Название работы	Кол-во страниц	Размер
Элементы теории вероятностей руководство к решению задач	6	687.85kb.
§ Аксиомы теории вероятностей	1	41.97kb.
Рабочая учебная программа По дисциплине: Избранные главы теории вероятностей...	1	145.3kb.
О первой попытке введения теории вероятностей в школу	1	145.69kb.
Программа экзамена по теории вероятностей и математической статистике	1	19.13kb.
Дополнительные главы теории вероятностей	1	21.48kb.
За цикл работ «Асимптотические методы теории вероятностей»	1	10.01kb.
Вопросы по теории вероятностей	1	217.14kb.
Конспект «Предмет теории вероятностей. События. Вероятность события»	1	77.96kb.
Формальные грамматики и языки. Элементы теории трансляции.	5	1111.71kb.
Метод расщепления в задаче динамики	1	37.43kb.
Понятие непрерывной случайной величины. Основные непрерывные распределения.	1	107.22kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ЧАСТЬ II

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано методической комиссией

механико-математического факультета для студентов ННГУ, обучающихся по специальностям 020100.62 «Химия», 240100.62 «Химическая технология и биотехнология»

Нижний Новгород

2012

УДК 519.21

ББК В 171

Ш 55

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. ЧАСТЬ II. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Ш 55 Составители: Шишина В.Т., Филиппова Н.М.: Учебно-методическое пособие.- Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012 – 35 с.

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент В.А. Зорин.

В настоящем учебно-методическом пособии приводятся краткие теоретические сведения и формулы, а также подробные решения типовых задач и достаточно большое количество задач с ответами для самостоятельного решения одного из разделов теории вероятностей «Случайные величины».

Цель пособия - помочь студентам лучше осмыслить теоретический материал и привить навыки в его использовании к решению конкретных задач.

Учебно-методическое пособие, предназначенное для студентов химического факультета, будет полезно и студентам других факультетов ННГУ, а также студентам вузов, изучающим высшую математику, и преподавателям для проведения практических занятий.

Ответственный за выпуск: председатель методической комиссии механико-математического факультета ННГУ, кандидат физ.-мат. наук, доцент Н.А. Денисова.

УДК 519.21

ББК В 171

Ш 55

Содержание

Введение

Настоящее учебно-методическое пособие написано авторами на основе многолетнего опыта преподавания теории вероятностей в общем курсе “Высшая математика” на химическом факультете ННГУ.

Учебно-методическое пособие содержит краткие теоретические сведения, такие как понятие случайной величины, законы распределения случайных величин, функция распределения, числовые характеристики случайных величин, а также важнейшие законы распределения случайных величин.

Пособие включает в себя подробно решенные типовые задачи и достаточно большое количество разнообразных задач с ответами для самостоятельной работы.

Данное учебно-методическое пособие носит учебный характер. Его цель – помочь студентам лучше усвоить общие теоретические положения и развить навыки в их применении при решении конкретных задач.

§1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины

Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее, до опыта, неизвестно, какое именно.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита – , , , …, а принимаемые ими значения - соответствующими малыми буквами .

Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений: называется дискретной или прерывной случайной величиной.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, бесконечное несчетное множество возможных значений которой есть некоторый промежуток (конечный или бесконечный) числовой оси. (Строгое определение непрерывной случайной величины будет дано ниже).

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

§2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения

Закон распределения может иметь разные формы. Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины X является таблица (матрица), в которой в порядке возрастания перечислены все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.

или , где ; .

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины X.

Графическое изображение ряда распределения (см. рис.1) называется многоугольником (или полигоном) распределения.

Рис. 1

§3. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины

Одним из наиболее удобных и универсальных способов задания закона распределения случайной величины X является функция распределения.

Функцией распределения (или интегральной функцией распределения) случайной величины X называется функция , которая для любого числа равна вероятности события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, меньшее, чем , т. е. .

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее данной точки x (рис. 2).

Рис. 2

Функция F(x) существует как для дискретных, так и непрерывных случайных величин.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. ;

2. - неубывающая функция, т. е. , если ;

3., ;

4. - непрерывна слева в любой точке x, т. е. , ;

5. .

Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид:

,

где суммирование ведется по всем индексам , для которых . Для дискретной случайной величины функция распределения есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

§4. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

С помощью функции распределения можно дать более строгое определение непрерывной случайной величины.

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю: . Поэтому для непрерывной случайной величины X имеем

. (*)

Для непрерывных случайных величин кроме функции распределения существует еще один удобный способ задания закона распределения – плотность вероятности.

Пусть функция распределения данной непрерывной случайной величины X непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Плотностью распределения непрерывной случайной величины X (или плотностью вероятности, или просто плотностью) называется функция .

Функцию называют также дифференциальной функцией распределения.

Плотность распределения любой непрерывной случайной величины неотрицательна, т. е. ; обладает свойством нормированности:

; .

График функции называется кривой распределения.

Функция распределения F(x) выражается через плотность распределения формулой

(1)

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток определяется равенством:

. (2)

§5. Числовые характеристики случайных величин

5.1. Математическое ожидание. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числовые параметры, выражающие наиболее характерные свойства (черты) закона распределения случайной величины. Такие числа носят название числовых характеристик случайной величины.

Математическим ожиданием (или средним значением) (или ) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности этих значений.

Если дискретная случайная величина X принимает конечное число значений , то ее математическое ожидание находится по формуле

(3)

Если же дискретная случайная величина X принимает бесконечное (счетное) число значений, то

, (4)

при этом математическое ожидание существует, если ряд в правой части этой формулы абсолютно сходится, т. е. сходится ряд .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности , находится по формуле

, (5)

при этом математическое ожидание существует, если интеграл в правой части равенства абсолютно сходится (это значит, что сходится интеграл ).

Дисперсией (рассеянием) (или ) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Из определения вытекает часто используемая формула:

.

Если - дискретная случайная величина, то ее дисперсия вычисляется по формуле:

, (т. е. ) (6)

в случае конечного числа значений, принимаемых случайной величиной X, и по формуле

, (т. е. ) (7)

в случае счетного числа значений.

Если X - непрерывная случайная величина с плотностью , то

(или ). (8)

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется величина .

Среднее квадратическое отклонение есть мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.
следующая страница >>