Учебное пособие по курсу «Математический анализ» Часть «Дифференциальные уравнения»

Центральный экономико-математический институт РАН
Государственный академический университет гуманитарных наук

Макарчук Н.И.

Учебное пособие по курсу «Математический анализ»

Часть 2 . «Дифференциальные уравнения»
2013

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальные уравнения (Д.У.) занимают особое место в математике, имеют многочисленные применения.

Основной задачей теории Д.У. является изучение функций, представляющих собой решение этих уравнений. Если функция зависит от одной переменной, то Д.У. называются обыкновенными. Теория Д.У., когда неизвестные функции зависят от нескольких переменных, является более сложной и представляет специальный раздел математики – уравнения в частных производных.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Уравнение вида F(x,y, называется Д.У. n-порядка.

Решить уравнение – значит найти функцию , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Порядок Д.У. – это порядок старшей производной, содержащейся в уравнении.

Степень Д.У. – степень старшей производной.

Пример. Д.У. 3-ей степени первого порядка,

Д.У. 1-й степени второго порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Слово «обыкновенные» будет опускаться.

Определение. Уравнение вида

F(x,y,=0 (1),

где x – независимая переменная, у и - неизвестная функция и её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение можно разрешить относительно , то уравнение имеет вид

(2)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Определение. Решением Д.У. первого порядка называется функция , определенная на интервале , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

В теории Д.У. основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коши.

Теорема Коши. Пусть дано дифференциальное уравнение .

Если функция и её частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости xOy, то в некоторой окрестности любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условию . Условия, которые задают значения функции в фиксированной точке называются начальными условиями (условиями Коши) и записываются в форме:

(3).
Задача о нахождении решения Д.У. называется задачей интегрирования данного интегрального уравнения.

График решения Д.У. называется интегральной кривой.

В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определенных условий – начальных условий (3) через каждую внутреннюю точку области D проходит только одна интегральная кривая. Задача нахождения решения уравнения (2), удовлетворяющего условиям (3) , означает нахождение (выделение) из множества интегральных кривых одной кривой, проходящей через заданную точку () области D.

Особые точки дифференциального уравнения – это точки плоскости , через которые либо не проходит ни одна интегральная кривая, либо проходит более одной интегральной кривой. Это случаи, когда не выполняются начальные условия (условия Коши).

Определение. Общим решением уравнения (2) называется функция , удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной с.
Определение. Частным решением уравнения (2) в области D называется функция , полученная при определенном значении постоянной .

Геометрический смысл: общее решение дифференциального уравнения (2) представляет собой семейство интегральных кривых, зависящее от произвольной постоянной с. Условия Коши (3) фиксируют произвольную постоянную с и позволяют выбрать из семейства интегральных кривых одну интегральную кривую , проходящую через точку ().
Пример.

Правая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условиям Коши во всех точках плоскости : определены и непрерывны на всей плоскости , т.к. и .

Общим решением уравнения является функция , где с произвольная постоянная, описывающая семейство парабол (2). Для отыскания частного решения зададим произвольные начальные условия () и подставим их в формулу общего решения. Получим , отсюда находим частное решении .
Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Рассмотрим уравнение . Пусть его решение, график которого представляет собой непрерывную интегральную кривую, причем в каждой её точке существует касательная. Из записи дифференциального уравнения следует, что угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в каждой её точке равен правой части этого уравнения. Следовательно, уравнение I-го порядка задает угловой коэффициент ()

касательной к интегральной кривой как функцию двух переменных. Если каждой точке сопоставить отрезок направленный под углом наклона к оси , то мы получим поле направлений данного уравнения. В этом заключается геометрический смысл дифференциального уравнения I-го порядка. Поле направлений позволяет проанализировать решение дифференциального уравнения и даже приближенно построить интегральные кривые.
Пример1. Составить дифференциальное уравнение семейства окружностей .

Решение. ,

.

. Это и есть дифференциальное уравнение семейства окружностей.
Пример2.

Составить дифференциальное уравнение семейства линий .

Решение. , .

Дифференциальные уравнения I-го порядка

с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение вида

(),

где и непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Метод решения такого вида уравнений носит название разделения переменных.

Уравнение () перепишем в виде. Тогда .

Интегрируем , где .
Пример. . Найти частное решение при начальных условиях .

Решение. . или .

Это общее решение. Частное решение получим, подставляя начальные условия ,

, . Частное решение исходного уравнении : .

Линейные дифференциальные уравнения

I-го порядка (л.д.у.).
Определение. Уравнение вида

(4),

где p(x) , q(x) - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка (л.д.у.). Если q(x)=0, то уравнение (4) называется однородным принимает вид . Если q(x)0, то уравнение (4) называется неоднородным.

Неизвестная функция и её производная входят в указанное уравнение в первой степени линейно, что объясняет название уравнения.

Методы решения л.д.у. первого порядка.

Метод вариации постоянной.

А. Находим общее решение однородного уравнения .

Перепишем однородное уравнение в виде уравнения с разделенными переменными

, . Интегрируем правую и левую часть уравнения, получим

., .

Это будет общее решение однородного уравнения: .

В. Подставляем это решение в неоднородное уравнение , но при c=с(x).

Дифференцируем y и подставляем в неоднородное уравнение.

Решаем полученное уравнение и находим с(x).

Полученное выражение для с подставляем в .

В общем виде решение неоднородного уравнения запишется так:

.
Пример. , p(x)=3, q(x)=e.

A. , , ,

или , где c=.

В. , берем производную .

Подставляем выражения для y и в уравнение .

Получим дифференциальное уравнение относительно

.

Производим действия и получаем или ,

отсюда .

Это выражение подставим в =.

Решение исходного уравнения: .
2. Метод подстановки.
Найти общее решение уравнения .

Положим

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

.

Или (*)

Потребуем (или выберем u(x) такое), чтобы .

Найдем u(x) из уравнения , применив метод разделяющих переменных. Получим , .

Выберем какое-нибудь частное решение (например, при с=1) ,

подставим в (*), получим .

Найдем общее решение этого уравнения .

Общее решение исходного уравнения имеет вид: , где

- частное решение исходного уравнения,

- общее решение исходного уравнения.
Замечание . При решении уравнения методом разделенных переменных может быть потеряно решение , т.е. утеряны интегральные кривые . Поэтому получив методом разделенных переменных общее решение уравнения, нужно проверить, все ли частные решения мы охватили при подходящем значении с. В случае отсутствия, их нужно включить.
Пример (потеря решения).

.

Для удобства положим .

Тогда . .

Но исходное уравнение имеет решение у=0, которое не входит в запись . Поэтому запишем решение как , где с может быть равным нулю.

Итак, получив общее решение, необходимо проверить, входит ли в его состав при подходящих числовых значениях параметра с упомянутые частные решения. Если не входят, то нужно включить.
Пример (на метод подстановки). .

Положим .

Потребуем .

.

Выберем какое-нибудь частное решение этого уравнения .

Подставим это решение в (*): ,

найдем общее решение методом разделения переменных

Отсюда или .

Неполные д.у.первого порядка
Определение. Д.У. первого порядка называется неполным, если функция явно зависит только от одной переменной: либо от , либо от .

1. .

2. . Методом разделения переменных определяется неизвестная функция (или).

Уравнение называется автономным Д.У., такие уравнения имеют место в теории математического моделирования. Особый интерес представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки: нули функции , где .

Дифференциальные уравнения второго порядка.
Определение. Д.У. второго порядка называется уравнение вида

(1),

где х - независимая переменная, у – искомая функция, - соответственно первая и вторая производные.

Будем рассматривать уравнения, которые можно разрешить относительно второй производной:

(2).

Решением Д.У. второго порядка называется функция , определенная на некотором интервале , которая обращает это уравнение в тождество.

График решения называется интегральной кривой. Имеет место теорема Коши о существовании и единственности решения уравнения второго порядка.
Теорема Коши. Пусть функция и её частные производные непрерывны в некоторой области D пространства переменных . Тогда для любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям:

. (3)
Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что через заданную точку () на координатной плоскости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом касательной.

Условия (3) называются

начальными условиями,

а задачу отыскания решения

уравнения (2) с начальными

условиями (3) называют

задачей Коши.

Общим решением уравнения (2) в некоторой области D называется функция , если она является решением этого уравнения при любых постоянных величинах , которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (3).

Частным решением уравнения (2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных : .
Пример. .

Дважды интегрируя, найдем общее решение:

, где произвольные постоянные.

Это решение представляет собой семейство прямых,

проходящих в произвольных направлениях,

причем через каждую точку плоскости

проходит бесконечное число таких прямых.

Поэтому для выделения частного решения,

проходящего через заданную точку (), следует

задать ещё и угловой коэффициент прямой,

совпадающий в данном случае со своей касательной.

Например, найдем частное решение, удовлетворяющее

начальным условиям

,

т.е. найти прямую, проходящую через точку (1,2), с угловым коэффициентом, равным 1.

Т.к. решение представлено как , подставим в него начальные условия, получим

.

На чертеже - это жирная прямая.

Дифференциальные уравнения второго порядка,

допускающие понижение порядка.
1).

Такое уравнение решается последовательным интегрированием.

Пример. . , =.
2). .
Вводится вспомогательная функция: . .

Получим линейное уравнение первого порядка относительно и z : .

Найдем , перейдем к , затем получим .
Пример. .

Введем . .

Получим линейное уравнение первого порядка относительно : .

Решим его методом подстановки.

, . (*)

, положим .

Найдем частное решение этого уравнения: , ln, .

Подставим это решение в уравнение (*).

Получим или .

, .

.

. .
.

3). . Нет переменной .

Полагаем . Тогда = , т.е. .

Подставим в исходное уравнение, получим =.

Получим уравнение первого порядка относительно ,

решение такого уравнения или .

Тогда , .

Пример. .

Положим , тогда .

. .

Решаем методом разделения переменных: . ( .

, где у > 0. , ,

, или .
При делении на z было «потеряно» решение уравнения , т.е.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение

(4),

где y - искомая переменная, p(x), q(x), f(x) - известные функции, непрерывные на (a,b) .

Если f(x) , то (4) уравнение называется линейным однородным уравнением.

Если f(x) , то (4) - линейным неоднородным уравнением. Если разрешить его относительно , то получим частный случай уравнения (2), удовлетворяющим условиям Коши. Поэтому для любых начальных условий (3) при

это уравнение имеет единственное решение задачи Коши.

Мы рассмотрим и изучим случай, когда функции p(x), q(x) – постоянные величины. Уравнения такого вида называются линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (л.д.у.2-го порядка). Они имеют вид:

где p(x), q(x), f(x) – вещественные числа.

Рассмотрим однородное уравнение

(5).

Л.д.у.2-го порядка по теореме Коши может иметь множество решений, и существует единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

где - некоторые действительные числа.

Из теории алгебры известно, что если линейная комбинация только тогда, когда , то называются линейно независимыми, в противном случае – линейно зависимыми. Линейная независимость обозначает их пропорциональность, т.е. (при и ).
Теорема. Пусть - частные решения уравнения (5) и линейно независимы на . Тогда функция

(6),

- произвольные постоянные, является общим решением уравнения (5).
По этой теореме, для нахождения общего решения однородного л.д.у.2-го порядка

Нужно отыскать два линейно независимых частных решения и взять их линейную комбинацию вида (6). Возникает вопрос, сколько и какие решения уравнения (5) нужно задать, чтобы с их помощью можно описать все решения этого уравнения. Ответ дает выше сказанная теорема.

Но прежде убедимся в линейной независимости следующих функций:

1. и , где ;

Если +, то , но т.к. , то функция, стоящая в правой части является постоянной, только если , следовательно, .
2. и ;

+x возможно, только если +x=0, т.к. . Отсюда .
3. и , где .

Предположим, что +. Тогда + (*).

Если бы хотя бы один коэффициент или , то нетрудно подобрать такое значение , чтобы функция в левой части равенства (*) отличалась бы от нуля (например, =0 или =). Поскольку это невозможно, то .
Вернемся к однородному уравнению 2-го порядка с постоянными коэффициентами
(5).

Будем искать решение однородного уравнения (5) в виде функции , где – некоторое действительное число. Подставим функцию в уравнение (5), получим

Сократим на , получим

(7).

Если число является корнем уравнения (7), то есть решение однородного уравнения (5). Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения(5). Вид общего решения уравнения (5) зависит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение (7). Обозначим их и .

Справедлива следующая теорема:

Если корни характеристического уравнения (7) вещественные и , то

общее решение однородного дифференциального уравнения (5) имеет вид:
.

Если корни характеристического уравнения (7) вещественные и равные (==), то общее решение однородного дифференциального уравнения (5) имеет вид:

Если корни характеристического уравнения (7) комплексные (=; =, где i=, - вещественные числа), то общее решение однородного дифференциального уравнения (5) имеет вид:

,
где .

Во всех трех случаях и - произвольные числа.

Для доказательства достаточно проверить, что при сделанных предположениях функции

, ( ) и (,,- корни характеристического уравнения) являются решениями уравнения (5).
Примеры.
1..