Лекция № Матрицы и действия над ними

МБИ, Высшая математика, Элементы алгебры матриц

Адрес сайта-www.dariapiatkina.narod.ru/банковский интситут/высшая математика

Высшая математика

2 семестр

Лекция № 1.

Матрицы и действия над ними.
Введение.

Понятие матрицы и основанный на нём раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное - компактной матричной форме. Также понятие матрицы всем известно по одноимённому кинофильму Матрица. В компьютере файлы картинок хранятся в виде матриц. Форматы jpg, bmp кодируются матрицами. Обработка картинок в Photoshop – это матричная обработка. Раньше существовало такое понятие как матричный принтер. Таблицы Excel – это матричная форма представления результатов.

Матрица размера - прямоугольная таблица чисел, каждый элемент которой имеет 2 индекса ( первый - по строке и второй - по столбцу). Числа, составляющие матрицу, называют элементами матрицы. Матрицы обозначаются большими латинскими буквами A, B, C, D и т.д. Элементы матриц обозначаются маленькими буквами с индексами.
матрица размера
Частные случаи:
- матрица-строка (в матрице одна строка)
- матрица-вектор (в матрице один столбец)

Пример:
матрица размера
к каждому элементу можно обратиться по его индексам (первый-строка, второй-столбец)
Если матрица имеет одинаковое число строк и столбцов, то она называется квадратной.
Пример:
пример квадратной матрицы размера
Квадратная матрица - у которой на главной диагонали 1, а вне главной диагонали 0 называется единичной
- единичная матрица размера 3x3
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Над матрицами больших размеров действия вручную не производятся. Есть специальные компьютерные программы, которые используются для обсчёта матриц. Типичный пример матриц - это таблицы Excel.
Транспонирование – это процедура, при применении которой в матрице меняются местами строки и столбцы. Транспонированная матрица обозначается верхним индексом «T». Если у исходной матрицы размер , то у транспонированной матрицы размер
Пример:
- исходная матрица (

- транспонированная матрица
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
Определитель матрицы – это число, характеризующее матрицу. Если определитель матрицы не равен 0, то говорят, что матрица невырожденная. В противном случае матрицу называют вырожденной. Определитель вычисляется только для квадратных матриц.
Определитель матрицы A обозначают как (det A)

Пусть матрица состоит из одного элемента (т.е. имеет размер )

В этом случае

Пусть матрица A имеет размер

для матрицы - определитель 2-го порядка

Как запомнить формулу для определителя втрого порядка: вычитание идет крест на крест по диагонали
Пример:
(отличен от 0 => матрица невырожденная)
Пусть матрица A имеет размер (метод – разложение по первой строке)

для матрицы - определитель 3-го порядка рассчитывается через определители второго порядка (определители 2 –го порядка рассчитываются по формуле, приведённой выше)

Как запомнить формулу для определителя третьего порядка:

умножается на определитель матрицы , которая получается из матрицы A вычёркиванием строки и столбца с ,
умножается на определитель матрицы, которая получается из матрицы A вычёркиванием строки и столбца с ,
умножается на определитель матрицы , которая получается из матрицы A вычёркиванием строки и столбца с ,
Знаки в формуле чередуются «+», «-», «+»

Пример на вычисление определителя:

СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ (на примере матриц )

- матрицы складываются поэлементно (складываем числа на одинаковых

местах)

!!! Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковый размер (т.е. одинаковое число строк и столбцов)

Пример:

Умножение матриц ( на примере матриц и )

или сокращённо
формула для умножения матриц
- матрицы A и B можно перемножать, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Если матрица A имеет размер , а матрица B имеет размер , то матрица имеет размер . ()

Пример:

(Матрица умножается на матрицу . В результате получается матрица размера )

Получение первой строки матрицы C
() первую строку м-цы A умножаем на первый столбец м-цы B поэлементно и складываем
() первую строку м-цы A умножаем на второй столбец м-цы B поэлементно и складываем
() первую строку м-цы A умножаем на третий столбец м-цы B поэлементно и складываем
() первую строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем
Получение второй строки матрицы C
() вторую строку м-цы A умножаем на первый столбец м-цы B поэлементно и складываем
() вторую строку м-цы A умножаем на второй столбец м-цы B поэлементно и складываем
() вторую строку м-цы A умножаем на третий столбец м-цы B поэлементно и складываем
() вторую строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем
Получение третьей строки матрицы C
() третью строку м-цы A умножаем на первый столбец м-цы B поэлементно и складываем
()третью строку м-цы A умножаем на второй столбец м-цы B поэлементно и складываем
()третью строку м-цы A умножаем на третий столбец м-цы B поэлементно и складываем
() третью строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем
Умножение матрицы на число

-при умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на число

ПРИМЕР:

Обратная матрица
Матрица называется обратной к матрице A, если - в результате умножения получается единичная матрица

!!! Обратная матрица существует, если исходная матрица невырожденная, т.е. . Обратную матрицу можно определить только для квадратных матриц.

Алгоритм поиска обратной матрицы для матрицы
Пусть
-формула для поиска обратной матрицы, где

- определитель матрицы A

- алгебраические дополнения элементов матрицы A

Они ищутся следующим образом:

Как запомнить формулу для обратной матрицы:

т.е. в исходной матрице надо поменять местами элементы на главной диагонали, а у двух оставшихся элементов изменить знак на противоположный

Найдем матрицу обратную к матрице (алгоритм описан выше)

= > => обратная матрица существует
Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы

элементы на главной диаг. переставили местами,

У оставшихся элементов поменяли знаки

Матричные уравнения:
Рассмотрим систему уравнений, состоящую из 5 уравнений ( - неизвестные, остальные коэффициенты – известные числа, цель найти неизвестные )
скалярная форма записи
Используя матрицу , матрицу-вектор B=

и матрицу-вектор ,

можем записать систему уравнений в матричной форме :

Или в сокращённой форме

Если обе части скалярного уравнения домножить на число (это число обратное к – их произведение равно 1) то имеем

Возникает вопрос : как решать матричное уравнение (будем использовать метод решения основанный на умножении на обратную матрицу - она является аналогом обратного числа в матричном случае, т.к. единичной матрице
- произведение двух матриц равно третьей; A, B – известные матрицы,
неизвестная матрица – её надо найти

Домножим обе части уравнения на (обратную матрицу к матрице A) слева

[!!! Это можно делать только в случае если существует (т.е. ) – аналогично со скалярным уравнением (см. выше)].

т.к.
т.к. ( => перемножив и B найдём решение X

Пример 1 (на метод обратной матрицы):
- матричное уравнение

Найдем матрицу обратную к матрице A (алгоритм описан выше)

(см. Алгоритм перемножения матриц)

распишем подробно, как производится умножение:

Проверка (надо подставить полученную матрицу и проверить, что действительно в результате умножения получается матрица B)
- убедиться самим, перемножив матрицы.

Пример 2 (на метод обратной матрицы):
Дано :

- система в скалярном виде. Найти решение системы методом обратной матрицы и сделать проверку, решив систему методом Крамера
Запишем систему в матричном виде:
, где - матрица системы, - столбец свободных коэффициентов,

- столбец неизвестных

- матрица обратима (т.е. обратная матрица существует)
-обратная матрица ищется по алгоритму описанному выше (проверить самим)

- формула для поиска решения методом обратной матрицы

- решение системы

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
Задача 1.

Предприятие производит продукцию трёх видов и использует сырьё двух типов. Норма затрат сырья на единицу продукции каждого типа задана матрицей

-норма затрат сырья i-го типа (кол-во единиц) на единицу продукции j-го типа
Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей- строкой
- стоимость единицы сырья j-го типа
- получим матрицу-строку стоимости единицы продукции каждого типа.

Обозначим полученную матрицу буквой C

Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого типа, 200 единиц продукции второго типа и 150 единиц продукции третьего типа.

Введём матрицу-вектор

, который отражает необходимое количество продукции каждого типа
полные затраты рассчитаны
Задача 2.

Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трёх видов: сапог, кроссовок и ботинок, при этом используется сырьё трёх типов . Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объём расхода сырья на 1 день заданы таблицей:

Вид сырья	Нормы расхода сырья на одну пару, усл.ед.			Расход сырья на 1 день, усл. ед
Вид сырья	сапоги	кроссовки	ботинки	Расход сырья на 1 день, усл. ед
S1	5	3	4	2700
S2	2	1	1	900
S3	3	2	2	1600

Найти ежедневный объём выпуска каждого вида обуви:

Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает пар сапог, пар кроссовок и

пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:

скалярная форма
В матричном виде система выглядит следующим образом:
получаем матричное уравнение,

которое в сокращённом виде записывается как

можно его решить с помощью метода обратной матрицы, рассмотренного выше
Следовательно, фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 – кроссовок и 200 пар ботинок.

Можно это матричное уравнение решить с помощью метода Гаусса, который будет рассмотрен в следующей лекции.