Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика»

Программа

курса «Теория вероятностей и математическая статистика»

ВВЕДЕНИЕ. Детерминированные и вероятностные модели физических систем.
ТЕМА 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ

Событие – качественная характеристика эксперимента. Определение случайного события. Невозможное и достоверное события. Несовместные случайные события.
Частота события. Устойчивость частот событий при большом числе опытов. Определение вероятности. Свойства вероятностей.
Аксиомы теории вероятностей. Связь частотного и аксиоматического подходов к определению вероятности.
Вычисление вероятностей. Равновозможные исходы опыта. Схема случаев.
Условная частота. Умножение частот. Условная вероятность. Вычисление условной вероятности в схеме случаев. Вероятность совместного появления двух и более событий.
Независимые случайные события.
Вероятности сложных событий. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
Пуассоновская последовательность событий. Условия реализации пуассоновской последовательности. Уравнения для вероятностей различного числа событий. Распределение Пуассона. Среднее число и дисперсия числа событий. Средняя частота появления событий.

ТЕМА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Определение случайной величины. Значения случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Вероятность попадания значения непрерывной случайной величины в заданный интервал. Плотность вероятности случайной величины. Свойства плотности вероятности. Функция распределения случайной величины. Плотность вероятности дискретной случайной величины
Статистическое усреднение. Начальные и центральные моменты случайной величины. Среднее значение (математическое ожидание). Дисперсия. Связь дисперсии с начальными моментами. Формализм угловых скобок.
Равномерно распределенная случайная величина. Ошибка квантования числа цифровой системой. Усечение и округление. Дисперсия ошибки квантования.
Характеристическая функция случайной величины. Связь характеристической функции и плотности вероятности. Моментное разложение характеристической функции. Разложение логарифма характеристической функции в ряд Тейлора. Кумулянты. Связь моментов и кумулянтов низших порядков.
Характеристическая функция и плотность вероятности нормально распределенной (гауссовой) случайной величины. Ширина гауссовой кривой. Моменты нормально распределенной случайной величины. Функция распределения.
Функции случайных величин. Преобразования плотностей вероятности при функциональных преобразованиях случайных величин.

ТЕМА 3. СОВОКУПНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Совокупность двух случайных величин. Совместная плотность вероятности и ее свойства. Характеристическая функция совокупности случайных величин. Обобщения на многомерные случайные величины.
Условные плотности вероятности. Умножение плотностей вероятности. Статистически независимые случайные величины. Умножение математических ожиданий независимых величин.
Совместные моменты совокупности случайных величин. Корреляция, коэффициент корреляции. Некоррелированность и статистическая независимость. Условные моменты совокупности двух случайных величин. Формула полного математического ожидания.
Гауссова совокупность двух случайных величин. Двумерная нормальная плотность вероятности. Независимость и некоррелированность гауссовых случайных величин.
Функциональные преобразования совокупностей случайных величин. Формула преобразования многомерных плотностей вероятности.
Распределение суммы статистически независимых случайных величин. Предельные теоремы теории вероятностей.
Физические распределения. Распределение Релея. Распределение Максвелла по скоростям.

ТЕМА 4. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Математическая статистика – инструмент обработки результатов эксперимента. Статистические характеристики и их оценки.
Виды вероятностной сходимости. Сходимость в среднем квадратическом и сходимость по вероятности. Неравенство Чебышева. Связь между разными видами сходимости.
Оценки характеристик случайных величин. Критерии качества оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.
Выборочное среднее – оценка математического ожидания (статистического среднего). Несмещенность и состоятельность выборочного среднего.
Выборочная дисперсия. Смещение выборочной дисперсии. Несмещенная оценка дисперсии. Состоятельность оценок.
Гистограммная оценка плотности вероятности. Проверка статистических гипотез. Критерий хи-квадрат.

ТЕМА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Случайный процесс: определение, математическая модель. Реализация случайного процесса. Ансамбль реализаций.
Многомоментные (многомерные) плотности вероятности случайного процесса. Характеристические функции.
Классификация случайных процессов. Стационарность процесса в широком и узком смысле (слабая и строгая стационарность). Эргодические процессы. Квазидетерминированные процессы. Совершенно случайные процессы.
Моментные функции случайных процессов. Корреляционная и ковариационная функции.
Спектрально-корреляционная теория стационарных случайных процессов (ССП). Спектр случайного процесса. Несостоятельность спектральной оценки ССП методом преобразования Фурье. Корреляция спектральных составляющих ССП. Спектральная плотность мощности. Формулы Винера–Хинчина. Преобразования спектров ССП линейными системами.
Примеры ССП. Гармоническое колебание со случайной начальной фазой. Случайный телеграфный сигнал с пуассоновской статистикой переходов. Квазигармоническое колебание с пуассоновской последовательностью переключений фазы. Однородное уширение спектральной линии. Белый шум. «Цветные» шумы.
Марковские случайные процессы. Плотность вероятности перехода. Определение марковского процесса. Марковские процессы и динамические системы. Уравнение Колмогорова–Чепмена. Кинетическое уравнение марковского процесса. Непрерывные марковские процессы. Уравнение Фоккера–Планка (УФП). Граничные и начальные условия для УФП. Стационарные решения УФП.
Стохастические дифференциальные уравнения (уравнения Ланжевена). Связь стохастических дифференциальных уравнений с УФП.

Примечание: Выделены вопросы обязательного минимума для зачета.