Учебно-методический комплекс «Физика. Квантовая механика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет естественных наук

Физика. Квантовая механика

Модульная программа лекционного курса, семинаров, коллоквиумов и самостоятельной работы студентов

Учебно-методический комплекс

Новосибирск

2011

Учебно-методический комплекс «Физика. Квантовая механика» предназначен для студентов 2-го курса факультета естественных наук, специальность «Химия». В комплекс включены: программа курса лекций, структура курса и правила ИКИ, программа коллоквиумов по квантовой механике, методические указания к выполнению заданий. Кроме того, приведен набор задач для самостоятельной работы студентов с использованием учебной литературы и персонального компьютера и даны примеры вариантов контрольных работ, коллоквиумов и задач, предлагавшихся на экзамене в прошлые годы.

Составители:

д-р физ.-мат. наук, проф. П. А. Пуртов,

канд. физ.-мат. наук, доц. В. П. Замураев

Рецензент

канд. физ.-мат. наук, доц. А. П. Калинина

Издание подготовлено в рамках реализации Программы развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирский государственный университет» на 2009–2018 годы.

Оглавление

Аннотация рабочей программы…………………………………....4

1. Цели освоения дисциплины…………………………………………........5

2. Место дисциплины в структуре ООП…………………………………...5

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины……………………………………………………………………6

4. Структура и содержание дисциплины…………………………………..7

Программа курса лекций……………………………………………………8

I. Основные понятия квантовой механики……………………………8

II. Уравнение Шредингера……………………………………………11

III. Приближенные методы. Теория возмущений…………………...15

IV. Основы теории представлений. Матричная механика…………17

V. Теория углового момента. Атом водорода………………………21

VI. Сложение моментов. Спин. Симметрия волновой функции…...25

5. Образовательные технологии…………………………………………...27

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины…………….28

Рекомендуемая литература к теоретическому курсу…………………...29

Правила ИКИ……………………………………………………………...30

Перечень коллоквиумов…………………………………………………..32

Задание 1. Соотношение неопределенности. Волновая функция. Операторы, собственные функции, собственные значения………………..32

Задание 2. Физический смысл собственных значений операторов. Решение стационарного уравнения Шредингера и его приложения……….34

Задание 3. Теория возмущений………………………………………36

Задание 4. Матричная механика и теория представлений………….37

Задание 5. Квантовый момент импульса. Атом водорода………….39

Задание 6. Спин. Сложение моментов ………………………………40

Образцы вопросов для подготовки к экзамену………………………...41

Примеры задач на контрольных работах и на экзаменах………………42

Первая контрольная работа…………………………………………..42

Вторая контрольная работа…………………………………………..43

Экзамен………………………………………………………………...45

Переэкзаменовка………………………………………………………47

Вторая переэкзаменовка………………………………………………48

Решения………………………………………………………………..49

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.82

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины….……………82

Аннотация рабочей программы

Дисциплина «Физика. Квантовая механика» является частью математического и естественнонаучного цикла общей образовательной программы (ООП) по направлению подготовки 020100 «ХИМИЯ», квалификация (степень) «бакалавр». Дисциплина реализуется на факультете естественных наук Новосибирского государственного университета (НГУ) кафедрой общей физики.

Содержание дисциплины охватывает круг вопросов, связанных с квантовомеханическими явлениями, областями их экспериментального и технического применения, в том числе и в смежных областях знания и приборостроения и иного промышленного производства (в химии, медицине, биологии и т. д.).

Дисциплина нацелена на формирование у студентов общекультурных компетенций: ОК-6, ОК-7, ОК-8, ОК-9, ОК-13, ОК-14.

Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного процесса: лекции, семинарские занятия, контрольные работы, коллоквиумы, домашние задания, консультации, сдачи экзаменов, самостоятельную работу студентов.

Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля.

Текущий контроль. Освоение студентами курса проходит с использованием системы ИКИ (индивидуального кумулятивного индекса). В течение семестра студенты проходят следующие контрольные точки: пишут две контрольные работы, сдают шесть коллоквиумов, готовят и сдают шесть домашних заданий. Домашние задания нацелены на то, чтобы привить студенту навыки самостоятельного изучения физических явлений. Кроме того, преподаватель оценивает уровень подготовки студента к каждому семинарскому занятию. Все контрольные точки оцениваются баллами, и к концу семестра каждый студент набирает некоторую сумму баллов, которая может привести к получению итоговой оценки «автоматом» (от «удовлетворительно» до «отлично»). Непрохождение обязательной контрольной точки студентом является причиной недопуска к экзамену, и, как следствие, его неаттестации по всему курсу.

Итоговый контроль. Итоговую оценку за учебный семестр студент может получить на письменном экзамене в конце семестра, на котором он имеет возможность либо повысить оценку, полученную им «автоматом», либо получить любую положительную (или неудовлетворительную) оценку в случае отсутствия у него «оценки-автомата» по результатам системы ИКИ.

Общая трудоемкость дисциплины (за четыре семестра) составляет 16,5+4 зачетных единиц. Всего 594+144 = 738 академических часов. Программой дисциплины «Физика. Квантовая механика» предусмотрены 64 часа лекционных, 32 часа семинарских занятий, 20 часов прохождения контрольных точек в течение семестра (включая домашние задания), 46 часов самостоятельной работы студентов и 36 часов на экзамен; итого 216 часов, 6 зачетных единиц.

1. Цели освоения дисциплины

Курс «Физика. Квантовая механика» является одним из разделов четырехсеместрового курса общей физики для студентов специальности «Химия» ФЕН НГУ. Задачами этого большого курса являются: овладение фундаментальными основами части естествознания, отнесенными к изучаемому разделу физики; подготовка к восприятию последующих общих и специальных курсов, требующих знаний физики. В связи с этим курс «Физика. Квантовая механика» опирается на классическую учебную литературу с выверенными подходами. На лекциях даются основные представления о квантовомеханических явлениях, областях их экспериментального и технического применения, в том числе и в смежных областях знания, технологии и приборостроения и иного промышленного производства (в химии, медицине, фармакологии, биологии и т. д.). На семинарских занятиях студенты учатся использовать методологию предмета для решения различных задач теоретического плана, для выработки умения формулировать постановку задач, их физическое и математическое описание и последующее решение. В курсе лекций приводятся данные о физических свойствах изучаемых систем и явлений, что позволяет студенту составить представление об общих принципах их влияния на процессы в твердых телах, электрохимии, органической и неорганической химии, включая экологические аспекты.

Основной целью освоения дисциплины является усвоение студентами базовых принципов квантовой механики, умение пользоваться ими для решения конкретных физических задач и проблем.

По окончании изучения указанной дисциплины студент должен:

иметь представление о том, что лежит в основе теории квантовой механики, и ориентироваться в соответствующей учебной и научной литературе;
знать основные понятия и законы квантовой механики и методы решения задач;
уметь решать сравнительно несложные задачи по квантовой механике.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Дисциплина «Физика. Квантовая механика» является частью математического и естественнонаучного цикла ООП, базовая часть (общепрофессиональные дисциплины) по направлению подготовки 020100 «ХИМИЯ», уровень подготовки – «бакалавр».

Дисциплина «Физика. Квантовая механика» опирается на следующие дисциплины данной ООП:

математический анализ;
аналитическая геометрия;
линейная алгебра;
дифференциальные уравнения;
теория вероятности и математическая статистика;
физика (механика);
физика (электродинамика);
основы компьютерной грамотности (навыки обращения с ПК).

Результаты освоения дисциплины «Физика. Квантовая механика» используются в следующих дисциплинах данной ООП:

физика (термодинамика и статистическая физика);
химическая термодинамика;
строение вещества;
химия твердого тела;
общая химическая технология;
химическая кинетика;
охрана окружающей среды.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины:

общекультурные компетенции

использование основных законов естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применение методов математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-6);
умение работать с компьютерами на уровне пользователя и способность применять навыки работы с компьютером как в социальной сфере, так и в области познавательной и профессиональной деятельности (ОК-7);
способность понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны (ОК-8);
владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, навыки работы с компьютером как средством управления информацией (ОК-9);
настойчивость в достижении цели с учетом моральных и правовых норм и обязанностей (ОК-13);
умение работать в коллективе, готовность к сотрудничеству с коллегами, способность к разрешению конфликтов и социальной адаптации (ОК-14).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

иметь представление о наиболее известных квантовомеханических явлениях;
знать понятия и законы, определяющие квантовомеханические процессы;
уметь предсказывать и объяснять наиболее вероятные направления развития процессов с применением современных физико-химических методов;
быть готовым к педагогической деятельности в общеобразовательных учреждениях.

4. Структура и содержание дисциплины

Программой дисциплины «Физика. Квантовая механика» предусмотрены 64 часа лекций, 36 часов семинаров, 20 часов прохождения контрольных точек, 60 часов самостоятельной работы и 36 часов на экзамен; итого 216 часов, 6 зачетных единиц.

№ п/п	Наименование разделов и тем	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)						Формы текущего контроля успеваемости
№ п/п	Наименование разделов и тем	Лекция	Семинары	Контр. работа	Коллоквиумы	Самост. работа	Экзамен
1	Соотношение неопределенности. Волновая функция. Операторы, собственные функции, собственные значения	10	6		2	6		Коллоквиум
2	Физический смысл собственных значений операторов. Решение стационарного уравнения Шредингера	10	4		2	6		Коллоквиум
3	Теория возмущений	10	6	4	2	8		Коллоквиум Контрольная работа
4	Матричная механика и теория представлений	10	4		2	6		Коллоквиум
5	Квантовый момент импульса. Атом водорода	12	6		2	6		Коллоквиум
6	Спин. Сложение моментов. Влияние квантового момента импульса и спина на строение атомов и молекул	12	6	4	2	8		Коллоквиум Контрольная работа
							36	Экзамен
	Итого за курс	64	32	8	12	46	36
	Всего	162+36

Программа курса лекций

I. Основные понятия квантовой механики

Противоречие между опытными данными по микроскопическим объектам и представлениями классической механики. Стабильность атома. Капельная модель. Планетарная модель. Модель Бора предполагает, что для устойчивых круговых орбит момент импульса электрона квантован

mvr = n = 1,2,…

Фотоэффект. Для объяснения фотоэффекта следует считать, что электромагнитная волна – это набор частиц с энергией = Дифракция частиц на атомных решетках. Волны де Бройля. Корпускулярно-волновой дуализм. Частица с импульсом имеет длину волны . Принцип неопределенности. Координата и импульс частицы не могут быть измерены одновременно. Соотношение неопределенности: .

Вероятность события . Плотность вероятности .

Сумма вероятностей: для исключающих друг друга исходов вероятность появления любого одного из нескольких исходов равна сумме соответствующих вероятностей. Произведение вероятностей: если события независимы, то вероятность сложного события равна произведению вероятностей отдельных событий. Нормировка: . Среднее значение величины определяется соотношением

Волновая функция. Состояние частицы описывается волновой функцией которая в общем случае является комплексной. Волновая функция является непрерывной. Принцип суперпозиции: если какая-либо система способна находиться в состоянии с волновой функцией и в состоянии с волновой функцией то она может находиться и в состоянии с волновой функцией Плотность вероятности нахождения частицы в определенном состоянии равна квадрату модуля волновой функции:

Фазовый множитель волновой функции. Волновая функция определена с точностью до фазового множителя, например, функции и описывают одно и то же состояние системы.

Нормировка волновой функции

.

Квантово-механические операторы. Все взаимоотношения между механическими величинами в квантовой механике могут быть выражены на языке операторов. В результате действия некоторого оператора на волновую функцию получается другая волновая функция, . Среднее значение оператора определяется соотношением

Представление физической переменной в квантовой механике. Каждой физической величине соответствует оператор. Оператор координаты: . Оператор потенциальной энергии: Оператор импульса: Оператор кинетической энергии:

Действия с квантовомеханическими операторами. Сложение операторов: Произведение операторов: . Коммутативность. Коммутатором операторов и называется оператор , определенный соотношением . Оператор полной энергии (гамильтониан) имеет вид

Строгий вывод соотношения неопределенности:

Некоторые свойства квантовомеханических операторов. Линейность. Оператор называется линейным, если выполняется соотношение

Оператор называется сопряженным оператору , если справедливо соотношение

Оператор называется самосопряженным, или эрмитовым, если .

Собственные значения оператора, их связь со значением физической величины. Функция является собственной для оператора , если собственное значение. Если система находится в состоянии , то произведенное над нею измерение величины даст значение Например, состояние с определенным импульсом описывается волновой функцией вида .

Скалярным произведением волновых функций называется выражение Ортогональность волновых функций, соответствующих разным собственным значениям физического оператора. Собственные функции, относящиеся к различным собственным значениям ортогональны, т. е. их скалярное произведение равно нулю: Волновая функция системы двух невзаимодействующих частиц может быть представлена в виде . Волновая функция системы с независимыми степенями свободы также может быть представлена в виде произведения волновых функций, зависящих от той или иной координаты.

II. Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера для нахождения волновой функции имеет вид

Плотность потока вероятности определяется выражением

Справедливо уравнение неразрывности

Плотность потока вероятности для волны де Бройля равна:

Стационарные состояния. Если вероятность нахождения системы в определенном состоянии не меняется во времени, то такое состояние называется стационарным. Стационарное уравнение Шредингера имеет вид

Разложение общего решения уравнения Шредингера по стационарным волновым функциям. Общее решение уравнения Шредингера записывается в виде:

где и – собственные функции и собственные значения гамильтониана.

Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Потенциальная энергия этой системы задается выражением

Стационарные волновые функции, их ортогональность. Уровни энергии. Волновые функции и уровни энергии определяются соотношениями:

Частица в трехмерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Потенциальная энергия равна нулю, если и во всей остальной области. Стационарные волновые функции. Уровни энергии. Волновые функции и уровни энергии определяются соотношениями:

Вырождение. Если одному и тому же значению энергии соответствует несколько разных волновых функций, то такой уровень называется вырожденным. Пусть тогда основное состояние (самое низшее по энергии) не вырождено, а первое возбужденное состояние трехкратно вырождено, второе возбужденное состояние также трехкратно вырождено.

Отражение и прохождение через потенциальные барьеры.

Ступенька соответствует ситуации . Для случая имеет место чисто квантовый эффект надбарьерного отражения частицы. Коэффициенты отражения и прохождения равны

где Для случая вероятность найти частицу в классически запрещенной области не равна нулю.

Прямоугольный барьер, в отличие от ступеньки, имеет конечную ширину Для случая имеет место туннельный эффект, т. е. частица может «протуннелировать» через классически запрещенную подбарьерную область. Коэффициент прохождения равен

где

Общие свойства волновой функции. При решении задачи использовались свойства непрерывности волновой функции и ее первой производной на границах областей. δ-функция Дирака. δ-функция определяется следующими соотношениями:

δ-образная потенциальная яма соответствует условию . В такой яме существует только одно стационарное состояние с волновой функцией

где и уровнем энергии Потенциальная яма с небольшим числом стационарных состояний называется мелкой.

2.4. Гармонический осциллятор. Для одномерного гармонического осциллятора потенциальная энергия записывается в виде Стационарные волновые функции, их ортогональность, уровни энергии. Гармонический осциллятор обладает эквидистантным набором уровней энергии

Стационарные волновые функции выражаются через полиномы Эрмита:

где – безразмерная координата. Полиномы Эрмита определены формулой

Волновые функции гармонического осциллятора связаны рекуррентным соотношением

Приближенные методы. Теория возмущений

3.1. Ряд приближенных методов решения уравнения Шредингера носят название теории возмущений. Теория возмущений, не зависящих от времени. В этой задаче гамильтониан разделяется на две части: . Предполагается, что для гамильтониана решение уравнения Шредингера известно, . Часть гамильтониана называется возмущением. Поправки первого и второго порядка к уровням энергии и первого порядка к волновой функции в случае невырожденных исходных уровней. Решение ищется в виде

Поправки имеют вид

Условие применимости теории возмущений:

3.2. Ортогонализация вырожденных волновых функций. Стационарная теория возмущения в случае вырождения. При наличии вырождения предыдущая теория возмущений не работает. «Правильные» волновые функции ищутся как линейные комбинации волновых функций вырожденного уровня энергии: . После подстановки в уравнение Шредингера получается секулярное уравнение (система алгебраических уравнений):

Секулярное уравнение имеет ненулевое решение при условии = 0. Из этого решения получаем поправки к вырожденному уровню энергии. Если все различны, то имеет место полное снятие вырождения, в противном случае только частичное. Далее значения по очереди подставляются в секулярное уравнение и находятся наборы коэффициентов Затем строятся «правильные» волновые функции.

3.3. Возмущения, зависящие от времени. Если на систему действовало возмущение, зависящее от времени то в результате система может перейти из одного состояния в другое. Для нахождения вероятности перехода решается временное уравнение Шредингера с гамильтонианом Волновая функция возмущенного состояния ищется в виде Переходы под влиянием конечного во времени возмущения. Вероятность перехода. Если возмущение действовало в течение конечного времени, то рассчитывается вероятность перехода из одного стационарного состояния в другое. Такая вероятность равна

где

Переходы под влиянием периодического возмущения. Вероятность перехода. Если действует периодическое возмущение (с частотой ), то рассчитывается вероятность перехода к моменту времени Эта вероятность равна

Из последней формулы можно получить на больших временах «золотое» правило Ферми для переходов в непрерывном спектре:

.

IV. Основы теории представлений. Матричная механика

4.1. Полный набор одновременно измеримых величин. Если какие-либо физические величины одновременно измеримы, то их операторы имеют общие собственные функции и операторы коммутируют.

4.2. Матричный аппарат квантовой механики был создан раньше волновой механики и некоторое время развивался независимо от нее. Кет- и бра-векторы. Состояние системы характеризуется векторами состояний: кет-вектором и бра-вектором . Скалярное произведение векторов записывается в виде . Разложение вектора по базису. Векторы состояний и можно разложить по своим базисам:

.

Компоненты бра- и кет-векторов и находят с помощью скалярного произведения:

Набор изображают в виде столбца, а набор – в виде строки. Скалярное произведение не зависит от представления и вычисляется как произведение строки на столбец:

Квантовомеханический оператор в дискретном представлении однозначно характеризуется матрицей, элементы которой определяются через базисные векторы и как . Его действие на вектор состояний в конкретном представлении вычисляется как

т. е. по принципу умножения матрицы на столбец. Оператор определяется как

Для эрмитова оператора в качестве базиса обычно используется система собственных ортонормированных векторов состояния физического оператора: Название представления соответствует названию физического оператора.

Для перехода из одного представления в другое можно использовать единичный оператор

Так, при переходе из представления в представление для волновой функции имеем

а для матрицы оператора

где и соответствующие ортонормированные базисы.

4.3. Обобщение матричного аппарата на непрерывный базис. Примером работы в непрерывном базисе является работа с волновыми функциями, получаемыми из решения уравнения Шредингера. В этом случае в качестве базисных состояний выбраны состояния, представляющие собой пребывание системы в данной точке пространства с координатами Волновые функции и операторы в этом случае записываются в координатном представлении и изменяются непрерывно с изменением координат. Главное отличие непрерывного базиса от дискретного состоит в том, что все суммы в приведенных выше выражениях заменяются на интегралы. Кет- и бра-векторы в непрерывном базисе, разложение вектора по непрерывной системе ортов: Ортонормированность базиса: Нормировка волновой функции оператора импульса. Нормированные функции оператора импульса равны , нормировка функций оператора импульса имеет вид

Оператор в базисе из собственных функций для непрерывной системы ортов записывается в виде Оператор в собственном представлении может быть изображен диагональной матрицей а оператор любой функции – матрицей . Матрица оператора импульса в представлении может быть записана так: .

4.5. -представление. Матрица оператора в импульсном представлении записывается в виде . Матрица оператора импульса в собственном представлении имеет вид . Оператор в p-представлении имеет вид Матрица оператора в -представлении имеет вид

.

Волновая функция в -представлении, ее связь с волновой функцией в -представлении. Волновой функции в -представлении ставится в соответствие волновая функция в -представлении:

-представление. Если за независимую переменную выбирается энергия частицы, то такое представление называется энергетическим, или -представлением. Обозначая собственные функции оператора Гамильтона как , запишем

.

Совокупность коэффициентов есть волновая функция в энергетическом представлении.

Шредингеровский и гайзенберговский варианты -представления волновой функции. Представление, в котором волновая функция изменяется во времени в соответствии с уравнением Шредингера, называется представлением Шредингера. Волновая функция в представлении Гейзенберга связана с волновой функцией в представлении Шредингера соотношением

В представлении Гейзенберга волновая функция от времени не зависит, временная зависимость переносится на операторы

V. Теория углового момента. Атом водорода

Оператор момента импульса определяется соотношением . Этот оператор может быть записан как детерминант матрицы

Коммутационные соотношения операторов момента имеют вид

Повышающий и понижающий операторы определены соотношениями

Правила коммутации для них можно записать в виде

Более удобной является сферическая система координат. Вид операторов момента в сферической системе координат:

Собственные функции и собственные значения оператора (плоский ротатор) имеют вид

Собственные значения оператора имеют вид

Матричные элементы операторов момента. Будем обозначать собственные функции операторов и как Наиболее важными матричными элементами являются матричные элементы операторов повышения и понижения:

Остальные матричные элементы могут быть выражены через матричные элементы повышающего и понижающего оператора.

Собственные функции оператора (шаровые функции) выражаются через присоединенные полиномы Лежандра:

Приведем примеры нескольких первых функций:

На практике используются линейные комбинации шаровых функций – -функции:

Полярная диаграмма шаровых функций. Полярная диаграмма -функций. -функции выглядят как «объемные восьмерки», вытянутые вдоль координатных осей.

Движение в центрально-симметричном поле. Квантовая задача двух тел с потенциалом взаимодействия зависящим только от относительного расстояния, сводится к движению одного тела. Гамильтониан такой системы записывается в виде

,

где – приведенная масса. Общий вид решения уравнения Шредингера ищется в виде Уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции в случае водородоподобного атома приобретает вид

Уравнение Шредингера для атома водорода обычно записывают в безразмерном виде и с переходом к новой переменной :

где боровский радиус,

Решение уравнения Шредингера для атома водорода выражается через полиномы Лагерра (n = 1,2,…):

Примеры радиальных функций:

Уровни энергии имеют вид Степень вырождения уровня равна

Оператор инверсии координат определяется равенством Четность состояния. Четность решений уравнения Шредингера для водородоподобного атома определяется величиной орбитального момента:

VI. Сложение моментов. Спин. Симметрия волновой функци

Спин частиц. Частицы обладают собственным механическим моментом, который называется спином. Экспериментально обнаружен в опытах Штерна – Герлаха. Операторы спинового момента: Коммутационные соотношения для операторов спина совпадают с коммутационными соотношениями для оператора орбитального момента. Собственными функциями оператора для спина 1/2 являются функции и :

Часто при решении задач используются матрицы Паули, которые с точностью до 2 совпадают с матрицами спиновых операторов: . Коммутационные соотношения между ними могут быть записаны в виде .

Сложение моментов в слабовзаимодействующих системах. Оператор суммарного момента определяется соотношением . Коммутационные соотношения для оператора суммарного момента определяются такими же соотношениями, что и для одного момента. Величина квадрата суммарного момента. Проекция суммарного момента на выделенную ось. Правило поиска суммарного значения и значения проекции суммарного момента. Суммарный момент может принимать следующие значения: Выбираются два набора базисных состояний. Первый базис - это базис двух подсистем. Второй базис - коллективный базис. Эти базисы связаны соотношением

Коэффициенты называются коэффициентами Клебша – Гордана. Принципы поиска коэффициентов. В простых системах коэффициенты легко находятся, например, с использованием повышающих или понижающих операторов. Сложение двух спинов 1/2. Триплетное и синглетное состояния. Две частицы со спином по 1/2 образуют состояния с полным спином 0 или 1:

Системы тождественных частиц. Принцип неразличимости тождественных частиц. Перестановка тождественных частиц. При перестановке тождественных частиц волновая функция либо не изменяется, либо меняет знак. Фермионы и бозоны, их волновые функции. Частицы с полуцелым спином являются фермионами, их волновая функция при перестановке меняет знак. Частицы с целым спином называются бозонами, их волновая функция при перестановке знак не меняет. Электроны являются фермионами. Для многоэлектронной системы волновая функция выбирается в виде детерминанта Слэтера:

Спин-орбитали. Принцип Паули: в одном состоянии может находиться не более одного фермиона. Волновая функция двухэлектронной системы может быть представлена в виде произведения координатной и спиновой функции. Если спиновая функция симметрична (триплетное состояние), то координатная – антисимметрична. Если спиновая функция антисимметрична (синглетное состояние), то координатная – симметрична. Таким образом, спин управляет симметрией координатной волновой функции. Это приводит к специфическому обменному взаимодействию и порождает химическую связь.

следующая страница >>