О расчете допусков в ускорителе заряженных частиц

УДК 517.977
Е. В. ЕЛАЕВ^{^}

(ПМ – ПУ, СПбГУ, г. Санкт-Петербург)

О расчете допусков в ускорителе заряженных частиц.
В работе предлагается методика поиска и определения допусков на параметры ускоряющей структуры. Основываясь на аналитическом представлении функционала качества, находятся допуски, в пределах которых структура обеспечивает требуемые характеристики пучков заряженных частиц. Проводится статистический анализ полученных результатов.
Введение
При проектировании любой технической системы возникает необходимость в расчете допусков на те или иные параметры системы [1-5]. В работе рассматривается расчет допусков на геометрические параметры ускорителя с трубками дрейфа. В докладе исследуются функционалы, характеризующие динамику пучка ускоряемых частиц. На основе аналитического представления вариации рассматриваемых функционалов производится расчет допусков на параметры структуры, при этом качество функционирования системы в пределах поля допусков должно удовлетворять заранее заданному критерию. В работах Розенвассера Е. Н., Юсупова Р.М. [5] и других авторов были разработаны методы расчета допусков на параметры технических систем. Проблемам расчета допусков в ускоряющих и фокусирующих структурах посвящены работы Овсянникова Д.А. и его учеников [1,3,4,7]. В этих работах были разработаны методы расчета допусков на основе аналитического представления вариации различных функционалов.
Методика нахождения допусков.

Постановка задачи. В докладе рассматривается задача нахождения допусков на геометрические параметры ускорителя с трубками дрейфа. Для аппроксимации напряженности поля на оси ускорителя воспользуемся моделью квадратной волны, при этом амплитуда напряженности поля постоянна в зазорах и равна нулю в трубках дрейфа. Уравнения, описывающие динамику пучка частиц, имеют следующий вид [4]:

,	(1)
	(2)
	(3)
	(4)

где – приведенная энергия;– фаза частицы; – приведенная продольная координата; – длина волны ускоряющего поля; – приведенный радиус пучка; – расходимость пучка; – безразмерная кусочно-постоянная функция, определяющая напряженность поля вдоль оси

Здесь – точки разбиения промежутка такие, что , – фиксированное неотрицательное целое число. Уравнения (1), (2) описывают продольное движение заряженных частиц, а (3), (4) – соответственно радиальное. Допуски будем определять на параметры , которые являются координатами трубок дрейфа.

Введем в рассмотрение функционалы качества , характеризующие качество функционирования системы в зависимости от параметра

	(5)

Здесь – сечение пучка траекторий, соответствующих управляющим параметрам и ; , – средние энергия и фаза. Функционал характеризует продольное движение заряженных частиц, функционал – радиальное.

Известны номинальные значения параметров ). Требуется по заданному определить допуски , где , такие, что

при , , и провести статистический анализ полученных значений допусков.

Определение допусков. При расчете допусков методами теории чувствительности предполагается, что отклонения значений параметров от номинальных малы и что изменения параметров в пределах поля допуска являются линейными. Тогда полное приращение функционала качества можно заменить его вариацией [5]

(6)

Для определения допусков будем использовать принцип равных влияний [5], который предполагает, что изменение каждого входного параметра на выходную величину влияет одинаковым образом. В этом случае формула для расчета допусков будет иметь следующий вид:

(7)

Для нахождения допусков при используется следующее представление коэффициентов чувствительности [4]:

(8)

Величины , , , , находим, решая следующую сопряженную систему дифференциальных уравнений:

(9)

с конечными условиями

(10)

При этом учитывается импульсное воздействие на элементы сопряженной системы в точках разрыва управления [4] .

Результаты. Был проведен расчет допусков на параметры системы , в пределах которых отклонение функционала качества , не превысит 5%. Так же были найдены допуски, при которых значение функционала изменится не более чем на 5%.

Для того чтобы получить единую систему допусков, в пределах которой отклонение функционалов качества и, характеризующих как продольное, так и радиальное движение не будет превосходить 5%, примем допуск на каждый параметр структуры, равным наименьшему из полученных допусков (см. рис. 1).

Рис. 1. Значения допусков, при которых отклонение функционалов качества и не превысит 5%.

Метод статистического анализа. Оценим поведение ускоряющей и фокусирующей структуры в пределах поля допусков, определяемых из аналитических формул для градиента исследуемых функционалов (см. рис. 1). Пусть – случайная величина, распределенная по нормальному закону с квадратичным отклонением и математическим ожиданием . Далее не будем учитывать взаимную корреляцию случайных величин , считая их независимыми. Напомним, что являются расчетными параметрами системы.

Воспользуемся правилом трех сигм для определения допусков. Пусть

, где определяется формулой (7). Смоделируем для каждой случайной величины ее нормальное распределение с математическим ожиданием и квадратичным отклонением , .

Статистическое моделирование реализуем следующим образом:

генерируем значения случайных величин ;
моделируем динамику движения пучка заряженных частиц с новыми значениями управляющих параметров и находим соответствующее этой динамике значение фукнционала качества , который также полагаем случайной величиной;
после реализации , таких опытов (при моделирование осуществлялось =500 опытов) получаем выборку значений для функционала и находим квадратичное отклонение

(11)

где – математическое ожидание.

В случае, если найденное таким образом квадратичное отклонение меньше изначально заданного отклонения функционала , то допуски можно увеличить до того момента, пока и не будут сопоставимы, если же больше , то соответственно допуски можно уменьшить.

Статистический анализ полученных результатов. Статистический анализ показал, что поле допусков, найденное ранее по аналитическим формулам, можно увеличить. А именно, при увеличении в 3,7 раза отклонение функционала качества для радиального движения составит 4,79%. Соответственно, при расширении поля допусков продольного движения в 3,2 раза отклонение функционала качества составит 4,67%. Полученные отклонения функционалов качества при таких допусках сопоставимы с первоначально заданным отклонением в 5%.

Таким образом, статистический анализ позволил увеличить допуски на параметры системы, при которых функционалы качества не превышают заранее заданных величин (см. рис.2). Следует отметить, что аналитический подход к определению допусков, позволил нам определить форму поля допусков, приведенных на рис.1.

Рис. 2. Значение допусков, после статистического анализа.
Заключение

В работе была исследована методика определения допусков, соединяющая в себе как поиск допусков с использованием аналитического представления вариации функционала, так и статистический анализ полученных значений допусков, на примере радиального и продольного движения заряженных частиц в ускорителе с трубками дрейфа.

В работе представлены алгоритмы данной методики. В среде MATLAB написана программа, реализующая данные алгоритмы. Был проведен расчет допусков и их статистический анализ. В результате расчетов была получена распределенная система допусков на параметры ускорителя.

Следует отметить, что для различных ускоряющих и фокусирующих структур, для различных задач физики пучков анализ поля допусков является актуальной и важной задачей. В работах [6-10] были получены аналитические выражения для вариации функционала как для непрерывных, так и для дискретных систем, с учетом плотности распределения частиц и их взаимодействия. Эти вариации можно использовать для различных задач расчета допусков в ускорителе.

Работа проводилась при поддержке СПбГУ, тема НИР 9.38.673.2013.

Литература

1. Алишеров, А.А., Овсянников, Д. А., Папкович, В.Г., Расчет допусков в ускоряющих структурах// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Техника физич. Эксперимента. 1983. Вып 3(15)

2. Власов, А.Д. Теория линейных ускорителей. М.: Атомиздат, 1965. 308 с.

3. Дуркин, А.П., Коваленко,А.А., Овсянников, Д.А. К теории расчета допусков на параметры фокусирующих систем// Журн.технич физики 1991. Т.61,вып.7. С.181-186.

4. Овсянников, Д. А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. - 312 с.

5. Розенвассер, Е.Н., Юсупов, Р.М. Чувствительность систем управления. М.: Наука, 1986. 463с.

6. Kotina E. D., Discrete optimization problem in beam dynamics.//Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 2006. T. 558. №1. С. 292-294.

7. Ovsyannikov D. A. [etc.]. About computational tolerance problem in accelerating structures, Proc. of the first international workshop BDO | St. Petersburg, (1994).

8. Ovsyannikov D. A. [etc.]. Optimization of matching section of an accelerator with a spatially uniform quadrupole focusing// Technical Physics, 2009. 54 (11), pp. 1663-1666.

9. Ovsyannikov D. A. [etc.]. On the beam dynamics optimization problem//
International Journal of Modern Physics A, 24 (5), 2009 . pp. 941-951. Cited 1 time.

10. Ovsyannikov D. A. [etc.]. Beam dynamics optimization: Models, methods and applications

Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, 2006, 558 (1), pp. 11-19. Cited 4 times.
Текст доклада согласован с научным руководителем.

Овсянников Дмитрий Александрович, профессор факультета прикладной математики – процессов управления СПбГУ.

Научный руководитель д.ф.-м.н., проф., Овсянников Дмитрий Александрович.