Модуль ме мера Вход Модули К, ип. Анализ. Выход Понятия

Модуль МЕ Мера

Вход

Модули К, ИП. Анализ.

Выход

Понятия

Параметры	Имя понятия, обозначение	Определяющее понятие и видовые признаки
- и.п.	Мера (в X), 	Функция : A[0, +] 1)  = 0, 2) A_n = A_n (n=1,) (счетная аддитивность)
- и.п.;  - мера	Пространство с мерой	Упорядоченная тройка , где - измеримое пр-во,  - мера в X
	Внешняя мера, * (в R; в Rⁿ)	Функция :(R)  [0, +] (A) = inf{(b_k - a_k) : A  (a_k, b_k), kN} - inf сумм длин последовательностей интервалов, покрывающих А; (в Rⁿ - параллелепипеды)
	Измеримое по Лебегу м.	М. A = BN, где В - борелевское м., *(N) = 0.
	Лебеговская -алгебра, L	-алгебра измеримых по Лебегу множеств
	Мера Лебега, 	Сужение внешней меры на лебеговскую -алгебру, т.е.  = *_L
- пр-во с мерой, Е  A	Последовательность f_n  f -почти всюду на м. Е	Последовательность f_n  {xE: f_n(x) не сходится к f(x)}= 0
- пр-во с мерой, Е  A	Отношение равенства ф. -почти всюду на м. Е	Отн-е эквивалентности : fg  {xE f(x)  g(x)} = 0
- пр-во с мерой, Е  A	Последовательность f_n  f по мере  на м. Е	Последовательность f_n    0 {xE: f_n(x) - f(x) } 0 (n  )
- пр-во с мерой, Е  A	Последовательность f_n  f равномерно на м. Е	Последовательность f_n  f_n - f_sup = sup{f_n(x) - f(x) : xE} 0 (n  )

Утверждения

УТВ МЕ-1 Свойства абстрактной меры:

1. Конечная аддитивность: A_n = A_n (n=1,N) NN.

2. Монотонность: AB  A  B.

3. AB & B

4. Счетная (конечная) полуаддитивность: мера объединения измеримых множеств не превосходит суммы мер этих множеств.

5. Непрерывность меры: A₁  A₂  ....  A_n = lim A_n (n);
A₁n+1  A_n  A_n = lim A_n (n).
УТВ МЕ-2 Свойства внешней меры:

1. Внешняя мера одноточечного м. равна 0.

2. Монотонность.

3. Счетная (конечная) полуаддитивность.

4. Внешняя мера счетного множества равна 0.

5. *N = 0  *(AN) = *A & *(A\N) = *A.

6. *[a,b] = b - a.

7. Внешняя мера инвариантна относительно сдвигов: R *(A+) = *A.

УТВ МЕ-3 Теорема Пусть B - борелевская -алгебра в R (в Rⁿ). Тогда сужение внешней меры на B является мерой (мера Бореля).
УТВ МЕ-4 Теорема Измеримые по Лебегу множества образуют -алгебру, а сужение внешней меры на эту -алгебру является мерой (мера Лебега).
УТВ МЕ-5 Аппроксимация измеримых по Лебегу множеств

Лемма. *A = inf {*G: AG - открыто}.

Обозначим: L - лебеговская -алгебра;

G - открытое м.,

F - замкнутое м.,

G_ - счетное пересечение открытых м.,

F_ - счетное объединение замкнутых м.

Теорема (критерии измеримости м. А по Лебегу) М. А измеримо по Лебегу (A  L) 

 0  G  A и такое, что *(G\A)  

  G_  A и такое, что *(G\A) = 0

 0  F  A и такое, что *(A\F)  

  F_  A и такое, что *(A\F_) = 0

 0  G и F такие, что F  A  G и *(G\F)  

  G_ и F_ такие, что F_  A  G_ и *(G_\F_) = 0.
УТВ МЕ-6 Четыре типа сходимости последовательностей измеримых функций f_n:ER, n=1,2,3,.. к функции f:ER:

1. Равномерная: f_n - f_sup  0  f измерима;

2. Поточечная: f_n(t)  f(t) tE  f измерима;

3. -почти всюду: {tE: f_n(t) не сходится к f(t)}= 0  f измерима;

4. Cходимость по мере к измеримой функции f: >0 {tE: f_n(t) - f(t) } 0 (n  ).

Связь между четырьмя типами сходимости последовательностей измеримых функций:

1) 1  2  3 (очевидно);

2) 3  4 (теорема Лебега)

3) 4 не влечет 3 не влечет 2 не влечет 1;

4) Теорема Егорова. Если последовательность f_n  f -почти всюду на м. Е и Е 0  такое измеримое E_  E, что E_   и f_n  f равномерно на E\E_;

5) Теорема Рисса. Если последовательность f_n  f по мере  на м. Е и Е n₍_k₎  f -почти всюду на м. Е.
УТВ МЕ-7 Теорема Лузина (об аппроксимации измеримой функции непрерывной). Пусть Е - измеримое по Лебегу множество в R (в Rⁿ), f:ER - измеримая по Лебегу функция. Тогда для >0  непрерывная функция g:RR (g:RⁿR), такая что1) {tE  f(t)  g(t)} , 2) g_sup  f_sup.
Умения

УМ МЕ-1. Определить, является ли мерой данная вещественная функция.

УМ МЕ-2. Вычислить данную меру данного (измеримого ?) множества.

УМ МЕ-3. Определить тип сходимости данной последовательности функций.

УМ МЕ-4. Доказать данное утверждение.
Пимеры

ПР МЕ-1.1. Даны измеримое пространство N, (N)> и функция множества

(Е) = _k__E (1/2^k): (N)R Определить, является ли мерой данная вещественная функция.

Решение. Очевидно, что м. значений ф.  - [0,+) и  = 0. Далее, A_n = _k__An (1/2^k) = =(перестановка членов сходящегося ряда с неотрицательными членами)= (_k__An (1/2^k)) = A_n (n=1,). Все признаки меры выполняются, и данная функция является мерой.
ПР МЕ-1.2. Даны измеримое пространство N, (N)> и функция множества
(Е) = _k__E (-1)^k/2^k: (N) R. Определить, является ли мерой данная вещественная функция.
Решение. Множество значений ((N)) содержит отрицательные значения, например, ({1}) = -1/2. Следовательно, данная функция не является мерой
ПР МЕ-2.1. Даны подмножества N: E₁ = {2} (N), Е₂ = {1, 2, 5, 8} (N), E₃ = N (N). Вычислить меру (Е) = _k__E (1/2^k): (N)[0,+] данного измеримого множества.

Решение. Все подмножества N измеримы. (Е₁) = _k=2 (1/2^k) = 1/2² = 1/4; (Е₂) = _k__{{1, 2, 5, 8}} (1/2^k) = 1/2 + 1/4 + 1/2⁵ + 1/2⁸ = 201/256; (Е₃) = _k__N (1/2^k) = 1/2 + 1/2² + 1/2³ + .... =(сумма прогрессии)= =(1/2)/(1-1/2) = 1
ПР МЕ-2.2. Дано м. Е = (0, 1)  (1/2, 3)  (4, 5]  {1/n}_n__N. Вычислить меру Лебега данного (измеримого ?) множества.

Решение. М. Е борелевское, следовательно Е измеримо по Лебегу, а мера Лебега м. Е равна его внешней мере (УТВ МЕ-4). Далее, м. {1/n}_n__N счетно и его внешняя мера (а следовательно и мера Лебега) равна 0 (УТВ МЕ-2.4). В силу УТВ МЕ-2.5 (Е) = ((0, 1)  (1/2, 3)  (4, 5]) =
= ((0,3)  (4, 5]) =(конечная аддитивнсть меры)= (0,3) + (4, 5] =(мера Лебега любого промежутка равна мере Лебега отрезка с теми же концами и УТВ МЕ-2.6)= 3 + 1 = 4
ПР МЕ-3. Дана последовательность f_n(x) = xⁿ : RR. Определить, сходится ли последовательность {f_n} к функции f(x)  0 на м. E = [0,1] равномерно? поточечно? -почти всюду ( - мера Лебега)? по мере Лебега?

Решение. f_n - f_sup = sup{f_n(x) - f(x) : x[0, 1]}= 1 не стремится к 0, следовательно равномерно последовательность не сходится. Поточечно последовательность f_n сходится к ф. g(x) = 0 при
x[0, 1), g(1) = 1, и так как g  f, то последовательность f_n не сходится поточечно (т.е. при каждом аргументе  Е) к f. Последовательность f_n сходится к f -почти всюду ( - мера Лебега) на м. Е, т.к. {xE: f_n(x) не сходится к f(x)}= {1}= 0. В силу т. Лебега (УТВ МЕ-6) наша последовательность сходится к нулю по мере Лебега 

Задачи для самостоятельного решения

1.1. (1Б) Доказать конечную аддитивность и монотонность абстрактной меры.

1.2. (1Б) Доказать: (A  B & B

1.3. (1Б) Доказать, что мера Лебга одноточечного множества на R (на Rⁿ) равна нулю.

1.4. (1Б) Доказать, что внешняя мера одноточечного множества на R (на Rⁿ) равна нулю.

1.5. (1Б) Доказать, что внешняя мера инвариантна относительно сдвигов.

1.6. (1Б) Доказать, что всякое измеримое по Лебегу множество на прямой есть объединение борелевского м. и м. меры нуль.

1.7. (1Б) Доказать монотонность внешней меры.

1.8. (1Б) Доказать, что внешняя мера счетного м. равна нулю.

1.9. (1Б) Доказать непрерывность меры: A₁  A₂  …  A_n  …   A_n = lim_n_A_n .

1.10. (1Б) Доказать счетную полуаддитивность абстрактной меры: _n__N A_n  _n__NA_n для  последовательности {A_n} измеримых м.

1.11. (1Б) Доказать счетную аддитивность меры Лебега.

1.12. (1Б) Доказать, что всякое м. внешней меры нуль измеримо по Лебегу.

1.13. (1Б) Доказать, что борелевские м. измеримы по Лебегу.

1.14. (1Б) Доказать: {f_n:ER} почти всюду сходится к f :ER & f_n почти всюду сходится к g :ER  f  g.

1.15. (1Б) Доказать, что мера Лебега м. рациональных чисел на R равна нулю. Чему равна мера Лебега м. всех иррациональных чисел ?

1.16. (1Б) Доказать свойство счетной аддитивности для дискретной вероятностной меры.

2.1. (2Б) Доказать, что измеримые по Лебегу множества образуют -алгебру на числовой прямой.

2.2. (2Б) Пусть f_n(t) = tⁿ, t[0,1], nN. Исследовать последовательность {f_n} на сходимость: а) равномерную; б) поточечную; в) почти всюду; г) по мере Лебега. Указать в каждом случае предельную функцию.

2.3. (2Б) Доказать: если Е n  f на E  0 {x : f_n(x) – f(x) }  E (n).

2.4. (2Б) Пусть f:RR – дифференцируемая ф. Доказать, что производная ф. f  : RR измерима по Лебегу.

2.5. (2Б) Доказать: (f  C[0,1] & f  )  f  0.

2.6. (2Б) Рассмотрим на -алгебре всех подмножеств натуральных чисел меру A = _k__Ap_k , где p_k = 1/2^k. Вычислите меру  всех четных чисел.

2.7. (2Б) Пусть  = {1, 2, 3, …} = N; дискретная вероятностная мера P:()  [0, 1] определяется последовательностью p_n = 2ⁿ^-1/3ⁿ, nN. Найти меру Р всех четных чисел.

2.8. (2Б) Доказать: если случайные события А и В независимы, то 1) А и В независимы; 2) А и В независимы.

2.9. (2Б) Доказать, что отношение f  g  {xE : f(x)  g(x)} = 0 является отношением эквивалентности на пространстве S(E, ) всех измеримых функций.

2.10. (2Б) Доказать: (f_n  f & f_n  g)  f  g.

2.11. (2Б) Доказать непрерывность меры.

2.12. (2Б) Доказать счетную полуаддитивность внешней меры.

2.13. (2Б) Доказать, что две непрерывные ф. на отрезке эквивалентны относительно меры Лебега только тогда, когда они тождественно равны.

2.14. (2Б) Доказать: *N = 0  1) *(AN) = *A & 2) *(A \ N) = *A.

2.15. (2Б) Привести пример измеримой ф., обратная к которой не измерима.

3.1. (3Б) Пусть A, P> - вероятностное пр-во, f :   R – дискретная случайная величина (т.е. простая измеримая ф.), принимающая различные значения f_n с вероятностью p_n , nN. Найти распределение f .

3.2. (3Б) Доказать, что *[a, b] = b – a.

3.3. (3Б) На примере показать, что если А₁ = +, то из А₁  А₂  …  А_n  … равенство A_n = lim A_n (n) , вообще говоря, не следует.

3.4. (3Б) Доказать, что из равномерной сходимости последовательности измеримых функций следует поточечная, а из поточечной - сходимость почти всюду. Привести примеры, опровергающие обратные утверждения.

3.5. (3Б) Доказать, что функция f(x) = 1/x при x(0, 1] и f(1) = 0 не эквивалентна по мере Лебега никакой непрерывной на отрезке [0,1] функции.

3.6. (3Б) Доказать, что последовательность f _n(x) = nx/(n² + x²), xR, сходится к нулю поточечно, но не равномерно.

3.7. (3Б) Пусть aR фиксировано. Доказать, что ф. _a(A) = 1, если аА, и _a(A) = 0, если аА является мерой на (R) (мера Дирака). Является ли мера Дирака инвариантной к сдвигам.

4.1. (4Б) Доказать, что предел почти всюду сходящейся последовательности измеримых ф. измерим (мера полная, т.е. всякое подмножество м. меры нуль измеримо).

4.2. (4Б) Доказать, что для  м. A  R *A = inf{*G : A  G – открыто}.

4.3. (4Б) Доказать: A  L   F_  A и такое, что *(A\F_) = 0.

4.4. (4Б) Доказать: A  L   G_  A и такое, что *(G\A) = 0.

4.5. (4Б) Пусть f(x)= 1/x, x(0, 1]. Доказать, что формула m(B) = [f ^–1(B)] задает меру на (R). m([0, +))=?

4.6. (4Б) Пусть A, P> - вероятностное пространство, f :R – случайная величина. Доказать, что распределение с.в. f (Pf ^–1)(B) = P[f ^–1(B)] является вероятностной мерой на B  (R).

4.7. (4Б) Пусть A, P> - вероятностное пространство, E  A, P(E) > 0. Доказать: 1) A_E = {AE : AA} - -алгебра в E; 2) P(AE) = P(AE)/P(E) – вероятностная мера на A_E (условная вероятность).

4.8. (4Б) Пусть A, > - пр-во с мерой. Доказать, что A' = {AC  A A & ( N A  N=0 & CN)} -
-алгебра в Х, а '(AC) =(по определению)= А - полная мера на A' (именно поэтому любую меру можно считать полной!).

Заполните фрейм доказательства теоремы, используя приведенные вставки.

Доказательства утверждений

Теорема Лебега (УТВ МЕ-6)

(Изм. {f_n:ER}f:ER &  - полная (A=0&A₁A  A₁ измеримо) & Enf.

Д-во. 1) f измерима? A={xE f_n(x)f(x)} =(f_nf) ?₁ =( полная мера) ?₂ =(опр. \) ?₃ - дополнение измеримого м. измеримо =[ (f_nA)^-1(B) =(опр. прообраза и сужения ф.)= {xA f_n(x)B} =(опр. )= A{xE f_n(x)B} =(опр. прообраза)= Af_n^-1(B) измеримо, как пересечение измеримых м., прообраз f_n^-1(B) измерим, т.к. f_n измерима n ] f_nA измеримые функции n =(предел последовательности измеримых ф. измерим) lim f_nA = fA - измерима; fE\A измерима, т.к. для  борелевского В прообраз ?₄ измерим в силу полноты  ((E\A)=0!). f^-1(B) =(определение прообраза)= {xE f(x)B} =(определение )= {xA f(x)B}{xE\A f(x)B} =(определение прообраза сужения)= (fA)^-1(B)(fE\A)^-1(B) - измеримо, как объединение измеримых множеств =(определение измеримой ф.) f измерима!

2) Фиксируем  > 0 и рассмотрим множества A_n() = {xE f_n(x) - f(x)   - измеримы (т.к. ?₅ , A_n() =  ?₆ ).

A_n()0 при n ? A_n() не монотонная последовательность. Образуем последовательность измеримых множеств , nN (счетное объединение измеримых множеств измеримо!), которая монотонно убывает: B₁()  B₂() …, причем B₁() 7 . Рассмотрим м. B() = - измеримо, как счетное пересечение измеримых м. Пусть xB() =(определение ) xB_n() n =( ?₈ ) n x =(опр. ) n  kn  xA_k(), т.е. xA_n() для сколь угодно больших номеров n =( ?₉ ) f_n(x) - f(x)   для сколь угодно больших номеров n =(определение сходимости числовой последовательности) f_n(x) не сходится к f(x) =( ?₁₀ ) xE\A =( ?₁₁ ) B()E\A =(монотонность  & неотрицательность  & (E\A)=0) B()=0, но, в силу непрерывности , B() = , т.е. B_n()0 =( ?₁₂ )
A_n()0 (n) =(определение сходимости по мере) f_nf 
(A) определение B_n()

(B)

(D) (E\A)=0

(E) A_n()  B_n()

(F) E\A измеримо

(G) определение A_n()

(H) (fE\A)^-1(B)E\A

(I) B₁()E, а E

(J) определение A

(K) A = E\(E\A)

(L) f_n - f измерима, как разность измеримых ф.