Рабочая учебная программа По дисциплине: Избранные главы теории вероятностей По направлению: 010900 «Прикладные математика и физика»

Министерство науки и образования Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Московский физико-технический институт (государственный университет)»

МФТИ (ГУ)
«Утверждаю»

Проректор по учебной работе

_______________ Д.А.Зубцов

«___»______________ 20___ г.

Рабочая УЧЕБНАЯ Программа
По дисциплине: Избранные главы теории вероятностей

По направлению: 010900 «Прикладные математика и физика»

Профиль подготовки: инфокоммуникационные и вычислительные системы и технологии

Факультет радиотехники и кибернетики

Кафедра проблем передачи и обработки информации

Курсы: 3 и 4 (бакалавриат)

Семестры: осенний и весенний Простой зачёт: 6 семестр

Экзамен: 7 семестр
Трудоёмкость: вариативная часть – 4 зач.ед.,

в том числе:

лекции: вариативная часть – 66 часов

самостоятельная работа: вариативная часть – 33 часа

подготовка к экзамену: вариативная часть – 1 зач.ед.
ВСЕГО АУДИТОРНЫХ часов 66
Программу составили к.т.н. А.А.Сафонов, к.ф.-м.н. А.Н.Соболевский
Программа обсуждена на заседании кафедры 28 мая 2012 года

Заведующий кафедрой А.П. Кулешов

академик РАН

Объем учетной нагрузки и виды отчетности

Вариативная часть, в том числе:	4 зач.ед.
Лекции	66 часов
Самостоятельные занятия	33 часа
Промежуточная аттестация	простой зачет в 6-м семестре
Итоговая аттестация	экзамен в 7-м семестре (1 зач.ед.)
ВСЕГО	4 зач.ед. (99 часов + 1 зач.ед.)

Цели и задачи дисциплины

Цель дисциплины – освоение студентами избранных глав теории вероятностей, в частности, теории массового обслуживания и теории случайных процессов.

Задачи:

фундаментальная подготовка студентов в двух областях теории вероятностей: теории массового обслуживания (ТМО) и теории случайных процессов (ТСП);
построение у студентов навыков применения ТМО и ТСП в исследовании телекоммуникационных сетей и систем;
оказание консультаций студентам в проведении собственных теоретических и экспериментальных исследований телекоммуникационных сетей и систем.

Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Избранные главы теории вероятностей» включает в себя разделы, которые могут быть отнесены к вариативной части цикла Б.3 УЦ ООП.

Дисциплина «Избранные главы теории вероятностей» базируется на циклах Б.2 и Б.3 в базовой и вариативной частях.

Компетенции, формированию которых способствует освоение дисциплины

Освоение дисциплины «Избранные главы теории вероятностей» способствует формированию следующих общекультурных и общепрофессиональных интегральных компетенций бакалавра:

а) общекультурные (ОК):

способность анализировать научные проблемы и физические процессы, использовать на практике фундаментальные знания, полученные в области естественных наук (ОК-1);
способность осваивать новую проблематику, терминологию, методологию и овладевать научными знаниями и навыками самостоятельного обучения (ОК-2);
способность логически точно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь, формулировать свою точку зрения; владение навыками ведения научной и общекультурной дискуссий (ОК-4).

б) профессиональные (ПК):

способность применять в своей профессиональной деятельности знания, полученные в области физических и математических дисциплин, включая дисциплины: информатика, программирование и численные методы; физические основы получения, хранения, обработки и передачи информации; высшая математика (ПК-1);
способность понимать сущность задач, поставленных в ходе профессиональной деятельности, и использовать соответствующий физико-математический аппарат для их описания и решения (ПК-3);
способность использовать знания в области физических и математических дисциплин для дальнейшего освоения дисциплин в соответствии с профилем подготовки (ПК-4);
способность применять теорию и методы математики для построения качественных и количественных моделей (ПК-8);
способность работать в коллективе исполнителей над решением конкретных исследовательских и инновационных задач (ПК-9).

Знания, умения и навыки, формированию которых способствует освоение дисциплины

Освоение дисциплины «Избранные главы теории вероятностей» способствует формированию комплекса знаний и навыков, благодаря которым обучающийся должен

а) знать:

основные понятия и утверждения теории массового обслуживания (ТМО);
основные понятия и утверждения теории случайных процессов (ТСП);
современные направления развития теории вероятностей;

б) уметь:

строить математические модели процессов в телекоммуникационных сетях и системах;
применять математический аппарат ТМО и ТСП для решения научно-исследовательских задача в области телекоммуникационных сетей и систем.

в) владеть:

навыком освоения большого объема информации;
навыками постановки научно-исследовательских задач и аналитического моделирования процессов и явлений в области телекоммуникационных сетей и систем.

Структура и содержание дисциплины

Лекции

№ п.п.	Тема	Число аудиторных часов	Число часов самостоятельной работы
1	Элементарные и составные события. Дискретные случайные величины, их распределения и совместные распределения, моменты. Маргинальные и условные распределения. Независимые случайные величины. Производящие функции распределения вероятности и моментов. Поведение производящих функций, мат. ожидания и дисперсии при сложении независимых случайных величин. Вывод биномиального распределения методом производящих функций. Вывод распределения Пуассона из биномиального распределения методом производящих функций.	2	1
2	Непрерывные случайные величины. Кумулятивная функция распределения вероятности (к.ф.р.), функция плотности вероятности (ф.п.в.) и характеристическая функция распределения вероятности (х.ф.). Абсолютно непрерывные и сингулярные распределения. Совместное распределение, маргинальные и условные распределения в непрерывном случае, формула полной вероятности, независимость. Поведение х.ф., мат. ожидания и дисперсии при сложении случайных величин. Логарифм х.ф. (характеристический показатель) и кумулянты случайной величины. Экспоненциальное распределение, его характеристическое свойство («сколько ни ждешь, осталось ждать еще столько же»). Гамма-распределение как сумма экспоненциальных распределений.	2	1
3	Классификация потоков событий. Пуассоновский поток. Поток Пальма. Прореживание пуассоновских потоков. Помеченный пуассоновский поток. Суперпозиция пуассоновских потоков.	2	1
4	Основные понятия теории массового обслуживания. Формула Литтла. Система М/М/1. Передача в канале без шума и длиной пакетов с экспоненциальным распределением как система M/M/1. Оценка среднего времени ожидания пакета в очереди.	2	1
5	Передача пакетов равной длины по беспроводному каналу с белым шумом как система B/B/1. Входной поток малой интенсивности как on-off-процесс, передача по каналу как бернуллиевский процесс с вероятностью p, отражающей уровень шума в канале. Оценка среднего и дисперсии времени передачи пакета и пропускной способности канала в зависимости от уровня шума.	2	1
6	Система M/G/1. Оценка среднего времени ожидания пакета в очереди методом производящих функций.	2	1
7	Предельные теоремы. Среднее выборки и дисперсия выборки. Неравенства Маркова, Чебышева, закон больших чисел. Слабая сходимость случайных величин. Непрерывность х.ф. относительно слабой сходимости (без доказательства, но с обсуждением основных идей). Центральная предельная теорема (вывод с помощью х.ф.). Закон больших чисел в форме Хинчина (через х.ф.).	2	1
8	Нормальное распределение и распределение хи-квадрат. Нормальное распределение, гауссовы векторы. Распределение хи-квадрат, число его степеней свободы. Критерий хи-квадрат. Пример проверки статистической гипотезы: бомбардировки Лондона (по В. Феллеру)	2	1
9	Цепь Маркова с конечным числом состояний. Граф цепи Маркова и матрица вероятностей перехода. Стационарное распределение цепи Маркова. Принцип детального равновесия, обратимые цепи Маркова.	4	2
10	Моделирование процесса переключения сигнально-кодовых конструкций при передаче в беспроводном канале цепью Маркова. Оценка стационарных вероятностей передачи на каждой СКК.	4	2
11	Обнаружение сетей (network discovery) с помощью биконов. Передача биконов без прослушивания (метод ALOHA) и с прослушиванием беспроводной среды (метод CSMA/CA). Оценка вероятности успешной передачи бикона и среднего числа биконов, переданных за окно передачи.	4	2
12	Эргодическая теорема для цепей Маркова. Существование и единственность стационарного распределения в общей неприводимой непериодической цепи Маркова.	4	2
13	Вероятностное пространство, алгебра событий, процессы и потоки алгебр.	2	1
14	Случайное блуждание и процесс Винера как его предел.	2	1
15	Описание статистики случайного процесса в терминах корреляционных функций. Теорема Колмогорова (без доказательства).	2	1
16	Марковскме процессы. Уравнение Смолуховского. Диффузионные процессы и уравнение Фоккера-Планка (с выводом).	4	2
17	Краевые условия для уравнения Фоккера-Планка. Распределение времени выхода. Равновесное распределение вероятности, обратимость, распределение Гиббса.	2	1
18	Марковские процессы со скачками. Уравнение Колмогорова-Феллера.	4	2
19	Уравнение Ланжевена. Процесс Орнштейна-Уленбека.	2	1
20	Стохастические дифференциальные уравнения. Стохастическое дифференциальное исчисление по Ито и по Стратоновичу.	4	2
21	Спектральное разложение случайной функции. Стационарные случайные функции, спектральное условие стационарности.	4	2
22	Теорема Винера-Хинчина. Формула Найквиста, "белый" и "цветной" шум.	4	2
23	Стационарные случайные процессы и эргодическая теория динамических систем.	4	2
ВСЕГО		66 часов	33 часа
ИТОГО		99 часов

Виды самостоятельной работы

№ п.п.	Темы	Количество часов
1	Изучение теоретического курса – выполняется самостоятельно каждым студентом по итогам каждой из лекций, результаты контролируются преподавателем на лекционных занятиях, используются конспект (электронный) лекций, учебники, рекомендуемые данной программой.	10
2	Решение задач по заданию преподавателя – решаются задачи, выданные преподавателем, используются конспект (электронный) лекций, учебники, рекомендуемые данной программой.	23
3	Подготовка к простому зачету и экзамену	1 зач.ед.
ВСЕГО		33 час. + 1 зач.ед.

Образовательные технологии

№ п/п	Вид занятия	Форма проведения занятий	Цель
1	Лекция	Изложение теоретического материала	Получение теоретических знаний по дисциплине
2	Самостоятельная работа студента	Самостоятельная работа	Получение дополнительных знаний и подготовка к зачету и экзамену

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Перечень контрольных вопросов для сдачи простого зачета в 6-ом семестре

№ п.п.	Тема
1	Распределение вероятности на множестве натуральных чисел: каким условиям удовлетворяет, как задается (перечислите все известные вам способы), какими параметрами может быть охарактеризовано.
2	Распределение вероятности на числовой прямой: каким условиям удовлетворяет, как задается (перечислите все известные вам способы), какими параметрами может быть охарактеризовано.
3	Совместное распределение вероятности нескольких случайных величин. Маргинальные и условные распределения, независимость.
4	Моменты и кумулянты случайных величин: определения и формулы для выражения одних через другие.
5	Потоки событий, марковское свойство и рекуррентность
6	Основные понятия теории массового обслуживания
7	Передача в канале без шума и длиной пакетов с экспоненциальным распределением как система M/M/1
8	Передача пакетов равной длины по беспроводному каналу с белым шумом как система B/B/1
9	Система M/G/1. Оценка среднего времени ожидания пакета в очереди методом производящих функций.
10	Закон больших чисел (формулировка и доказательство при помощи неравенства Чебышева).
11	Центральная предельная теорема (формулировка и доказательство сходимости к характеристической функции нормального распределения).
12	Серия однотипных вопросов о каждом из основных распределений, встречающихся при решении задач: биномиальное, распределение Пуассона, геометрическое, отрицательное биномиальное, экспоненциальное, гамма-распределение, нормальное распределение, распределение хи-квадрат, распределение Коши. Для каждого распределения надо дать определение или описание вероятностного эксперимента, приводящего к появлению случайной величины, распределенной по данному закону, вид функции плотности вероятности и характеристической функции, формулы для основных статистических характеристик (мат. ожидание, дисперсия, кумулянты первых четырех порядков).
13	Цепь Маркова с конечным числом состояний: определение при помощи помеченного графа и матрицы, вероятности перехода и маргинальные вероятности, стационарные распределения.
14	Моделирование процесса переключения сигнально-кодовых конструкций при передаче в беспроводном канале цепью Маркова.
15	Передача биконов без прослушивания беспроводной среды (метод ALOHA)
16	Передача биконов с прослушиванием беспроводной среды (метод CSMA/CA)
17	Эргодическая теорема для цепей Маркова: классификация состояний и доказательство для неприводимой нециклической цепи.

Перечень контрольных вопросов для сдачи экзамена в 7-ом семестре

В программу экзамена включаются вопросы 2, 3, 5-9. 11, 13, 17 из программы зачета.
18	Вероятностное пространство, алгебра событий, процессы и потоки алгебр.
19	Случайное блуждание и процесс Винера как его предел.
20	Описание статистики случайного процесса в терминах корреляционных функций. Теорема Колмогорова (без доказательства)
21	Марковские процессы. Уравнение Смолуховского. Условия, при которых оно переходит в уравнение Фоккера-Планка (диффузионный процесс), и вывод последнего уравнения из уравнения Смолуховского.
23	Равновесное распределение вероятности, обратимость, распределение Гиббса.
24	Марковские процессы со скачками. Уравнение Колмогорова-Феллера
25	Уравнение Ланжевена для импульса броуновской частицы («поршень Рэлея»). Процесс Орнштейна-Уленбека.
26	Стохастические дифференциальные уравнения. Стохастический дифференциал Ито. Примеры стохастических дифференциалов.
27	Спектральное разложение случайной функции. Стационарные случайные функции, спектральное условие стационарности
28	Теорема Винера-Хинчина. Формула Найквиста, "белый" и "цветной" шум
29	Стационарные случайные процессы и эргодическая теория динамических систем

Материально-техническое обеспечение дисциплины

Необходимое оборудование для лекций и практических занятий: доска, ноутбук и мультимедийное оборудование (проектор или плазменная панель).

Обеспечение самостоятельной работы: электронные ресурсы, включая доступ к базам данных:

Statistics 110: Probability by Harvard University, http://itunes.apple.com/us/course/statistics-110-probability/id502492375

Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

Основная литература

Ширяев А.Н. Вероятность. Любое издание.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Любое издание.

Дополнительная литература

Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа. 1990.
Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986.
Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1986.

Пособия и методические указания
Рекомендуются следующие сборники задач:

Ширяев А. Н. Задачи по теории вероятностей. М.: МЦНМО, 2011.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Любое издание (разделы задач в конце каждой главы).
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика: Основание информатики. М.: Мир, 1998. Гл. 7, 8 и задачи к ним.
Ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 1990 (разделы задач в конце каждой главы).