Учебно-методический комплекс «Физика. Квантовая механика»

5. Образовательные технологии

Виды/формы образовательных технологий. Отличительной особенностью курса является применение в нем модульно-рейтинговой системы (см. аннотацию), при реализации которой постоянно контролируется уровень знаний студента. Наличие обязательных для итоговой аттестации студента контрольных точек принуждает к активной работе студента в течение всего семестра. Для того чтобы заинтересовать студента в подготовке к занятию, каждое семинарское занятия часто начинается с экспресс-мини-контрольной работы, результат которой может существенным образом повлиять на итоговую оценку. Обратная связь обеспечивается тем, что лектор ведет одну из семинарских групп и может оперативно скорректировать лекционный курс в зависимости от полученных на семинарском занятии и при прохождении контрольных точек результатов в усвоении материала. Семинарские занятия проходят в форме дискуссии преподавателя со студентами (аналог «круглого стола», преподавателю отводится роль ведущего), в ходе которых каждый из участников – студенты или преподаватель – имеют право задавать вопросы и участвовать в выработке альтернативных решений разбираемых задач. Таким образом, на семинарских занятиях реализуется интерактивная форма обучения.

Важной формой обучения являются коллоквиумы, проводимые в форме беседы преподавателя со студентом, в которую при желании может вмешиваться любой студент группы. Здесь (а не только на семинарских занятиях) студент может получить ответы на все интересующие его вопросы по предмету.

Следует отметить, что практически все преподаватели, участвующие в курсе «Физика. Квантовая механика», являются профессиональными исследователями в области физики и химии.

Преподаватели, участвующие в проведении курса, регулярно готовят и издают учебно-методические пособия, которые размещаются, в частности, и в электронном виде на сайте факультета естественных наук.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

Использование модульной системы и индивидуального кумулятивного индекса (ИКИ) успеваемости в курсе «Физика. Квантовая механика» дает возможность студенту проявить максимальную самостоятельность и инициативность в учебном процессе, а преподавателям – объективно оценить знания студента.

В рамках этой системы студент может маневрировать и находить оптимальный путь формирования собственного рейтинга. Система позволяет студенту получить навыки работы с учебными пособиями, монографиями и справочной литературой по квантовой механике, выработать самостоятельный научно-исследовательский подход к решению задач и физико-химических проблем и в результате достичь желаемого профессионального уровня. Успешная работа по предлагаемой системе предполагает интенсивное сотрудничество преподавателей и студентов, которые должны четко представлять заданные «правила игры» и действовать в соответствии с ними.

Система ИКИ предусматривает прохождение контрольных точек (коллоквиумов, контрольных работ и домашних заданий), при этом набранные баллы суммируются. Система построена таким образом, что текущий контроль охватывает все разделы курса. Поэтому итоговая аттестация не предусматривает обязательного итогового экзамена – любую положительную итоговую оценку за курс в целом можно получить «автоматом», набрав соответствующее количество баллов в семестре. Студент, не набравший достаточного количества баллов для получения «оценки-автомата» или желающий ее повысить, сдает письменные экзамены, которые проводятся во время экзаменационной сессии.

Все контрольные точки являются обязательными. Их прохождение – необходимое условие для получения «оценки–автомата» и (или) допуска к экзамену.

Каждая обязательная контрольная точка проходится студентом строго в установленный срок, который указан в программе семинаров. При прохождении контрольной точки за пределами установленного срока (без уважительной причины) она принимается со «штрафом», т. е. вводится коэффициент 0,5 на каждый набранный сверх 50 % балл.

Студент имеет право на апелляцию по каждой контрольной работе в течение 7 дней со дня ее проведения (при условии, что работа находится у преподавателя). Все вопросы, связанные с изменением суммы баллов, решаются преподавателем, проверявшим задачу, а в спорных случаях – лектором. По истечении срока апелляции по данной контрольной точке баллы за нее не могут быть изменены.

Контрольные точки, не пройденные в срок по уважительной причине (при наличии медицинской справки), принимаются в течение недели после окончания действия справки без штрафа, а далее (в течение одной следующей недели) – со штрафом (см. выше). Все контрольные точки, не пройденные в срок (без уважительной причины), в виде исключения могут быть сданы в течение двух недель за пределами установленного срока (со штрафом).

Работа студента на семинарах оценивается преподавателем, ведущим семинары, по теме текущего семинара, поэтому студенту следует заранее прорабатывать материал к семинару. Студент может получить баллы за быстрое и правильное решение задач (по усмотрению преподавателя). Суммарное количество баллов за этот пункт выставляется преподавателем в конце семестра.
Рекомендуемая литература к теоретическому курсу

Шпольский Э. В. Атомная физика. М.: Наука, 1974, Т. 2.
Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. М.: Высшая школа, 1963.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Квантовая механика. М.: Наука, 1974.
Левич Р. Г. и др. Курс теоретической физики. М.: Наука, 1971.
Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Физматгиз, 1960.
Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1978, Т. 8, 9.
Толкачев В. А. и др. Задачи по квантовой механике. Новосибирск: НГУ, 2003.

Правила ИКИ
Текущий контроль

Для текущего контроля учебным планом предусмотрена сдача в течение семестра каждым из студентом шести домашних заданий по разделам курса. Сдача заданий проводится в форме коллоквиумов. Студент на каждом коллоквиуме должен представить решения задач соответствующего домашнего задания и в письменном виде ответить на теоретический вопрос и решить две задачи. За каждое задание студент может получить до 200 баллов. В середине семестра проводится контрольная работа, в которой студентам предлагается решить пять задач, относящихся к первой половине курса. Оценка первой контрольной – 700 баллов. В конце семестра проводится вторая контрольная работа, в которой предлагается ответить на три теоретических вопроса и решить пять задач из второй половины курса. Теоретическая часть второй контрольной оценивается в 400 баллов, решение задач – в 700 баллов. Выполнение этих работ является обязательным для всех студентов, а результаты текущего контроля служат основанием для выставления оценок в ведомость контрольной недели на факультете. Если сумма набранных в семестре баллов превышает 2700 баллов из 3000 возможных, то студенту выставляется оценка «отлично» без экзамена. Для получения оценки «хорошо» без экзамена необходимо набрать более 2100 баллов, и при этом не менее 130 баллов в ответах на теоретические вопросы. Для получения оценки «удовлетворительно» без экзамена необходимо набрать в семестре не менее 1500 баллов и преодолеть порог в 130 баллов в ответах на теоретические вопросы.

Контрольные точки	Баллы
К1 (Коллоквиум 1): Соотношение неопределенности. Волновая функция. Операторы, собственные функции, собственные значения	200
К2 (Коллоквиум 2): Физический смысл собственных значений оператора. Решение стационарного уравнения Шредингера и его приложения	200
К3 (Коллоквиум 3): Теория возмущений	200
КР1 (Контрольная работа 1): Волновые функции, операторы. Уравнение Шредингера. Теория возмущений	700
К4 (Коллоквиум 4): Матричная механика и теория представлений	200
К5 (Коллоквиум 5): Квантовый момент импульса. Атом водорода	200
К6 (Коллоквиум 6): Спин. Сложение моментов	200
КР2 (Контрольная работа 2, теория+задачи): Теория представлений. Атом водорода. Спин	400+700
Работа на семинарах	100
ИТОГО	3000

При выполнении домашних заданий надлежит придерживаться следующих сокращений:

– килограмм – кг;

– грамм – г;

– метр – м;

– сантиметр – см;

– микрон – мкм;

– секунда – с;

– градусы Цельсия – С;

– джоуль – Дж;

– кулон – К;

– вольт – В;

– тесла – Тл.

Итоговый контроль

Для контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрен письменный экзамен из трех вопросов по теоретическому материалу стоимостью в 400 баллов и решению шести задач, которые оцениваются в 1100 баллов. Оценка выставляется по сумме баллов, набранных на экзамене и в семестре. Если сумма превышает 2700 баллов, то студент претендует на оценку «отлично». Для получения оценки «хорошо» необходимо набрать более 2100 баллов, а для оценки «удовлетворительно» — 1500 баллов. Кроме суммы набранных баллов учитывается результат, полученный непосредственно на экзамене. Если в теоретической части экзамена набрано менее 130 баллов и/или за решение задач получено менее 250 баллов или сумма баллов за теорию и решение задач менее 450, то полученные на экзамене баллы не включаются в общую сумму и оценка, полученная в семестре, остается без изменений. Для получения оценки «отлично», кроме набора требуемой суммы баллов, необходимо на экзамене набрать при решении задач не менее 600 баллов, а сумму баллов за теорию и решение задач – не менее 900. Для получения оценки «хорошо» необходимо на экзамене набрать при решении задач не менее 400 баллов, а сумму баллов за теорию и решение задач – не менее 670.

Перечень коллоквиумов

Примерные контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы (в объеме часов, предусмотренных образовательным стандартом и рабочим учебным планом данной дисциплины).

Задание 1

Соотношение неопределенности. Волновая функция. Операторы, собственные функции, собственные значения

Вопросы к коллоквиуму

Волновая функция в квантовой механике, ее нормировка. Представление физических величин в квантовой механике. Операторы координаты, импульса, полной энергии (гамильтониан).
Вывод соотношения неопределенности.
Собственная функция и собственное значение оператора. Их физический смысл. Почему операторы физических величин эрмитовы?

Задачи

Найти длину волны де Бройля и кинетическую энергию электронов, падающих нормально на диафрагму с двумя щелями, если на экране, отстоящем от диафрагмы на l = 75 см, расстояние между соседними интерференционными максимумами Δx = 7,5 мкм. Расстояние между щелями d = 25 мкм.
Исходя из соотношения неопределенности, оценить минимально возможную энергию следующих систем:

а) частицы массы m, движущейся в потенциальном поле

б) электронов в атоме гелия.

Волновая функция частицы в сферических координатах имеет вид

Найти нормировочную константу C.

Волновая функция задана следующим образом:

Нормировать функцию, построить ее график.

Эрмитовы операторы и не коммутируют друг с другом. Доказать, что оператор – неэрмитов, а операторы и – эрмитовы.
Найти вид оператора , если оператор равен:

Найти собственные функции оператора .
Найти собственные функции и собственные значения операторов:

а)

б)

Найти вид , если

Срок для выполнения задания – 3 недели.

Задание 2

Физический смысл собственных значений оператора. Решение стационарного уравнения Шредингера и его приложения

Вопросы к коллоквиуму

Ортогональность волновых функций, соответствующих разным собственным значениям физического оператора. Волновая функция системы невзаимодействующих частиц.
Уравнение Шредингера (без вывода). Стационарные состояния. Стационарное уравнение Шредингера. Разложение общего решения уравнения Шредингера по стационарным волновым функциям.
Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Стационарные волновые функции, их ортогональность. Уровни энергии.
Частица в трехмерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Стационарные волновые функции. Уровни энергии. Вырождение.
Отражение и прохождение через потенциальные барьеры: ступеньку, прямоугольный барьер.
Гармонический осциллятор. Стационарные волновые функции.
Ортогональность волновых функций гармонического осциллятора. Уровни энергии гармонического осциллятора.

Задачи

Найти среднюю кинетическую энергию частицы массой m в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (0  x  l), если частица находится в состояниях, описываемыми волновыми функциями:

а) б)

Вычислить и а также их произведение для частицы массы m в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (0 <� x <� l).
Линейный осциллятор массы m частоты  в момент времени t = 0 находился в состоянии где и – стационарные состояния с n = 1 и n = 3, а Найти зависимость от времени средней энергии и средней координаты осциллятора.
В одномерном потенциальном поле таком, что при находится частица в стационарном состоянии, описываемом волновой функцией при x  0 и при x < 0. Найти вид функции энергию частицы и константу A.
В двумерной потенциальной яме где при 0  y  a, при y <� 0 и y > a, находится частица в состоянии, описываемом волновой функцией где и – волновые функции стационарных состояний для одномерного движения вдоль осей x и y соответственно. Найти вероятности получения при измерении энергии значений
Состояние частицы описывается волновой функцией

б) Найти среднее значение координаты;

в) Найти среднее значение импульса;

г) Имеют ли координата и импульс определенные значения в этом состоянии;

д) Найти неопределенность координаты и импульса в этом состоянии;

е) Проверить соотношение неопределенности.

7. В показанной на рисунке потенциальной

яме с бесконечно высокими стенками

находится частица массой m. Ее состояние описывается волновой функцией

Нормировать волновую функцию и нарисовать ее график. Найти значение энергии частицы. Какова вероятность найти частицу при

Срок для выполнения задания – 2 недели.

Задание 3

Теория возмущений

Вопросы к коллоквиуму.

Получить выражения для поправок первого порядка к волновым функциям невырожденных состояний при стационарном возмущении.
Поправки первого и второго порядков к энергии невырожденного состояния при стационарном возмущении.
Условие применимости стационарной теории возмущений.
Вероятности переходов под действием возмущения конечной длительности.
«Правильные» волновые функции и соответствующие им значения энергии в стационарной теории возмущений при наличии вырождения.

Задачи

Во втором порядке теории возмущений найти энергию основного состояния частицы массой m в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (0 <� x <� l) при наличии возмущения При каком значении a применима теория возмущений?
В «полубесконечной» прямоугольной потенциальной яме

3. Система двух одинаковых связанных осцилляторов, массы m каждый, описывается гамильтонианом

Рассматривая последнее слагаемое как возмущение, найти во втором порядке теории возмущений энергию основного состояния системы. Эта задача допускает и точное решение. Найти его и сравнить с приближенным.

Гармонический осциллятор массы m находился в основном состоянии, когда потенциал, в котором он находился, мгновенно изменил свой вид: был стал Найти вероятность обнаружения осциллятора в возбужденном состоянии после такого изменения потенциала.
На гармонический осциллятор массы m, находящийся при в стационарном состоянии с энергией действует возмущение где a и τ – постоянные. В первом порядке теории возмущений найти вероятности обнаружения осциллятора при в различных стационарных состояниях.

Срок для выполнения задания – 3 недели.

Задание 4

Матричная механика и теория представлений

Вопросы к коллоквиуму

Вектор состояния и волновая функция.

2. Матрица оператора физической величины. Смысл собственных векторов и собственных значений этой матрицы.

3. Преобразование волновых функций и операторов при переходе от одного представления к другому.

4. Дискретный и непрерывный базисы. Сходства и различия.
Задачи

В некотором представлении оператор физической величины f и гамильтониан имеют вид

2. В базисе операторы невозмущенного гамильтониана и стационарного возмущения имеют вид

Найти значения энергии во втором порядке теории возмущений. Сравнить с точными значениями.

3. В x- и p-представлениях записать коммутатор операторов кинетической и потенциальной энергии частицы массы m с зарядом q, находящейся в однородном электрическом поле напряженности E.

4. Гармонический осциллятор массы m частоты ω находится в состоянии, описываемом волновой функцией где – собственная функция осциллятора с n = 3. Выразить волновую функцию в E-представлении. Нормировать ее.

5. Собственные функции и собственные значения невозмущенного гамильтониана равны и 2E₀, E₀, E₀ соответственно. Оператор возмущения в E-представлении имеет вид

где a и b – действительные константы. В первом порядке теории возмущений найти «правильные» волновые функции и соответствующие им значения энергии.

6. На двухуровневую систему, гамильтониан которой в энергетическом представлении имеет вид

действует возмущение

где τ – постоянная, t – время. Найти вероятность перехода с первого уровня на второй при если возмущение начало действовать в момент времени

Срок для выполнения задания – 2 недели.

Задание 5

Квантовый момент импульса. Атом водорода

Вопросы к коллоквиуму

Операторы проекций момента импульса и квадрата момента. Коммутационные соотношения. Трактовка закона сохранения момента импульса в квантовой механике.
Повышающий и понижающий операторы, коммутационные соотношения для них.
Матричные элементы операторов для момента L = 2.

Задачи

Найти собственное значение оператора квадрата момента, соответствующее его собственной функции

2. Атом водорода находится в возмущающем потенциале где k –константа, r – расстояние до ядра. В первом порядке теории возмущений вычислить смещение уровней с n = 2. Указать, по какому квантовому числу снимается вырождение.

3. В первом порядке теории возмущений вычислить смещение уровней энергии атома водорода с n = 2, l = 1 для возмущения, оператор которого имеет вид

4. Электрон в атоме водорода находится в состоянии, описываемом волновой функцией где A – постоянная, – радиус Бора. Найти вероятность того, что при измерении энергии в этом состоянии будет получено значение, равное энергии первого возбужденного состояния атома водорода.

Срок для выполнения задания – 1 неделя.

Задание 6

Спин. Сложение моментов

Вопросы к коллоквиуму

Исходя из коммутационных соотношений между операторами проекции спина, найти матрицу оператора для спина 1/2.
Триплетное и синглетное состояния системы из двух спинов по 1/2.
Правила сложения двух моментов.
Использование повышающего и понижающего операторов для решения задачи о сложении моментов.

Задачи

Спин 1/2 в магнитном поле с индукцией имеет проекцию на ось z, равную 1/2. Магнитное поле мгновенно поворачивают в плоскости x-z на угол 30º. Найти среднюю энергию спина после поворота, а также вероятность того, что измерение проекции спина на новое направление магнитного поля даст значение 1/2. Гамильтониан спина в магнитном поле где γ – постоянная.
Имеется система из трех спинов Найти значения суммарного спина. Указать, сколько состояний имеют проекцию суммарного спина на ось z, равную 2.
Система из двух спинов находится в состоянии, описываемом как следующая комбинация синглетного и триплетного состояний где – синглетное состояние, – триплетное состояние с проекцией момента на ось z, равной нулю. Найти коэффициент A. Найти вероятности возможных значений и в этом состоянии, а также средние значения этих проекций.
Два невзаимодействующих спина и находятся в таком состоянии, что их проекции на ось z равны и Найти разложение этого состояния по состояниям с определенными значениями полного момента и его проекции на ось z. Найти среднее значение квадрата полного момента спиновой системы.

Срок для выполнения задания – 2 недели.

Образцы вопросов для подготовки к экзамену

Волновая функция в квантовой механике, ее нормировка. Представление физических величин в квантовой механике. Операторы координаты, импульса, полной энергии (гамильтониан).

Строгий вывод соотношения неопределенности.
Собственная функция и собственное значение оператора. Их физический смысл. Почему операторы физических величин эрмитовы?
Ортогональность волновых функций, соответствующих разным собственным значениям физического оператора. Волновая функция системы невзаимодействующих частиц.
Уравнение Шредингера (без вывода). Стационарные состояния. Стационарное уравнение Шредингера. Разложение общего решения уравнения Шредингера по стационарным волновым функциям.
Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Стационарные волновые функции, их ортогональность. Уровни энергии.

7. Частица в трехмерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Стационарные волновые функции. Уровни энергии. Вырождение.

8. Отражение и прохождение через потенциальные барьеры: ступеньку, прямоугольный барьер.

9. Гармонический осциллятор. Стационарные волновые функции.

Ортогональность волновых функций гармонического осциллятора. Уровни энергии гармонического осциллятора.
Получить выражения для поправок первого порядка к волновым функциям невырожденных состояний при стационарном возмущении.
Поправки первого и второго порядка к энергии невырожденного состояния при стационарном возмущении.
Условие применимости стационарной теории возмущений.
Вероятности переходов под действием возмущения конечной длительности.
«Правильные» волновые функции и соответствующие им значения энергии в стационарной теории возмущений при наличии вырождения.
Вектор состояния и волновая функция.
Матрица оператора физической величины. Смысл собственных векторов и собственных значений этой матрицы.
Преобразование волновых функций и операторов при переходе от одного представления к другому.
Дискретный и непрерывный базисы. Сходства и различия.
Операторы проекций момента импульса и квадрата момента. Коммутационные соотношения. Трактовка закона сохранения момента импульса в квантовой механике.
Повышающий и понижающий операторы, коммутационные соотношения для них.
Матричные элементы операторов для момента L = 2.
Исходя из коммутационных соотношений между операторами проекции спина, найти матрицу оператора для спина 1/2.
Триплетное и синглетное состояния системы из двух спинов по 1/2.
Правила сложения двух моментов.
Использование повышающего и понижающего операторов для решения задачи о сложении моментов.

Примеры задач на контрольных работах и экзаменах

Первая контрольная работа

1. (100 б.) Частица находится в состоянии, описываемом волновой функцией

где b > 0 и a > 0 – известные константы. Найдите среднюю координату частицы

2. (120 б.) Докажите, что среднее значение в любом состоянии является вещественной величиной.

3. (140 б.) На находящийся в основном состоянии линейный осциллятор массой m частотой ω с зарядом q на промежутке времени π/2ω ≤ t ≤ π/2ω действует однородное электрическое поле

E = E₀cos ωt,

направленное вдоль оси осциллятора. В какие состояния возможны переходы? Каковы вероятности этих переходов после выключении поля?

4. (160 б.) Частица массой m находится в одномерном потенциальном поле

где V₀ > 0 и a > 0 – известные константы.

Найдите с точностью до первого порядка теории возмущений волновую функцию основного состояния частицы и с точностью до второго порядка теории возмущений энергию этого состояния.

5. (180 б.) Частица массой m находится в прямоугольном ящике с бесконечно жесткими, непроницаемыми стенками. Найдите объем этого ящика, если известно, что семь первых уровней энергии равноотстоят друг от друга на величину ΔE. При этом первые три уровня являются невырожденными.

Вторая контрольная работа

1. (100 б.) Состояние частицы со спином 1/2 описывается в S², S_z-представлении волновой функцией

Найдите средние значения

2. (120 б.) В базисе гамильтониан системы имеет вид

В момент времени t = 0 система находилась в состоянии. Найдите волновую функцию системы в произвольный момент времени ψ(t) в этом представлении.

3. (140 б.) В L², L_z -представлении волновая функция системы с моментом l = 1 имеет вид

где α – действительная постоянная. Как выглядит нормированная волновая функция в L², L_x -представлении? Чему равны и ?

4. (160 б.) В первом порядке теории возмущений найдите поправки к энергии для состояний атома водорода с главным квантовым числом n = 2. Оператор возмущения

где А – действительная константа. Выпишите «правильные» волновые функции.

5. (180 б.) Система с орбитальным моментом l = 1 и спином s = 1/2 находится в состоянии

Какие значения суммарного момента системы и с какой вероятностью можно обнаружить в этом состоянии?

Экзамен

1. (120 б.) Частица находится в состоянии, описываемом волновой функцией

причем a < b. Какова вероятность обнаружить частицу в промежутке a/2 ≤ x ≤ a/2?

2. (150 б.) В одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, расположенными в точках x = 0 и x = a, находится частица массой m. Состояние частицы описывается волновой функцией

где ψ₁, ψ₂  волновые функции стационарных состояний с квантовыми числами n = 1 и n = 2 соответственно. Найдите период и амплитуду колебаний среднего импульса частицы.

3. (170 б.) Имеется двумерный осциллятор массой m. Частоты колебаний осциллятора вдоль любых двух взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости колебаний, равны ω. На осциллятор действует возмущение V(r) = α/r, α  известная константа, r  расстояние до точки минимума потенциальной энергии невозмущенного осциллятора. Найдите с точностью до первого порядка теории возмущений энергию основного состояния осциллятора.

4. (200 б.) Атом водорода находится в основном состоянии. В течение времени τ на него действует возмущение V(r) = β/r, где β  известная положительная постоянная, r  расстояние до ядра атома. Найдите вероятность перехода в первое возбужденное состояние.

5. (220 б.) Две частицы со спинами s₁ = s₂ = 1/2 находятся в однородном магнитном поле с индукцией B. В момент времени t = 0 система находилась в синглетном состоянии. Гамильтониан взаимодействия первой частицы с полем

гамильтониан второй равен

где ₁ < ₂  положительные постоянные. Спустя какое время система окажется в триплетном состоянии?

6. (240 б.) В некотором базисе гамильтониан невозмущенной системы и оператор возмущения имеют вид

Найдите энергетические уровни системы во втором порядке теории возмущений.

Переэкзаменовка

1. (120 б.) Найдите среднюю координату частицы, состояние которой описывается волновой функцией

2. (150 б.) Два первых уровня энергии двумерного осциллятора массой m равны второму и третьему уровням энергии частицы массой m в одномерной прямоугольной яме шириной a с бесконечно высокими стенками. Выпишите гамильтониан осциллятора.

3. (170 б.) На осциллятор массой m с частотой ω действует возмущение

V(x) = βδ(x – a),

где β – известная постоянная. При каких значениях a поправка первого порядка к энергии первого возбужденного состояния осциллятора будет максимальна? Чему она при этом равна?

4. (200 б.) Найдите среднее значение энергии кулоновского взаимодействия электрона с ядром в атоме водорода, находящемся в состоянии с n = 3, l = 2.

5. (220 б.) Система, состоящая из трех слабо взаимодействующих частиц со спином 1/2, находится в состоянии с определенными значениями суммарного спина s = 3/2 и его проекции s_z = 1/2. С какой вероятностью подсистему, состоящую из двух первых частиц, можно обнаружить в триплетном состоянии

6. (240 б.) В базисе состояний гамильтониан системы имеет вид

Найдите вид гамильтониана в энергетическом представлении. Какие значения энергии и с какими вероятностями можно обнаружить, если система находится в состоянии Найдите среднее значение энергии в этом состоянии.

Вторая переэкзаменовка

1. (100 б.) Волновая функция в полярных координатах задана следующим образом:

Найти средние значения и .

2. (100 б.) Найти собственные функции и собственные значения оператора

если

3. (100 б.) Осциллятор с частотой и массой m находится в состоянии

Найти среднее значение энергии.

4. (100 б.) Имеется система из трех спинов S₁ = S₂ = 1/2 и S₃ = 1. Найти значения суммарного спина S. Сколько состояний имеют проекцию суммарного спина S_z = 1? Какие это состояния?

Решения

Контрольные работы 2007 г.

Первая контрольная работа

1. Необходимо нормировать волновую функцию:

Нормированная волновая функция равна

По определению среднего

2. Рассмотрим оператор Комплексно сопряженный ему оператор По определению среднего

и

Покажем, что С этой целью воспользуемся тем, что и и вычислим интеграл в выражении для по частям:

Таким образом, показано, что среднее значение равно своему комплексно сопряженному значению Это означает, что оно вещественное, а оператор эрмитовский.

Можно было бы доказать, что оператор эрмитовский, из чего следует, что среднее значение в любом состоянии является вещественной величиной.

3. Возмущающее действие электрического поля на линейный осциллятор определяется оператором

Необходимые для решения задачи матричные элементы равны

Из полученного равенства следует, что

при n ≠ 1.

Таким образом, возможен только переход с основного уровня энергии на первый возбужденный. Вероятность такого перехода равна

Интеграл по времени вычисляется несложным образом, если воспользоваться формулами Эйлера:

Здесь использовано обозначение

Окончательный ответ:

4. Перенесем начало координат в точку x = –a/2: y = x + a/2. Тогда возмущение, действующее на частицу в бесконечно глубокой яме 0 ≤ y ≤ a, примет вид

Волновые функции частицы равны

Матричные элементы:

Отличны от нуля только два матричных элемента: V₁₁ = –V₀/2 и V₁₃ = V₀/2. В таком случае энергия основного состояния частицы в яме равна

Правильная волновая функция основного состояния будет иметь вид

или, если вернуться к независимой переменной x,

5. Пусть энергия E и разность ее последовательных значений ΔE измеряются в единицах Тогда энергия основного состояния частицы в ящике будет равна

где a, b, c – длины сторон ящика, квантовые числа имеют значения 1, 1, 1. Если у ящика две какие-либо стороны имеют равную длину, то уже второй уровень энергии будет вырожденный, что противоречит условию задачи. Итак, стороны ящика имеют разную длину. Предположим, что между длинами сторон выполняется соотношение a > b > c > 0 (это не нарушает общности исследования). Первое слагаемое в выражении для энергии первого уровня в силу сделанного предположения самое маленькое. Поэтому для второго уровня энергии можно написать

откуда с учетом выражения для энергии первого уровня следует, что ΔE = 3/a², следовательно, a² = 3/ΔE. Квантовые числа для второго уровня энергии имеют значения 2, 1, 1.

Энергия третьего уровня может определяться следующими наборами квантовых чисел: 3, 1, 1; 2, 2, 1; 1, 2, 1. Рассмотрим соответствующие выражения для энергии:

Первое из них оказывается невозможным: получается другое значение для ΔE. Второе противоречит принятому предположению: неравенству сторон ящика. Из третьего следует, что ΔE = 3/2b², соответственно b² = 3/2ΔE. Квантовые числа для третьего уровня энергии имеют значения 1, 2, 1.

Четвертый уровень энергии можно получить, увеличивая на единицу первое квантовое число (комбинация 2, 2, 1), либо третье из квантовых чисел, уменьшая при этом второе (комбинация 1, 1, 2). Соответственно можно написать два выражения для энергии четвертого уровня:

Первое равенство удовлетворяется автоматически. Из второго следует, что ΔE = 1/c². При этом выполняется неравенство a > b > c > 0. Таким образом, четвертый уровень энергии вырожденный.

При получении пятого уровня энергии возможны наборы квантовых чисел: 3, 2, 1; 1, 3, 1; 2, 1, 2. Последний набор дает выражение для пятого уровня энергии:

Из него следует, что ΔE = 1/c², как из второго выражения для четвертого уровня энергии.

Для шестого и седьмого уровней энергии можно показать, что единственными комбинациями квантовых чисел будут 1, 2, 2 и 2, 2, 2 соответственно. Энергия этих уровней определяется выражениями

Новых соотношений для длин сторон ящика не появляется.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют следующие длины сторон ящика:

Соответствующий объем ящика равен

Спектр состояний частицы (в пределах семи уровней энергии) выглядит следующим образом:

Энергия	Комбинация квантовых чисел
E₇	2, 2, 2
E₆	1, 2, 2
E₅	2, 1, 2
E₄	2, 2, 1; 1, 1, 2
E₃	1, 2, 1
E₂	2, 1, 1
E₁	1, 1, 1

Эти уровни равноотстоящие.
<< предыдущая страница следующая страница >>