Учебно-методический комплекс «Физика. Квантовая механика»

Вторая контрольная работа

1. Функция ненормированная. Выполняем нормировку:

Нормированная волновая функция в S², S_z -представлении имеет вид

Действуя стандартным образом, получаем искомые средние величины:

Оператор равен Среднее значение равно

2. Чтобы найти собственные значения гамильтониана, решается секулярное уравнение

Собственные функции находятся из решения системы уравнений:

Подставляя в нее найденные значения E, получим наборы коэффициентов C_i и соответствующие собственные волновые функции гамильтониана:

для E₁ = 0 получим C₁ = C₂ = 0, C₃ = 1 и

для E₂ = 1 – C₃ = 0 и

для E₃ = 3 – C₃ = 0 и

Составляем матрицу преобразования:

Столбцы этой матрицы представляют собой собственные функции гамильтониана. Вектор-столбец из элементов базиса находится умножением матрицы S на вектор-столбец из собственных волновых функций гамильтониана:

Разложение векторов состояния по собственным волновым функциям гамильтониана будет иметь вид

Отсюда

В начальный момент времени система находится в состоянии т. е. ее волновая функция при t = 0 равна

В произвольный момент времени волновая функция системы равна

где

3. Функция ненормированная. Выполняем нормировку:

Нормированная волновая функция в L², L_z-представлении имеет вид

Оператор проекции момента на ось x и его собственные значения и собственные функции в L², L_z-представлении имеют вид

Составляем матрицу перехода в базис :

Действуя этой матрицей на волновую функцию в L², L_z-представлении, получаем волновую функцию в L², L_x-представлении:

В L², L_z-представлении оператор проекции момента на оси x указан выше, а оператор проекции момента на ось z имеет вид

Действуя стандартным образом, получаем искомые средние величины:

Можно найти средние значения проекций момента на оси координат другим способом. Известна волновая функция в L², L_x- и L², L_z-представлениях. Следовательно, известны вероятности измеряемых значений проекций момента на оси x и z соответственно. Тогда по известной формуле

Аналогично находится среднее значение

4. Так как главное квантовое число n = 2, то орбитальное число l может принимать значения l = 0, 1. Следовательно, уровень энергии четырехкратно вырожден.

Оператор можно выразить через повышающий и понижающий операторы

так что оператор возмущения принимает вид

В результате действия этого оператора матричные элементы равны

С учетом ортогональности волновых функций матричные элементы принимают вид

В матричном виде оператор возмущения равен

где элементы и строк, и столбцов соответствуют парам квантовых чисел (l, m) последовательно (0, 0), (1, -1), (1, 0), (1, 1);

Решается секулярное уравнение:

Поправки к энергии атома водорода в первом порядке теории возмущений равны Четырехкратное вырождение частично снимается.

Чтобы найти для определенного значения энергии волновую функцию, необходимо решить систему уравнений с этим значением E:

Для получаем и «правильная» волновая функция имеет вид

Это решение отвечает l = 1, m = 1. Для из системы уравнений следует C₃ = 0, C₂ = C₄, Для (в этом случае l = m = 0) должно быть C₁ = 1, C₂ = C₃ = C₄ = 0, и «правильная» волновая функция равна Для (в этом случае l = 1, m = 0) C₁ = C₃ = 0, «правильная» волновая функция равна

5. Возможные значения суммарного момента системы лежат в пределах от l + s до │l – s│, т. е. j = 3/2, 1/2. Проекция этого момента на ось z по условию задачи равна j_z = 1/2. Заданный по условию вектор состояния необходимо разложить по векторам состояния с определенными значениями полного момента и его проекции на ось z:

Действуя повышающим оператором, получим:

Из этого равенства в силу очевидного тождества находим коэффициент C₁:

Таким образом, значение суммарного момента системы j = 3/2 можно обнаружить с вероятностью Соответственно значение j = 1/2 обнаруживается с вероятностью

Экзамен

1. Из условия нормировки находим постоянную C:

Искомая вероятность равна

2. По условию задачи волновые функции стационарных состояний частицы и соответствующие значения энергии равны

В зависимости от времени t волновая функция частицы имеет вид

Средний импульс частицы равен

Амплитуда колебаний среднего импульса частицы равна

частота колебаний

период колебаний

3. Волновая функция основного состояния линейного гармонического осциллятора имеет вид

Волновая функция двумерного осциллятора в основном состоянии равна

Поправка первого порядка к энергии основного состояния осциллятора вычисляется следующим образом:

Энергия основного состояния осциллятора с точностью до первого порядка теории возмущений равна

4. Состояние атома водорода описывается вектором состояний Под действием возмущения атом переходит в состояние, которое описывается вектором состояний При n = 2 возможные значения орбитального квантового числа l = 0, 1. Волновая функция исходного (основного) состояния четная, возмущение описывается также четной функцией, поэтому возможен переход только в состояние с четной волновой функцией без изменения магнитного квантового числа: Соответствующие волновые функции имеют вид

Необходимый матричный элемент равен

где использовано обозначение α = 3/(2a).

Искомая вероятность перехода равна

Частота ω определяется разностью уровней энергии и в данном случае равна

5. Суммарный спин системы может принимать два значения s = 1 и 0. В синглетном состоянии спин системы s = 0, его проекция на ось z равна s_z = 0. В триплетном состоянии s = 1, s_z = 0, 1. Волновые векторы синглетного и триплетного состояний с s_z = 0 имеют соответственно вид

где введены обозначения

В начальном состоянии

В произвольный момент времени

Моменты времени, когда система оказывается в триплетном состоянии, определяются из условия

Из него следует

6. Энергетические уровни системы во втором порядке теории возмущений находятся по формуле

где собственные значения гамильтониана невозмущенной системы, V_nk  матричные элементы.

Собственные значения гамильтониана находятся из решения секулярного уравнения:

Собственные функции являются решениями соответствующей системы уравнений:

Подставляя в нее первое собственное значение ₁ = E, получим C₁ = C₂ = 0, C₃ = 1. Собственная функция гамильтониана для этого значения  имеет вид

Аналогично для ₂ = 0 собственная функция

Для ₃ = 4E собственная функция

Вычислим матричные коэффициенты:

Во втором порядке теории возмущений уровни энергии системы равны

Переэкзаменовка

1. Прежде всего необходимо проверить, является ли волновая функция нормированной:

Нормированной будет волновая функция

Тогда искомое среднее значение координаты частицы равно

2. Гамильтониан двумерного гармонического осциллятора имеет вид

Задача сводится к нахождению значений ω_x и ω_y.

Энергия первых двух уровней рассматриваемого осциллятора равна

и

Для частицы в потенциальной яме энергия второго и третьего уровней равна соответственно

и .

По условию задачи имеем систему двух уравнений:

откуда находим

В результате гамильтониан осциллятора имеет вид

Для второго уровня энергии осциллятора возможно выражение Значения ω_x и ω_y поменяются местами.

3. Волновая функция первого возбужденного состояния невозмущенного осциллятора имеет вид

Поправка первого порядка к энергии первого возбужденного состояния осциллятора при действии возмущения равна

Условия максимума функции f(a) есть

df/da = 0, d²f/da² <� 0.

Найдем максимум функции:

Приравнивая к нулю первую производную

получим значения

Вторая производная

отрицательна только при

Эти значения дают искомый максимум поправки к энергии

4. Волновая функция атома водорода в рассматриваемом состоянии равна

Вычисляем среднее значение энергии кулоновского взаимодействия электрона с ядром атома:

Здесь интеграл вычисляется с применением дифференцирования по параметру α = 2/3; собственная функция

боровский радиус равен Окончательно

5. Подсистема из двух слабо взаимодействующих частиц со спином 1/2 каждая может обладать суммарным спином s = 1 или 0, находясь соответственно в триплетном или синглетном состоянии. По условию подсистема имеет спин s = 1 и его проекцию на ось z, равную s_z = 0. Это состояние дают две комбинации векторов:

и

Выражение для заданного триплета через эти векторы можно получить, действуя понижающим оператором на очевидное равенство:

Имеем:

откуда

Полная система (из трех частиц) находится в состоянии Выражение для этого вектора можно получить, действуя понижающим оператором на также очевидное равенство:

Имеем:

откуда

Из данного выражения для состояния системы видно, что подсистеме, состоящей из двух первых частиц и находящейся в триплетном состоянии, отвечают первые два слагаемых. Следовательно, искомая вероятность подсистемы находиться в состоянии равна W = 2/3.

6. Чтобы найти собственные значения гамильтониана, решается секулярное уравнение:

Гамильтониан в энергетическом представлении имеет вид

Собственные функции находятся из решения системы уравнений:

для E₁ = 0 получим и

для E₂ = 2 – и

для E₃ = 3 – и

Вектор состояния является собственным. Следовательно, при измерении можно обнаружить только значение энергии E₂ = 2. Соответствующая вероятность W = 1. Средняя энергия системы равна

Вторая переэкзаменовка

1. Нормируем волновую функцию:

Находим средние значения:

2. Собственные функции и собственные значения оператора находятся из решения уравнения:

Ему удовлетворяет функция Чтобы она была собственной функцией оператора, она должна быть однозначной. Из условия ее однозначности следует откуда a = n, где n – любое целое число Постоянная интегрирования С находится из условия нормировки: Таким образом, собственные функции и собственные значения оператора равны

3. Перейдем к безразмерной независимой переменной Волновая функция в этом случае примет вид

Нормирование волновой функции дает возможность вычислить постоянную C:

Нормированная волновая функция равна

Определяем значения энергии и вероятности их обнаружения при измерении:

Среднее значение энергии равно

4. Подсистема из двух слабо взаимодействующих частиц со спином 1/2 каждая может обладать суммарным спином S_1, 2 = 1 или 0. Включение в систему спина S₃ = 1 дает значения суммарного спина S ≡ S_1, 2, 3 = 2, 1, 0 для S_1, 2 = 1 и S ≡ S_1, 2, 3 = 1 для S_1, 2 = 0. Таким образом, суммарный спин рассматриваемой системы трех спинов может принимать значения S = 2, 1, 0. Его проекцию на ось z, равную S_z = 1, имеют три состояния:

Получить их можно, если исходить, например, из очевидного тождества для первых двух спинов:

Применение понижающего оператора дает

откуда

Волновой вектор может иметь вид

Он должен быть ортогонален волновым векторам других состояний системы первых двух спинов, в частности, вектору т. е. имеет место равенство Это позволяет найти вектор:

Только в состояниях системы первых двух спинов совместно с третьим спином дают объединенную систему, имеющую проекцию суммарного спина S_z = 1.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

Рекомендуемая литература:

1. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. М.: Высш. шк., 1963.

2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Квантовая механика. М.: Наука, 1974.

3. Зелевинский В. Г. Лекции по квантовой механике. Новосибирск: НГУ, 2005.

4. Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1978. Т. 8, 9.

5. Левич Р. Г. и др. Курс теоретической физики. М.: Наука, 1971. Т. 2.

6. Дирак П. А. Принципы квантовой механики. М.: Физматгиз, 1960.

7. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1963.

8. Толкачев В. А. и др. Задачи по квантовой механике. Новосибирск: НГУ, 2003.

9. Шпольский Э. В. Атомная физика. М.: Наука, 1974. Т. 2.

10. Галицкий В.М. и др. Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1981.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Персональные компьютеры, мультимедийный проектор, ноутбуки, экраны.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций ПрООП ВПО по направлению «020100 ХИМИЯ», квалификация (степень) «бакалавр», а также в соответствии с Образовательным стандартом высшего профессионального образования принятым в Федеральном государственном образовательном бюджетном учреждении высшего профессионального образования Новосибирский государственный университет.

<< предыдущая страница