид

. (1.11)
Это векторное уравнение эквивалентно системе трех скалярных уравнений:
(1.12)
Интегрирование данной системы уравнений в большинстве случаев представляет трудную математическую задачу, поэтому рассмотрим простой случай: поперечное магнитное поле относительно начальной скорости частицы .

Пусть вектор индукции магнитного поля, в котором движется частица, направлен вдоль оси z декартовой системы координат, а вектор начальной скорости частицы перпендикулярен вектору и направлен вдоль координатной оси x. Причем частица начинает двигаться из начала координат (рис. 1.5). Можно написать

= (0,0,В) ,

= (,0,0) ,

= (0,0,0) .

Отметим, что на частицу с зарядом q будет действовать магнитная составляющая силы Лоренца , направление которой можно определить по правилу левой руки.

Для заряженной частицы верна следующая система уравнений:

(1.13)

где ввели обозначение , которое называется циклотронной частотой. Из третьего уравнения системы (1.13) с учетом начальных условий следует, что z-я компонента скорости v_z равна нулю.

Дифференцируя по времени t два первых уравнения системы (1.13), получим систему однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Решение этих уравнений ищем в виде v_x = e^kt и v_y = e^kt соответственно. Тогда для них имеем k_1,2 = ±iω_c, поэтому получается следующая система уравнений:

Учитывая первые два уравнения системы (1.13), находим, что С₂ = С₃ = 0, С₁ = –С₄. Из начальных условий следует, что С₁ = v_o. Таким образом, имеем

Интегрирование этих уравнений по времени t позволяет прийти к системе параметрических уравнений, определяющих положение частицы в пространстве в зависимости от времени t (с учетом начальных условий):

Данная система задает окружность, по которой движется частица, радиуса на плоскости у(х) (рис. 1.5).

Рассмотрим случай малого отклонения частицы, т.е. R >> (y(t),х(t)), и найдем уравнение траектории частицы на плоскости у(х). Можно написать, что

,
где первое слагаемое возникает из-за того, что = (0,0,0). Разложим квадратный корень в ряд Маклорена по степеням x² до второго члена:

.
Из рис. 1.5 видно, что верным является нижнее решение, следовательно, траекторией будет парабола

. (1.14)

.

1.3. Определение электрического заряда электрона

Исторически первым было определено отношение заряда электрона к его массе, а не сама величина заряда электрона, поэтому рассмотрим вначале экспериментальный метод, использовавшийся в опыте Томсона для определения удельного заряда электрона.

Опыт Томсона учитывает закономерности движения электрона в электрическом и магнитном полях. Отметим, что отклонение частицы в поперечном электрическом поле зависит не только от отношения ее заряда q к массе m, но и от квадрата величины ее скорости v² – см. (1.10), а в поперечном магнитном поле – от величины скорости v – см. (1.14). Поэтому измерение отклонения в каком-либо одном поле не позволяет найти отношение заряда q к массе m частицы.

В опыте Томсона измеряли отклонение узкого пучка катодных лучей (электронов), коллимированных диафрагмой D и проходящих через скрещенные поперечные электрическое и магнитное поля (рис. 1.6). Электроны, попадая на стекло, вызывают люминесценцию, видимую глазом. Отметим, что отклонение, связанное с этими электрическим и магнитным полями, будет происходить вдоль одного направления.

В начале подбирается напряженность электрического поля таким образом, чтобы отклонение, обусловленное этим полем, компенсировало отклонение, связанное с магнитным полем, из-за чего пучок не отклонялся бы. В этом случае из выражений (1.10) и (1.14) следует, что . Отсюда можно определить начальную скорость v_o электронов. Затем, выключив магнитное поле и измерив отклонение пучка лишь в одном электрическом поле, вычислют удельный заряд электрона. Результаты измерений показали, что ед. CГСЭ/г.

Рассмотрим экспериментальный опыт Милликена, используемый для определения величины заряда электрона. В этом опыте проводилось прямое измерение заряда медленно испаряющихся маленьких капелек масла (диаметром порядка 1 микрона) путем наблюдения за их движением в электрическом поле.

В пространстве между обкладками конденсатора, расположенными на расстоянии d друг от друга, создается электрическое поле напряженности . Через отверстие в верхней пластине конденсатора впрыскиваются капли масла (рис. 1.7). При пульверизации отдельная капля масла приобретает заряд q. На каплю в конденсаторе действуют следующие силы:

сила тяжести , где R – радиус капли, ρ_m – плотность масла; подъемная сила Архимеда , где ρ_v – плотность воздуха; сила трения _тр, где η – коэффициент вязкости воздуха, – скорость капли; электрическая составляющая силы Лоренца .

Через некоторое время капля под действием этих сил будет двигаться равномерно, поэтому уравнение движения капли имеет вид

.
Изменяя полярность на пластинах конденсатора (при неизменной величине напряженности поля), измеряем скорость падения v₁ и скорость подъема v₂ капли. В результате получается система двух уравнений. Например, для скорости падающей капли имеем уравнение
.
Если из уравнения для v₁ вычесть уравнение для v₂, то приходим к формуле для определения радиуса капли:
,
а если уравнения сложить, тогда получим формулу для определения заряда капли:
.
Измерения заряда q капли показали, что он всегда кратен одному и тому же числу е, которое следует считать величиной элементарного заряда и которое равно е = 4,8·10^-10 ед. CГСЭ.
1.4. Основы релятивистской динамики частицы
а. Зависимость массы частицы от ее скорости

Как отмечалось ранее, зная отношение заряда частицы к ее массе, а также величину заряда, можно вычислить массу частицы. В 1901 г. Кауфман, проводя экспериментальные исследования зависимости удельного заряда электрона от его скорости v, обнаружил, что при скоростях v, близких к скорости света с, существует зависимость массы от скорости. Таким образом, еще за четыре года до появления теории относительности, которая объясняет такую зависимость, было получено экспериментальное доказательство отмеченного факта.

В опыте Кауфмана, так же как и в опыте Томсона, учитывались закономерности движения электрона в электрическом и магнитном полях. В качестве источника быстрых электронов использовался радий (радиоактивное вещество). Электроны, летящие со скоростью v, пропускаются через расположенные антипараллельно друг другу поперечные электрическое и магнитное поля (рис. 1.8).

Отметим, что отклонения электронов, вызываемые электрическим и магнитным полями, будут происходить в перпендикулярных направлениях. Отклонение электронов в электрическом поле происходит в положительном направлении оси х, а в магнитном поле – в положительном направлении оси z. Величины отклонения электронов на экране равны соответственно

, .
Поскольку разные электроны имеют различные скорости v, то места попадания их на экран расположатся на некоторой кривой. Если бы масса электронов не зависела от скорости, то этой кривой была бы парабола:
.
Опыт показал, что экспериментальная кривая отличается от параболы, особенно на участке, соответствующем большим скоростям. И это указывало на то, что масса электронов зависит от их скорости. Данная зависимость представлена на рис. 1.9, где m – это релятивистская масса, а m_o – это масса покоя, т.е. масса тела при его скорости v, стремящейся к нулю.

Формула для вычисления массы тела в зависимости от его скорости была впервые получена в 1904 г. Лоренцом:

. (1.15)
Объяснение такой зависимости массы от скорости было дано теорией относительности, построенной в 1905 г. Эйнштейном. Согласно этой теории, данная зависимость является универсальным законом, не зависящим от свойств тел.

Физическую природу увеличения массы тела от скорости можно понять, если рассмотреть случай малых скоростей v с. Разлагая дробь перед m_o в выражении (1.15) в ряд Маклорена и ограничиваясь вторым слагаемым в разложении, получим

.
Второе слагаемое является добавкой к массе покоя и равно отношению кинетической энергии тела к квадрату скорости света, поэтому увеличение массы тела обусловлено увеличением его кинетической энергии.

б. Сила и импульс

В классической механике (механике Ньютона) при v с сила определяется либо как первая производная импульса по времени t, либо как произведение массы m на ускорение:

.
Это уравнение инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея.

В релятивистской механике при v ≈ с сила определяется только как производная импульса по времени t:

.
Это уравнение инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца, которые переходят в преобразования Галилея при малых скоростях v с. Дифференцируя импульс по времени и учитывая, что масса не является постоянной величиной, получим
.
Видно, что сила равна сумме двух векторов, из которых один параллелен ускорению, другой – скорости. Из данного уравнения следует, что в релятивистской механике, в отличие от классической механики, сила и ускорение в общем случае не будут направлены одинаково. Сила будет направлена так же, как ускорение, в двух частных случаях:

если сила направлена перпендикулярно скорости ,
если сила направлена параллельно скорости .

в. Взаимосвязь между массой и энергией, импульсом и энергией

Элементарная работа dА, совершенная силой при перемещении тела, в релятивистской динамике определяется так же, как в динамике Ньютона, а именно как скалярное произведение силы и перемещения:

.
Если сила действует на свободное тело, то затраченная работа dА равна, согласно закону сохранения энергии, изменению кинетической энергии тела dT_кин:
dA = dT_кин .
Учитывая, что, напишем
dT_кин . (1.16)

С другой стороны, из релятивистской зависимости массы от скорости (1.15) следует, что

.
Дифференцируя это выражение по абсолютной величине скорости v , получим равенство
.
Умножив его на dv, приходим к выражению
.

Сравнивая правые части этого выражения и выражения (1.16), видим, что

dT_кин .
Проинтегрировав данное равенство
_кин ,

получим
T_кин . (1.17)

Это есть релятивистское выражение для кинетической энергии тела. Первое слагаемое представляет собой релятивистскую полную энергию Е тела. Она может быть вычислена по формуле, называемой формулой Эйнштейна:
. (1.18)
Второй член в (1.17) называют энергией покоя тела:
. (1.19)
Таким образом, кинетическая энергия T_кин равна разности между полной энергией Е и энергией покоя Е_о.

Используя выражение для релятивистского импульса

(1.20)
и релятивистской полной энергии (1.18), легко установить связь между полной энергией и импульсом.
Поскольку и ,
то, вычитая первое равенство из второго, получим
.
Окончательно
. (1.21)

Глава 2. Развитие атомистических представлений об излучении
2.1. Виды излучения. Энергетические величины излучения.

Интегральные и спектральные характеристики излучения
Колебание заряженных частиц, входящих в состав вещества, вызывает излучение электромагнитных волн. Электромагнитное излучение сопровождается потерей энергии, поэтому для обеспечения дальнейшего излучения необходимо восполнять убывающую энергию. Это восполнение можно осуществлять различными путями.

Наиболее распространенным способом компенсации убывающей энергии является нагревание тела. Вид излучения, связанный с таким способом восстановления энергии, называется тепловым или температурным излучением. Тепловое излучение имеет место при любых температурах отличных от 0 К. Причем испускание электромагнитных волн происходит за счет тепловой энергии тела. Если излучение поддерживается благодаря энергии выделяемой при химической реакции, то говорят о хемилюминесценции. Если излучение вызывается за счет поглощения электромагнитной энергии, то такое излучение называется фотолюминесценцией. Излучение, которое возбуждается в газах или твердых телах под действием электрического поля (разряда), называется электролюминесценцией.

Опыт показывает, что единственным видом излучения, которое находится в равновесии с испускающим его телом, является тепловое излучение. Равновесное тепловое излучение устойчиво, так как при любом его нарушении оно вновь будет восстановлено.

Отметим, что существуют и другие способы классификации излучения по видам, например по длине волны или частоте.

Для характеристики любого вида излучения используется ряд энергетических величин. Важной величиной является поток энергии излучения (мощность излучения) Ф, под которым понимают количество энергии W, испускаемой телом по всем направлениям (в пределах телесного угла 2π) за единицу времени t:
.
Поток энергии имеет размерность мощности. Единицей его измерения в системе СИ является ватт, равный джоуль на секунду (сокращенно Вт = Дж/c).

Величина, называемая силой излучения I_с, характеризует мощность Ф источника излучения, приходящуюся на единицу телесного угла Ω:

.
Единицы измерения силы излучения – ватт на стерадиан (Вт/cтр).

Энергетической светимостью E_с называют величину, равную потоку энергии излучения Ф, испускаемому единицей поверхности тела S:

.
За единицу измерения этой величины в системе СИ принимают ватт на метр в квадрате (Вт/м²). Поток энергии Ф, поглощенный единицей поверхности тела S, называется освещенностью E_осв.

Интенсивность излучения (поверхностная яркость) J – это поток энергии излучения Ф, испускаемый единицей поверхности тела S и распростра-

няющийся внутри единичного телесного угла Ω, ось которого составляет с нормалью к излучающей площадке dS угол θ:
.
Эту величину в системе СИ измеряют в ваттах на стерадиан и на метр в квадрате (Вт/(стр·м²)).

Найдем выражение связывающее поток энергии излучения Ф, проходящий через площадку dS в одну сторону, с интенсивностью J изотропного излучения, т.е. J не зависит от угла. Для этого, учитывая, что элемент телесного угла равен , проинтегрируем записанное выше равенство по азимутальному углу φ от 0 до 2π и по полярному углу θ от 0 до π/2. В результате имеем:

так как
.

Разделив dФ на dS, получим соотношение между энергетической светимостью E_с и интенсивностью излучения J:
Е_с = πJ .
Наконец, вводится понятие объемной плотности излучения, которая равна количеству энергии излучения W в единице объема V:
.
Единицы измерения объемной плотности излучения в СИ – джоуль на метр в кубе (Дж/м³). Объемная плотность излучения u может выражаться через интенсивность излучения J и энергетическую светимость E_с следующим образом:
,
(для изотропного излучения).
Опытные данные говорят о том, что интенсивность J, энергетическая светимость E_с и объемная плотность u излучения зависят от частоты ν излучения. Ввиду этого наряду с интегральными величинами J, E_с и u, которые характеризуют излучение во всем частотном диапазоне, рассматривают спектральные величины J(ν), E_с(ν) и u(ν), характеризующие только долю излучения с частотой ν в общем потоке излучения. Спектральные и интегральные величины связаны соотношениями
, , .

2.2. Тепловое равновесное излучение. Испускательная

и поглощательная способности тела. Абсолютно черное тело
В дальнейшем будем рассматривать только равновесное тепловое излучение. Основной величиной, характеризующей тепловое состояние излучающего тела, является его температура Т. Возьмем полость с теплонепроницаемыми стенками, нагретыми до некоторой постоянной температуры Т. Стенки полости будут как излучать, так и поглощать электромагнитные волны. При равновесии излучается столько энергии, сколько и поглощается. В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена внутри полости с постоянной объемной плотностью u, зависящей от температуры Т. Спектральная объемная плотность излучения будет характеризоваться функцией u(ν,Т).

При теоретическом исследовании теплового равновесного излучения на основе термодинамических законов Кирхгоф установил ряд свойств этого излучения:

1) объемная плотность излучения u зависит только от температуры Т и не зависит от природы и свойств излучающих тел;

2) объемная плотность излучения u не зависит от координат, так как излучение однородно;

3) интенсивность излучения J не зависит от углов, так как излучение изотропно;

4) излучение является неполяризованным.

Для изучения законов теплового излучения и установления его количественных закономерностей необходимо ввести такие важные понятия, как испускательная и поглощательная способность тела. Испускательная способность тела е (аналог энергетической светимости Е_с) равна потоку энергии излучения Ф, испускаемому единицей поверхности тела S:
.
Опыт показывает, что испускательная способность е зависит от температуры Т излучающего тела. Кроме того, она является функцией частоты излучения ν. Таким образом, отдельный спектральный участок излучения характеризуется величиной е(ν,Т), называемой спектральной испускательной способностью тела, а весь спектр излучения характеризуется функцией е(Т), называемой интегральной испускательной способностью. Для них справедлива следующая связь:
.
Отметим, что единицы измерения интегральной испускательной способности в системе СИ – ватт на метр в квадрате (Вт/м²), а спектральной испускательной способности – джоуль на метр в квадрате (Дж/м²).

Поглощательная способность тела (обозначим ее через а) – это доля падающей энергии излучения, которая остается внутри тела и превращается в

тепло. Она определяется как отношение потока энергии, поглощенного телом Ф^/ , к потоку энергии, падающего на тело Ф:
.

По определению поглощательная способность является безразмерной величиной и, кроме того, не может быть больше единицы.

Согласно опытным данным, поглощательная способность тела зависит и от его температуры Т и частоты ν, на которой происходит поглощение излучения, поэтому вводят величины а(ν,Т) и а(Т), называемые спектральной поглощательной способностью тела и интегральной поглощательной способностью соответственно.

Между испускательной и поглощательной способностями тела существует определенная связь, а именно, чем больше испускательная способность тела, тем больше его поглощательная способность.

Среди большого многообразия тел можно представить такое тело, поглощательная способность которого равна единице для всех значений частот и температур. Такое тело поглощает все падающее на него излучение и называется абсолютно черным телом. Если поглощательная способность тела меньше единицы, то тело называется серым.

В действительности же в природе ни одно тело нельзя считать абсолютно черным. Излучение, по своим свойствам схожее с излучением абсолютно черного тела, можно создать следующим образом. Возьмем замкнутый сосуд с равномерно нагретыми теплонепроницаемыми стенками. Тепловое равновесное излучение, установившееся внутри сосуда, будет тождественно излучению абсолютно черного тела. Это происходит потому, что излучение в сосуде претерпевает многократные отражения от стенок, а при каждом отражении часть энергии поглощается, в результате чего практически все излучение на любой частоте стенками сосуда поглотится. Если в стенке сделать маленькое отверстие, то излучение, выходящее из сосуда, будет весьма похоже на излучение абсолютно черного тела.

2.3. Законы теплового излучения: законы Кирхгофа,

Стефана – Больцмана и Вина
Первый фундаментальный закон теплового излучения был получен в 1859 г. Кирхгофом. Он устанавливает связь между испускательной и поглощательной способностями тела и утверждает, что отношение спектральной испускательной способности е(ν,Т) тела к его спектральной поглощательной способности а(ν,Т) не зависит от природы тела и является для всех тел одной и той же универсальной функцией f(ν,Т) частоты ν и температуры Т:
. (2.1)
Поскольку при определенных частоте и температуре данное отношение одинаково для любых тел, то это означает, что тело, сильнее поглощающее излучение, будет сильнее его излучать.

Для абсолютно черного тела спектральная поглощательная способность а(ν,Т), по определению, равна единице а(ν,Т) = 1, поэтому универсальная функция f(ν,Т) есть не что иное, как спектральная испускательная способность ε(ν,Т) абсолютно черного тела: f(ν,Т) = ε(ν,Т).

Из закона Кирхгофа (2.1) следует, что е(ν,Т) = ε(ν,Т)·а(ν,Т). Поскольку для серых тел а(ν,Т) е(ν,Т) Т). Это означает, что при одинаковой температуре кривая спектральной испускательной способности е(ν,Т) серого тела всегда лежит ниже кривой спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела для любой частоты ν (рис. 2.1).

Долгое время многочисленные попытки получить общий вид функции ε(ν,Т) заканчивались неудачей. Отметим, что общий вид ε(ν,Т) был получен в 1900 г. Планком (см. п.2.5). До того как была найдена функция ε(ν,Т), в теории теплового излучения были установлены важные закономерности.

В 1878 г. Стефан, анализируя экспериментальные данные для серых тел, пришел к заключению, что интегральная испускательная способность е(Т) пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры Т, излучающего тела: е(Т) ~ Т⁴. Однако последующие более точные измерения показали ошибочность его выводов.

В 1884 г. Больцман теоретически на основе термодинамических рассуждений получил такую же зависимость, но только для интегральной испускательной способности ε(Т) абсолютно черного тела: ε(Т) ~ Т⁴. Впоследствии соотношение между интегральной испускательной способностью ε(Т) абсолютно черного тела и четвертой степенью его абсолютной температуры Т получило название закона Стефана – Больцмана:

ε(Т) = σТ⁴ , (2.2)
где σ – константа пропорциональности, называемая постоянной Стефана –Больцмана. Ее значение равно σ = 5,67·10^-8 Вт/(м²· К⁴) – в СИ.

В 1893 г. Вин, воспользовавшись кроме термодинамики еще и электромагнитной теорией света, получил следующую формулу для спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела:

, (2.3)

где F – некоторая функция отношения частоты ν к температуре Т, раскрыть явный вид которой при помощи классического подхода к излучению, т.е. без всяких гипотез о квантовом механизме излучения, оказалось невозможным. Несмотря на этот недостаток, формула (2.3), получившая название термодинамического закона Вина, сыграла важную роль при изучении теплового излучения. Отметим следующие следствия, вытекающие из нее.

1. Формула Вина позволяет вычислять частотную зависимость ε(ν,Т) для любой температуры Т, зная частотную зависимость ε(ν,Т₁) для температуры Т₁. Допустим, дана кривая ε(ν,Т₁) для температуры Т₁, и необходимо найти кривую ε(ν,Т₂) для температуры Т₂. Для частоты ν₂, удовлетворяющей условию или , формула Вина имеет вид
.
Таким образом, чтобы получить кривую ε(ν,Т₂), нужно изменить масштаб по оси абсцисс в раз, а по оси ординат в раз.

2. Несмотря на присутствие неявной функции , формула Вина приводит к некоторым совершенно определенным количественным закономерностям. В этом можно убедиться, вычислив интегральную испускательную способность ε(Т) абсолютно черного тела:

.
Если обозначить величину, полученную при вычислении интеграла, через σ, то получим закон Стефана – Больцмана (2.2).

3. Воспользуемся условием, из которого находят частоту, отвечающую максимуму спектральной испускательной способности ε(ν,Т):

,
где ν_m – частота, соответствующая максимальному значению функции ε(ν,Т) при температуре Т.

Подставив в него формулу Вина (2.3), получим

Решив это уравнение, найдем определенное значение x = x_m – const. Следовательно,

, (2.4а)
где b = 0,588·10¹¹ Гц/К (в СИ).

Соотношение (2.4а) называется закон смещения Вина. Согласно ему, отношение частоты ν_m, отвечающей максимальному значению спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела, к абсолютной температуре Т, при которой это тело находится, является постоянной величиной. Из закона смещения Вина (2.4а) следует, что при повышении температуры Т абсолютно черного тела максимум его спектральной испускательной способности ε(ν,Т) смещается в сторону больших частот (рис. 2.2).

Отметим, что в практической спектроскопии часто в качестве одного из аргументов функции ε используют не частоту ν излучения, а его длину волны λ: νλ = c. В этом случае закон смещения Вина записывается в виде:
, (2.4б)
где b^/=2,9·10^-3 м·К (в СИ).

В 1896 г. Вин написал следующую эмпирическую формулу для своего термодинамического закона (2.3):

, (2.5)
где А и В – постоянные величины. Отметим, что при получении данной формулы Вин предположил, что распределение энергии излучения в спектре абсолютно черного тела по частотам аналогично Максвеловскому распределению молекул газа по скоростям. В 1897 г. Люммер и Прингсгейм экспериментально проверили ее и установили, что формула хорошо описывает распределение энергии теплового излучения только в области высоких частот.

2.4. Формула Рэлея – Джинса. «Ультрафиолетовая катастрофа»
Более строгая попытка теоретического вывода формулы для спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела была сделана Рэлеем. Он впервые воспользовался теоремой классической статистики о равномерном распределении энергии по степеням свободы в замкнутой полости при вычислении спектральной объемной плотности u(ν,Т), которая связана со спектральной испускательной способностью ε(ν,Т) абсолютно черного тела равенством:
.
Рассмотрим его подход более подробно. Рэлей представлял тепловое равновесное излучение в замкнутой полости как электромагнитное поле, которое можно разложить на систему стоячих волн различной частоты и направления. Затем определялось число независимых стоячих волн dn(ν) в данном интервале частот dν в единице объема. К этим волнам применялась теорема о равномерном распределении энергии, согласно которой на каждую стоячую волну приходится средняя энергия ‹Е›, равная k_bТ, где k_b – постоянная Больцмана. Эта энергия складывается из средних энергий электрического и магнитного полей, по отдельности равных 0,5k_bТ. Для спектральной объемной плотности энергии электромагнитного поля в интервале частот dν справедливо соотношение
.
Вычисление спектральной объемной плотности энергии поля было сделано Джинсом по методу, указанному Рэлеем. При этом было получено выражение для dn(ν) с учетом обоих направлений поляризации стоячей волны:
.
Рассмотрим, как можно вычислить среднюю энергию стоячей волны при классическом предположении, что излучение испускается непрерывно (подход электромагнитной теории света), т.е. энергия стоячей волны может принимать любое значение. Если исходить из статистического подхода, то по определению
.
Здесь dW(Е) – это вероятность того, что значение энергии Е стоячей волны принадлежит интервалу [Е; Е+ dЕ]. Эта величина определяется по формуле , где нормировочный множитель А находится из условия . В связи с этим
.
При вычислении ‹Е› провели интегрирование по частям интеграла, стоящего в числителе дроби: .

Итак, для спектральной объемной плотности энергии электромагнитного поля получается выражение

.
Учитывая связь u(ν,Т) с ε(ν,Т), для последней находим следующую формулу:
, (2.6)
которая называется формулой Рэлея – Джинса. Проанализируем ее.

1. Формула удовлетворяет термодинамическому закону Вина (2.3).

2. Она не дает максимума в спектре излучения.

3. Приводит к абсурдному результату: интегральная испускательная способность равна бесконечности ε(Т) = ∞. Этот результат находится в противоречии с опытом, поскольку равновесие между излучением и телом устанавливается при конечных значениях ε(Т).

4. Согласно формуле, в спектре теплового излучения большая часть энергии находится в высокочастотной области. Этот результат назвали «ультрафиолетовая катастрофа».

5. Кроме того, было установлено, что формула Рэлея – Джинса хорошо описывает только низкочастотную область спектра теплового излучения.

Расхождение формулы Рэлея – Джинса с результатами опыта указывало на то, что классическая электромагнитная теория света неприменима для описания коротковолнового (высокочастотного) теплового излучения. При теоретическом изучении теплового излучения необходимо учитывать какие-либо другие закономерности, не совместимые с представлениями классической физики.

2.5. Гипотеза квантов энергии. Формула Планка

и следствия, вытекающие из нее
С классической точки зрения вывод формулы Рэлея – Джинса (2.6) является безупречным. Однако она не давала максимума в спектре теплового излучения и хорошо описывала его только в области низких частот. Эмпирическая формула Вина (2.5), полученная также с использованием принципов классической физики, давала максимум в спектре теплового излучения, но хорошо согласовывалась с результатами эксперимента только в области высоких частот. Таким образом, к концу XIX века существовали две формулы для вычисления спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела, которые соответствовали экспериментальным данным на ограниченных спектральных участках.

В 1900 г. Планку удалось вначале эмпирически найти формулу для ε(ν,Т), хорошо описывающую тепловое излучение на всем частотном интервале от 0 до ∞, а затем вывести ее теоретически. Однако для этого ему пришлось сделать предположение, противоречащее классическим волновым представлениям об излучении, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается (поглощается) не непрерывно, как считалось при выводе формулы Рэлея – Джинса, а дискретно, в виде отдельных порций с энергией ∆Е кратной некоторой величине Е, которая, в свою очередь, прямо пропорциональна частоте ν излучения (поглощения) Е = hν, где коэффициент пропорциональности h – это универсальная постоянная, называемая постоянной Планка. Ее значение равно h = 6,626·10^-34 Дж·с (в СИ).

Рассмотрим подход Планка более подробно. При выводе своей формулы Планк рассматривал излучающие центры абсолютно черного тела как линейные гармонические осцилляторы с электрическим зарядом, которые могут обмениваться энергией с окружающим их электромагнитным полем. Гипотеза, которую Планк использовал при выводе формулы, формулируется так: осцилляторы могут находиться только в определенных состояниях n, в которых их энергия Е_n кратна величине Е = hν , т.е. Е_n = nhν (n = 0,1,2,…). При испускании (поглощении) излучения осцилляторы переходят скачком из состояния n в другое состояние n^/, при этом изменяется их энергия на величину ∆Е = (n – n^/)hν. Важно отметить, что по Планку излучение испускается (поглощается) дискретно, порциями с энергией ∆Е, но оно непрерывно внутри этих порций.

На основании этой гипотезы, пользуясь статистическим методом, Планк вывел формулу для вычисления спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела. По определению среднее значение энергии ‹Е› излучения, с учетом того, что излучение дискретно, равно

,
где W_n – это вероятность того, что осцилляторы находятся в состоянии n с энергией Е_n, определяется по Больцману как . Нормировочный множитель А находится из условия . Следовательно, среднее значение энергии ‹Е› излучения на частоте ν равно
.
Под знаком логарифма стоит сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем, равным е^-x, который меньше единицы. Эта сумма равна , поэтому
.
Отметим, что при стремлении h к нулю, т.е. это случай, когда излучение предполагается непрерывным, среднее значение энергии ‹Е› равняется k_bТ, что и получалось при выводе формулы Рэлея – Джинса.

Заменив в формуле Рэлея – Джинса среднее значение энергии ‹Е› на выражение, записанное выше, приходим к формуле Планка для вычисления спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела:

. (2.7а)
Рассмотрим следствия, вытекающие из формулы Планка.

1. Из этой формулы видно, что для фиксированной частоты ν с ростом температуры Т знаменатель дроби убывает, а сама дробь возрастает, следовательно, возрастает и спектральная испускательная способность ε(ν,Т) абсолютно черного тела (рис. 2.2).

2. Все рассмотренные ранее выражения, связанные с законами теплового излучения, могут быть получены с помощью формулы Планка.

а. Вычислив интегральную испускательную способность ε(Т) абсолютно черного тела путем интегрирования формулы Планка (2.7а) в диапазоне частот от 0 до ∞, получим закон Стефана – Больцмана (2.2). Покажем это.

.
Определенный интеграл, стоящий в правой части этого выражения, является табличным
,

поэтому

Заметим, что постоянная Стефана – Больцмана определяется через универсальные постоянные π, k_b, с и h.

б. Формула удовлетворяет термодинамическому закону Вина (2.3).

в. Для случая высоких частот или низких температур >> 1 из формулы Планка легко получить формулу Вина (2.5), пренебрегая в (2.7а) единицей по сравнению с ехр:
.
г. Для случая малых частот или высоких температур ,
формулу Планка преобразуем в формулу Рэлея – Джинса (2.6):
.
Отметим, что можно перейти от формулы Планка, записанной через линейные частоты ν, к формуле, записанной через длину волны λ, которую

часто используют в практических расчетах. Для этого следует воспользоваться соотношением

,
поскольку энергии излучения, заключенные в интервале частот dν и длин волн dλ, равны. Интегрируя это соотношение

и проводя затем в его левой части замену переменной интегрирования ν на λ = с/ν, получим
.
После смены пределов интегрирования в правой части этого выражения приходим к равенству
,
из которого, с учетом (2.7а), находим
. (2.7б)
Блестящие результаты, достигнутые с помощью гипотезы Планка, были серьезным указанием на то, что законы классической физики неприменимы для описания теплового излучения. Возникала необходимость в создании новой теории, в которой нашла бы место идея о том, что некоторые физические величины изменяются дискретно, а не непрерывно.

2.6. Явление внешнего фотоэффекта и его законы
К числу явлений, в которых проявляются не волновые, а корпускулярные свойства излучения, принадлежит внешний фотоэлектрический эффект, или просто фотоэффект. Фотоэффектом называется процесс испускания электронов веществом под действием света.

Это явление было открыто в 1887 г. Герцем, который обнаружил, что проскакивание искры между цинковыми шариками разрядника происходит при меньшем напряжении между ними, если один из шариков осветить ультрафиолетовым светом. Однако Герцу не удалось правильно объяснить это явление. В 1888 г. Гальвакс установил, что причиной этого является появление при облучении свободных зарядов. Фотоэффект был подробно изучен в период с 1888 по 1889 г. Столетовым, который установил ряд важных закономерностей: 1) испускаемые под действием света с поверхности вещества частицы имеют отрицательный знак, 2) наиболее эффективное действие на фотоэффект оказывают ультрафиолетовые лучи, 3) величина испущенного телом заряда пропорциональна поглощенной им световой энергии, 4) фотоэффект является безынерционным явлением, т.е. не обнаруживается запаздывание в появлении вылетающих частиц в интервале 10^-10 с после начала освещения.

В 1898 г. Ленард и Томсон измерили отношение заряда к массе частиц, появляющихся при фотоэффекте, изучая их отклонение в электрических и магнитных полях. Основываясь на полученных данных, они пришли к выводу, что этими частицами являются электроны.

Основные законы фотоэффекта можно проверить на установке, схема которой показана на рис. 2.3. Свет интенсивности J проникает через кварцевое стекло в откаченную колбу и освещает катод К, изготовленный из исследуемого материала. Испущенные катодом фотоэлектроны перемещаются под действием электрического поля к аноду А. В результате в цепи появляется фототок I_ф, величина которого измеряется гальванометром. Напряжение V между анодом и катодом изменяется потенциометром R и измеряется вольтметром V. Известно, что величина фототока I_ф зависит от количества фотоэлектронов, которые под действием света вылетают из катода и попадают на анод. Опыт показывает, что фототок зависит от материала катода и состояния его поверхности.

Экспериментально были установлены четыре закона фотоэффекта.

1. Согласно первому закону, называемому законом Столетова, величина фототока I_ф прямо пропорциональна интенсивности J падающего на катод света: I_ф = α J.

На рис. 2.4 представлена линейная зависимость фототока I_ф от интенсивности J. Данную зависимость получают следующим образом. Катод освещают монохроматическим светом при постоянных значениях частоты ν и напряжения V между катодом и анодом. В этих условиях измеряют величину фототока I_ф при разных значениях интенсивности J падающего света.

2. Второй закон фотоэффекта утверждает, что для каждого вещества катода существует наименьшая частота ν_кр падающего света, ниже которой фотоэффект не наблюдается. Эта частота называется «красная граница фотоэффекта». Красная граница ν_кр различна для разных материалов и является их характеристикой.

Данный закон проверяется путем построения спектральной характеристики I_ф(ν), т.е. зависимости величины фототока I_ф от частоты ν падающего света, при постоянных значениях интенсивности J падающего света и напряжения V между катодом и анодом (рис. 2.5).

3. Третий закон фотоэффекта говорит о том, что максимальная кинетическая энергия Т_max фотоэлектронов (начальная скорость) не зависит от интенсивности J падающего света.

Анализ вольт-амперных характеристик, т.е. зависимостей величины фототока I_ф от напряжения V между катодом и анодом, для нескольких значений интенсивности J падающего света при неизменном значении его частоты ν (рис. 2.6), позволяет подтвердить выполнение этого закона. При положительном напряжении V > 0 фототок I_ф вначале возрастает с ростом напряжения V. Затем, начиная с некоторого значения напряжения, фототок, достигнув максимального значения I_n, которое называется током насыщения, остается неизменным. В этом случае все выбитые из катода фотоэлектроны достигают анода. При отрицательном напряжении V V = V_o (запирающее напряжение) все фотоэлектроны, даже имеющие максимальную кинетическую энергию
Т_max = = e│V_o│ ,
возвращаются обратно на катод. Особенностью представленных на рис. 2.6 кривых I_ф(V) для разных значений интенсивности J падающего света является то, что значение V_o остается постоянным, а значит, Т_max не зависит от интенсивности J падающего света.

. Четвертый закон фотоэффекта утверждает, что максимальная кинетическая энергия Т_max фотоэлектронов (начальная скорость) зависит от частоты ν падающего света, причем, зависимость является линейной.

Выполнение этого закона можно проверить, построив вольт-амперную характеристику для фиксированных, но разных значений частот ν падающего света и при его неизменной интенсивности J (рис. 2.7). Из приведенных кривых I_ф(V) видно, что максимальная кинетическая энергия Т_max фотоэлектронов, связанная с величиной V_o, изменяется при изменении частоты ν падающего света. Причем, чем больше частота, тем больше кинетическая энергия.

В линейном характере Т_max(ν) можно убедиться, если построить зависимость абсолютной величины запирающего напряжения │V_o│ от частоты ν (рис. 2.8). Отметим, что угол α наклона прямой не зависит от материала, из которого изготовлен катод.

2.7. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

и его экспериментальная проверка
В рамках классического волнового подхода к излучению невозможно объяснить законы фотоэффекта. Согласно волновой теории, электроны в металле, из которого сделан катод, под действием падающей электромагнитной волны совершают вынужденные колебания с амплитудой, пропорциональной амплитуде этой волны. При резонансе между собственными колебаниями электрона и колебаниями подающей волны амплитуда колебаний электрона становится большой, что может привести к разрыву связи электрона с металлом и выходу его наружу с некоторой скоростью. Кинетическая энергия Т_кин электрона, определяющая эту скорость, заимствуется у падающей волны, а ее величина находится в прямой зависимости от интенсивности J этой волны. Но это противоречит действительности, поскольку от интенсивности J падающей волны зависит только число выбиваемых фотоэлектронов (первый закон фотоэффекта), а кинетическая энергия Т_кин электронов не зависит от интенсивности J (третий закон). Кроме того, с позиций электромагнитной теории света нельзя объяснить и второй закон фотоэффекта.

В 1905 г. Эйнштейн показал, что все основные закономерности фотоэффекта легко объясняются с корпускулярной точки зрения на излучение. Он развил идеи Планка, изложенные в п.2.5. Эйнштейн пришел к выводу, что излучение испускается, распространяется и поглощается только порциями с энергией ΔЕ = hν, и ввел термин для такой порции – «квант». В 1926 г. Льюис назвал «квант» фотоном.

По гипотезе Эйнштейна, в монохроматическом свете частоты ν все фотоны имеют одинаковую энергию Е = hν. Поглощение света представляется как поглощение одного фотона одним электроном. При этом фотон передает всю свою энергию электрону (считается, что вероятность поглощения электроном одновременно двух и более фотонов ничтожно мала).

Закон сохранения энергии при поглощении фотона выражается уравнением, которое называется уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

hν = А₁ + А₂ + Т_кин , (2.8а)
где А₁ – энергия отрыва электрона от атома (энергия ионизации); А₂ – работа выхода электрона за пределы поверхности тела; Т_кин – кинетическая энергия электрона. Согласно этому уравнению, энергия фотона, поглощенного электроном, тратится на отрыв электрона от атома, работу по выходу электрона за пределы поверхности тела и сообщение электрону кинетической энергии. Металлы характеризуются тем, что у них имеется большое количество сво-

бодных электронов, поэтому считается, что А₁ = 0. Обозначим А₂ через А, тогда для металлов имеем такое уравнение:

hν = А + Т_кин . (2.8б)
Опираясь на квантовый подход к излучению и уравнение Эйнштейна можно следующим образом объяснить законы фотоэффекта.

Первый закон: количество выбитых за единицу времени фотоэлектронов, определяющих величину фототока I_ф, должно быть прямо пропорционально количеству падающих за это время фотонов, которые характеризуют интенсивность излучения J. Второй закон: фотоэффект имеет место только при условии, что hν ≥ А (для металла). Это означает, что существует минимальная частота ν_кр (красная граница) hν_кр = А, для которой еще может наблюдаться фотоэффект. Третий и четвертый законы: из уравнения Эйнштейна видно, что кинетическая энергия Т_max электронов не зависит от интенсивности J, а зависит от частоты ν падающего света, причем линейно.

Отметим, что уравнение Эйнштейна допускает экспериментальную проверку. Наиболее точная проверка была выполнена Лукирским. Она заключалась в построении зависимости абсолютной величины запирающего напряжения │V_o│ от частоты ν падающего света:
.
Данное линейное соотношение получается непосредственно из уравнения Эйнштейна (2.8б). Отношение h/e величины постоянной Планка h к заряду электрона е определяет угол α наклона прямой │V_О│= f(ν) (рис. 2.8).
2.8. Внутренний фотоэффект
Кроме рассмотренного в п.2.6 внешнего фотоэффекта существует внутренний фотоэффект. Он заключается в перераспределении электронов на энергетических уровнях диэлектриков и полупроводников под действием света.

Диэлектрики и полупроводники имеют аналогичную электронную структуру (рис. 2.9). Характерной особенностью для данных типов веществ является наличие трех энергетических зон: заполненной электронами валентной зоны, отделенной запрещенной зоной от не заполненной электронами зоны проводимости. Если в веществе присутствуют примеси, то вблизи зоны проводимости или валентной зоны могут появиться дополнительные примесные энергетические уровни.

При освещении вещества светом, у которого величина энергии фотонов превышает ширину запрещенной зоны, происходит поглощение электронами фотонов. При этом электроны будут переходить из валентной зоны в зону проводимости. В результате возникают дополнительные пары носителей тока – электрон и дырка, что приводит к появлению электропроводимости. Если энергии фотона хватает, чтобы перевести электрон из валентной зоны на примесной уровень, то возникает дырочная проводимость, а если электрон перейдет с примесного уровня в зону проводимости, то это приведет к электронной проводимости. Все перечисленные явления называются фотопроводимостью и обусловлены внутренним фотоэффектом.

2.9. Фотоны, их энергия, масса и импульс
Гипотеза Эйнштейна о существовании особых световых частиц (фотонов) была подтверждена рядом экспериментальных опытов, в частности опытом Лебедева по измерению светового давления и опытом Иоффе по наблюдению фотоэффекта с пылинок. Из них следовало, что свет представляет собой поток распространяющихся в пространстве фотонов. Рассмотрим некоторые характеристики фотонов.

1. Фотон обладает энергией Е_ф = hν , которая связана с частотой ν.

2. Согласно теории относительности Эйнштейна существует взаимосвязь между энергией и массой E = mc². Учитывая это, для массы фотона получаем выражение m_ф = hν/c².

Отметим, что фотоны движутся в вакууме со скоростью с. Согласно релятивистской динамике, импульс р и энергия Е частицы, движущейся со скоростью v, находятся по формулам (1.20) и (1.18) соответственно. Когда скорость v = c , а масса покоя m_o 0, получаем неопределенности типа р = ∞ и Е = ∞. Это означает, что никакое тело с m_o 0 нельзя разогнать до скорости с. Но так как для фотона v = c, то следует считать массу покоя фотона равной нулю m_oф = 0, т.е. фотон не имеет массы покоя и может существовать только двигаясь.

3. Для фотона с m_oф = 0 и v = c формулы для релятивистского импульса и энергии, записанные выше, оказываются непригодными, так как приводят к неопределенности 0/0. Энергия фотона определяется по формуле Е_ф = hν. Выражение для величины импульса фотона р_ф получают из формулы, связывающей энергию и импульс частицы (1.21), полагая m_o = 0:
, (2.9)
где k = 2π/λ – волновое число, равное числу длин волн λ, укладывающихся на длине 2π.

Важно подчеркнуть, что все три корпускулярные характеристики фотона: энергия, масса и импульс – связаны с волновой характеристикой излучения – его частотой ν. Эта связь не случайна. Она имеет глубокую причину, которую выясним позднее.

2.10. Эффект Комптона
В 1923 г. Комптон, исследуя рассеяние рентгеновских лучей (см. гл. 9) различными веществами, обнаружил, что в рассеянных лучах содержится наряду с излучением с первоначальной длиной волны λ излучение с большей длиной волны λ^/. Это явление получило название эффекта Комптона. Отметим, что в этом эффекте особенно отчетливо проявляются корпускулярные свойства излучения.

Схема установки для изучения эффекта Комптона приведена на рис. 2.10. Излучение рентгеновской трубки РТ, образующееся при торможении электронов на антикатоде А, проходит через диафрагму Д. Выделяемый ей узкий пучок рентгеновского излучения направляется на рассеивающее вещество РВ. Рассеянные под углом Θ рентгеновские лучи, пройдя через щель Щ, попадают на рентгеновский спектрограф РС.

Рассмотрим результаты исследований, а именно зависимость изменения длины волны рассеянного рентгеновского излучения от угла рассеяния Θ и типа рассеивающего вещества.

На рис. 2.11,а представлено первичное рентгеновское излучение с длиной волны λ как спектральное распределение его интенсивности J. На рис. 2.11,б и рис. 2.11,c показан спектральный состав рассеянного на графите излучения при углах рассеяния Θ, равных 90⁰ и 130⁰ соответственно. Наблюдаются следующие особенности эффекта.

1. В рассеянном излучении присутствует как первоначальная

линия с длиной волны λ, так и линия с длиной волны λ^/(λ^//), смещенной в сторону длинных волн.

2. Величина смещения Δλ = (λ^/-λ) зависит от угла рассеяния Θ, а именно она возрастает при увеличении этого угла.

3. При увеличении угла рассеяния Θ интенсивность несмещенной линии падает, а интенсивность смещенной линии возрастает.

На рис. 2.12,а показано спектральное распределение интенсивности первичного рентгеновского излучения с длиной волны λ. На рис. 2.12,б и рис. 2.12,c дан спектральный состав рассеянного под одним и тем же углом Θ излучения, но различными веществами: литием Li и медью Cu соответственно. Можно наблюдать следующие особенности эффекта.

1. Величина смещения Δλ = (λ^/-λ) не зависит от природы рассеивающего вещества.

2. При возрастании атомного номера рассеивающего вещества интенсивность несмещенной линии возрастает, а интенсивность смещенной линии падает.

Особенности эффекта Комптона не объясняются с волновой точки зрения. Согласно этому подходу, механизм рассеяния состоит в том, что раскачивающиеся электромагнитным полем падающей волны электроны испускают во все стороны вторичное излучение с частотой падающей волны. Следовательно, частоты рассеянного и падающего излучения должны совпадать. Это в опытах не наблюдается.

Особенности эффекта Комптона можно без труда объяснить, если считать, что излучение имеет чисто корпускулярную природу, т. е. представляет собой поток фотонов. При этом рассеяние рентгеновского излучения рассматривать, как процесс упругого столкновения фотонов с практически свободными электронами. В этом случае энергия связи электрона с атомом значительно меньше энергии, которую фотон может передать электрону при соударении с ним. Это условие хорошо выполняется для рентгеновского излучения и легких атомов, поскольку энергия рентгеновского фотона ≈ 10 кэВ, а энергия связи электронов в атоме ≈ 10 эВ.

Рассмотрим процесс упругого соударения фотона со свободным электроном. Пусть на покоящийся свободный электрон с энергией Е_о = m_oc² и импульсом падает фотон с энергией Е_ф = hc/λ и импульсом , значение которого равно р_ф = h/λ. После столкновения электрон будет обладать энергией Е = mc² и импульсом , а фотон – энергией Е_ф^/ = hc/λ^/ и импульсом , величины р_ф^/ = h/λ^/.

Учитывая, что соударение упругое, запишем законы сохранения импульса и энергии:

,
.
Из первого векторного уравнения, используя векторную диаграмму (рис. 2.13) и формулу элементарной тригонометрии («теорема косинусов»), получаем для квадрата величины импульса электрона р² выражение:
,
где угол Θ между векторами и – это угол между направлением распространения первичного и рассеянного излучения (угол рассеяния фотона). Второе уравнение для энергии перепишем в виде

и возведем его левую и правую части в квадрат:
.
Разделим это уравнение на с² и вычтем из него почленно выражение для квадрата величины импульса электрона р². Тогда, учитывая связь Е и р (1.21), получим:

Принимая во внимание (1.19) и (2.9), проведем сокращение некоторых членов. В результате приходим к выражению:
.
Учитывая (2.9), перепишем это выражение в виде
.

Умножая полученное соотношение на , находим формулу для вычисления изменения длины волны Δλ при рассеянии:

, (2.10)
где – это комптоновская длина волны электрона. Ее значение равно Λ_с = 0,0243 Å.

Проанализируем формулу (2.10).

1. Она показывает, что комптоновское смещение Δλ не зависит от длины волны λ падающего излучения. Увеличение длины волны λ^/ при рассеянии определяется только массой рассеивающих частиц m_o и углом рассеяния Θ.

2. Формула не позволяет объяснить увеличение интенсивности J смещенной линии в рассеянном излучении при увеличении угла рассеяния Θ.

3. При рассеянии фотонов на электронах, которые сильно связаны с атомом, обмен энергией и импульсом происходит уже с самим атомом. Поскольку масса атома много больше массы электрона, то комптоновское смещение Δλ будет мало. По мере роста атомного номера увеличивается число электронов с сильной связью. Этим и обусловлено ослабление интенсивности J смещенной линии и увеличение интенсивности J несмещенной линии в спектре рассеяния (рис. 2.12).

4. Относительное изменение длины волны Δλ/ λ при рассеянии видимого света составляет тысячные доли процента от длины волны λ ≈ 5000 Å падающего света, а для рентгеновских лучей это изменение составляет уже проценты, так как λ ≈ 1 Å. Таким образом, для излучения с большой длиной волны вывод классической теории о неизменности длины волны при рассеянии сохраняет свою силу.

следующая страница >>

Екатеринбург 2007

Екатеринбург
2007