Элементы теории вероятностей руководство к решению задач

5.3. Задачи для самостоятельного решения

Двадцать пять экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 45 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

Охотник сделал три выстрела по кабану. Вероятность попадания первым выстрелом 0,4, вторым – 0,5, третьим – 0,7. Одним попаданием кабана можно убить с вероятностью 0,2, двумя попаданиями – с вероятностью 0,6, а тремя – наверняка. Найти вероятность того, что кабан будет убит.

На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6, от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантированного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока?

На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в среднем продукции с процентом брака 4 %, вторая - продукции с процентом брака 6 %. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие окажется бракованным?

Студент знает 24 билета из 30. В каком случае вероятность вытащить счастливый билет для него больше, если он идет сдавать экзамен первым или если вторым?

В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.

Для участия в студенческих отборных спортивных соревнованиях выделено из первой группы 4, из второй – 6, из третьей – 5 студентов. Вероятности того, что студент первый, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно, равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?

В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.

В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки A, 6 марки B и 4 марки C. Вероятность того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равна: 0,9; 0,8 и 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?

На предприятии, изготавливающем болты, первая машина производит 25 %, вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2 %. а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный? б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?

Турист, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело 5 дорог. Известно, что вероятности выхода из леса за час для различных дорог равны соответственно 0,6; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1. Чему равна вероятность того, что заблудившийся турист пошел по первой дороге, если известно, что он вышел из леса через час?

Группа студентов состоит из a - отличников, b – хорошо успевающих и c – занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 - подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо.. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местонахождения и равны соответственно , , . Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы , для второй - , для третьей - . Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью ; на втором месте – с вероятностью ; на третьем – с вероятностью . Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку, и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

При разрыве снаряда образуются осколки трех весовых категорий: крупные, средние и мелкие, причем число крупных, средних и мелких осколков составляет соответственно 0,1; 0,3; 0,6 общего числа осколков. При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью 0,9, средний – с вероятностью 0,2 и мелкий – с вероятностью 0,05. В броню попал один осколок и пробил ее. Найдите вероятности того, что эта пробоина причинена крупным, средним и мелким осколком.

В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,85. Проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обуви отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это а) сапоги, б) туфли?

На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25 %, второй - 35 %, третий – 40 % всех замков. Брак составляет соответственно 5 %, 4 %, 2%. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный замок является дефектным; б) Случайно выбранный замок является дефектным. Какова вероятность того, что он был изготовлен в первом, втором, третьем цехе?

В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90 %, второй – 85 %, третьей – 75 %. Найти вероятность того, что: а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность, что оно изготовлено третьей фирмой?

В студенческой группе 70 % - юноши. 20 % юношей и 40 % девушек имеют сотовый телефон. После занятий в аудитории был найден кем – то забытый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал: а) юноше; б) девушке?

Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятности их попадания в мишень соответственно равны 0,75 (1-й стрелок) и 0,80 (2-й стрелок). После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что в мишень попал 2-й стрелок?

На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что 1-й автомат дает 0,25 % брака; 2-й – 0,40 %, 3-й – 0,60 %. Какова вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с 1-го автомата поступило 2000, со 2-го - 1500 и с 3-го – 1300 деталей?

В 1-й урне находится 7 белых и 5 синих шаров, а во 2-й – 4 белых и 8 синих. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую 2 шара, а затем из 2-й урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?
В коробке находится 4 новых и 2 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры берут из коробки 2 мяча, а затем их возвращают после игры в коробку. Найти вероятность того, что для второй игры будут вынуты два новых мяча.

В торговую фирму поставляются телевизоры тремя фирмами в соотношении 5:2:3. Телевизоры, поступающие от этих фирм, не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96 %, 92 % и 94 % случаев. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. Какая фирма вероятнее всего поставила данный телевизор?

На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,7 поступает полезный сигнал с помехами, а с вероятностью 0,3 – только одни помехи. Если поступает полезный сигнал с помехами, то устройство регистрирует наличие сигнала с вероятностью ; если только помехи – с вероятностью . Какова вероятность того, что устройство зарегистрирует какой-то сигнал?

Семь студентов, получив билеты, готовятся к ответу экзаменатору. Знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,9, незнание – с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что вызванный наудачу студент сдаст экзамен, если Иванов знает 20 билетов из 30, Петров – лишь 15, а остальные студенты знают все билеты?

В альбоме 7 негашеных и 6 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются 2 марки, подвергаются гашению и возвращаются в альбом. После чего вновь извлекаются 3 марки. Определить вероятность того, что все 3 марки чистые?

При перевозке ящика, в котором находилось 21 стандартных и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

Банк выдал два долгосрочных, десять среднесрочных и восемь краткосрочных кредитов. Известно, что один кредит не был погашен в срок. Найти вероятность того, что им оказался долгосрочный кредит, если вероятность погашения в срок долгосрочного кредита 0,9; среднесрочного – 0,8; краткосрочного – 0,7.

Прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя в течение 10 лет первой микросхемы равна 0,07, а второй – 0,10. Известно, что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что из строя вышла первая микросхема?

Известно, что 90 % изделий, выпускаемых данным предприятием, отвечает стандарту. Упрощенная схема проверки качества продукции признает пригодной стандартную деталь с вероятностью 0,96 и нестандартную с вероятностью 0,06. Определить вероятность того, что: а) взятое наудачу изделие пройдет контроль; б) изделие, прошедшее контроль качества, отвечает стандарту.

В отборочный цех завода поступает 40 % деталей из I цеха и 60 % - из II цеха. В I цехе производится 90 % стандартных деталей, а во II – 95 %. Найти вероятность того, что: а) наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной; б) стандартная деталь изготовлена II цехом.

§6. Схема испытаний Бернулли

6.1. Формула Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие A с одной и той же вероятностью P(A)=p или произойти противоположное событие с вероятностью (такого рода схема испытаний называется схемой Бернулли). Тогда вероятность того, что событие A наступит в этих n испытаниях ровно m раз находится по формуле Бернулли

, m = 0,1,2,…,n, где (13)

Формула (13) выражает так называемое биномиальное распределение.

Из формулы Бернулли, в частности, следует, что вероятность того, что в n испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событие A наступит не менее раз, равна или .

Вероятность наступления события A хотя бы один раз в n испытаниях равна

. (14)

Число () называется наивероятнейшим числом наступлений события A в схеме Бернулли, если для всех m=0,1,2,…,n. Если вероятности p и q отличны от нуля, то число определяется из двойного неравенства

. (15)

Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Если не является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее значение .

Если же - целое число, то имеются два наивероятнейших значения: и .

6.2. Полиномиальное распределение

Пусть производится серия из независимых испытаний (опытов), в каждом из которых может произойти одно и только одно из k событий с соответствующими вероятностями (ясно, что . Тогда вероятность того, что в этих опытах событие появится раз, событие - раз, …, событие - раз, равна

, (16)

где .

Формула (16) задает полиномиальное распределение вероятностей. Заметим, что схема Бернулли является частным случаем полиномиального распределения при , .

6.3. Решение задач

Пример 1. Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет: а) два раза; б) хотя бы один раз.

Решение. Проводится 10 независимых испытаний. Каждое испытание имеет два исхода: шестерка выпадет, шестерка не выпадет. Вероятность выпадения шестерки в каждом испытании постоянна и равна . Таким образом, мы имеем дело со схемой Бернулли.

Для нахождения искомых вероятностей воспользуемся формулой Бернулли (13) и формулой (14) соответственно.

а) Здесь n = 10, m = 2, , . Тогда по формуле (4.1) .

б) По формуле (14) найдем, что .

Пример 2. Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70 %. Найти наивероятнейшее число всхожих семян в партии из 240 семян.

Решение. Наивероятнейшее число всхожих семян находим из условия (15). Поскольку n = 240, p = 0,7 и q = 0,3, то , т.е. . Отсюда следует, что .

Пример 3. В урне 10 красных и 40 синих шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют, а затем шар возвращают в урну. Определить наивероятнейшее число появлений красного шара

Решение. Здесь , , . Используя двойное неравенство (15) при указанных значениях n, p и q, получим ,

т.е. . Таким образом, задача имеет два решения: , .

Пример 4. По мишени, состоящей из внутреннего круга и двух концентрических колец, производится 10 выстрелов из спортивного пистолета. Вероятности попадания в указанные области при каждом выстреле равны соответственно 0,15; 0,22 и 0,13. Определить вероятность того, что при этом будет шесть попаданий в круг, три – в первое кольцо и одно попадание во второе кольцо.

Решение. Пусть событие - попадание в круг при одном выстреле, - попадание в первое кольцо, - попадание во второе кольцо. По условию , , . Всего производится опытов. Определяется вероятность P того, что при этих опытах событие произойдет шесть раз, событие - три раза и событие - один раз. Тогда , , . Поэтому искомая вероятность по формуле (16) равна .

6.4. Задачи для самостоятельного решения

Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна p=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех.

В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет (появится): а) 4 раза; б) ни разу; в) хотя бы один раз.

Что вероятнее выиграть у равносильного противника – шахматиста две партии из четырех или три из шести? Ничьи во внимание не принимаются.

За один цикл автомат изготовляет 10 деталей. За какое количество циклов вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не менее 0,8, если вероятность того, что любая деталь бракованная, равна 0,01?

Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,4. Произведено 10 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

Среди деталей, вырабатываемых рабочим, бывает в среднем 3 % нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 6 деталей две детали будут нестандартными. Каково наивероятнейшее число нестандартных деталей в данной выборке из шести изделий, и какова эта вероятность?

Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2. Найти вероятность того, что из шести малых предприятий за время t сохранятся: а) два; б) более двух.

Производится залп из шести орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырех попаданий.

Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных деталей было равно 50, если вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной, равна 0,1?

Найти наивероятнейшее число наступлений ясных дней в течение первой декады сентября, если по данным многолетних наблюдений известно, что в сентябре в среднем бывает 11 ненастных дней.

Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.

В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 0,7. Найти: а) вероятность того, что в течение года придется заменить 2 лампочки; б) наивероятнейшее число лампочек, которые будут работать в течение года.

Определить наиболее вероятное число пораженных самолетов в группе из 13 бомбардировщиков, если самолеты поражаются независимо друг от друга и вероятность поражения одного самолета равна .

В урне 100 белых и 80 синих шаров. Из урны извлекают n шаров (с возвратом каждого вынутого шара). Наивероятнейшее число появлений белого шара равно 11. Найти n.

Сколько следует провести повторных независимых испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений некоторого события оказалось равным 51, если вероятность появления этого события в отдельном испытании p=0,64?

Число коротких волокон в партии хлопка составляет 25 % всего количества волокон. Сколько волокон должно быть в отдельно взятом пучке, если наивероятнейшее число коротких волокон в нем равно 114?

Каждая из 6 палок разламывается на две части – длинную и короткую. Затем 12 полученных обломков n раз объединяются в 6 пар, каждая из которых образует новую палку. Чему равно n, если наивероятнейшее число объединений обломков в первоначальном порядке равно 6?

Было посажено 28 семян ячменя с одной и той же вероятностью всхожести для каждого. Как велика эта вероятность, сели наиболее вероятные числа положительных результатов 17 и 18?

На станке-автомате изготовили 90 деталей. Чему равна вероятность изготовления на этом станке детали первого сорта, если наивероятнейшее число таких деталей в данной партии равно 82?

Каждый из девяти шаров с одинаковой вероятностью может быть помещен в один из трех первоначально пустых ящиков. Определить вероятность того, что: а) в каждый ящик попало по три шара; б) в один ящик попало четыре шара, в другой – три, а в оставшийся – два шара.

Студент рассматриваемого вуза по уровню подготовленности с вероятностью 0,3 является “слабым”, с вероятностью 0,5 – “средним”, с вероятностью 0,2 – “сильным”. Какова вероятность того, что из наудачу выбранных шести студентов вуза число “слабых”, “средних” и “сильных” окажется одинаковым.

По мишени, состоящей из внутреннего круга и двух концентрических колец, производится десять выстрелов из спортивного пистолета. Вероятности попадания в указанные области при каждом выстреле равны соответственно 0,15; 0,22 и 0,13. Определить вероятность того, что при этом будет шесть попаданий в круг, три – в первое кольцо и одно попадание во второе кольцо.

В электропоезд, состоящий из шести вагонов, садится двенадцать человек, причем выбор каждым пассажиром вагона равновозможен. Определить вероятность того, что: а) в каждый вагон вошло по два человека; б) в один вагон никто не вошел, в другой – вошел один человек, в два вагона – по два человека, а в оставшиеся два вагона соответственно три и четыре человека.

Ответы

§1. Соотношения между случайными событиями

Выбранное число оканчивается цифрой 5.
C = {ничейный исход}.
Нет, так как .
= {все изделия доброкачественные}; = {бракованных изделий одно или нет ни одного}.
а) желтая или белая роза; б) красная или желтая роза; в) ; г) белая роза; д) любой цветок; е) белая роза.
а) ; б) ; в) +

+; г) ; д) ; е) .

; , где {выпадение i очков} (i=1, 2, 3, 4, 5, 6).
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

§2. Вероятность случайного события

2.1. . 2.2. а) ; б) ; в) . 2.3. а) ; б) ; в) . 2.4. 0,28. 2.5. а)0,00024; б)0,00195. 2.6. . 2.7. а) ; б) ; в) . 2.8. 0,06. 2.9. 0,708. 2.10. а) 0,108; б) 0,0166; в) 0,142. 2.11. а) 0,348; б) 0,984. 2.12. а) 0,901; б) 0,099. 2.13. 0,809. 2.14. . 2.15. а) ; б) ; в) . 2.16. . 2.17. 0,07. 2.18. а) ; б) ; в) . 2.19. . 2.20. .

§3. Геометрическая вероятность

3.1. . 3.2. . 3.3. 0,32. 3.4. . 3.5. 0,25. 3.6. 0,75. 3.7. 0,487.

3.8. 0,121. 3.9.. 3.10. k(2-k). 3.11.. 3.12. . 3.13. . 3.14. . 3.15. .

3.16. 0,6. 3.17. . 3.18. . 3.19. 0,64. 3.20. 0,25.

§4. Теоремы умножения и сложения вероятностей

4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. 0,23. 4.5. ; . 4.6. ; . 4.7. 0,3.

4.8. . 4.9. . 4.10. 0,992. 4.11. . 4.12. 0,507.

4.13. 0,625. 4.14. . 4.15. . 4.16. а) 0,48; б) 0,32; в) 0,44; г) 0,92. 4.17. 0,96. 4.18. 0,504. 4.19. 0,28. 4.20. . 4.21. 0,712. 4.22. 0,94. 4.23. а) ; б) ; в) . 4.24. не найдет. 4.25. . 4.26. 0,788. 4.27. а) 0,46; б) 0,7. 4.28. а) ; б) ; в) ; г) . 4.29. а) 0,189; б) 0,973. 4.30. а) 0,375; б) 0,46; в) 0,18.

§5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса

. 5.2. . 5.3. 0,83. 5.4. 0,045. 5.5. . 5.6. 0,86.

5.7. Вероятности того, что выбран студент первой, второй и третьей групп соответственно равны: ; ; . 5.8. 0,7. 5.9. 83 %. 5.10. а) 0,0345; б) ; в) ; г) . 5.11. . 5.12. . 5.13. а) ; б) . 5.14. . 5.15. 0,358. 5.16. 0,5; 0,333; 0,167. 5.17. а) 0,41; б) 0,59. 5.18. 0,0345; 0,362; 0,408. 5.19. а) 0,1725; б) 0,317. 5.20. а) ; б) . 5.21. . 5.22. . 5.23. . 5.24. 0,16. 5.25. 0,946; первая. 5.26. . 5.27. . 5.28. . 5.29. ; . 5.30. . 5.31. . 5.32. а) 0,87; б) 0,993. 5.33. а) 0,93; б) .
§6. Схема испытаний Бернулли

6.1. 0,3. 6.2. . 6.3. а) 0,31; б) 0,48; в) 0,52; г) 0,62. 6.4. а) ; б) ;

в) . 6.5. Вероятнее выиграть две партии из четырех. 6.6. . 6.7. , . 6.8. ; ; . 6.9. а) 0,015; б) 0,999. 6.10. 0,544. 6.11. .

6.12. . 6.13. 7. 6.14. а) ; б) 4. 6.15. ; . 6.16. ; . 6.17. 79; 80. 6.18. . 6.19. ; . 6.20. . 6.21. . 6.22. а) 0,085; б) 0,385. 6.23. 0,213. 6.24. . 6.25.. а) 0,00344; б) 0,138.

Литература

Вентцель А. Д. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1964. – 576 с.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988. – 400 с.
Гурский Е. И. Теория вероятностей с элементами математической статистики. – М.: Высшая школа, 1971. – 328 с.
Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 288 с.
Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 576 с.
Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К. Н. Лунгу, В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю. А. Шевченко, Е. Д. Куланин, под ред. С. Н. Федина. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 592 с.
Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 366 с.
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под ред. А. А. Свешникова. – М.: Наука, 1970. – 656 с.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я.. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2: Учебное пособие для студентов втузов. – М.: Высшая школа, 1980. – 365 с.
Лихолетов И. И., Мацкевич И. П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. – Минск: Вышэйшая школа, 1969 – 456 с.
Кручкович Г. И., Мордасова Г. М., Сулейманова Х. Р. и др. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики. Учебное пособие для втузов. – М.: Высшая школа, 1970 – 512 с.
Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 1986 – 86 с.

<< предыдущая страница