Случайные события

1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1.1. Основные теоретические положения и формулы
Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности в случайных явлениях и процессах.

Случайное явление – это явление, которое при повторении опыта протекает каждый раз по иному.

Случайный процесс можно представить как последовательность связанных друг с другом случайных явлений.

Опыт (испытание) – целенаправленная, запланированная деятельность человека, как правило, неоднократно повторяемое, с целью изучения законов природы.

Событие (исход) – всякий факт, который может произойти в результате некоторого опыта.

Случайное событие – событие, которое в результате опыта может произойти, а может не произойти.

Пример 1.1. Стреляют по цели из орудия. Здесь выстрел из орудия можно трактовать как опыт, событие как – попадание снаряда в цель, случайное событие – как попадание или не попадание снаряда в цель. 

Отметим две особенности теории вероятностей. Теория вероятностей имеет дело с массовыми случайными явлениями (много объектов исследования или опыт повторяется неоднократно). Именно в массовых случайных явлениях проявляется закономерность в виде устойчивости определенных характеристик. Свойство устойчивости лежит в основе теории вероятностей. Определенные особенности опыта в массе взаимно погашаются, нивелируются, и средний результат оказывается практически не случайным. Например, при большом числе бросаний монеты отношение случаев выпадения герба к количеству бросков стремится к 0,5. Таким образом, теория вероятностей не может предсказать исход отдельного опыта, он остается случайным, но дает возможность предсказать средний результат многократно повторяемых опытов.

Случайные события обозначаются большими буквами А, В, С, .... События бывают простыми (элементарными), когда их нельзя разделить на более простые, и сложными, состоящими из композиции простых событий. Например, бросанию одной монеты соответствуют два элементарных исхода - выпадение герба или решки. Для каждого опыта можно указать некоторую совокупность (множество) взаимно исключающих друг друга (альтернативных) элементарных событий. Причем в результате опыта должно обязательно реализоваться одно из них. Такая совокупность называется пространством элементарных событий и обозначается . Элементарные события обозначаются - , , где пробегает значения от 1 до (количество элементарных событий). Пространство элементарных событий может быть конечномерным или бесконечномерным. Приведем пример конечномерного пространства. Бросают две монеты разного достоинства, имеется четыре альтернативных исхода :

Примером бесконечномерного пространства является стрельба в мишень конечного размера, если попадание рассматривать как математическую точку. Пронумеровать все исходы, а это попадание в цель, невозможно.

Из элементарных событий можно составить более сложные события. Благоприятствующими событиями к событию А называют такие события, в результате появления которых появляется событие А. Например, при бросании двух монет событию А – выпадению одного герба – благоприятны два события: и и неблагоприятны: и . Событию В – выпадение хотя бы одного герба – благоприятны три элементарных события: . Заметим, что понятие благоприятных событий очень важно для подсчетов вероятностей событий.

Рис. 1.1

ля наглядной иллюстрации простанства элементарных событий служит диаграмма Венна представленная в виде прямоугольника, где события изображаются в виде некоторых фигур или просто кругов Эйлера. На рис. 1.1 представлена диаграмма Венна с тремя событиями А, В и С. Каждое элементарное событие (исход) соответствует точке внутри этого прямоугольника. События А, В и С заключаются в попадании этой точки в данные области.
1.2. Классификация событий
Д


А

Рис. 1.2

остоверное событие – событие, которое обязательно должно произойти в данном опыте. Например, при бросании игральной кости, на каждой из сторон которой разное количество очков от 1 до 6, событие А – выпадение не более 6 очков, является достоверным. В этом случае А= и событие А заполняет всю диаграмму Венна.

Невозможное событие – событие, наступление которого в данном опыте абсолютно исключено. Например, для того же примера с бросанием кости, событие В – выпадение 12 очков, невозможное событие. В этом случае полагаем .

Несовместные события – это события, которые не могут наступить в одном и том же опыте. Например, выпадение герба и решки при одном бросании монеты – несовместные события. Такие события обозначаются на диаграмме Венна непересекающимися кругами Эйлера.

С
Туз

Пиковый туз

Пиковая масть

Рис. 1.3

овместные события – это события, которые могут наступить в одном и том же опыте. В этом случае появление одного события А не исключает появление другого события В. Например, при вынимании из колоды карт туза – событие А, не исключается, что туз может быть пиковым – событие В. Совместные события на диаграмме Венна могут быть показаны в виде пересекающихся кругов Эйлера (Рис.1.3).

Равновозможные события – события, ни одно из которых не является более возможным, чем остальные в данном опыте. Такие события обладают одинаковой степенью реализации и обусловлены наличием симметрии исходов в опыте. Примером симметрии исходов опыта могут служить азартные игры, где кости должны быть однородными с правильными гранями, карты не крапленые, рулетка без тормоза, и т.д. Так, например, при бросании не гнутой монеты, события выпадения герба и решки являются равновозможными. На диаграмме Венна площадь кругов Эйлера в этом случае одинакова.

П



Рис. 1.4

олная группа событий. События образуют полную группу событий, если в результате опыта одно из них обязательно реализуется. Это значит, что в совокупности такие события занимают все пространство элементарных событий. Например,  (Рис.1.4).

Рис. 1.5

Отрицанием события А (противоположным событием) называется событие , состоящее в том, что событие А не наступит. Противоположные события можно рассматривать как частный случай полной группы событий с (Рис.1.5). Другими словами: два события называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу.
1.3. Классическое определение вероятности
Различные события, как известно, отличаются различной степенью возможности их реализации. Поэтому для количественного сравнения событий необходимо ввести некоторое число, которое тем больше, чем больше возможность реализации этого события. Такое число и называется вероятностью события.

Вероятность события - это численная мера степени объективной возможности реализации этого события. Обозначается или . Здесь под скобками подразумевается не функциональная зависимость, а просто указание, что вероятность относится к событию .

Для получения формулы классической вероятности необходимо ввести понятие случая. События называются случаями, если они несовместны, равновозможны и образуют полную группу событий. Характерным примером случая являются результаты азартных игр. Более того, исторически формула классической вероятности была получена именно из анализа азартных игр. Если в некотором опыте исходы являются случаями, то для таких опытов можно непосредственно подсчитать вероятность того или иного случая. Подсчет вероятности основан на оценке доли благоприятствующих случаев в общем числе случаев. Если m – число благоприятствующих случаев событию , а n – общее число случаев опыта, то вероятность события А определяется формулой

где - мера события . Очевидно должно выполняться .

Пример 1.2. Найти вероятность выпадения четной цифры при бросании игральной кости.

 Всего возможно 6 случаев, выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Количество благоприятствующих выпадению четной цифры случаев 3 - это 2, 4 и 6, поэтому .

Пример 1.3. В урне 5 красных, 3 синих, 7 желтых и 10 белых шаров. Найти вероятность того, что случайно вытащенный из урны шар является цветным.  Так как событию «появление цветного шара» благоприятны 15 случаев из 25, то .
1.4. Элементы комбинаторики
Математическим аппаратом вычисления вероятностей для “схемы случаев” является комбинаторика – один из разделов дискретной математики.

Основной задачей комбинаторики является задача о размещении элементов множества в соответствии со специальными правилами и выяснение, сколькими способами это можно осуществлять. Важным в комбинаторике является понятие конечного счетного множества. Всякая конечная совокупность элементов произвольного рода называется множеством. Множество считается определенным, если указаны все его элементы с помощью какого-либо признака или с помощью некоторого списка, где обозначены все его элементы. Пространство элементарных событий можно рассматривать как конечное и счетное множество, а случайные события как элементы этого множества. Сложные события можно рассматривать как множество элементарных событий. Будем обозначать множества, как и события буквами а их элементы малыми буквами Запись обозначает, что есть элемент множества . Запись обозначает, что не принадлежит множеству . Множество характеризуется количеством элементов, которое для конечных множеств называется мощностью множества и обозначается или . Два множества считаются равными между собой , если элементы первого множества являются и элементами второго и наоборот: , . Пустым множеством называется множество , не содержащее ни одного элемента. Должно выполняться . Если каждый элемент множества В входит в А, но не все элементы входят в , то называют подмножеством и обозначают . Запись обозначает включение до совпадения. Очевидно . Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число - номер элемента от 1 до , где - число натуральное, так, что различным элементам множества соответствуют различные числа. Всякое конечное множество можно сделать упорядоченным, если переписать все элементы в некоторый список и пронумеровать его. Обозначают упорядоченное множество как . Если, в множестве имеется элементов, то можно образовать подмножеств.

Существуют два основных правила комбинаторики:

Если два альтернативных (взаимно исключающих) действия могут быть выполнены n и m способами, то выполнение одного из них возможно способами. Например, если в вазе лежат пять груш и два яблока, то количество способов выбрать один фрукт – семь;
Если первое действие можно сделать n способами, а второе – m способами, то два действия можно сделать способами.

Пример 1.4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если:

а) цифры могут повторяться;

б) ни одна из цифр не повторяется больше одного раза;

в) число должно быть нечетным и цифры могут повторяться.

 а). Имеем три позиции. На первую позицию (сотни) претендуют 6 цифр, а не семь, поскольку 0 исключается (иначе будет двухзначное число); на вторую позицию претендуют уже 7 цифр, так как 0 уже можно использовать (цифры могут повторяться); на третью позицию (единицы) опять претендуют 7 цифр. Таким образом, получаем трехзначных чисел.

б). В этом случае на первую позицию претендует, очевидно, 6 цифр; на вторую (десятки) претендует уже 6 цифр, поскольку одна из цифр уже использована; на третье место претендует уже 5 цифр, поскольку две использовали. Таким образом, имеем трехзначных чисел.

в). В этом случае имеем чисел, поскольку нечетное число должно оканчиваться на нечетную цифру, а их три - 1, 3, 5. 

Количество способов организации заданных подмножеств данного множества определяется известными комбинаторными коэффициентами.

Перестановки. Пусть упорядоченное множество состоит из n элементов. Тогда количество способов различных размещений этих элементов на n мест (или по-другому, количеством способов выбора n элементов из n) называется перестановкой и определяется формулой:

Здесь , символ (!) - знак факториала. Действительно, берем один из элементов множества и размещаем в любом месте упорядоченного множества. Способов это сделать . Берем второй элемент и способов его размещения уже , так как одно место уже занято, и т.д. Последний элемент можно разместить только одним способом, так как остается незанятым только одно свободное место. Отметим, что операция размещения учитывает порядок выбора элемента, при этом если выбранный элемент в дальнейшем выборе не участвует, то ее называют размещениями без повторений.

Пример 1.5. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке.

 Используем определение перестановок: .

Пример 1.6. Сколькими способами можно переставить элементов так, чтобы данные два элемента не стояли рядом?

 Всего различных перестановок . Количество способов, когда данные элементы стоят рядом, равно . Так как двумя способами их можно переставить между собой, способами разместить среди элементов и способами можно переставить оставшиеся элементов, которые нас не интересуют. Таким образом, количество способов перестановки, учитывающих условие того, что заданные два элемента не стоят рядом, равно .

Размещения. Рассмотрим задачу о количестве способов выбора элементов из элементов множества. Всего способов размещения этого множества, как мы уже знаем, . Нас интересует упорядоченное размещение только элементов из . Остальные элементов нас не интересуют, а способов их размещений . Таким образом, количество способов такого выбора, которое собственно и называется размещением k элементов среди n, определяется как

.

Заметим, что для случая , выполняется соотношение .

Пример 1.6. Сколькими способами можно рассадить 3 человек на 10 мест.

 Используем формулу для числа размещений: . Можно использовать формулу для числа перестановок: количество способов разместить первого человека на 10 мест, очевидно, равно 10, второго 9, поскольку одно место уже занято, ну а третьего уже только 8. В итоге получаем . 

Сочетания. Рассмотрим задачу о числе способов выбора элементов среди элементов, когда нам не важен порядок выбора k элементов. Если нас не интересует взаимные размещения элементов на k мест (а их ), а интересует только их сочетание, то количество способов выбрать элементов из элементов, определяется как

и называется числом сочетаний элементов из элементов. Порядок выбора не важен, когда элементы множества для нас неразличимы (например, одноцветные бильярдные шары) или их различия для решения каких-то задач нам не интересны (например, разделения людей по полам).

Пример 1.7. Сколькими способами можно выбрать 3 книги из 12 ?

 Нас не интересует последовательность выбора этих трех книг, а только их сочетание, поэтому . 

Пример 1.8. В турнире принимают участие n шахматистов и каждые два из них встречаются между собой только один раз. Сколько партий будет сыграно?

 Поскольку шахматисты неразличимы и нас интересует только количество встреч между ними, то: 

_{Из формулы для определения числа сочетаний} _k _{элементов из} _n _{следует симметрия этого числа по индексам:}

_.

Отметим, что числа являются коэффициентами бинома Ньютона и определяют постоянные в сумме

Так, для , , , для , , , откуда следуют известные формулы:

Умножая бином Ньютона на и легко получить следующие свойства:

, .

Задавая различные значения и в биноме, можно получить следующие биноминальные тождества:

для , ;

для , .

Предпоследнее тождество определяет количество всех подмножеств множества из элементов, включая пусто множество.

Пример 1.9. Дано множество . Определить количество всех подмножеств, образующихся из этого множества.

 . .

Перестановки с повторением. Рассмотрим выборку элементов с повторе-ниями, когда выбранный элемент множества возвращается в это же множество и участвует в дальнейшем выборе. Если множество имеет одинаковые или повторяющиеся элементы, то их перестановка между собой не приводит к новому упорядоченному множеству. Поэтому надо исключить способы, когда меняются местами одинаковые элементы, число которых пусть будет , причем . Тогда количество способов перестановки элементов множества между собой так, чтобы при этом все комбинации были различными, определяется по формуле

и являются полиномиальными коэффициентами, которые определяют постоянные в сумме

В частном случае, когда полиномиальные коэффициенты являются биноминальными.

Пример 1.10. Сколькими способами можно переставить буквы в слове “математика”?

 Очевидно, что буквы “м” и “т” встречаются по два раза, а буква "а" три раза. Поэтому количество способов получить различные перестановки равно .

Размещения с повторением. Рассмотрим размещение элементов с повторением из n элементов. Очевидно, что таких способов

.

Пример 1.11. Сколькими способами можно составить пятизначный номер из девяти цифр от 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, причем цифры в номере могут повторяться?

 Так как , и , то на все 5 позиций претендуют по 9 цифр:

.

Сочетание с повторением. Пусть имеются n различных элементов множества и из них надо образовать комбинаций, не принимая во внимание порядок в комбинации. Образуемые комбинации должны отличаться хотя бы одним элементом. В этом случае число сочетаний с повторением определяется формулой:

.

Действительно, если элементов расположить по типам и их перенумеровать, а затем еще раз перенумеровать, прибавляя последовательно по единице к номеру каждого типа, то получим сочетание уже без повторений, состоящее из неповторяющихся чисел 1, 2, 3, …, . Заметим, что все они различны, и при этом в каждое сочетание входят элементов.

Пример 1.12. В магазине продаются пирожные 4 сортов. Сколькими способами можно купить 7 пирожных ?

 Очевидно, что сорта пирожных среди купленных будут повторяться. Обозначим , .

.

Пример 1.13. Каково возможное количество костей домино, если на каждой из костей по две из 7 цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?

 .

Пример 1.14. Дано множество . Образовать множество по 2 элемента с повторением и определить количество элементов этого множества.

 ; .

1.5. Статистическая вероятность

и относительная частота событий
Если опыт не сводится к “схеме случаев” (например, кость со смещенным центром тяжести), то вероятность события определить так просто, как делалось выше, невозможно. Однако есть другой способ подсчета, применяемый на практике. Производится n однородных опытов, в каждом из которых заданное событие А появляется или не появляется. Относительной частотой события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых событие А происходит, к числу всех опытов. Если m^* число опытов, где появилось А и n число опытов, то относительная частота события А определяется

.

В отличие от классического определения вероятности, относительную частоту событий будем отмечать звездочкой.

Статистической вероятностью называют предел к которому стремится относительная частота события А при неограниченном увеличении числа опытов (n). Так как на практике число опытов всегда конечно, то относительная частота события будет только приближенной оценкой его вероятности.

Свойства относительной частоты событий:

, так как относительная частота невозможного события и частота достоверного события
При увеличении числа опытов относительная частота события А стремится к некоторому пределу, который и будет вероятностью события А. Говорят, что относительная частота сходится по вероятности к вероятности события А и обозначается . Под этой записью подразумевают, что событие, заключающееся в том, что абсолютная разность частоты и вероятности события А меньше бесконечно малой величины, является достоверным:

Заметим, что между и P имеются сходства и различия. Сходство обусловлено тем, что, чем чаще событие наблюдается, тем больше его вероятность, и наоборот. Отличие же заключается в том, что вероятность события определяется и до опыта, а частота события только после опыта.

1.6. Геометрическая вероятность
В ряде практических задач число возможных исходов бесконечно (пространство элементарных событий бесконечно), что делает невозможным применение классического определения вероятностей. Однако, если остается в силе понятие равновозможности событий, то применяется так называемый геометрический метод подсчета вероятности. Задача сводится к бросанию математической точки на конечный участок прямой или плоскости или пространства и делается подсчет его доли. Так, если есть отрезок длиной и его часть (), то вероятность математической точки попасть в отрезок находится как . То же самое для плоскости. Пусть имеем на плоскости область включающую область (Рис. 1.6), тогда вероятность попадания математической точки в находится как отношение площадей

,

десь вероятность попадания не зависит от формы областей и , а зависит только от их площадей.
Пример 1.15. Вращается диск, на котором имеется черный сектор с площадью 1/5 всего диска. Найти вероятность попадания математической точки в черный сектор.

 Используем формулу для геометрической вероятности

.

Пример 1.16. З
t

₆₀

15

60

t

встречи нет

Рис. 1.7

адача о встрече. Два товарища договорились встретиться с до в условленном месте и договорились ждать не более 15 минут. Найти вероятность их встречи.

 Для решения построим "вероятностный" чертеж (Рис.1.7). По оси ординат отложим время ожидания одного из них, а по оси абсцисс время ожидания другого. Видно, что встреча произойдет, если время их совместного прихода попадет в заштрихованную область. Тогда

.

1.7. Алгебра событий
Если событие, вероятность которого необходимо определить, достаточно сложное, то его представляют в виде композиции элементарных событий или более простых событий, вероятность которых известна.

Суть этого метода сводится к применению двух теорем о сложении и умножении вероятностей и большого числа их следствий. Обе теоремы строго доказываются только для “схемы случаев”. Для событий, не сводящихся к “схеме случаев” эти теоремы принимаются как аксиомы.

Объединением двух событий А и В называют событие С, состоящее в выполнении события А или В (хотя бы одного их них). Объединение обозначается как. Если события несовместны, то объединение называется суммой событий и обозначается , причем, если и , т


о . На диаграмме Венна сумма событий А и В интерпретируется, как общая площадь кругов Эйлера. На рисунке 1.8 изображено в виде заштрихованной области. Поясним на п
Рис. 1.8

римере.

Пусть , тогда . Все элементы множества А и В входят в только один раз. Другой пример, событие А – попадание в мишень при первом выстреле, а событие В – попадание в мишень при втором выстреле, то – событие хотя бы одного попадания. Очевидно, что для числа элементов множества должно выполняться соотношение:

С
лучай трех событий представлен на Рис.1.9. Событие изображено заштрихованной областью. Число элементов этого множества определяется формулой:

Рис. 1.9

Пример 1.17. В детском спортивном клубе каждый спортсмен либо девочка, либо блондин, либо не любит мороженое. В клубе 50 девочек, из них 20 блондинок и лишь две блондинки не любят мороженое, 30 блондинов, из которых мороженое не любят 5. Всего спортсменов, не любящих мороженое, 12, из них 8 девочек. Сколько спортсменов в данном спортивном клубе?

 Из условия - множество девочек, ; - множество блондинов, ; - множество спортсменов, не любящих мороженое, . Далее из условия следует, что , , , . Тогда количество спортсменов есть:

. 

Если события несовместны, то есть событие появления только одного из них, или А или В (Рис. 1 10). Заметим, что .

П
Рис. 1.10

риведем пример построения сложного события из более простых. Пусть произведено 4 выстрела. Обозначим события: – все промахи; – одно попадание в 4 выстрелах; – два попадания; – три попадания; – четыре попадания в 4 выстрелах. Тогда сложные события конструируются так:

– не более двух попаданий ;

– не менее трех попаданий ;

– хотя бы два попадания ;

– хотя бы одно попадание .

П

Рис. 1.11

Рис. 1.12

ересечением (произведением) двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении событий А и В. Логическое умножение – это пересечение множеств А и В. Обозначается или . На диаграмме Венна произведение событий А и В интерпретируется как область пересечения кругов Эйлера. Очевидно, что если А и В несовместны, то . На рис. 1.11 представлена заштрихованной областью. Поясним на примере. Пусть , то . Можно обобщить на произведение нескольких событий, например трех. Произведение трех событий А, В и С есть событие, состоящее в их совместном появлении . На рис. 1.12 D представляет собой область пересечения совместных событий А, В и С.

Пример 1.18. Из колоды карт вынимают наугад карту. Определить событие С: вынутая карта – бубновый валет.

 Обозначим событие А - вынутая карта валет, событие В - карта бубновой масти. Тогда бубновый валет – это событие С =.

Пример 1.19. По мишени сделано 3 выстрела. Составить событие В, состоящее в том, что после трех выстрелов в мишени есть хотя бы одно попадание.

 Обозначим элементарные события: – попадание при первом выстреле, – попадание при втором выстреле, – попадание при третьем выстреле, – промах при первом выстреле, – промах при втором выстреле и – промах при третьем выстреле. Тогда событие хотя бы одного попадания в мишень можно записать в виде , где событие одного попадания в трех выстрелах, а и – события, что в мишень попали два и три раза, соответственно. События , и можно выразить через элементарные события следующим образом

,

,

.

Заметим, что промах при трех выстрелах описывается . Заметим так же, что события , , , несовместны и образуют полную группу событий. 

Пример 1.20. Стреляют по воздушному шарику. При попадании он лопается. Составить событие В, заключающееся в том, что по шарику стреляли три раза и он лопнул. Кроме того, составить событие С, состоящее в том, что по шарику стреляли не более трех раз, прежде чем он лопнул.

 Как и в предыдущей задаче обозначим , и – элементарные события попадания в шарик при первом, втором и третьем выстреле, а , и – соответствующие промахи. Тогда , а событие . 

З
Рис. 1.13

аметим, что наряду с операциями сложения и умножения можно ввести операцию логического вычитания (исключения) или , состоящее в том, что происходит событие А, а событие В не происходит. Однако эта операция не самостоятельна и может быть заменена операцией умножения событий . Таким образом, выполняется соотношение .

Рис. 1.14

ействительно, это видно из сравнения двух диаграмм Венна (Рис. 1.13 и Рис. 1.14). Здесь событие является пересечением событий А и и соответствующая область показана на диаграмме двойной штриховкой.

Законы алгебры событий.

. 6. .
. 7. .
. 8. .
. 9. .
. 10. .

Законы № 6, 7 называются законами де Моргана.
1.8. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

.

Следствие 1. Можно обобщить формулу на произвольное число несовместных событий

.

Следствие 2. Если несовместные события образуют полную группу событий , (одно из них обязательно реализуется), то выполняется и отсюда следует и далее

.

Таким образом, сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице.

Это правило имеет большое значение для контроля правильности решения задач по теории вероятностей.

Следствие 3. Если А и противоположные события, то . Отсюда можно получить простую и удобную формулу для подсчета вероятности противоположного события .

Например, сделано четыре выстрела по мишени. Обозначим А –событие хотя бы одного попадания, тогда будет событием, описывающим промах при четырех выстрелах , где есть события попадания в мишень при i-ом выстреле, . Тогда вероятность хотя бы одного попадания в мишень определяться .

Следствие 4. Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления (правило сложения совместных событий)

Следствие 5. В случае трех совместных событий, согласно Рис. 1.15, имеет место формула:

Рис. 1.15

Рис. 1.16

В общем случае объединения n совместных событий справедлива следующая формула

Следствие 6. Вероятность появления только одного из совместных событий (или А, или В) можно определить согласно Рис. 1.16, как:

Пример 1.21. Вероятность попадания в цель из первого и второго орудия равна и , соответственно. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель при одновременном залпе из двух орудий, а также вероятность одного попадания при залпе.

 Поскольку стрельба из двух орудий независима, то, как покажем далее, . Тогда вероятность хотя бы одного попадания будет определяться

Вероятность же одного попадания есть

. 
Теорема умножения вероятностей.

Прежде, чем ее сформулировать, введем два новых понятия о зависимых и независимых событиях.

Событие А называют независимым (зависимым) от события В, если вероятность события А не зависит (зависит) от того, произошло событие В или нет. События А и В, как правило, относятся к разным временным интервалам и интерпретируются как звенья причинно-следственной цепочки. Одно из событий предшествует другому.

Например, в урне 5 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают последовательно один за другим два шара. Вероятность того, что первый вынутый шар белый будет равна . Вероятность же того, что второй шар будет белый равна , так как в урне после извлечения первого шара их осталось только 7. Если же первый шар сразу вернуть в урну, то вероятность того, что второй, вынутый наугад шар белый, будет . Таким образом, вероятность события В существенным образом зависит от уже произошедшего события А. Вероятность таких событий определяется как условная вероятность и обозначается или .

Условной вероятностью события В называют вероятность события В, вычисленную при условии того, что имело место событие А. Условие независимости событий А и В будет определяться равенством . Заметим, что если события А и В независимы, то они независимы попарно .

Теорема. Вероятность произведения двух совместных событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого при условии, что первое имело место.

.

Заметим, что для несовместных событий , так как .

Следствие 1. Если события А и В независимы, то теорема упрощается: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей

и её можно легко обобщить на произведение n независимых событий

.

Следствие 2. Для n зависимых событий вероятность их произведения:

.

Рассмотрим несколько примеров на использование теорем сложения и умножения вероятностей.

Пример 1.22. Студент знает 20 вопросов из 25. Для получения зачета необходимо правильно ответить на три вопроса. Найти вероятность получения зачета.

 Событие получения зачета , где , событие одного правильного ответа. Тогда

Эту же задачу можно решить с помощью комбинаторики. Согласно классическому определению вероятности, , где: -количество благоприятных случаев для события А (студент должен выбрать 3 вопроса из 20, которые он знает и 0 вопросов из 5, которые он не знает); – общее количество случаев для события А (число способов, которыми можно выбрать 3 вопроса из 25). Отсюда следует:

Видно, что решение данной задачи с помощью теоремы умножения значительно проще.

Заметим, что вероятность получения зачета при тех же условиях для 4 правильных ответов будет , а для 5 - . 

Пример 1.23. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад вынимают последовательно 3 шара. Найти вероятность, что а) все они белые, б) первый белый, а остальные черные.

 а) Решение с помощью теоремы умножения

Решение с помощью комбинаторики и классического определения вероятности: - число способов выбора 3 белых шаров из 10 имеющихся в урне; - число способов выбора 0 черных шаров из 5 имеющихся в урне; - число способов выбора 3 шаров из 15 имеющихся в урне. Следовательно:

б) По теореме умножения: .

С помощью комбинаторики: .

Пример 1.24. В механизме три одинаковых узла. Работа механизма нарушается, если при сборке поставлено три бракованных узла. У сборщика 15 узлов из них 5 бракованных. Найти вероятность отказа механизма.

 Событие В – отказ механизма. Его можно представить как произведение элементарных событий: , где событие – отказ i-го узла. Тогда

С помощью комбинаторики и классического определения вероятности:

.

Пример 1.25. Произведено три выстрела по мишени. Вероятности попаданий равны ; ; . Найти вероятность: а) одного попадания после трех выстрелов; б) хотя бы одного попадания; в) промаха в трех выстрелах.

 а) Пусть событие А – попадание при первом выстреле. Так как А₁ - попадание в мишень при первом выстреле ), то событие – промах при первом выстреле (. Аналогично для второго и третьего выстрелов. Тогда событие одного попадания в мишень после трех выстрелов есть , а его вероятность

б) Пусть событие D – хотя бы одно попадание в мишень, тогда его можно представить в виде суммы

где:

– событие двух попаданий в трех выстрелах; - событие трех попаданий в трех выстрелах.

Легко подсчитать, что

, а .

Тогда вероятность хотя бы одного попадания .

в) Так как событие - промах при трех выстрелах, то его вероятность . Видно, что события А, В, С и образуют полную группу

.

Рассмотрим подробнее вычисление вероятности появления хотя бы одного события. На практике часто возникают задачи об определении вероятности появления хотя бы одного из нескольких независимых событий. В этом случае удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий равна разности между единицей и произведением вероятностей событий, противоположных данным.

,

где и , и , причем .

В частном случае, когда , вероятность появления хотя бы одного из равновозможных событий определяется формулой:

.

Пример 1.26. Два орудия стреляют залпом по мишени. Вероятность попадания из первого и второго орудий и соответственно. Найти вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

 Напомним, что мы решали эту задачу в примере 1.21. Покажем другие способы решения.

а) События и - попадание в мишень из первого и второго орудий при стрельбе залпом независимы, но совместны, поэтому вероятность хотя бы одного попадания определится по теореме сложения совместных событий:

.

б) Образуем несовместные и независимые события:

– событие только одного попадания;

– событие двух попаданий.

Тогда .

в) Образуем событие – оба орудия сделали промах. Тогда

.

Пример 1.27. Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна из лампочек перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равно 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении в сети тока в цепи будет.

 Пусть А – событие, состоящее в том, что хотя бы одна из лампочек перегорит. Тогда , где - событие перегорания i-ой лампочки. Так как , то искомая вероятность .

1.9. Формула полной вероятности
Рассмотрим следствия теорем сложения и умножения вероятностей. Прежде всего, остановимся на понятии полной вероятности. На практике часто возникают задачи о нахождении вероятностей событий, начальное состояние которых неизвестно. Допустим, мы знаем, что в урне находятся два шара, но не знаем, сколько из них черных и белых. Если в урну добавить белый шар, то невозможно определить вероятность того, что вынутый после этого наугад шар будет, например, белым. Однако задачу можно решить. Для этого необходимо построить несколько альтернативных гипотез о начальном состоянии события и найти вероятность события при условии выполнения этих гипотез. Для приведенного примера, имеют место три гипотезы о первоначальном состоянии урны: Н₁ - два белых, Н₂ - два черных и Н₃ - по одному белому и черному шару.

Пусть требуется определить вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий , несовместных и образующих полную группу. Будем называть эти события гипотезами. Докажем, что вероятность события А вычисляется как сумма произведения вероятности каждой из гипотез на условную вероятность события А при условии осуществления этой гипотезы:

Действительно, так как гипотезы образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо гипотезой . Построим это событие:

Т
Рис. 1.17

ак как гипотезы несовместны, то и события также не совместны. Тогда по теореме сложения несовместных событий получаем и по теореме умножения , что и требовалось доказать.

Пример 1.28. Имеются три одинаковые урны. В первой – 2 белых и 1 черный шар, во второй – 3 белых и 1 черный шар и в третьей урне – 2 белых и 2 черных шара. Выбирают наугад урну и наугад вынимают из нее шар. Найти вероятность, того что он белый.

 Строим события - гипотезы: – выбор первой урны, – выбор второй урны и – выбор третей урны. Поскольку урны одинаковы (неразличимы), то , так как должно выполняться . Тогда вероятность события А – вынимание из урны белого шара есть:

.

Пример 1.28. В спортивном клубе 26 футболистов, 14 боксеров и 10 борцов. Вероятность того, что футболист получит первый разряд, равна 0,5, боксер – 0,6 и борец – 0,8. Найти вероятность получения первого разряда случайно отобранного члена клуба.

 Строим гипотезы: – выбран футболист, – выбран боксер и – выбран борец. Вероятности этих гипотез равны:

; ; ,

причем гипотезы образуют полную группу

Тогда искомая вероятность

.

1.10. Формула БЕйеса
Итак, при недостатке информации о начальном событии выдвигаются альтернативные гипотезы об этом событии. Если их вероятности определены до опыта, то после его проведения можно перепроверить вероятности гипотез, то есть уточнить значение их вероятностей. Формула Бейеса показывает, как изменяется вероятность гипотезы при реализации события А, то есть определяется величина .

Для вывода формулы Бейеса используем теорему умножения вероятностей

Из последнего равенства, используя формулу полной вероятности, получаем вероятность любой из возможных гипотез после реализации события А:

Причем должно выполняться .

Пример 1.29. Изделие проверяется на стандартность двумя контролерами. Вероятность, того, что изделие попадет к первому контролеру равна 0,55, ко второму – 0,45. Вероятность того, что первый контролер признает изделие стандартным, равна 0,9, для второго контролера эта вероятность равна 0,98. Изделие признано стандартным. Найти вероятность, что его проверил второй контролер.

 Введем обозначения: событие А – изделие признано стандартное; – гипотеза о том, что изделие попало первому контролеру; – ко второму контролеру. По условию , и , . Тогда вероятность, того, что стандартное изделие было проверено вторым контролером, равно

, а .

Видим, что вероятности гипотез после проверки уточнились.

1.11. Формула Бернулли
На практике часто встречаются ситуации, когда один и тот же опыт повторяется неоднократно. В результате каждого опыта событие А или происходит, или не происходит. Зачастую нас интересует не исход отдельного опыта, а исход совокупности опытов. Например, при залпе батареи орудий, командира интересует не кто конкретно попал в цель, а сколько вообще попаданий. Такие задачи довольно просто решаются для независимых опытов, когда вероятности исхода того или иного опыта не зависят от того, какие исходы имели предыдущие опыты. Обычно в этих задачах необходимо найти вероятность появления события А m раз в n опытах. Заметим, что независимые опыты могут проводиться в одинаковых условиях и в разных условиях. Давайте рассмотрим частную теорему для одинаковых условий опыта.

Теорема. Если в одних и тех же условий производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р и не появляется с вероятностью q , то вероятность появления события A m раз в n опытах находится по формуле Бернулли

, где .

Доказательство. Рассмотрим алгебру событий. Пусть событие –появление события A m раз в n опытах . Заметим, что все события несовместны. Так как нас не интересует порядок появлений события А, то слагаемых будет . Обозначим вероятность наступления события А , а не наступления , тогда по теореме умножения и сложения вероятностей

,

что и требовалось доказать.

Заметим, что события , где , образуют полную группу событий. Поэтому должно выполняться

и .

Действительно, вспоминая определение бинома Ньютона, получаем

, так как .

Поэтому распределение вероятностей появления события А m раз в n опытах называют биноминальным распределением.

Заметим также, что размерность пространства элементарных событий равна . Действительно, если положить , то непосредственно получаем .
Пример 1.29. В ГИБДД дают 5 вопросов, имеющие по 3 ответа, из которых только 1 правильный. Для получения прав необходимо правильно ответить хотя бы на 3 вопроса из 5. Найти вероятность получения прав методом случайного выбора ответов.

 Вероятность угадать правильный ответ на один вопрос , а не угадать . Вероятность правильно ответить на 3 вопроса определяется формулой Бернулли . Вероятность получить права, т.е. правильно ответить хотя бы на 3 вопроса

Отметим, что если бы для получения прав требовалось правильно ответить на все 5 вопросов, то вероятность их получения значительно бы уменьшилась:

(0,4%).

1.12. Предельная теорема Пуассона

(Закон редких событий)
Если число независимых опытов велико , а вероятность появления события А в каждом из них достаточно мала (), то пользоваться формулой Бернулли достаточно сложно и не целесообразно. В этом случае используют приближенную формулу Пуассона.

Теорема. Пусть количество независимых опытов велико, , а вероятность появления события А в одном опыте и величина , равная ограничена. Тогда вероятность того, что событие А наступает m раз в n опытах, можно приближенно найти по формуле Пуассона

Пример 1.30. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие придет в негодность равна . Найти вероятность, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Так как , то можно использовать формулу Пуассона

.

Пример 1.31. Вероятность поступления сигнала в течение часа на коммутатор, обслуживающий 1000 абонентов, равна . Найти вероятность того, что в течение одного часа поступят два сигнала.

Так как , то .

1.13. ЛОКАльная теорема МУавра-Лапласа
Теорема. Если вероятность появления события А в каждом отдельном опыте есть р, причем , то вероятность появления события А m раз в n опытах приближенно вычисляется по формуле

,

где и - функция, значения которой приведены в приложении 2, а график – на рис.1.18.

С
Рис. 1.18

войства : положительная, чётная, быстро убывающая с ростом модуля х функция, , максимум - при .

Одним из следствий данной теоремы является то, что наиболее вероятное число появлений события в независимых опытах определяется как целая часть числа

.

Пример 1.32. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

 По условию задачи имеем ; ; ; . Используем локальную теорему Муавра-Лапласа:

По таблице из приложения 2 находим , следовательно, искомая вероятность равна .

Пример 1.33. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,8. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.

 По условию имеем: ;; . Подставив эти данные в двойное неравенство, определяющее наивероятнейшее число элементов, получим или . Отсюда следует, что , так как это единственное целое между числами 11,8 и 12,8. 

1.14. интегральная теорема МУавра-Лапласа
В отличие от локальной, интегральная теорема Муавра-Лапласа определяет некоторый интервал значений m.

Теорема. Если вероятность появления события А в одном опыте равна p, причем p конечна, то вероятность того, что событие А в n опытах произойдет не менее – раз и но более – раз приближенно равна:

,

где

, , .

– функция Лапласа. З
y
начения функции Лапласа приведены в приложении 2.

- нечётная функция, которая проходит через начало координат, а при асимптотически приближается к значению 1/2, так как:

График функции Лапласа показан на рисунке 1.19.

П
Рис. 1.19

ерейдем к доказательству формулы Муавра-Лапласа. Введем новую переменную , тогда и .

Итак, суммируются события появления А от до раз в n опытах. Эти события несовместны, поэтому

где и , и окончательно , что и требовалось показать.

Пример 1.34. Вероятность того, что деталь будет бракованной, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажутся бракованными от 70 до 100 деталей.

 По условию ; ; ; ; . Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа: и и по таблице в приложении 2 получаем значение функции Лапласа

.

Пример 1.35. Кошелек упал на пол и из него выпало 25 монет. Найти вероятность того, что от 10 до 20 монет будут лежать гербом вверх.

По условию ; ; ; ; ; . Тогда и ,  .