Лекция №11 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка План

Лекция №11

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

План:

1. Задачи, приводящие к понятию дифференциальных уравнений

2. Определение дифференциального уравнения

3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

4. Уравнения с раздельными переменными

5. Уравнения с разделяющимися переменными

6. Однородные уравнения первого порядка

7. Линейные уравнения первого порядка

1. Задачи, приводящие к понятию дифференциальных уравнений

К дифференциальным уравнениям приводят ряд задач из физики, экономики, демографии, биологии и т. д.

Пример 12.1.

Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональности и соответственно. Найти закон изменения численности населения с течением времени:

Пусть – число жителей региона в момент времени . Прирост населения составил за время :

(12.1)

Или:

, где (12.2)

(12.3)

(12.4)

Уравнение (12.4) является дифференциальным уравнением первого порядка. Из (12.4) следует:

(12.5)

Проинтегрируем левую и правую части последнего уравнения, получим:

(11.6)

Отсюда:

(12.7)

Таким образом, закон изменения численности населения с течением времени имеет следующий вид:

(12.8)

Здесь – постоянная, определяемая начальными условиями.

2. Определение дифференциального уравнения

Определение 12.1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и ее производные.

Определение 12.2. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным (ОДУ).

Общий вид ОДУ:

(12.9)

Или:

(12.9)

Определение 12.3. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то дифференциальное уравнение содержит частные производные, поэтому называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Рис. 12.1. График общего решения ДУ представляет собой семейство кривых.

Определение 12.4. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Пример 12.2.

— ДУ первого порядка.

— ДУ второго порядка.

— ДУ третьего порядка.

Определение 12.5. Решением или интегралом ДУ называется всякая функция , которая будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Общее решение ДУ го порядка:

(12.10)

Определение 12.6. Частным решением ДУ называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .

Для нахождения частного решения ДУ го порядка в общем случае требуется задать дополнительных условий (условий Коши).

Пример 12.3.

Общее решение ДУ имеет вид: . Начальное условие . Найти частное решение.

Решение:

. Отсюда . Таким образом, частное решение имеет вид:

3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

(12.11)

Если данное уравнение можно разрешить относительно , то его можно записать в виде:

(12.12)

Общим решением ДУ первого порядка называется функция .

Теорема 12.1. Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области на плоскости , содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее начальному условию при .

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует одна функция , график которой проходит через точку .

График каждого частного решения называется интегральной кривой. Поэтому общее решение, содержащее все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых (см. рис. 12.1). В случае уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной.

Задача нахождения решения уравнения (11.12), удовлетворяющего условию Коши, называется задачей Коши — из множества интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку области .

В процессе поиска общего решения ДУ мы можем прийти к соотношению:

, (12.13)

которое неразрешимо относительно . Выразить из соотношения (12.13) в элементарных функциях не всегда удается. В таком случае решение оставляют в неявном виде. При этом выражение (12.13) называется общим интегралом ДУ.

4. Уравнения с раздельными переменными

Дифференциальное уравнение вида:

(12.13)

называется уравнением с разделенными переменными.

Уравнение (12.13) можно представить в виде:

(12.14)

Интегрируя левую и правую часть, получим общее решение уравнения с разделенными переменными:

(12.15)

Рис. 12.2. График функции

Пример 12.4.

Дано уравнение с разделенными переменными:

. Найти общее решение.

Решение:

Интегрируя, получим общий интеграл:

(12.16)

Так как левая часть неотрицательна, то и правая часть также неотрицательна. Обозначив , уравнение (12.16) запишем в следующем виде:

Графиком данного уравнения является система концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом (рис. 12.2).

5. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида:

(12.17)

уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с раздельными переменными путем деления обоих его частей на выражение :

Или:

(12.18)

Полученное уравнение представляет собой ДУ с разделенными переменными.

Пример 12.5.

Дано уравнение . Найти общее решение.

Решение:

Разделим левую и правую части на выражение ; получим:

Интегрируем левую и правую часть:

Таким образом:

6. Однородные уравнения первого порядка

Определение 12.7. Функция называется однородной функцией го измерения относительно переменных и , если при любом справедливо тождество:

(12.19)

Пример 12.6.

Функция есть однородная функция второго измерения, поскольку .

Пример 12.7.

Функция есть однородная функция нулевого измерения, поскольку , т.е. справедливо выражение .

Определение 12.8. Уравнение первого порядка

(12.20)

называется однородным относительно и , если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно и .

Решение однородного уравнения:

По условию . Положив в этом тождестве , получим:

, (12.21)

т. е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. Уравнение (11.20) в этом случае примет вид:

(12.22)

Сделаем подстановку:

, т. е. .

Тогда будем иметь:

Подставляя полученное выражение в уравнение (11.22), получим:

(12.23)

Это – уравнение с разделяющимися переменными:

или .

Интегрируя, найдем:

(12.24)

Подставляя после интегрирования вместо отношение , получим интеграл уравнения (12.22).

Пример 12.8.

Дано однородное уравнение: .

Решение:

Разделим левую и правую часть данного уравнения на , получим:

(12.25)

Сделаем замену . При этом:

. (12.26)

Из уравнения (12.25) следует:

(12.27)

Подставим в последнее выражение уравнение (12.26):

Отсюда:

Проинтегрировав левую и правую части, получим:

(12.28)

Запишем последнее выражение с учетом того, что

Или:

7. Линейные уравнения первого порядка

Определение 12.9. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

(12.29)

где и — заданные непрерывные функции от (или постоянные).

Решение линейного уравнения:

Будем искать решение уравнения (12.29) в виде произведения двух функций от :

. (11.30)

Одну из этих функций можно взять произвольной, другая определится на основании уравнения (12.29). Дифференцируя обе части равенства (12.30), находим:

(12.31)

Подставляя полученное выражение производной в уравнение (12.29), будем иметь:

(12.32)

или:

(12.33)

Выберем функцию такой, чтобы:

(12.34)

Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции , находим:

(12.35)

Интегрируя, получаем:

Или:

Так как нам достаточно какого-нибудь отличного от нуля решения уравнения (12.34), то за функцию возьмем:

Очевидно, что . Подставляя найденное значение в уравнение (12.33), получим:

Отсюда:

(12.36)

Подставляя в формулу (12.30), окончательно получим:

(12.37)

Пример 12.9.

Решение:

Данное уравнение является линейным, так как содержит искомую функцию и ее производную в первой степени и не содержит их произведений. Применяем подстановку . . Подставляя у и в исходное уравнение, получим:

.

Группируем первое и третье слагаемые и выносим за скобку:

(12.38)

Так как искомая функция у представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (12.38), обращалось в нуль, т.е., чтобы имело место равенство

. (12.39)

Тогда уравнение (12.38) принимает вид:

(12.40).

Уравнение (12.39) является уравнением с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его:

; ; ; .

Чтобы равенство (12.39) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной . Подставив в (12.40) найденное выражение для u, получим: ; ; . Интегрируя, имеем

Теперь можно получить общее решение исходного уравнения