Цепи переменного тока

Расчет смешанного соединения с использованием метода проводимостей

С
расчетом смешанного соединения познакомимся на конкретном примере цепи, показанной на рис.3.20,а. Как правило, для цепи задано входное напряжение U и параметры элементов, а рассчитывать нужно все токи и напряжения на участках цепи. Идея расчета заключается в замене параллельно включенных ветвей одной эквивалентной (рис.3.19,б). Эквивалентная ветвь должна обладать точно такими же активной, реактивной и полной проводимостями, как и все параллельно включенные ветви.

Порядок расчета:

1. Определяем активные и реактивные проводимости каждой из параллельно включенных ветвей. Для нашего примера

2. Определяем активную, реактивную и полную проводимости эквивалентной ветви:

3. Определяем полное, активное и реактивное сопротивления эквивалентной ветви

Следует заметить, что х_э может оказаться как положительным (индуктивное), так и отрицательным (ёмкостное).

4. После замены параллельно включенных ветвей эквивалентной получилось последовательное соединение, расчет которого известен:

5. По эквивалентной схеме определяем напряжение на параллельных ветвях

U_ab=I₁z_э.

6. Определяем токи в параллельных ветвях

7. Строим векторную диаграмму.

Качественное построение векторных диаграмм

Общие положения:

Векторной диаграммой называется совокупность векторов, изображающих рассматриваемые синусоидальные величины.
Предназначена векторная диаграмма для проверки правильности расчета цепи, облегчает определение углов сдвига фаз между любыми из рассматриваемых величин и делает расчет более наглядным.
Строится векторная диаграмма на основании уравнений, составленных по законам Кирхгофа.
Построение диаграммы рационально начинать: при последовательном соединении – с тока; при параллельном соединении – с напряжения; при смешанном соединении – с ветви, наиболее удаленной от источника (с напряжения на параллельных ветвях).
При построении диаграммы следует твердо помнить, что в активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, в индуктивности ток отстает от напряжения на 90^о, а в ёмкости ток опережает напряжение на 90^о.

Заметим, что на диаграммах часто приходится некоторые векторы переносить параллельно самому себе.

В качестве примера на рис.3.21 приведена полная векторная диаграмма цепи рис.3.20,а.

Резонанс токов

Р
ассмотрим цепь, состоящую из двух параллельно включенных ветвей: в одной активное сопротивление и L, а в другой - активное сопротивление и С (рис.3.22,а). Такую цепь часто называют простейшим параллельным резонансным контуром. Применим к этой цепи условие резонанса, правда учтем, что при параллельном соединении удобнее пользоваться не сопротивлениями, а проводимостями. Тогда запишем b=b₁+b₂=0 или b₁=-b₂. Рассмотрим векторную диаграмму цепи при резонансе (рис.3.22,б). При b₁=-b₂ реактивные составляющие токов I_1р=Ub₁ и I_2р=Ub₂ равны по величине и противоположны по фазе, т.е. . Поэтому ток I не имеет реактивной составляющей и по фазе совпадает с U (φ =0). Представляет интерес идеальный случай, когда r₁=r₂=0 (см. рис.3.22,в). В этом случае I=0 (негласный разрыв цепи: входное сопротивление равно бесконечности). В действительности при резонансе I≠0, но имеет значение, близкое к минимальному. Сформулируем признаки резонанса токов: а) I – минимальный; б) I_1р= I_2р; в) cos φ =1.

Выразив b₁ и b₂ через параметры цепи, получим:

Из этого выражения вытекает, что получить резонанс токов можно изменением: а) L; б) С; в) ω; г) r₁, r₂. Правда путем изменения r₁ и r₂ не всегда удается добиться резонанса, а если изменять L или С, то возможно достижение резонанса при двух их значениях. Чаще всего резонанса добиваются изменением частоты. Если последнее равенство решить относительно ω, то получим:

где ω_о - резонансная частота при резонансе напряжений.

Из полученной формулы вытекает, что для достижения резонанса токов необходимо, чтобы r₁ и r₂ были либо меньше, либо больше чем В противном случае подкоренное выражение дает отрицательный результат, т.е. резонансная частота реально не существует. При r₁ = r₂ ≠ ω’_о= ω_о, т.е. резонанс токов возникает на той же частоте, что и резонанс напряжений. При r₁ = r₂ = ω’_о= ω_о, т.е. оно является неопределенным. Это означает, что резонанс имеет место на всех частотах (безразличный резонанс).

Д
ля идеального контура (r₁=r₂=0) построим частотные характеристики и резонансную кривую тока. Частотные характеристики построим на основании формул: b₁=b_L=1/ωL; b₂=-b_C=- ωC; b=b₁+b₂. Они приведены на рис.3.23. Ток I=|b|U, поэтому кривая |b|(ω) является резонансной кривой тока, правда в другом масштабе.

Когда не равны нулю r₁ и r₂, входная проводимость цепи не равна нулю при любой частоте, поэтому ток I ни при одной частоте не снижается до нуля. Анализ показывает, что при r₁ и r₂ меньших , что чаще всего имеет место на практике, зависимость I(ω) имеет минимум, причем этот минимум наблюдается при частоте, несколько отличающейся от резонансной (см. рис.3.23). Чем меньше r₁ и r₂, тем меньше минимальное значение тока, тем ближе значение частоты, при которой ток минимальный, и резонансной частоты, тем больше зависимость I(ω) похожа на её при r₁=r₂=0. При r₁ = r₂ = I=const при любой частоте.

Резонанс токов широко используется в электроэнергетике для повышения коэффициента мощности, а также в радио и связи.

Мощность синусоидального тока
В цепях постоянного тока мы пользовались понятием 2-полюсника, как части цепи, имеющей два зажима (полюса). Точно также и при переменном токе рассматриваются двухполюсники. Напряжение и ток на входе любого пассивного двухполюсника (рис.3.24,а) связаны законом Ома: I=U/z или I=Uy, где z и y – входное сопротивление или проводимость двухполюсника. Причем в общем случае z состоит из r и х, а y - из g и b. Величины х и b могут быть как положительными (индуктивный характер), так и отрицательными (ёмкостный характер). Иными словами двухполюсник ведет себя как цепь, состоящая из последовательно соединенных r и х (рис3.24,в) или из параллельно соединенных g и b (рис.3.24,г). Как ток, так и напряжение на входе двухполюсника можно представить состоящими из активной и реактивной составляющих ( рис.3.24,б), причем
U_a=Ucos=Izcos=Ir,

U_р=Usin=Izsin=Ix,

т.е. активная составляющая напряжения – это напряжение на активном сопротивлении, а реактивная составляющая - это напряжение на реактивном сопротивлении.

I_a=Icos=

т.е. активная составляющая тока – это ток в ветви с g,

I_p=Isin=

т.е. реактивная составляющая тока – это ток в ветви с b.

Рассмотрим вопрос о мощности на входе пассивного двухполюсника. Пусть напряжение на его входе будет u=U_msint, а ток i=I_msin(t-) (в общем случае напряжение и ток сдвинуты по фазе на угол ). Мгновенная мощность р, потребляемая двухполюсником, определяется как произведение мгновенных значений напряжения и тока, т.е.

p=ui=U_mI_msint sin(t-)=U_mI_m[cos - cos(2t-)]=UIcos - UIcos(2t-).

К
ак следует из этого выражения мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и переменную, которая имеет угловую частоту 2, т.е. изменяется с частотой в два раза большей, чем частота напряжения и тока. Изобразим график мгновенной мощности (рис.3.25). Она положительна, когда u и i имеют одинаковые знаки и отрицательна, когда знаки u и i противоположны. Площадь, помеченная знаком +, пропорциональна энергии, которая поступает от источника к двухполюснику, а площадь, помеченная знаком -, пропорциональна энергии, которая возвращается от двухполюсника к источнику. Такой возврат энергии происходит за счет того, что на предыдущем интервале времени энергия запасалась в магнитных и электрических полях элементов цепи. Разность указанных площадей пропорциональна энергии, которая безвозвратно расходуется в элементах цепи двухполюсника (тепловые потери). Энергию, отдаваемую источником и потребляемую двухполюсником в течение времени t, можно определить так:

W=.

Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью Р, т.е.

Р=.

Из этой формулы вытекает такое следствие: поскольку активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником не может быть отрицательной, то cos0, а значит

Наибольшее возможное значение Р при заданных U и I называется полной или кажущейся мощностью S, т.е. S=UI.

В принципе размерность активной и полной мощности одинакова – Вт. Однако на практике условились S измерять в вольт-амперах (ВА). Это позволяет по наименованию единицы измерения понять о какой мощности идет речь.

Отношение активной мощности к полной называется коэффициентом мошности и оно для синусоидального тока равно cos:

Повышение имеет большое практическое значение. Чтобы в этом убедиться рассмотрим конкретный пример. Допустим предприятие потребляет мощность Р=18000 кВт при напряжении U=36 кВ и имеет =0.5. В этом случае ток в линии, питающей предприятие, будет

Генератор, питающий предприятие, должен иметь полную мощность S=UI=36000 кВА.

Таким образом, линия и вся аппаратура (трансформаторы, выключатели, предохранители и т.д.) должны быть рассчитаны на ток 1000 А.

Если же предприятие повысит до единицы, то

В этом случае достаточен генератор в два раза меньшей мощности, а линия и вся аппаратура должны быть рассчитаны на ток 500 А. А если оставить прежними генератор, линию и аппаратуру, то они смогут питать два таких предприятия. Таким облразом при повышении :

Увеличивается пропускная способность линий передачи и аппаратуры.
Уменьшаются потери мощности в генераторах, трансформаторах и линиях электропередачи; повышается КПД системы.
Уменьшаются потери напряжения в генераторах, трансформаторах и линиях электропередачи.

Д
ля повышения используется резонанс токов. С этой целью к шинам подстанции предприятия подключают батареи статических конденсаторов (или синхронный компенсатор) как показано на рис.3.26.

Часть энергии, поступающей от источника, идет на создание магнитных и электрических полей. Она характеризуется реактивной мощностью

Q=UIsin.

Реактивная мощность в отличие от активной и полной может быть как положительной (при >0 – индуктивная нагрузка), так и отрицательной (при <0 –ёмкостная нагрузка). Реактивную мощность принято измерять в вольт-амперах реактивных (вар). Это позволяет по единице измерения понять, что речь идет о реактивной можщности.

Если диаграмму напряжений на входе двухполюсника умножить на входной ток, то получим треугольник мощностей (см. рис.3.27), из которого следует, что

Из этих выражений вытекает, что для повышения следует уменьшать реактивную мощность.

Заметим, что реактивной мощности приписывается смысл, аналогичный смыслу активной мощности, а именно: её считают мощностью генерирования, передачи и потребления некоторой условной величины, называемой реактивной энергией W_p=Qt. Единицей измерения W_p является реактивный вольт-ампер-час (вар-ч). На предприятиях реактивную энергию измеряют с помощью специальных счетчиков реактивной энергии (аналогично тому как измеряют активную энергию). С помощью показаний этих двух счетчиков (как правило за месяц) может быть определено среднее значение коэффициента мощности:

Рассмотрим частные случаи.

Пусть двухполюсником является активное сопротивление, для которого φ=0. Тогда
P=UIcosφ=UI=S; Q=UIsinφ=0,

т.е. активное сопротивление реактивной мощности не потребляет, а вся потребляемая им мощность S – это активная.

Допустим двухполюсником является индуктивность, для которой φ=90^о. Тогда
P=UIcosφ=0; Q=UIsinφ=UI=S,

т.е. индуктивность активной мощности не потребляет, а вся потребляемая ею мощность S – это реактивная.

Если двухполюсником является ёмкость, для которой φ=-90^о, то
P=UIcosφ=0; Q=UIsinφ=-UI=-S,

т.е. ёмкость активной мощности не потребляет, а вся потребляемая ею мощность S – это реактивная, правда она отрицательная (ёмкость генерирует реактивную мощность, а не потребляет).

На практике кроме приведенных выше формул для мощностей часто используются и другие, а именно: а) для активной мощности
P=UIcosφ=UI_a=U_aI, поскольку Icosφ=I_a, Ucosφ=U_a.

б) для реактивной мощности

Q=UIsinφ=UI_p=U_pI, поскольку Isinφ=I_p, Usinφ=U_p.

в) для полной мощности

S=UI=IzI=I²z; S=UI=UUy=U²y.

Основы комплексного (символического) метода расчета
Всё ранее рассмотренное для цепей синусоидального тока часто называют методом векторных диаграмм, поскольку оно основано на использовании последних. Однако этим методом можно рассчитывать только простые цепи. С усложнением цепей расчет их этим методом либо крайне затруднен, либо вообще невозможен. Более удобным расчетным методом является комплексный или символический метод. Всё последующее изложение курса ТОЭ и большинства других электротехнических дисциплин базируется именно на этом методе, основанном на использовании теории комплексных чисел.

Напомним, что комплексным числом называется сумма вещественного числа а и мнимого, представляющего собой квадратный корень из отрицвтельного числа, т.е. где называется мнимой единицей. Тогда А=а+jb, причем а и b могут быть как положительными, так и отрицательными.

Очень часто комплексное число изображают точкой или вектором на так называемой комплексной плоскости, представляющей собой прямоугольную систему координат. По оси абсцисс откладывают вещественные числа и её называют вещественной осью, а по оси ординат – мнимые (мнимая ось) (см. рис.3.28). Проекции вектора А на вещественную и мнимую оси являются его действительной и мнимой частями.

Существует 4 формы записи комплексных чисел:

a) aлгебраическая А=а+jb; б) показательная

в) тригонометрическая А=А(cos+jsin); г) полярная, являющаяся сокращенной записью показательной формы А=А.

Переход от одной формы записи к другой основан на применении формулы Эйлера и производится с помощью выражений:

А называется модулем комплексного числа, а  - его аргументом. Угол  отсчитывается от положительного направления вещественной оси (положительный – против часовой стрелки, а отрицательный – по часовой стрелке). Он должен выражаться в радианах, однако для большей наглядности его часто условно записывают в градусах. Таким образом, комплексное число А является произведением его модуля на который называется поворотным множителем.

Рассмотрим частные случаи, связанные с поворотным множителем:

Рассмотрим частные случаи, связанные с мнимой единицей: а) умножение на j соответствует повороту вектора, изображающего комплексное число на 90^о (/2); б) в) j²=-1; j³=-j; j⁴=1; в связи с этим j никогда не встречается в степенях, например, j⁷=j⁴j²j=-j.

Комплексные числа А=а+jb и =а-jb называются сопряженными комплексами и их произведение (а+jb) (а-jb)=А²=а²+b².

У
становим связь между синусоидальной величиной v=V_msin(t+) и комплексными числами. С этой целью на комплексной плоскости построим вектор, изображающий комплексное число V_m=V_me^j^ (см. рис.3.29, на котором принято >0). Допустим, что этот вектор, начиная с момента времени t=0, стал вращаться с угловой скоростью  против часовой стрелки. Тогда он будет изображать следующее комплексное число V_me^j⁽^^t⁺^⁾, которое в тригонометрической форме имеет вид V_me^j⁽^^t⁺^⁾= V_mcos(t+)+jV_msin(t+). Отсюда заключаем, что рассматриваемая величина v является мнимой частью (Im) комплексного числа V_me^j⁽^^t⁺^⁾:

v=Im[V_me^j(^^t+^⁾]= Im[V_me^j^e^j^^t]= Im[ e^j^^t].

V_m называется комплексной амплитудой величины v (ЭДС, напряжения, тока и т.д.). Обычно расчет цепей синусоидального тока ведут в действующих значениях, поэтому на практике чаще используют комплексы действующих значений , а не комплексные амплитуды. Для краткости комплексные действующие значения называют так: комплекс тока (I), комплекс напряжения (U) и т.д. Связь между синусоидальной величиной и её комплексом принято записывать сокращенно: v↔V. Приведем конкретные примеры перехода от синусоиды к комплексу и обратного перехода: пусть i=10sin(t+54^o), тогда i↔ или ↔u=200sin(t-15^o).
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме
Рассмотрим цепь r, L, C, по которой протекает ток i=I_msin(t+). Ему соответствует комплекс I=Ie^j^. Согласно второму закону Кирхгофа в любой момент времени
u=u_r+u_L+u_C или u=r I_msin(t+)+L I_msin(t++90 ^o)+ I_msin(t+-90 ^o).

В этом выражении представим все синусоиды комплексными числами:

Im[Ue^j^^t]= Im[rIe^j^^t]+ Im[LIe^j^^t]+ Im[Ie^j^^t].

Если в этом выражении опустить знак мнимой части и множитель e^j^^t, то получим

U =I(r+jL-j)=I[r+j(x_L-x_C)]=IZ,

где Z=r+j(x_L-x_C)=r+jx называется комплексным сопротивлением данной цепи. Если в цепи нет С, то Z=r+jx_L; при отсутствии в цепи L Z=r-jx_C, а еcли цепь не содержит r, то Z=j(x_L-x_C).

Выражение U=IZ представляет собой закон Ома для данной цепи. Следует заметить, что оно имеет точно такой же вид, как и при постоянном токе.

В показательной форме комплексное сопротивление цепи имеет вид Z=Z e^j^, где - модуль комплексного сопротивления, а - его аргумент. Следует подчеркнуть, что аргументом комплексного сопротивления является именно угол  (угол между напряжением и током), как это вытекает из треугольника сопротивлений.

В расчетах часто используют величину, обратную комплексному сопротивлению, которая называется комплексной проводимостью Y:

Для узла некоторой цепи, который показан на рис.3.30 для мгновенных значений токов по первому закону Кирхгофа можно записать -i₁+i₂+i₃-i₄+i₅=0. Если перейти от синусоид к комплексам точно также как мы делали это при выводе закона Ома, то получим -I₁+I₂+I₃-I₄+I₅=0. Это первый закон Кирхгофа в комплексной форме для данного примера. В общем случае для любого узла произвольной цепи аналогично можно записать =0. Это первый закон Кирхгофа в комплексной форме и он имеет точно такой же вид как и для цепей постоянного тока.

Для любого контура произвольной цепи может быть записан второй закон Кирхгофа для мгновенных значений . Если перейти от синусоид напряжений и ЭДС к комплексам аналогично тому, как это делалось при выводе закона Ома, то получим или . Это и есть второй закон Кирхгофа в комплексной форме и он имеет такой же вид, как и при постоянном токе.

Поскольку для цепей синусоидального тока законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме имеют такой же вид, как и для цепей постоянного тока, а все известные нам методы расчета цепей постоянного тока основаны на этих законах, то для цепей синусоидального тока можно повторить все выводы и обосновать все те же методы расчета. То-есть, если пользоваться комплексным методом, то цепи переменного тока можно рассчитывать методом узловых потенциалов, методом контурных токов, методом эквивалентного генератора и т.д. Выбор наиболее рационального метода расчета основан на учете особенностей схемы. Все соображения по выбору расчетного метода для цепей постоянного тока применимы и для цепей синусоидального тока. Следует заметить, что при преобразовании электрических цепей (допустим треугольника в звезду) может оказаться, что некоторые сопротивления имеют отрицательную вещественную часть. Такие сопротивления имеют чисто расчетный смысл, поскольку вещественная часть комплексного сопротивления – это активное сопротивление, а отрицательных активных сопротивлений не существует.

В
I₁
качестве примера покажем расчет комплексным методом схемы смешанного соединения (см. рис.3.31).

Как следует из этого примера расчет производится точно так же как и при постоянном токе, только нужно пользоваться комплексами ЭДС, напряжений, токов и сопротивлений.

Мощность в комплексной форме
Пусть комплекс напряжения на входе пассивного двухполюсника U=U и комплекс тока на его входе I=I. Возьмём сопряженный комплекс тока и умножим его на комплекс напряжения, тогда получим комплексную мощность S
S=U=UI= UIe^j^= UIcos+jUIsin=P+jQ.

Отсюда следует, что вещественная часть комплексной мощности – это Р, а мнимая часть – это Q, т.е.

P=Re[S]; Q=Im[S].

Часто используют и другие формулы расчета комплексной мощности, а именно

S=U=IZ=I²Z; S=U=U=U².

Из закона сохранения энергии следует, что в любой цепи должен соблюдаться баланс мощностей. Однако в цепях синусоидального тока, в отличие от цепей постоянного тока, соблюдается не только баланс активных мощностей, но ещё и баланс реактивных мощностей, т.е. Активные и реактивные мощности источников, как правило, рассчитываются так: Активные и реактивные мощности приёмников обычно определяются по формулам: Следует заметить, что баланса полных мощностей не существует.

Топографическая диаграмма
Для суждения о величине и фазе напряжения между различными точками схемы удобно пользоваться топографической диаграммой. Она представляет собой диаграмму комплексных потенциалов всех точек контура или всей цепи, причем каждой точке схемы соответствует определенная точка на диаграмме. Топографическая диаграмма строится на комплексной плоскости. В начале координат располагается точка, потенциал которой принят равным нулю. Для построения диаграммы должны быть рассчитаны потенциалы всех остальных точек, поэтому построить диаграмму можно только после определения всех токов цепи. В качестве примера качественно построим топографическую диаграмму для контура, показанного на рис.3.32,а.
П
усть ₁=0, тогда ₂=-Е; ₃=₂-I₂r₂; ₄=₃-I₃(); ₅=₄+I₂jL; ₁=₅+I₁r₁=0.

б)

Если последнее выражение не дает нуля, то это свидетельствует о том, что токи определены неправильно. Для определения напряжения между любыми точками контура достаточно соединить соответствующие точки диаграммы отрезком прямой линии и придать этому отрезку соответствующее направление.

Связь между топографическими диаграммами и векторными: для простых цепей (векторные диаграммы строятся только для них) это одно и тоже, однако, если на топографической диаграмме расположение отрезков строго соответствует расположению элементов на схеме, то на векторной диаграмме это не обязательно.

Падение и потеря напряжения в линиях электропередачи
Источники питания соединяют с приёмниками линиями электропередачи (ЛЭП), которые обладают активным r_л и индуктивным x_л сопротивлениями проводов. Построим векторную диаграмму цепи (рис.3.33), состоящей из источника питания, ЛЭП и нагрузки. Для определенности примем, что нагрузка носит индуктивный характер. Напряжение на нагрузке U₂ направим по вещественной оси. Под падением напряжения в линии понимают геометрическую разность векторов (комплексов) напряжения в начале и в конце линии, т.е. ∆U=U₁-U₂=I(r_л+j x_л). Величина потери напряжения равна

Под потерей напряжения понимают разность модулей напряжений в начале и в конце линии, т.е. ∆U`=U₁-U₂. В общем случае потеря напряжения оказывается меньшей, чем падение напряжения (см рис.3.33).

ЦЕПИ С ВЗАИМНЫМИ ИНДУКТИВНОСТЯМИ
Явление наведения ЭДС в одном контуре или катушке при изменении тока в другом контуре или катушке называется явлением взаимной индуктивности, а наведенная ЭДС называется ЭДС взаимной индуктивности (е_М). Познакомимся с этим явлением поближе, рассмотрев рис.3.34. Пусть по первой катушке с числом витков w₁ замыкается ток i₁, который создает магнитный поток Ф₁, часть которого (Ф₁₁) замыкается только вокруг витков первой обмотки, а часть (Ф₁₂) охватывает обе обмотки. Пусть по второй катушке с числом витков w₂ замыкается ток i₂, который создает магнитный поток Ф₂, часть которого (Ф₂₂) замыкается только вокруг витков второй обмотки, а часть (Ф₂₁) охватывает обе обмотки. Тогда полные потокосцепления каждой из обмоток с учетом направлений магнитных потоков будут:
Ψ_1полн=w₁(Ф₁±Ф₂₁)=Ψ₁± Ψ₂₁; Ψ_2полн=w₂(Ф₂±Ф₁₂)=Ψ₂± Ψ₁₂.

Известно, что если сердечник катушек выполнен из материала с неизменной магнитной проницаемостью, то потокосцепления прямо пропорциональны токам их создающим, т.е.

Ψ₁=L₁i₁; Ψ₂=L₂i₂; Ψ₁₂=M₁₂i₁; Ψ₂₁=M₂₁i₂,

где: L₁ и L₂ - собственные индуктивности катушек.

Опытом установлено, что M₁₂= M₂₁=М.

М называется взаимной индуктивностью катушек. Она измеряется в Гн и представляет собой коэффициент пропорциональности между Ψ₁₂ и i₁ или между Ψ₂₁ и i₂. Взаимная индуктивность зависит от формы и геометрических размеров обмоток, чисел их витков, взаимного расположения и свойств среды, в которой они находятся.

Степень индуктивной связи определяется коэффициентом связи

При изменении токов i₁ и i₂ будут изменяться потокоосцепления и в соответствии с законом электромагнитной индукции в катушках будут наводиться ЭДС. Полные ЭДС катушек будут

Абсолютные значения ЭДС взаимной индуктивности определяются выражениями

Для облегчения вопроса о знаке этих ЭДС и напряжений их компенсирующих прибегают к специальной разметке зажимов индуктивно связанных катушек: два зажима, принадлежащих разным индуктивно связанным элементам цепи называются одноименными и обозначаются одинаковым значками, если при одинаковом направлении токов относительно этих зажимов магнитные потоки элементов складываются. Применим это правило к обмоткам, показанным на рис.3.35,а. При направлении i₁ от a к b, а i₂ от c к d магнитные потоки обмоток складываются, т.е. зажимы a и c являются одноименными. Одноименными являются и зажимы b и d, однако помечать одинаковыми значками (например, звездочками) принято только одну пару одноименных зажимов.

Д
i₂

ля второй пары обмоток (см. рис.3.35,б) одноименными являются зажимы a₁ и d₁, а так же b₁ и c₁. Различие обусловлено другим направлением намотки витков. Если направление намотки витков неизвестно, что часто бывает на практике, то одноименные зажимы можно определить опытным путем. Для опыта нужен источник постоянного тока (обычно батарейка от карманного фонарика) и гальванометр (тестер). Одна из обмоток подключается к гальванометру, а другая – через ключ К к источнику (рис.3.36). При замыкании ключа К в другой обмотке кратковременно возникает ток, что приводит к кратковременному же отклонению стрелки гальванометра. Правило: если при включении ключа стрелка гальванометра отклоняется в сторону шкалы (по часовой стрелке), то зажимы, подключенные к плюсу источника и к плюсу гальванометра, являются одноименными.

В связи с введением понятия одноименных зажимов при вычерчивании схем нет необходимости показывать намотку витков индуктивно связанных катушек, а достаточно указать на схеме их одноименные зажимы.

Для выяснения вопроса о знаке ЭДС взаимной индуктивности или напряжения, его компенсирующего, обратимся к рис.3.37. Пусть первая обмотка разомкнута, а вторая обтекается током i₂=I₂_msin(ωt+ψ). Выберем положительные направления e₁_M, u₁_M и i₂ одинаковыми относительно одноименных зажимов. При одинаковом направлении e₁_M и u₁_M величины эти равны по величине и противоположны по знаку согласно второму закону Кирхгофа, т.е. e₁_M=-u₁_M. С другой стороны при указанных направлениях . Тогда

Применим комплексный метод. Тогда а

Отсюда видно, что напряжение, обусловленное взаимной индуктивностью, сдвинуто по фазе относительно тока, который его наводит, на 90^о. Величина ωМ имеет размерность сопротивления, называется сопротивлением взаимной индуктивности и обозначается х_М. Величина jωМ называется комплексным сопротивлением взаимной индуктивности и обозначается Z_M, т.е. Z_M= jωМ=jx_M.

Рассмотренное позволяет сделать обобщение и записать выражение для напряжения взаимной индуктивности на k-ом элементе, которое создается l-тым током:

В этом выражении плюс берется в случае, когда направления U_kM и I_l совпадают относительно одноименных зажимов.

В заключение заметим, что если индуктивно связаны больше, чем два элемента, то в общем случае у каждой пары элементов одноименные зажимы свои и приходится прибегать к использованию различных значков для обозначения одноименных зажимов.
Последовательное соединение индуктивно связанных элементов цепи
П
редположим, что два приемника энергии, обладающие активными сопротивлениями r₁ и r₂, индуктивностями L₁ и L₂ и взаимной индуктивностью М, соединены последовательно. Возможны два вида их соединения – согласное и встречное.

При согласном включении (рис.3.38,а) имеем

U₁=Ir₁+jωL₁I+ jωMI=I[r₁+jω(L₁+M)]= I(Z₁+Z_M);
U₂=Ir₂+jωL₂I+ jωMI=I[r₂+jω(L₂+M)]= I(Z₂+Z_M);
U=U₁+U₂=I[r₁+ r₂+jω(L₁+L₂+2M)]= I(Z₁+ Z₂+2Z_M);

где: Z₁= r₁+jωL₁ - комплексное сопротивление первого приёмника;

Z₂= r₂+jωL₂ - комплексное сопротивление второго приёмника;

Z_M= jωM - комплексное сопротивление взаимной индуктивности.

Отсюда следует, что при согласном включении комплексное сопротивление всей цепи

Z_согл=Z₁+ Z₂+2Z_M,

а общая индуктивность (L_согл=L₁+L₂+2M) при наличии взаимной индуктивности увеличивается на 2М. Это объясняется тем, что в любой момент времени ток в обоих элементах цепи направлен одинаково относительно одноименных зажимов и их магнитные потоки складываются.

<< предыдущая страница следующая страница >>