Лекция Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную искомой функции.

Символически дифференциальное уравнение можно написать так

или

Неизвестной здесь является функция y, входящая под знак производных (или дифференциалов).

Если искомая функция y(x) есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В этой главе мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение есть уравнение первого порядка,

а уравнение - уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y(x), которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество. Решение еще называется интегралом дифференциального уравнения.

Пример

Рассмотрим уравнение .

Функция является решением этого уравнения.

Действительно,

и уравнение обращается в тождество:
.
Решением рассматриваемого уравнения будут и функции

и вообще функции
, где и - произвольные постоянные.
В самом деле

и уравнение обращается в тождество
.

Заметим, что рассматриваемое уравнение имеет бесчисленное множество решений вида: .

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную первого порядка искомой функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид .

Общее и частное решение

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной C, придавая конкретное значение которой , можно получить решение , удовлетворяющее любому заданному начальному условию .

Равенство вида , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Заметим, что в практике чаще всего бывает нужным не общее решение, а так называемое частное решение,отвечающее определенным начальным условиям, вытекающим из условия данной конкретной задачи.
Частным решением называется любая функция , которая получается из общего решения ,если в последнем произвольной постоянной C придать определенное значение . Соотношение называется в этом случае частным интегралом.
Задача отыскания решения дифференциального уравнения y ^I = f(x,y) , удовлетворяющего заданным начальным условиям y(x_o ) = y_o, называется задачей Коши.

Теорема Коши
Если функция f(x,y) - правая часть дифференциального уравнения y ^I = f(x,y) - непрерывна в некоторой замкнутой области D плоскости xOy и имеет в этой области ограниченную частную производную f ^I_y (x,y), то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Пример

Рассмотрим уравнение
.

Общим решением этого уравнения является семейство функций
.

Действительно, при любом значении C эта функция удовлетворяет уравнению: .
Кроме того, всегда можно найти такое значение C, что соответствующее частное решение будет удовлетворять заданному начальному условию.

Найдем, например, частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=-2. Подставляя эти значения в уравнение

,
получим
.
Решая это уравнение относительно C получим C = - 3.
Следовательно, искомым частным решением будет функция: Y = X² - 3.

Это решение можно получить, используя нижеприведенный апплет для построения поля направлений и интегральных кривых для уравнения первого порядка.

Интегральные кривые

С геометрической точки зрения общее решение уравнения первого порядка представляет собой семейство кривых на плоскости xOy, зависящее от одной произвольной постоянной C. Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения.

Частному решению соответствует одна интегральная кривая, проходящая через некоторую заданную точку. Так, в последнем примере общее решение геометрически изобразится семейством парабол, причем каждому значению параметра C будет соответствовать вполне определенная кривая. Частное решение изобразится параболой (рис. 1. ) проходящей через точку Заметим, что задать начальное условие для уравнения первого порядка с геометрической точки зрения означает задать точку , через которую должна пройти соответствующая интегральная кривая.

Решить или проинтегрировать данное дифференциальное уравнение это значит:

а) найти его общее решение или общий интеграл, если не заданы начальные условия,

или

б) найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной: .
Это уравнение для каждой точки определяет значение производной , т.е. определяет угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.
Таким образом, рассматриваемое дифференциальное уравнение дает совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направлений или поле линейных элементов. Задача интегрирования такого уравнения, с геометрической точки зрения, заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля линейных элементов в соответствующих точках .

Пример

Рассмотрим уравнение
.
В каждой точке (x,y), отличной от точки (0,0), угловой коэффициент касательной к интегральной кривой равен отношению , т.е. совпадает с угловым коэффициентом прямой, проходящей через начало координат и точку с координатами (x,y). Очевидно, что интегральными кривыми будут прямые y=Cx, где C - произвольная постоянная, т.к. направление этих прямых всюду совпадает с направлением поля.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Рассматривая уравнение первого порядка , разрешенное относительно производной, мы ставили вопрос об отыскании его общего решения и, если задано начальное условие частного решения, удовлетворяющего этому условию.

Возникает вопрос: всегда ли существует частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию и если существует, будет ли оно единственным.
Рассмотрим, например, уравнение
.
Общим решением является функция , а интегральными кривыми - семейство гипербол, причем через каждую точку , не лежащую на оси Oy проходит одна и только одна интегральная кривая, т.е. рассматриваемое уравнение имеет единственное решение, проходящее через точку, не лежащую на оси Oy, но оно не имеет решения, проходящего через точку, взятую на оси Oy.
Этот пример показывает, что не всегда существует решение, удовлетворяющее заданному начальному условию.
В некоторых случаях решение может оказаться не единственным.
Так, например, уравнение

имеет бесконечное множество решений, проходящих через точку (0,0).
В самом деле, функция является общим решением этого уравнения, а при любом значении C прямая проходит через начало координат. На вопрос, при каких условиях для уравнения можно гарантировать существование и единственность решения, удовлетворяющего заданному начальному условию , отвечает следующая теорема.

Теорема.
Пусть функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости xOy . Тогда, если точка принадлежит этой области, существует, и притом единственное, решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Геометрически это означает, что через каждую точку области D проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого уравнения. Данная теорема называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения .

Возвращаясь к рассмотренным нами примерам, мы видим, что функции

и

не определены при и, следовательно, не являются непрерывными. Это обстоятельство и привело, в первом случае, к отсутствию решений, проходящих через точки оси Ox , во втором - к нарушению единственности в точке (0,0).

1.1. Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

или
.

Это уравнение можно переписать так:

или в симметричной форме

дающей соотношение между переменными x и y и их дифференциалами.

Если в этом уравнении функция P зависит только от x , а функция Q - только от y, то уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

Таким образом, уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида

.

Решение такого уравнения получается прямым интегрированием. Так как слева стоит сумма дифференциалов двух функций, которая равна нулю, то сумма их интегралов равняется постоянной

.

Пример

Уравнение - уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, получим общий интеграл: .
Уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Это уравнение может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на выражение

или
.

Общий интеграл полученного уравнения имеет вид:

.

Пример

Дано уравнение
или .
Разделим переменные и интегрируем .

В результате вычисления получим:

.
Это выражение можно записать в иной форме:

т.к. всякое число можно представить в виде логарифма другого.

Таким образом, общий интеграл данного уравнения будет иметь вид

.

1.2. Однородные уравнения первого порядка

Рассмотрим сначала понятие однородной функции двух переменных.
Функция двух переменных называется однородной функцией измерения n, если при любом t справедливо тождество f (tx, ty) = t ⁿ f(x, y) .

Пример

Функция есть однородная функция измерения 2, т.к.
.

С понятием однородной функции связано понятие однородного дифференциального уравнения.

Первое определение

Уравнение

называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка,

если функции и являются однородными функциями одного и того же измерения.

Для однородного уравнения имеем:

Полагая в последних равенствах , получаем

Откуда

Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим

и далее .

Для разделения переменных введем новую переменную V = y/x или y = Vx. Так как в этом случае dy = xdV +Vdx, то последнее уравнение принимает вид:

M(1,V)dx + N(1,V)(xdV + Vdx) = 0,

или

[M(1,V) + vN(1,V)]dx +xN(1,V)dV = 0.

Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными x и V , из него определяется V , а затем искомая функция y = Vx.

Второе определение

Если уравнение может приведено к виду: dy/dx = F(x,y) = F(v), где V = y/x, то оно называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Для приведения его к уравнению с разделяющимися переменными используется подстановка
V = y/x, отсюда y = Vx и dy/dx = xdV/dx + V.
В итоге получается уравнение с разделяющимися переменными: xdV/dx = F(V) - V, которое и интегрируется.

Пример

Решить уравнение (y ² - 3x ²)dx + 2xydy = 0, при начальном условии: y(0) = 0 .

Здесь M(x,y) = (y ² - 3x ²) и N(x,y) = 2xy - однородные функции измерения 2.

Применим подстановку y = vx, при этом dy = xdv +vdx.

Получим: x ²(v ² - 3)dx + 2x ²v(xdv +vdx) = 0.
Сгруппируем слагаемые x ²(v ² - 3)dx + 2x ²v(xdv +vdx) = 0 относительно dx и dv и разделим переменные:

.

После интегрирования получим: x ³(v ² - 1) = C или

общий интеграл: x(y ² - x ²) = C

Используя начальные условия y(0) = 0 имеем 0(0 ² - 0 ²) = C , отсюда C = 0.

Частное решение данного уравнения: x(y ² - x ²) = 0

или x = y и x = - y

1.3. Линейные уравнения первого порядка

Уравнение

,

где и

- заданные непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если функция , стоящая в правой части уравнения, тождественно равна нулю, т.е. ,

то уравнение называется линейным однородным, в противном случае - линейным неоднородным.
Таким образом, - линейное однородное уравнение, а - линейное неоднородное уравнение.

Рассмотрим два метода интегрирования линейных уравнений.

I метод - метод Бернулли

Для решения уравнения применим подстановку y=UV, причем функцию U=U(x) будем считать новой неизвестной функцией, а функцию мы выберем произвольно, подчинив некоторому условию. Так как при этом , то эта подстановка дает:

и
.

Используя произвольный выбор функции V, подчиним ее условию: .

Разделяя переменные и интегрируя в последнем равенстве, получаем:

.
Поэтому исходное уравнение после подстановки полученной функции V(x) имеет вид: .
Это уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными.
Решая его, получаем:
, а после интегрирования .

Возвращаясь к переменной y=UV имеем общее решение линейного неоднородного уравнения:

.

Пример

Решить уравнение .
Здесь .
Имеем:

- общее решение линейного уравнения.

II метод - метод вариации произвольной постоянной - метод Лагранжа

В линейном однородном уравнении переменные разделяются и его общее решение, которое мы обозначим через Y , легко находится:

Будем теперь находить общее решение неоднородного линейного уравнения , считая, что общее решение неоднородного уравнения y имеет такую же форму, как и общее решение cоответствующего однородного уравнения Y , но где C есть не постоянная величина, а неизвестная функция от x , т.е. считая, что

Дифференцируя это выражение

и подставляя в рассматриваемое неоднородное уравнение, получим:

или .
Откуда находим функцию C(x) :

.
Таким образом,

или

Полученное общее решение состоит из двух слагаемых, из которых второе является общим решением соответствующего однородного уравнения, а первое является частным решением неоднородного уравнения, получаемым из общего при .

Пример

Найти общее решение уравнения
.

Интегрируем соответствующее однородное уравнение: .
Считаем C функцией x :
Подставляем в исходное уравнение:
.

1.4. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида dy/dx + P(x)y = Q(x)y ⁿ.

При n = 0 или n = 1 уравнение становится линейным, методы интегрирования которого рассматривались в предыдущем пункте.

Есть следующие два способа интегрирования этого уравнения.

1. Уравнение приводится к линейному.

Разделив все члены такого уравнения на y ⁿ, получим:

y ^-n(dy/dx) + P(x)y ^-n+1 = Q(x).

Сделаем замену: y ^-n+1 = z. Тогда dz/dx = (-n+1)y ^-ⁿdy/dx.

После подстановки этих выражений в уравнение оно примет вид:

dz/dx + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x).

Это линейное уравнение относительно функции z. После его интегрирования возвращаемся к переменной y, подставив вместо z выражение y ^1-n. Получим общий интеграл уравнения Бернулли.

2. Уравнение решается по методу Бернулли с подстановкой y = UV, уже использованному для решения линейных неоднородных уравнений.

Пример

Найти общее решение уравнения .

Разделив обе части уравнения на y ², получим:

.

Введем новую переменную , тогда .

Подставляя в уравнение, получим:

x(dz/dx) - z = -ln(x).

Это линейное уравнение относительно функции z(x) .

Применим метод вариации произвольной постоянной:

Интегрируя по частям, находим ,

следовательно , .

Заменяя теперь z на ,
получим: или .
Это и есть общее решение исходного уравнения.

1.5. Уравнения в полных дифференциалах

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

,

левая часть которого есть полный дифференциал некоторой функции , т.е.

Переписав исходное уравнение в виде , заключим, что общий интеграл этого уравнения определяется формулой .

Как известно, полный дифференциал функции выражается формулой

.

таким образом

Необходимое и достаточное условие того, что левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции, выражается равенством

Функция , входящая в формулу , находится интегрированием функций P(x,y) и Q(x,y) соответственно по x и y при этом вторая переменная считается величиной постоянной (соответственно y или x).

Пример

Проинтегрировать дифференциальное уравнение

.

Для данного уравнения

.

Так как выполнено условие (#), то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, следовательно,

.

Интегрируя первое из этих уравнений ( y при этом считается постоянным), находим

,

где - функция подлежащая определению.

Дифференцируя по y функцию U(x,y) = C и принимая во внимание значение ,
получаем
,
откуда
.
Подставив выражение для

в равенство
,
найдем
.
В соответствии с формулой

получаем

или
,
где
.

Итак, общий интеграл данного уравнения:

Замечание.

Это уравнение является также однородным и его можно проинтегрировать другим способом.

Найти общее решение или общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными

Найти общее решение или общий интеграл однородного уравнения

Найти общее решение или общий интеграл линейного дифференциального уравнения

Найти общее решение или общий интеграл уравнения Бернулли

Найти общее решение или общий интеграл уравнения в полных дифференциалах

Лекция 2.

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид
.

В дальнейшем мы будем рассматривать уравнения, которые можно разрешить относительно высшей производной.

Уравнение, разрешенное относительно высшей производной, можно записать так:
.
Наиболее простым такое дифференциальное уравнение оказывается тогда, когда оно имеет вид:

y ⁽ⁿ⁾ = f(x) , где f(x) - заданная функция.

Пример

Рассмотрим дифференциальное уравнение .

Из этого уравнения сразу видно, что , где C₁ - произвольная постоянная.

В свою очередь из последнего уравнения следует, что ,
где C₂ - произвольная постоянная, никак не связанная с постоянной C₁ .

Найденное решение зависит от двух произвольных постоянных, при этом исходное дифференциальное уравнение было уравнением второго порядка. Такое решение называется общим решением этого уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется функция , существенно зависящая от n произвольных постоянных и обращающая данное уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных.

Решения, получаемые из общего при закреплении постоянных называются частными .

В прикладных вопросах часто приходится искать такое решение дифференциального уравнения n-го порядка, которое удовлетворяет n условиям:
при заданном значении сама функция y и ее первые n -1 производных

должны принимать заданные значения
.

Вообще говоря, последние условия, называемые начальными, выделяют из общего решения единственное частное решение.

Задача отыскания решения дифференциального уравнения y ⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y ^I,y ^II,..,y ^(n-1)) , удовлетворяющего n начальным условиям: y(x_o ) = y_o , y ^I (x_o ) = y ^I_o ,.., y ^(n-1) (x_o ) = y ^(n-1)_o называется задачей Коши.

Теорема Коши
Если функция f(x,y,y ^I,y ^II,..,y ^(n-1)) - правая часть дифференциального уравнения y ⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y ^I,y ^II,..,y ^(n-1)) - непрерывна в замкнутой n - мерной области D: Oxyy ^I..y ^(n-2)y ^(n-1) и имеет в этой области ограниченные частные производные по y, y ^I, .. , y ^(n-2), y ^(n-1) , то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

2.1. Уравнения, разрешенные относительно производной и содержащие справа только

функцию f(x) :

Это самый простой случай для уравнений высших порядков.
Чтобы решить рассматриваемое уравнение, умножим обе его части на dx и проинтегрируем. Получим

или
.
Интегрируя еще раз, получим:
.
Продолжая далее, получим (после интегрирования) выражение общего интеграла:

.

Пример

Найти частное решение уравнения y"' =sin2x , удовлетворяющее начальным условиям: .
Решение:
.
Это и есть общее решение. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, достаточно определить соответствующие значения C₁ , C₂ , C₃ :
.
Таким образом, искомое частное решение имеет вид:
.

2.2. Некоторые типы дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка

1) Уравнения, не содержащие в своей записи искомую функцию y

Метод решения рассмотрим на примере уравнения второго порядка.
Уравнение вида не содержит явным образом искомой функции y . Порядок такого уравнения может быть понижен. Действительно, положим . Тогда
.
Подставляя эти выражения производных в рассматриваемое уравнение, получим уравнение первого порядка

относительно неизвестной функции p от x .
Проинтегрировав это уравнение, находим его общее решение , а затем из соотношения

получаем общий интеграл исходного уравнения:

.
Аналогично можно понизить порядок у дифференциальных уравнений (n)-го порядка.

Пример

Решить уравнение
.
Положим y ^' = p, тогда

и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p :
.
Это уравнение является линейным. Найдем его общее решение, используя метод вариации произвольной постоянной.
,
.
Итак, , т.е. . Следовательно, .
Замечание.
Аналогичным способом можно проинтегрировать уравнение
.
Полагая y ^n-1 = p, получим для определения p уравнение первого порядка: .

Определив отсюда p как функцию от x , из соотношения y ^n-1 = p найдем функцию y .

2) Уравнения, не содержащие аргумента искомой функции x

Метод решения опять рассмотрим на примере уравнения второго порядка.

Уравнение вида не содержит явным образом независимую переменную x . Порядок этого уравнения также может быть понижен. И в этом случае полагаем , но теперь мы будем считать p функцией от y (а не от x , как прежде). Тогда
.
Подставляя в рассматриваемое уравнение выражение производных, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p :
.
Интегрируя его, найдем p как функцию от y и произвольной постоянной : . Вспоминая, что
,
получим дифференциальное уравнение первого порядка для функции y от x :
.
Разделяя переменные, находим:
.
Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения: .

Пример

Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям .
Данное уравнение не содержит x . Положим , рассматривая p как функцию от y . Тогда

и мы получаем уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p :
.
Разделяя переменные, будем иметь:
.
Откуда

или
,
т.е.
.
Здесь мы можем сразу определить значение произвольной постоянной C₁ , используя начальные условия: .
Следовательно,
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим:

или
.
Пользуясь тем, что , найдем : . Искомое частное решение запишется:
.

2.3. Линейные уравнения высших порядков

Дифференциальное уравнение n -го порядка называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции y и ее производных

Линейное уравнение n -го порядка имеет вид:

Будем считать, что функции и непрерывны, причем при всех значениях x из той области, в которой мы рассматриваем уравнение.

Путем деления на это уравнение может быть приведено к виду:

.

Если , то уравнение называется линейным неоднородным или уравнением с правой частью.

Если же , то уравнение имеет вид

и называется линейным однородным уравнением или уравнением без правой части.

Задача отыскания решения линейного дифференциального уравнения удовлетворяющего n начальным условиям: y(x_o ) = y_o , y ^I (x_o ) = y ^I_o ,.., y ^(n-1) (x_o ) = y ^(n-1)_o, при условиях непрерывности функций p₁ (x), p₂ (x) ,.., p_n (x) , f(x), решается всегда, так как выполняются условия теоремы Коши.

В следующем параграфе будут установлены некоторые основные свойства линейных однородных уравнений. При этом будут использованы прежде всего уравнения второго порядка.

следующая страница >>