Понятие непрерывной случайной величины. Основные непрерывные распределения. Функции от непрерывной случайной величины

РГТУИП, теория вероятностей, занятие 6

Занятие № 6.
Тема: Понятие непрерывной случайной величины. Основные непрерывные распределения. Функции от непрерывной случайной величины

Теория

Непрерывные случайные величины

Множество значений непрерывной случайной величины непрерывно. Это либо отрезок, либо луч, либо вся числовая прямая R.

Непрерывную случайную величину как и случайную величину любого типа (см. теорию к л.р.1) можно задать с помощью функции распределения .

Функция распределения непрерывной с.в. в отличии от дискретной всегда непрерывна. Помимо функции распределения непрерывная случайная величина может быть задана с помощью плотности

Плотность -это функция обладающая следующим набором св-в:

Св-ва плотности:

(при ) Плотность –это коэффициент для расчёта вероятности попадания с.в. в маленький интервал .
Устремим в св-ве 2

Получаем: -конкретные значения для непрерывной случайной величины не прогнозируются

Для непрерывной случайной величины можно прогнозировать только вероятность попадания в интервал

Расчёт вероятности попадания в интервал через плотность

вероятность попадания в интервал не зависит от его типа

Расчёт вероятности попадания в интервал через функцию распределения

вероятность попадания в интервал не зависит от его типа (т.е. от того принадлежат или не принадлежат концы интервалу)

Условие нормировки:

Плотность случайной величины и функция распределения с.в. связаны следующим образом:

Числовые характеристики для непрерывных случайных величин

- формула для расчёта математического ожидания

- формула для расчёта дисперсии
-среднее квадратическое отклонение
Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение, а среднее квадратическое отклонение характеризует средний разброс относительно математического ожидания.

Основные непрерывные распределения:

Нормальное распределение:

Плотность нормального распределения с параметрами и (имеет вид:

Функция распределения нормального распределения с параметрами и в явном виде не выражается : её можно записать только как интеграл от плотности:

У нормального распределения --- параметр расположения, а --- параметр масштаба. Параметра формы у нормального распределения нет.

Графики плотности нормального распределения

График сплошной соответствует значению , а график пунктирный соответствует значению При изменении параметра m график сдвигается вдоль оси x.

График плотности нормального распределения

График сплошной соответствует значению , а график пунктирный

При уменьшении параметра график плотности сжимается, а при увеличении -растягивается.
Гистограмма для выборки из нормального распределения :
Объём выборки=600.

Гистограмма относительных частот для выборки из нормального распределения : с наложенной плотностью нормального распределения:

Нормальное распределение имеет рост человека, вес человека, погрешность измерений некоторой величины и т.д.
Расчёт вероятности попадания нормальной случайной величины в интервал (a;b)
Пусть с.в. Y имеет нормальное распределение с параметрами m и .

Тогда

- расчёт через собственную функцию распределения

- расчёт через функцию распределения стандартно нормального распределения или через интеграл Лапласа.

Необходимость расчёта по второй формуле связана с тем, что функция распределения для нормального распределения в явном виде не выражается (т.е. имеет представление только в виде интеграла). Для функции существуют таблицы, по которым для каждого x можно найти значение для этой функции.

(Замечание: и при )
-числовые характеристики нормального распределения.

Равномерное распределение.

Плотность равномерного распределения на отрезке [a;b]:

Функция распределения равномерного распределения на отрезке [a;b]

График плотности распределения для равномерного распределения на отрезке

[1;3]

График функции распределения для равномерного распределения на отрезке

[1;3]

Гистограмма для выборки из равномерного распределения на отрезке [0;10]

Объём выборки равен 600 наблюдений.

Гистограмма относительных частот с наложенной теоретической плотностью для выборки из равномерного распределения на отрезке [0;10]/

Объём выборки равен 600 наблюдений.

числовые характеристики для равномерного распределения.

3. Экспоненциальное распределение
Плотность экспоненциального распределения с параметром .

Функция распределения для экспоненциального распределения с параметром .

Экспоненциальное распределение используется для моделирования времени между поступлениями заявок в систему (например, звонков на АТС или запросов в базу данных)

График плотности экспоненциального распределения с параметром

График функции распределения для экспоненциального распределения с параметром

Гистограмма для выборки из экспоненциального распределения с параметром

Объём выборки =600 наблюдений.

Гистограмма относительных частот с наложенным графиком теоретической плотности распределения для выборки из экспоненциального распределения с параметром Объём выборки =600 наблюдений.

числовые характеристики для экспоненциального распределения

Задачи на тему «Непрерывные случайные величины»

Задача 1.(на использование св-в плотности)
Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения

Найти

1).

2). ,

3).

4).

Вероятности рассчитать 2-мя способами: через функцию распределения и через найденную в пункте 1 плотность
Решение:

1).

2). -расчёт через функцию распределения

-расчёт через плотность

3). -расчёт через функцию распределения

- расчёт через плотность

4). расчёт через функцию распределения

- расчёт через плотность

Задача 2. (на использование св-в плотности)
Непрерывная случайная величина задана своей плотностью:

Найти:

const a
функцию распределения
-рассчитать 2-мя способами: через плотность и через функцию распределения

Решение:
1).Константа всегда ищется из условия нормировки:
-Условие нормировки в общем виде
Условие нормировки для нашего конкретного вида плотности

Отсюда получаем

Таким образом, плотность имеет вид:
2).Поиск функции распределения:

3). Поиск вероятности попадания в интервал

-расчёт через функцию распределения

- расчёт через плотность

Задача 3.

С.в. X имеет нормальное распределение с параметрами и . Определить вероятность попадания с.в. в интервал (1,5).

Решение:

При решении будем использовать тот факт, что, если с.в. имеет нормальное распределение с параметрами и , то случайная величина имеет стандартное нормальное распределение. Т.е. в нашем случае с.в. имеет стандартно нормальное распределение.

Задача 4. С.в. задана своей плотностью

Найти функцию распределения с.в. .

Решение:

Таким образом,

Задача 5.
Непрерывная случайная величина распределена по экспоненциальному закону с параметром . Найти вероятность попадания этой случайной величины в интервал (0,2).
Решение:

Плотность случайной величины имеет вид:

Вероятность попадания в интервал:

1 способ расчёта

2 способ расчёта

Функции от непрерывной случайной величины - монотонный случай.

Пусть --- непрерывная случайная величина и

, где --- некоторая функция
либо вся , либо её непрерывное подмножество. Говорят, что плотность с.в. сосредоточена на V. Предполагается также, что функция --- монотонна на Рассмотрим новую с.в. Это опять будет непрерывная случайная величина. Ставится задача о нахождении её плотности.
Для нахождения её плотности существует формула:
(*)

область на числовой прямой, в которую переходит область V, при преобразовании .

Далее по найденной плотности можно найти функцию распределения Заметим, что в монотонном случае мы всегда сначала будем искать плотность по формуле (*), а затем по найденной плотности восстанавливать функцию распределения.

§ 6. Задачи на тему «Функции от непрерывных случайных величин».

Задача 1.

Дано: С.в. имеет равномерное распределение на отрезке

--- случайная величина

Найти : --- плотность распределения с.в.

--- функцию распределения с.в. , используя найденную плотность .
Решение:
Запишем плотность распределения с.в. .

Функция монотонна на и ,следовательно, монотонна на отрезке на котором сосредоточена исходная плотность

=
.
Теперь всё готово к записи результата. Руководствуясь выше приведённой формулой (*) , получаем:

Замечание , т.к. в константу что не подставь, она останется константой .
Теперь, зная можно найти :

Замечание:

Если бы с.в. имела равномерное распределение на отрезке , то функцию от неё вообще нельзя рассматривать, т.к. область сосредоточения исходной плотности не входит в область определения функции .

Задача 2.

Функция монотонна на отрезке на котором сосредоточена исходная плотность

Теперь всё готово к записи результата. Руководствуясь выше приведённой формулой (*), получаем:

Замечание , т.к. в константу что не подставь, она останется константой.
Зная плотность распределения с.в. , можно найти её функцию распределения :

Замечание 1:

Если бы с.в. имела равномерное распределение на отрезке , то функцию от неё также можно рассмотреть. Ответ будет точно такой же, как и в случае отрезка , т.к. в этом случае

Замечание 2:

Если бы с.в. имела равномерное распределение на отрезке , то функцию от неё уже придётся исследовать с помощью других методов, т.к. функция не является монотонной на отрезке .