2. Случайные величины дискретные и непрерывные случайные величины

2. Случайные величины
2.1. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает только одно заранее неизвестное значение. Случайная величина сопоставляется случайному событию. Понятие случайной величины играет важную роль в теории вероятностей. Если классическая теория вероятностей оперирует с событиями, то современная теория вероятностей и математическая статистика оперирует только со случайными величинами.

Обозначаются случайные величины как X, У, Z, …, а их значения как х, у, z, …Приведем пример типичного приема перехода от события А к случайной величине, характеризующей это событие. Пусть производится опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие А.

Если ввести такую характеристику, как индикатор случайного события, сопоставив появлению события А единицу (1), а не появлению с события А ноль (0), то общее число появлений события А в опытах равно сумме характеристик этого события во всех опытах, что приводит к известной формуле относительной частоты события А:

.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате опыта может принимать любые значения из некоторого интервала (конечного или бесконечного).

Дискретной случайной величиной называется случайная величина Х, имеющая набор изолированных возможных значений х_i ().

Примеры непрерывной случайной величины: время безотказной работы радиолампы, ошибка взвешивания тела на весах, абсцисса точки попадания математической точки в некоторый интервал и так далее. В этих примерах возможные значения случайной величины не отделены друг от друга. Примером дискретной случайной величины может служить число попаданий в мишень при трех выстрелах, число бракованных деталей в партии, сумма очков при бросании двух игральных костей и т.д. В этих примерах возможные значения случайной величины принимают изолированные значения.

2.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Законом распределения случайной величины называют всякое соотношение, устанавливающее однозначную связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения при задании закона распределения ее вероятностей.

Существуют три формы законов распределения:

1.Ряд распределения определяется для дискретных случайных величин.

Рассмотрим дискретную случайную величину X, которая принимает значения с возможными значениями вероятности , . События, которые характеризуются значениями , – несовместны и образуют полную группу, поэтому . Ряд распределения оформляется в виде таблицы или многоугольника (Рис.2.1) на плоскости

			…
			…

Рис. 2.1

2.Функция распределения.

Для количественной характеристики как непрерывных, так и дискретных случайных величин удобно пользоваться вероятностью события , для расчета которой все предыдущие вероятности нужно суммировать. Функция распределения или кумулята случайной величины X есть вероятность того, что эта величина принимает значение, меньшее, чем х, х( – ∞ , + ∞):

Свойства функции распределения:

- неубывающая функция , если ;

(невозможное событие);

(достоверное событие);

Используя определение F(x), можно получить значение вероятности попадания случайной величины в заданный интервал оси Ох,

как приращение функции распределения на этом участке.

Заметим, что для любой непрерывной функции при .Учитывая последнюю формулу, из этого следует, что нулевой вероятностью могут обладать и достоверные события. Кажущийся парадокс легко объяснить следующим примером. Пусть масса тела распределена на участке числовой оси. Очевидно, что в каждой точке этого участка масса равна нулю, тем не менее, масса всего тела отлична от нуля. Таким образом, понятие массы может относиться только к конечному интервалу. Такое же объяснение справедливо для вероятности.

3. Плотность распределения или дифференциальная функция распределения. Иногда эту функцию называют просто плотностью вероятности. Определяется только для непрерывных случайных величин. Пусть F(x) - непрерывная и дифференцируемая (то есть гладкая) функция. Вычислим вероятность попадания случайной величины X в интервал :

.

Рис. 2.2

чевидно,

где и есть плотность распределения.

Из определения следует, что вероятность попадания случайной величины Х в интервал есть:

Рис. 2.3

а функция распределения может быть проиллюстрирована, как площадь под линией , расположенная левее х (Рис.2.3):

.

Поскольку , то для любой f(x) должно выполняться условие нормировки:

Основные свойства дифференциальной функции распределения:

, поскольку неубывающая функция;
;
если безразмерна, то , где размерность х;
, так как .

2.3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Закон распределения случайной величины является её исчерпывающей характеристикой. Однако во многих практических задачах удобнее и проще пользоваться набором параметров, характеризующих распределение случайной величины. Числовыми характеристиками случайной величины называют параметры, характеризующие самые существенные черты закона распределения этой величины. Очевидно, что самым первым параметром является то значение случайной величины, вокруг которого группируются все её значения.

Математическое ожидание случайной величины. Пусть случайная величина X принимает значения с вероятностями . Тогда её математическое ожидание

является суммой произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности. Отметим, что это постоянная величина. Для непрерывных случайных величин математическое ожидание определяется как несобственный интеграл I рода

Заметим, что математическое ожидание можно определить не у всех случайных величин, а только у тех, у которых представленные выше сумма или интеграл сходятся.

Перейдем теперь к моментному описанию случайных величин. Моментное (приближенное) описание случайной величины широко используется в механике, математической статистике и т.д. Моменты подразделяются на два вида:

– начальные моменты (приложены к началу координат),

– центральные моменты.

Начальным моментом порядка s называется математическое ожидание s-ой степени случайной величины:

- для дискретной случайной величины;

- для непрерывной случайной величины.

Очевидно, что первый начальный момент есть математическое ожидание .

Центральным моментом порядка s случайной величины Х называется математическое ожидание s-ой степени от центрированной величины :

- для дискретной случайной величины;

- для непрерывной случайной величины.

Очевидно, что центральный момент первого порядка для любой случайной величины равен нулю:

Рассмотрим второй центральный момент, который называется дисперсией и играет важную роль в теории вероятностей.

- для дискретных случайных величин;

- для непрерывных случайных величин.

Величина дисперсии характеризует разбросанность значений случайной величины X вокруг . На примере дискретной случайной величины выразим дисперсию через начальные моменты

Эта формула удобна для практического подсчета значения дисперсии.

Другой характеристикой, связанной с дисперсией, является среднеквадратичное отклонение

,

которое имеет размерность случайной величины и может быть наглядно представлено графически.

Свойства математического ожидания и дисперсии:

;

Доказательство: Представляя С как дискретную величину, у которой единственное значение принимается с вероятностью , получим . Для непрерывной случайной величины:

.

;

Доказательство: Свойство следует из свойств сумм и интегралов.

;

Доказательство: Свойство следует из определения центрального момента

первого порядка.

;

Доказательство: Так как .

;

Доказательство: Действительно,

Пример 2.1. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

	2	5	8
		0,2	0,5

Найти: значение вероятности р₁; числовые характеристики , , ; функцию распределения и построить ее график.

 Так как , то ,  .

Найдем математическое ожидание

.

Далее определим дисперсию

Определим среднее квадратическое отклонение

Для функции распределения , определения, имеем

, если ;

, если ;

, если ;

, если .

С
Рис. 2.4

троим функцию распределения (рис.2.4). 

Наряду с математическим ожиданием, имеются характеристики случайной величины, указывающие на некоторые геометрические особенности её распределения.

Модой дискретной случайной величины называется её наивероятнейшее значение. Модой непрерывной случайной величины называется значение, при котором плотность вероятности максимальна. Мода случайной величины X обозначается символом (Рис. 2.5).

Медианой непрерывной случайной величины X (для дискретных величин эта характеристика используется редко) называется её значение Ме(Х), удовлетворяющее условию

.

Медиана может быть определена через интегрирование плотности вероятности:

Медиана делит фигуру, ограниченную кривой распределения и осью абсцисс, на две равных по площади части (Рис. 2.5).

Числовая характеристика случайной величины, связанная с несимметричностью ее распределения относительно математического ожидания называется асимметрией распределения и равна

,

где σ – среднее квадратичное отклонение случайной величины X.

Асимметрия характеризует ‘‘скошенность’’ распределения относительно математического ожидания. Действительно, при симметричном относительно математического ожидания распределении непрерывной случайной величины третий центральный момент

равен нулю, как интеграл от нечётной функции в симметричных пределах. (В случае дискретной величины интеграл заменяется суммой, имеющей аналогичные свойства). Знак асимметрии определяется преобладанием отрицательных или положительных отклонений от математического ожидания. Например, распределение, показанное на рис.2.5, скошено влево и, следовательно, .

2.4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Биноминальное распределение.

Пусть вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний одинакова и равна р. Тогда вероятность того, что событие А наступит m раз в n испытаниях определяется формулой Бернулли:

Другими словами, если случайная величина X есть число наступлений m некоторого события в серии из n испытаний, причем в каждом из них вероятность наступления этого события одинакова и равна p, то она имеет биномиальное распределение:

Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

	0	1	2	…	n

где в силу того, что события образуют полную группу.

Функция распределения дается выражением:

, .

Пример 2.2. Производится 4 независимых испытания, в каждом из которых событие появляется с вероятностью р=3/4. Рассматривается случайная величина - число появлений события в серии из четырех испытаний. Составить закон распределения вероятностей случайной величины и построить многоугольник распределения, найти функцию распределения вероятностей и построить её, вычислить математическое ожидание и дисперсию.

 Дискретная случайная величина может принимать значения: , , , , .

Так как испытания независимы одно от другого и вероятности появления события в каждом испытании одинаковы, то случайная величина имеет биномиальное распределение. По условию имеем , , . Вероятность вычисляются по формуле:

, .

, ,

, ,

которым соответствует ряд распределения:

	0	1	2	3	4

График, построенный по этой таблице, называется многоугольником распределения и представлен на рисунке 2.6а.

Построим функцию распределения случайной величины :

при имеем ,

при имеем .

а

б
рафик функции распределения представлен на рисунке 2.6б.

Рис. 2.6

Вычислим числовые характеристики случайной величины .

Математическое ожидание:

;

Дисперсия:

Среднее квадратичное отклонение

Отметим, что в общем случае для биномиального распределения выполняется

Учитывая последние формулы, математическое ожидание и дисперсия случайной величины могут быть вычислены так:

; . 

Распределение Пуассона. Пусть дискретная случайная величина Х принимает целые неотрицательные значения 0,1,2,3,…n, где и вероятность появления события в одном опыте р стремится к нулю так, что величина ограничена. Тогда случайная величина Х распределена по закону Пуассона , который определяет вероятность появления события A m раз в n опытах. Ряд распределения можно представить в виде

	0	1	2		n
				

Функция распределения

.

Для неё выполняется условие

.
Для распределения Пуассона и .

Рассмотрим простейший поток событий, которые наступают в случайные моменты времени. Например, поступление сигналов вызова на автоматическую телефонную станцию. Поток называется стационарным, если вероятность появления k событий за интервал времени t есть функция только k и t . Если события независимы, то поток обладает свойством отсутствия последействия. Если вероятность появления более одного события за малый промежуток времени значительно меньше вероятности появления только одного события, то поток обладает свойствами ординарности. Простейшим (пуассоновским) потоком называется поток событий, который обладает стационарностью, отсутствием последействий и ординарностью. Интенсивностью потока называется среднее число событий, которые появляются в единицу времени , где - параметр распределения Пуассона. Если , то вероятность появления k событий за время t будет

.
Пример 2.3. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту равно 2. Найти вероятность, что за пять минут поступит 3 вызова.

 По условию , , . Тогда .

Заметим, что вероятность поступления, допустим, 10 вызовов будет значительно больше: .

Геометрическое распределение. Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие наступает с вероятностью p и не наступает с вероятностью q . Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Если в опытах событие не появилось, а появилось в m-ом опыте, то алгебра событий позволяет составить событие (события несовместны). Вероятность этого события

.

Найдем вероятность появления события А не менее чем в m опытах, которая представляет собой геометрическую прогрессию. Для достаточно большого количества опытов ее можно считать бесконечно убывающей, тогда должно выполняться

Легко показать, что и .

Гипергеометрическое распределение. Пусть имеем N изделий, из которых М бракованных. Наугад извлекают изделия. Поскольку изделия обратно не возвращаются, то событие, состоящее в том, что изделие не бракованное, зависимы. Вероятность того, что среди случайно отобранных n изделий будет m бракованных, равна

.

Пример 2.4. В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию, построить многоугольник распределения.

 Случайная величина - число стандартных деталей среди отобранных деталей - имеет гипергеометрическое распределение с параметрами , , . Найдем вероятности возможных значений , , , случайной величины по формуле

, .

Здесь: - число деталей в партии; - число стандартных деталей в партии; - число отобранных деталей; - число стандартных деталей среди отобранных;

; ;

; .

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

x	0	1	2	3
P	1/120	21/120	63/120	35/120

Многоугольник Р(х) распределения представлен на рис. 2.7.

Найдем математическое ожидание :

Н
айдем : .

Дисперсию найдем по формуле .

Имеем .

Т
Рис. 2.7

оже можно получить по формулам:

; .

2.5. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Прежде чем перейти к рассмотрению классических законов распределения непрерывной случайной величины, приведем пример её исследования по заданной функции распределения.

Пример 2.5. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

Найти функцию плотности и числовые характеристики , , . Вычислить вероятности попадания случайной величины в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).


Найдем плотность распределения

Найдем математическое ожидание

Рис. 2.8

.

Найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение

Используя формулу ,

н
Рис. 2.9

айдем вероятности попадания в заданные интервалы

,

.

Теперь рассмотрим типичные распределения непрерывных случайных величин: равномерное, показательное, нормальное.

Равномерное распределение (закон равномерной плотности). В некоторых задачах в пределах некоторого интервала все значения случайной величины равновероятны.

Определим С из условия нормировки

Т
Рис. 2.10

огда функция распределения будет иметь вид

.

Вероятность попадания Х в интервал [a,b] .

О
Рис. 2.11

пределим основные моменты, характеризующие это распределение

,

,

в силу равенства нулю всех центральных моментов:

;

Равномерное распределение по определению не имеет моды, а его медиана совпадает с математическим ожиданием.

Таким образом, для равномерного распределения:

; ; ; .
Показательное распределение. Данное распределение имеет важное значение в теориях массового обслуживания, информации, надежности. Показательным законом распределения описываются явления природы, определяемые процессами релаксации, затухания или раскачки и другими переходными процессами.

Плотность распределения показательного закона задается законом

Функция распределения

Вероятность попадания случайной величины в интервал находится по формуле

и проиллюстрирована на рис. 2.12 заштрихованной областью.

О
Рис. 2.12

пределим основные характеристики показательного распределения:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

;

.

Асимметрия:



не зависит от параметра .

Медиана:

;

Из рис. 2.12 очевидно, что мода Mo=0.

Таким образом, для показательного закона распределения:

; ; ; ; Mo=0.

Пример 2.6. Время работы радиолампы t – случайная величина, которая распределена по показательному закону. Определить вероятность того, что лампа проработает не менее 600 часов, если средняя продолжительности ее работы равна 400 часам.

 По условию . Тогда

.

Введем величину , называемую функцией надёжности, определенную как вероятность того, что устройство отработает безотказно не менее t единиц времени. Величина имеет смысл времени, за которое вероятность безотказной работы устройства уменьшится в е раз.

Например, если время безотказной работы устройства распределено по закону , то вероятность безотказной работы в течение 1000 часов равна , а в течение 100 часов - .

Нормальное распределение (закон Гаусса). Данное распределение играет исключительную роль в теории вероятностей, так как является предельным для всех остальных законов распределения. Нормальный закон распределения широко применяется для описания природных явлений и играет фундаментальную роль в понимании сущности этих явлений. Можно привести множество примеров – как из области природы, так и из области человеческой деятельности – когда случайная величина распределена таким образом, что функция плотности вероятности имеет максимум при среднем значении (математическом ожидании) случайной величины и симметрична относительно этого максимума. Это значит, что существует закон, управляющий поведением случайных величин различной природы. Такой закон называется нормальным распределением или законом Гаусса.

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины определяется формулой:

Данная функция удовлетворяет условию нормировки плотности при любых значениях параметров a и . Действительно:

.
Несобственный интеграл

называется интегралом Пуассона.

Функция плотности вероятности нормального распределения, изображенная на рис. 2.13(а), определена для любых значений аргумента. Своего максимума она достигает при :

- точка экстремума,

График симметричен относительно линии (при получаем чётную функцию) и имеет две точки перегиба :

П

ри асимптотически приближается к нулю.

Рис. 2.13

Для случайной величины X , нормально распределённой с параметрами a и  математическое ожидание и дисперсия определяются формулами:

На рисунке 2.13б изображены три нормальные кривые с разными параметрами a и . Видно, что при уменьшении a кривая, не изменяя формы, смещается влево, при увеличении - вправо. С ростом  максимальное значение снижается, а сама кривая становится более пологой. Площадь фигуры, заключённой между любой нормальной кривой и осью абсцисс, в силу условия нормировки стремится к единице. Отметим также, что асимметрия нормального распределения:

в силу равенства нулю всех нечетных центральных моментов:

а мода и медиана совпадают с математическим ожиданием:

Вероятность попадания нормальной случайной величины, в интервал (следующая страница >>