Элементы теории вероятностей руководство к решению задач

4.4. Задачи для самостоятельного решения

Из полной колоды карт (52 карты) вынимают одновременно четыре карты. Рассмотрим события: A – среди вынутых карт хотя бы одна бубновая, B – среди вынутых карт хотя бы одна червонная. Найти вероятность события C = A + B.

При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект обнаруживается с вероятностью p. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других. Найти вероятность того, что при n – циклах объект будет обнаружен.

32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово “Москва”.

Вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком до одного года равна 0,13, а при эксплуатации сроком до 3 лет – 0,36. Найти вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком от 1 года до 3 лет.

В ящике находится 3 белых и 4 черных шара. Из него последовательно вынимают два шара. Обозначая события = {первый шар белый}, = {второй шар белый}, B = {хотя бы один из вынутых шаров белый}, вычислить условные вероятности: , .

Дана популяция плодовой мушки с двумя мутациями: 25 % особей имеют мутацию крыльев, 15 % - мутацию глаз и 10 % - обе мутации. Выбирают наудачу одну муху. 1) Если у нее оказывается мутация крыльев, то какова вероятность того, что у нее есть и мутация глаз? 2) Если у нее оказывается мутация глаз, то какова вероятность того, что у нее мутация крыльев?

В группе 25 % студентов имеют темный цвет волос, 15 % - голубые глаза, 10 % - темный цвет волос и голубые глаза. Преподаватель наугад вызывает к доске одного студента. Какова вероятность того, что у студента есть хотя бы темные волосы или хотя бы голубые глаза?

Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Ведется стрельба по самолету. Уязвимы два двигателя и кабина пилота. Чтобы вывести из строя самолет достаточно поразить оба двигателя или кабину пилота. Вероятность поражения первого двигателя равна , второго двигателя , кабины самолета . Найти вероятность поражения самолета, если его агрегаты поражаются независимо друг от друга.

В магазине продаются 10 телевизоров, 3 из них имеют дефекты. Какова вероятность того, что посетитель купит телевизор, если для выбора телевизора без дефекта понадобится не более трех попыток.

В урне находятся 3 белых, 4 желтых и 2 черных шара. Из нее наугад вынимают (без возвращения) один за другим по одному шару. Какова вероятность того, что белый шар появится раньше желтого.

Два стрелка по очереди стреляют в мишень. Если не попадает один, то начинает стрелять другой. Найти вероятность того, что после трех выстрелов в мишени будет две пробоины, сели вероятность попадания в мишень для первого стрелка, начинающего стрельбу – 0,7; для второго – 0,8.

Студент может добраться до института или автобусом, который ходит через каждые 20 мин., или троллейбусом, который ходит через каждые 10 мин. Найти вероятность того, что студент, подошедший к остановке, уедет в течение ближайших 15 мин.?

В группе 8 человек, говорящих только на немецком языке, 6 человек – только на финском. Какова вероятность того, что из двух выбранных наудачу людей оба говорят на одном языке?

Вероятность обнаружения туберкулезного заболевания при одной рентгеноскопии . Чему равна вероятность, что заболевание будет раскрыто при трех рентгеноскопиях?

Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй – только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что правильно ответят: а) оба студента; б) только первый студент; в) только один из них; г) хотя бы один из студентов.

Достаточным условием сдачи коллоквиума является ответ на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем студенту. Студент не знает ответов на 8 вопросов из 40 вопросов, которые могут быть предложены. Какова вероятность, что студент сдаст коллоквиум?

Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Вероятность безотказной работы первого узла равна 0,7, второго – 0,8, третьего – 0,9. Найти вероятность безотказной работы прибора в целом.

Электрическая цепь состоит из двух последовательно соединенных элементов. Различные элементы цепи выходят из строя независимо друг от друга. Вероятности выхода из строя элементов соответственно равны , . Определить вероятность перерыва питания.

Разыскивая определенную книгу, студент обходит три библиотеки. Вероятность того, что книга есть в каждой из трех библиотек, равна , а вероятность того, что имеющаяся книга не выдана, равна для каждой библиотеки. Какова вероятность, что студент достанет книгу в одной из библиотек?

Вероятности того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны: , , . Определить вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей.

Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одним предприятием.

Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Экзаменатор задает ему вопросы до тех пор, пока не обнаружит пробел в знаниях студента. Найти вероятность того, что будут заданы: а) два вопроса; б) более двух вопросов; в) менее пяти вопросов.

Покупатель ищет необходимую ему вещь, обходя три магазина. Вероятность наличия ее в каждом магазине 0,2. Что вероятнее – найдет он искомую вещь или нет?

Группе студентов для прохождения производственной практики выделено 30 мест: 15 – в Туле, 8 – во Владимире, 7 – в Калуге. Какова вероятность того, что студент и студентка, которые в скором времени собираются справить свадьбу, будут посланы для прохождения практики в один и тот же город, если декан ничего не знает об их “семейных делах”?

Студент разыскивает нужную ему формулу в 3-х справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, во втором, в третьем справочниках равна соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится не менее, чем в двух справочниках.

Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6; 0,5; 0,8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом: а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по двум дисциплинам.

Из букв разрезной азбуки составлено слово “статистика”. Какова вероятность того, что, перемешав буквы и укладывая их в ряд по одной (наудачу), получим слово: а) тиски, б) киска, в) кит, г) статистика.

Три орудия стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель каждого равна 0,7. Найти вероятность попадания в цель: а) только одного из орудий; б) хотя бы одного.

Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9, второй – 0,8, третий – 0,75. Найти вероятность того, что за смену: а) только один станок потребует внимания; б) хотя бы один станок потребует внимания; в) только третий станок потребует внимания рабочего.

§5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса

5.1. Основные формулы

Вероятность P(B) появления события B, которое может произойти только совместно с одним из событий, образующих полную группу попарно несовместных событий, т. е. и , вычисляется по формуле полной вероятности

где . (11)

При этом события обычно называют гипотезами, а числа - вероятностями гипотез.

Условная вероятность гипотезы в предположении, что событие B уже имеет место, определяется по формуле Бейеса:

, () (12)

Вероятности , вычисленные по формуле Бейеса, часто называют вероятностями гипотез.

5.2. Решение задач

Пример 1. Имеется четыре одинаковых ящика с электрическими лампочками, причем первый ящик содержит 10 исправных и 2 бракованные лампочки, второй и третий ящики содержат по 5 исправных и по 5 бракованных лампочек, а четвертый ящик содержит только 10 исправных лампочек. Наудачу выбирается один ящик и из него одна лампочка. Какова вероятность того, что эта лампочка окажется исправной?

Решение. Пусть событие B={выбор исправной лампочки}, а гипотезы ={выбор первого ящика},={выбор второго ящика}, ={выбор третьего ящика}, ={выбор четвертого ящика}. События образуют полную группу несовместных равновероятных событий, при этом . (Контроль: ). Условные вероятности выбора исправной лампочки из первого, второго, третьего и четвертого ящиков соответственно равны , , . Следовательно, по формуле полной вероятности (11) получим

Пример 2. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

Решение. Пусть событие B={извлечение бракованного изделия из второй партии}. В качестве гипотез примем события ={из первой партии переложено во вторую бракованное изделие} и ={из первой партии переложено во вторую небракованное изделие}, при этом, очевидно, , . (Контроль: ). Условные вероятности события B при осуществлении каждой из гипотез соответственно равны , . Отсюда по формуле полной вероятности .

Пример 3. Три организации поставили в контрольное управление счета для выборочной проверки: первая 15 счетов, вторая – 10, третья – 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций соответственно таковы: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет, и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.

Решение. Пусть событие B={выбран правильно оформленный счет}. Гипотезы: ={правильно оформленный счет поставила первая организация}, ={правильно оформленный счет поставила вторая организация}, ={правильно оформленный счет поставила третья организация}. События образуют полную группу несовместных событий, при этом: , , . (Контроль: ). По условию ; ; . По формуле полной вероятности найдем . Для нахождения искомой вероятности, т. е. условной вероятности - вероятности того, что правильно оформленный счет принадлежит второй организации, - найдем по формуле Бейеса (12)

.

Пример 4. Предположим, что 5 % всех мужчин и 0,25 % всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое число, найти вероятность того, что этот человек: а) мужчина; б) женщина.

Решение. Пусть событие A={выбранный человек оказался дальтоником}. В качестве гипотез примем события ={выбранный человек - мужчина} и событие ={выбранный человек - женщина}. События несовместные, образуют полную группу, . Для нахождения искомых вероятностей, т. е. условных вероятностей и , воспользуемся формулой Бейеса. По формуле полной вероятности сначала найдем P(B). Так как по условию ; , то . Следовательно, по формуле (12):

а) ,

б).

Отметим, что сумма условных вероятностей гипотез также равна единице ().

<< предыдущая страница следующая страница >>