Похожие работы
|
Матрицы и действия над ними - страница №1/1
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.
1. Матрицы (mat) и их виды.
2. Действия над матрицами.
3. Определители и их вычисление.
Матрицей порядка mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
|
|
аij – элемент матрицы
а11, а22, … – эти элементы образуют диагональ матрицы
|
1. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МАТРИЦ:
1. Квадратная – это матрица, у которой число строк равно числу столбцов (m=n).
|
– 2-го порядка
|
– 3-го порядка
|
2. Диагональная – это квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали, равны нулю.
|
;
|
3
Е33=
. Единичная – это квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице (всегда обозначается буквой Е).
|
Е22=
|
|
4
– верхний треугольник
– нижний треугольник
. Треугольная – это матрица, все элементы которой, выше или ниже главной диагонали, равны нулю.
|
|
|
5. Симметрическая – это квадратная матрица, элементы которой симметричны относительно главной диагонали
|
|
|
6
О23=
. Нулевая – это матрица, все элементы которой равны нуль (всегда обозначается – О).
|
|
7
– вектор-столбец
. Вектор – это матрица содержащая одну строку (вектор-строка) или один столбец (вектор-столбец).
|
– вектор-строка
|
|
2. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ:
|
А = (аij); B = (bij); C = (cij).
1. СЛОЖЕНИЕ (складывать можно только матрицы одинаковой размерности):
Amn + Bmn = Cmn, если cij = aij + bij.
|
Вычитание аналогично!
|
2. УМНОЖЕНИЕ НА ЧИСЛО (k):
kAmn = Bmn, если bij = kaij
|
|
Матрица (–А) называется противоположной матрице А.
|
Свойства линейных операций:
1. А+В=В+А
2. А+(В+С)=(А+В)+С
3. А–А=О (О – нулевая матрица)
|
4. А+О=А
5. (А+В)=А+В
6.(+)А=А+А
7. 1А=А
|
3. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ (строка на столбец):
|
AmnBnp=Cmp, если cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.
Элемент матрицы произведения, стоящий на пересечении i-той строки и j-того столбца, равен сумме произведений элементов i-той строки первой матрицы на элементы j-того столбца второй матрицы.
|
Произведения не существует
|
|
Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА.
|
Свойства произведения матриц:
1. (АВ)С=А(ВС)
2. (А+В)С=АС+ВС
|
3. С(А+В)=СА+СВ
4. АЕ=ЕА=А
5. (А)В=А(В)
|
4. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ (АТ):
Чтобы получить транспонированную матрицу, нужно в исходной матрице заменить строки на соответствующие столбцы.
|
А32=
|
Свойства транспонирования:
|
1. (А+В)Т=АТ+ВТ
|
2. (АВ)Т=ВТАТ (!)
|
5. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ (только для квадратной матрицы):
|
А2=АА;
|
А3=А2А;
|
Аn=Аn-1А;
|
|