Похожие работы
|
Элементы теории вероятностей руководство к решению задач - страница №3/3
5.4. Задачи для самостоятельного решения
Найти: а) ряд распределения; б) M(X) и D(X); в) построить многоугольник распределения и график F(x). 9. Случайная величина имеет следующую функцию распределения F(x): Требуется: а) найти плотность вероятностей случайной величины ; б) построить графики F(x) и ; в) определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины ; г) найти вероятность попадания случайной величины на отрезок [1; 1,5]. 10. Функция распределения случайной величины имеет вид () (закон Коши). Определить постоянные A и B, найти плотность вероятностей . 11. Дана функция При каком значении функция может быть принята за плотность вероятности случайной величины X? Определить это значение , найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответствующей случайной величины X. 12. Случайная величина имеет следующую плотность вероятностей: Определить: а) коэффициент A; б) функцию распределения F(x); в) вероятность попадания случайной величины в интервал (2; 3); г) вероятность того, что при четырех независимых испытаниях величина ни разу не попадает в интервал (2; 3). 13. Случайная величина X задана функцией распределения Найти: а) плотность вероятности ; б) M(X) и D(X); в) вероятности P(X = 0,5), P(X<0,5), P(X1); г) построить графики и F(x). 14. Функция распределения непрерывной случайной величины X задана следующим образом: Требуется: а) найти плотность вероятностей величины X; б) построить графики F(x) и ; в) найти , и ; г) определить вероятность попадания случайной величины X в интервал . 15. Случайная величина X распределена по закону Коши: . Найти: а) коэффициент A; б) функцию распределения F(x); в) вероятность P(X1). Существует ли для случайной величины X математическое ожидание и дисперсия? 16. Дана функция распределения случайной величины X: а) Найти плотность вероятности ; построить графики и F(x); убедиться в том, что X – непрерывная случайная величина; б) Найти вероятности P(X=1), P(X<1), P(1X2); в) вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), моду и медиану . 17. Скорость молекул газа имеет плотность вероятности (закон Максвелла) (). Найти математическое ожидание и дисперсию скорости молекул, а также величину A при заданном h. 18. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины: Определить значение , моду и медиану. 19. Случайная величина X задана функцией распределения Найти математическое ожидание M(X), моду и медиану . 20. Случайная величина X задана плотностью вероятности на интервале . Вне этого интервала . Найти моду, медиану и математическое ожидание. §6. Важнейшие законы распределения случайных величин6.1. Биномиальный закон распределенияДискретная случайная величина X имеет биномиальное распределение (или распределена по биномиальному закону), если она принимает значения 0, 1, 2, …, n, с соответствующими вероятностями: , где , , . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей биномиальное распределение, находятся по формулам: . (10) Из формулы Бернулли следует, что случайная величина – число наступлений события в независимых испытаниях () – распределена по биномиальному закону. 6.2. Закон распределения ПуассонаДискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона (или распределена по закону Пуассона) с параметром , если она принимает бесконечное, но счетное число значений: 0, 1, 2, …, m, …, с соответствующими вероятностями , где m = 0, 1, 2, … , . (11) Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей распределение Пуассона, находятся по формулам: . Распределение Пуассона является предельным для биномиального закона, когда число испытаний , а вероятность события , при условии, что произведение - постоянная величина. При этих условиях (т. е. при , , ) величина , определяемая по формуле Бернулли, стремится к вероятности , определяемой по закону Пуассона. Поэтому закон распределения Пуассона является хорошим приближением биномиального закона в случае, когда число опытов велико, а вероятность события A в каждом из них мала. В связи с этим закон распределения Пуассона называют часто законом редких событий. 6.3. Равномерный закон распределенияНепрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его: (12) Равномерное распределение случайной величины X на участке [a, b] (или (a, b)) обозначают следующим образом: . Функция распределения F(x) для равномерно распределенной случайной величины X, имеет вид: Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей равномерное распределение, находятся по формулам: ; . (13) Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины X на интервал вычисляется по формуле: . 6.4. Показательный (экспоненциальный) закон распределенияНепрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид: где - параметр данного распределения. Функция распределения F(x) случайной величины X, распределенной по показательному закону, находится по формуле Важнейшие числовые характеристики показательного распределения определяются равенствами: , , . (15) Для показательного закона распределения вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), определяется формулой . 6.5. Нормальный закон распределенияНормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения. Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности имеет вид: . Кривую нормального закона распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса. Нормальная кривая изображена на рис. 9. Рис. 9 Тот факт, что случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами , коротко записывают так: . Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по нормальному закону, равно параметру этого закона, т. е. , а дисперсия – параметру , т. е. . Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и , т. е. случайной величины называется стандартным или нормированным. Плотность стандартной случайной величины X имеет вид и называется функцией Гаусса. Вероятность попадания в интервал (a, b) случайной величины X, подчиненной нормальному закону, определяется формулой где функция называется функцией Лапласа (или интегралом вероятности). Эту функцию называют также функцией ошибок. Функция Лапласа обладает следующими свойствами: 1. , т. е. функция - нечетная; 2. ; 3. . Таблицу значений функции Лапласа можно найти в приложении 1. Вероятность попадания случайной величины в интервал , симметричный относительно центра рассеяния , находится по формуле В частности, , т. е. практически достоверно, что случайная величина принимает свои значения в интервале . Это утверждение называется “правилом трех сигм”. 6.6. Решение задачПример 1. 30% изделий, выпускаемых данным предприятием, нуждается в дополнительной регулировке. Наудачу отобрано 200 изделий. Найти среднее значение и дисперсию случайной величины X – числа изделий в выборке, нуждающихся в регулировке. Решение. Случайная величина X имеет биномиальное распределение. Здесь n=200, p=0,3, q=0,7. Используя формулы (10), находим: , . Пример 2. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно два вызова? Решение. За одну минуту АТС в среднем получает вызовов. Считая, что случайное число X вызовов, поступивших на АТС за одну минуту, подчиняется закону Пуассона, по формуле (11) найдем искомую вероятность . Пример 3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Какова вероятность того, что число попаданий при 200 выстрелах составит не менее 5 и не более 10? Решение. Пусть случайная величина X – число попаданий в цель. Так как вероятность p=0,01 очень мала, а число выстрелов (опытов) достаточно велико, то искомую вероятность будем находить, используя формулу Пуассона (см. (11)). По теореме сложения вероятностей . Учитывая, что , , получим . Пример 4. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты? Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда. Решение. Случайная величина X – время ожидания поезда – на временном отрезке [0, 2] имеет равномерный закон распределения (см. (12)). Тогда вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты . По формулам (13) найдем мин., . мин. Пример 5. Случайная величина T – время работы радиолампы – имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет не меньше 600 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов. Решение. По условию задачи математическое ожидание случайной величины T равно 400 часам, следовательно, . (см. (15)). Тогда с учетом формулы (14) искомая вероятность . Пример 6. Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром мм. Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм. Решение. Воспользуемся формулой (17). В нашем случае , , следовательно, . Пример 7. Пусть X – случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Какова вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один раз в интервал (1,2)? Решение. Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал (1,2) при одном испытании. Согласно формуле (16) имеем: . Тогда вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал (1,2) при одном испытании равна 1-0,3811=0,6189, а при четырех испытаниях . Значит, искомая вероятность . 6.7. Задачи для самостоятельного решения
ОтветыЗаконы распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных величин
в) ; ; г) . 10. ; ; . 11. ; ; . 12. а); б) ; в) ; г) . 13. а) ; б) ; ; в) ; ; . б) ; ; ; в) . 15. а); ; в). и не существуют, так как выражающие их интегралы расходятся. 16. а) ; б) ; ; ; в) ; ; ; . 17. ; ; . 18. ; . 19. ; ; . 20. . Важнейшие законы распределения случайных величин
8. мин.; мин. 9. ; . 10. . 11. . 12. ; . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. . 20. ; ; дней. 21. . 22. . 23. . 24.; . 25. . 26. . 27. . 28. . 29. г. 30. . ПриложенияПриложение 1Значения функции Лапласа Приложение 2Значения функции Пуассона Литература
<< предыдущая страница |
|