Аналогично при встречном включении (рис.3.38,б) имеем
U₁=Ir₁+jωL₁I-jωMI=I[r₁+jω(L₁-M)]= I(Z₁-Z_M);
U₂=Ir₂+jωL₂I-jωMI=I[r₂+jω(L₂-M)]= I(Z₂-Z_M);
U=U₁+U₂=I[r₁+ r₂+jω(L₁+L₂-2M)]= I(Z₁+ Z₂-2Z_M)

Отсюда следует, что при встречном включении комплексное сопротивление всей цепи

Z_встр=Z₁+ Z₂-2Z_M,

а общая индуктивность (L_встр=L₁+L₂-2M) при наличии взаимной индуктивности уменьшается на 2М. Это объясняется тем, что в любой момент времени ток в обоих элементах цепи направлен по разному относительно одноименных зажимов и их магнитные потоки вычитаются.

Проделав согласное и встречное включение можно экспериментальным путем определить взаимную индуктивность М. Определив из опытов L_согл и L_встр, получим

В идеальном случае, когда Кс=1 и L₁=L₂=L=M, имеем L_согл=4L L_встр=0.

В
заключение построим векторные диаграммы при согласном (рис.3.39,а) и встречном (рис.3.39,б) включении.
Параллельное соединение индуктивно связанных элементов цепи
Предположим, что два приемника энергии, обладающие активными сопротивлениями r₁ и r₂, индуктивностями L₁ и L₂ и взаимной индуктивностью М, соединены параллельно, причем для определенности примем, что одноименные зажимы подключены к одному узлу.

При положительных направлениях токов и напряжений, указанных на рис.3.40, на основании законов Кирхгофа имеем:

(1)
Здесь Z₁=r₁+jωL₁; Z₂=r₂+jωL₂; Z_M=jωM.

В (1) I₁Z_M и I₂Z_M взяты с плюсом, т.к. положительные направления этих напряжений совпадает с направлениями тех токов, которые вызывают эти напряжения, относительно одноименных зажимов.

Решив эти уравнения, получаем

Из последнего выражения получается, что входное сопротивление цепи

Если к узлу будут подключены разноименные зажимы (^*), то в уравнениях (1) I₁Z_M и I₂Z_M войдут со знаками минус, в выражениях для токов в числителе Z_M станет с плюсом, а входное сопротивление цепи будет.

В заключение покажем векторную диаграмму цепи для случая подключения к узлу одноименных зажимов (рис.3.41).

Расчет сложных цепей при наличии взаимной индуктивности
Сложные цепи при наличии взаимной индуктивности рассчитываются в основном с помощью законов Кирхгофа и методом контурных токов. Метод узловых потенциалов непригоден, потому что наличие взаимной индуктивности не позволяет просто выразить токи через потенциалы узлов. Метод эквивалентного генератора можно применять, если искомая ветвь не имеет индуктивной связи с ветвями активного двухполюсника. Нельзя пользоваться формулами преобразования в том числе и треугольника в звезду и наоборот. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа взаимная индуктивность между элементами k и l учитывается через напряжение на k–ом элементе U_Mk=±jωM_klI_l, причем + берется в случае, когда направление обхода элемента k и тока I_l совпадают относительно одноименных зажимов.

Р
ассмотрим пример составления уравнений для схемы, приведенной на рис.3.42

Уравнения по законам Кирхгофа
+I₂-I₃=0;

I₁r₁+jωL₁+jωM₁I₂-I₂r₂-jωL₂I₂-jωM₁I₁=E₁-E₂;

I₂r₂+jωL₂I₂+jωM₁I₁+I₃r₃+jωL₃I₃-jωM₂I₄=E₂;

I₄r₄+jωL₄I₄-jI₄/ωC-jωM₂I₃=0.

По методу контурных токов:

I_I+I_IIZ₁₂+I_IIIZ₁₃=E_I;

I_IZ₂₁+I_IIZ₂₂+I_IIIZ₂₃=E_II;

I_IZ₃₁+I_IIZ₃₂+I_IIIZ₃₃=E_III,
где: Z₁₁=r₁+r₂+jω(L₂+L₁-2M₁); Z₂₂=r₂+r₃+jω(L₂+L₃); Z₃₃=r₄+jωL₄-j/ωC;
Z₁₂=Z₂₁=-r₂-jω(L₂-M₁); Z₁₃=Z₃₁=0; Z₂₃=Z₃₂=-jωM₂; E_I=E₁-E₂; E_II=E₂; E_III=0.

Заметим, что как в собственных, так и в общих сопротивлениях контуров сопротивление взаимной индуктивности входит с + или – в зависимости от того совпадают или не совпадают по отношению к одноименным зажимам направления обхода (или контурного тока) одного элемента и тока в другом элементе.

Для цепей со взаимной индуктивностью справедливо свойство взаимности, доказательство которого ничем не отличается от такового же на постоянном токе.
Эквивалентная замена (развязка) индуктивной связи
Анализ и расчет цепей в ряде случаев упрощается, если часть схемы, содержащую индуктивную связь заменить эквивалентной схемой без индуктивной связи. Этот процесс называется эквивалентной заменой, устранением или развязкой индуктивной связи. Найдем схему без индуктивной связи, эквивалентную двум индуктивно связанным элементам цепи, присоединенным к общему узлу (рис.3.43,а). При этом учтем два возможных случая: 1) когда элементы подключены к узлу одноименными зажимами и 2) когда разноименными. Определим напряжения между зажимами 1 и 3, а также 2 и 3.
U₁₃=I₁Z₁±I₂Z_M; (1)

U₂₃=I₂Z₂±I₁Z_M. (2)

В этих выражениях плюс относится к первому случаю, а минус – ко второму. Кроме того I₁+I₂=I₃. Пользуясь этим уравнением исключим из (1) I₂, а из (2) I₁, тогда получим

U₁₃=I₁(Z₁Z_M)±I₃Z_M; (3)

U
3
₂₃=I₂(Z₂Z_M)±I₃Z_M. (4)

Эти уравнения справедливы для схемы, приведенной на рис.3.43,б, которая и является эквивалентной схемой без индуктивной связи. Таким образом, для устранения индуктивной связи необходимо к Z₁ и Z₂ добавить Z_M, а между точками 3` и 3 включить новый элемент ±Z_M. Верхние знаки соответствуют соединению ветвей одноименными зажимами в узле и наоборот.

Если индуктивно связанные ветви не имеют общего узла, то развязка индуктивной связи также возможна, однако в данном случае эквивалентная схема получается достаточно сложной и пользоваться ею обычно нецелесообразно.
Передача энергии между индуктивно связанными элементами цепи
Рассмотрим как передается энергия между двумя индуктивно связанными элементами разветвленной цепи (рис.3.44). Пусть известны токи в одном и другом индуктивно связанных элементах и

Составим выражения для комплексной мощности каждого из элементов, обусловленной взаимной индуктивностью

откуда активная мощность первого элемента, обусловленная взаимной индуктивностью

Аналогично для второго элемента

Таким образом, при наличии взаимной индуктивности часть мощности, потребляемой какой-либо ветвью, передается другой через взаимоиндукцию, а другая ветвь возвращает эту мощность опять в цепь (Р_1М=-Р_2М). Величина передаваемой мощности:

Весьма важным является вопрос о направлении передачи мощности. Если , то Р_1М>0, а Р_2М<0, т.е. первый элемент потребляет мощность и передает её через взаимоиндукцию второму. Если же , то передача мощности происходит наоборот от второго элемента к первому.

Воздушный трансформатор
В электротехнике широко применяется передача энергии из одного контура в другой при помощи трансформаторов, которые могут иметь различное назначение, но чаще всего предназначены для изменения величины переменного напряжения. Надобность в таком изменении появляется, например, в случае, когда напряжение источника питания отличается от напряжения, которое требуется для приемника энергии. Трансформаторы состоят из двух или нескольких индуктивно связанных катушек или обмоток. Ограничимся рассмотрением простейшего двухобмоточного трансформатора без ферромагнитного сердечника. Такие трансформаторы чаще всего применяются при высоких частотах в связи, радио, а в ряде специальных измерительных устройств и при низкой частоте переменного тока.

Обмотка трансформатора, к которой подводится питание называется первичной, а обмотка, к которой подключается приемник энергии (нагрузка) – вторичной. Все величины, относящиеся к первичной обмотке, называют первичными и им приписывается индекс 1, а все величины, относящиеся ко вторичной обмотке, называют вторичными и им приписывается индекс 2. Цепи, в которые входят первичные и вторичные обмотки, называют соответственно первичными и вторичными цепями. Если пренебречь ёмкостью между витками обмоток трансформатора, то цепь, состоящую из двухобмоточного трансформатора и нагрузки имеет схему, приведенную на рис.3.45,а.

По второму закону Кирхгофа запишем уравнения, определяющие работу цепи (x₁=ωL₁, x₂=ωL₂):

I₁r₁+jx₁I₁-jωMI₂=U₁;

I₂r₂+jx₂I₂+I₂r_н+jx_нI₂-jωMI₁=0.

На основании этих уравнений построим векторную диаграмму воздушного трансформатора (рис.3.45,б). Построение начинаем с вектора I₂ и последовательно откладываем I₂r_н, jx_нI₂ (их сумма дает напряжение U₂), I₂r₂, jx₂I₂. Сумма всех этих векторов дает jωMI₁. Следовательно, вектор I₁ отстает на 90^о от вектора jωMI₁. Далее откладываем I₁r₁, jx₁I₁ и -jωMI₂, сумма последних дает U₁.

Для упрощения уравнений и их решения введем следующие обозначения:
ωМ=x_M; r₂+r_н=r₂₂; x₂+ x_н=x₂₂.

Тогда уравнения примут вид:

I₁r₁+jx₁I₁-jx_MI₂=U₁;

I₂r₂₂+jx₂₂I₂-jx_MI₁=0.

Решив эту систему относительно I₁, получим:

где

Сопротивления r_вн и х_вн называются вносимыми (из вторичного контура в первичный) активным и реактивным сопротивлениями, т.е. наличие вторичного контура эквивалентно изменению активного и реактивного сопротивлений первичного контура на r_вн и х_вн. В r_вн поглощается энергия, передаваемая из первичного контура во вторичный, оно всегда положительно. Характер х_вн всегда противоположен характеру х₂₂. Это связано с тем, что наличие вторичного контура всегда приводит к уменьшению результирующего магнитного потока.

Имеющуюся в трансформаторе индуктивную связь можно развязать. Для получения общего узла соединим между собой две нижние точки схемы (см. рис.3.45,а). Такое соединение не приведет к изменению режима работы цепи, т.к. оно не создает замкнутого контура. К этому общему узлу индуктивно связанные катушки подсоединены одноименными зажимами, поэтому эквивалентная схема без взаимной индуктивности имеет вид, представленный на рис.3.46.

На практике часто в расчетах используют понятие идеального трансформатора, под которым понимают такой, у которого при любых условиях отношение комплексов первичного и вторичного напряжений равно отношению комплексов вторичного и первичного токов и равно постоянному комплексному числу N.

Комплексное число N называется коэффициентом трансформации и на практике обычно является вещественным числом. Идеальный трансформатор используют в качестве составного элемента схем замещения реальных трансформаторов.

Пусть ко вторичным (выходным) зажимам идеального трансформатора подключена нагрузка с сопротивлением Z₂. Тогда его входное сопротивление со стороны первичных зажимов будет:

т.е. оно в N² раз отличается от Z₂. Это соотношение характеризует трансформацию сопротивлений. Если вторичные зажимы идеального трансформатора разомкнуты (ХХ, т.е. Z₂=∞), то и Z₁=∞, следовательно, в первичной цепи тока также не будет. Если вторичные зажимы закорочены (Z₂=0), то и Z₁=0, т.е. по первичной цепи также имеет место КЗ.

Для того чтобы трансформатор был идеальным нужно выполнить ряд требований, а именно: активные сопротивления первичной и вторичной обмоток должны равняться нулю, коэффициент связи равняться единице, а числа витков обеих обмоток стремиться к бесконечности.