|
Похожие работы
|
Лабораторная работа Лабораторная работа Основы теории множеств - страница №5/7
Дано: - число студентов в потоке;
- число студентов, изучающих английский язык;
- число студентов, изучающих французский язык;
- число студентов, изучающих немецкий язык;
- число студентов, изучающих английский и французский;
- число студентов, изучающих английский и немецкий;
- число студентов, изучающих французский и немецкий;
- число студентов, изучающих все три языка;
Найти мощность множества студентов, которые изучают английский или французский языки, но не оба и при этом не изучают немецкого языка.
Решение. Найдем мощности констинуент в следующей таблице.
Для проверки расчета изобразим диаграмму констинуент вместе с их найденными мощностями.
Суммируя мощности констинуент, составляющих каждое базовое множество и сопоставляя найденные суммы с данными мощностями базовых множеств выполняем проверку расчета.
Выпишем констинуентный состав базовых подмножеств(эта часть решения не зависит от данных по мощностям):
Найдем констинуентный состав производного множества . При этом, так как констинуенты не пересекаются, выполняем действия с множествами, как если бы их элементами были сами констинуентты. Имеем:
Суммируем мощности констинуент, составляющих множество : . Итак 40 студентов потока учат английский или французский языки, но не оба вместе и при этом не изучают немецкий язык.
Индивидуальное задание 1.
В классе учится учащихся. Из них боксом занимаются человек, футболом занимаются человек. Обоими видами спорта занимается школьников. Найти количество учащихся класса, которые не занимаются ни футболом, ни боксом.
Nv
|
|
|
|
|
1
|
20
|
12
|
5
|
3
|
2
|
30
|
11
|
8
|
3
|
3
|
23
|
6
|
5
|
2
|
4
|
34
|
7
|
4
|
2
|
5
|
27
|
12
|
7
|
4
|
6
|
19
|
10
|
5
|
4
|
7
|
22
|
9
|
5
|
4
|
8
|
23
|
8
|
3
|
1
|
9
|
25
|
6
|
6
|
4
|
10
|
30
|
9
|
6
|
3
|
11
|
19
|
10
|
3
|
1
|
12
|
18
|
11
|
3
|
1
|
13
|
21
|
8
|
2
|
1
|
14
|
20
|
8
|
4
|
3
|
15
|
20
|
7
|
6
|
3
|
16
|
23
|
10
|
6
|
5
|
17
|
34
|
20
|
12
|
6
|
18
|
28
|
12
|
6
|
5
|
19
|
32
|
10
|
4
|
1
|
20
|
23
|
8
|
9
|
3
|
21
|
33
|
12
|
10
|
6
|
22
|
23
|
7
|
4
|
2
|
23
|
24
|
8
|
8
|
1
|
24
|
26
|
10
|
12
|
4
|
25
|
29
|
12
|
11
|
7
|
26
|
31
|
12
|
17
|
8
|
27
|
30
|
2
|
1
|
0
|
Индивидуальное задание 2.
Найти количество чисел в интервале от 1 до M, которые не делятся ни на , ни на , ни на .
Nv
|
M
|
|
|
|
1
|
566
|
4
|
5
|
2
|
2
|
234
|
2
|
4
|
5
|
3
|
198
|
3
|
4
|
6
|
4
|
189
|
6
|
8
|
4
|
5
|
156
|
7
|
6
|
2
|
6
|
897
|
8
|
3
|
6
|
7
|
1000
|
3
|
5
|
4
|
8
|
999
|
8
|
7
|
4
|
9
|
1200
|
6
|
5
|
4
|
10
|
134
|
12
|
5
|
10
|
11
|
874
|
4
|
5
|
8
|
12
|
345
|
5
|
4
|
8
|
13
|
987
|
8
|
3
|
9
|
14
|
456
|
9
|
4
|
6
|
15
|
733
|
10
|
3
|
3
|
16
|
944
|
3
|
5
|
9
|
17
|
773
|
5
|
4
|
6
|
18
|
567
|
3
|
4
|
7
|
19
|
456
|
3
|
6
|
9
|
20
|
566
|
12
|
6
|
7
|
21
|
788
|
2
|
7
|
11
|
22
|
920
|
8
|
11
|
14
|
23
|
456
|
7
|
14
|
28
|
24
|
189
|
23
|
11
|
12
|
25
|
345
|
12
|
6
|
8
|
26
|
567
|
3
|
5
|
8
|
Индивидуальное задание 3.
Даны мощность универсума, мощности трех базовых подмножеств универсума, а также мощности их парных и тройного пересечений. Дана также формула , выражающее производное множество через базовые. Найти мощности всех констинуент данного порождающего набора подмножеств, выписать констинуентный состав каждого базового множества и производного множества , а также мощность производного множества.
Nv
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
120
|
30
|
35
|
32
|
10
|
13
|
8
|
3
|
|
2
|
112
|
45
|
29
|
34
|
12
|
8
|
12
|
4
|
|
3
|
200
|
34
|
32
|
45
|
12
|
12
|
11
|
2
|
|
4
|
117
|
35
|
34
|
34
|
13
|
11
|
13
|
2
|
|
5
|
120
|
29
|
45
|
35
|
8
|
13
|
10
|
1
|
|
6
|
100
|
32
|
34
|
29
|
12
|
10
|
12
|
2
|
|
7
|
112
|
34
|
35
|
45
|
11
|
12
|
12
|
2
|
|
8
|
114
|
45
|
34
|
34
|
13
|
12
|
10
|
3
|
|
9
|
113
|
34
|
35
|
34
|
10
|
13
|
12
|
3
|
|
10
|
89
|
35
|
29
|
35
|
12
|
8
|
12
|
3
|
|
11
|
99
|
29
|
45
|
29
|
12
|
12
|
13
|
3
|
|
12
|
200
|
45
|
34
|
45
|
13
|
11
|
8
|
2
|
|
13
|
117
|
34
|
35
|
34
|
8
|
8
|
12
|
2
|
|
14
|
120
|
35
|
34
|
35
|
12
|
12
|
12
|
3
|
|
15
|
100
|
29
|
35
|
34
|
11
|
11
|
11
|
3
|
|
16
|
112
|
32
|
29
|
35
|
13
|
13
|
13
|
4
|
|
17
|
200
|
34
|
35
|
29
|
8
|
10
|
10
|
2
|
|
18
|
117
|
34
|
29
|
45
|
12
|
12
|
12
|
2
|
|
19
|
120
|
35
|
45
|
34
|
11
|
12
|
12
|
1
|
|
20
|
100
|
29
|
34
|
35
|
13
|
13
|
13
|
2
|
|
21
|
112
|
45
|
35
|
34
|
10
|
8
|
10
|
2
|
|
22
|
200
|
34
|
32
|
35
|
12
|
12
|
12
|
3
|
|
23
|
117
|
35
|
31
|
29
|
12
|
11
|
12
|
3
|
|
24
|
120
|
34
|
29
|
45
|
13
|
13
|
13
|
3
|
|
25
|
100
|
35
|
45
|
34
|
12
|
10
|
12
|
3
|
|
26
|
112
|
29
|
34
|
35
|
11
|
12
|
11
|
2
|
|
27
|
200
|
45
|
35
|
29
|
13
|
12
|
8
|
2
|
|
28
|
117
|
34
|
34
|
45
|
10
|
13
|
12
|
1
|
|
29
|
120
|
35
|
35
|
34
|
12
|
12
|
11
|
2
|
|
30
|
100
|
32
|
29
|
35
|
12
|
11
|
13
|
2
|
|
31
|
112
|
31
|
45
|
29
|
8
|
13
|
10
|
3
|
|
Лабораторная работа 6. Элементы комбинаторики.
Краткие теоретические положения.
Теорема. Правила суммы и произведения.
Правило суммы. Если объект А может быть выбран способами, а объект В — другими способами, причем выборы объектов А и В несовместны, то выбор «либо А либо В» может быть осуществлен способами.
Правило произведения. Если объект А может быть выбран способами и после каждого из этих выборов объект В может быть выбран способами, то выбор упорядоченной пары (А, В) может быть осуществлен способами.
Пример 1. На книжной полке стоят 20 книг по алгебре, 12 — по теории вероятностей, 7 — по математическому анализу и 25 — по литературе. Сколькими способами можно выбрать книгу по математике?
Решение. Найдем число способов, которыми можно выбрать книгу по алгебре, или по теории вероятностей, или по математическому анализу. Книгу по алгебре можно выбрать 20 способами, по теории вероятностей — 12 способами и по математическому анализу — 7 способами. Эти выборы несовместны. Поэтому по правилу суммы находим, что выбрать книгу по математике можно = 20+ 12 + 7 = 39 способами.
Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, если цифры в числе не повторяются?
Решение. На месте сотен поставим любую из трех цифр. После каждого такого выбора на месте десятков можно поставить любую из двух оставшихся цифр, так как цифры в числе не повторяются. Наконец, на месте единиц можно поставить оставшуюся одну цифру. Применением правила произведения найдем число трехзначных чисел, равное =6.
Упорядоченные множества длины , составленные из элементов - множества, называют размещениями без повторений из элементов по . Их число выражается формулой . Такие размещения называют также упорядоченными выборками элементов из данных без возвращения.
Если , то говорят о перестановках без повторений длины (или из элементов). Их число выражается формулой .
Сочетаниями из по элементов без повторений называются - подмножества - множества . Их число выражается формулой .
Или .
Пример 3. В комитет комсомола избрали 9 человек. Из них надо выбрать секретаря и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Из множества, содержащего 9 различных элементов, выбираются 2 элемента. Порядок существен. Элементы не могут повторяться. Следовательно, необходимо найти число размещений без повторений из девяти элементов по два элемента в каждом, т. е. . Значит, секретаря и его заместителя можно выбрать способами.
Частным случаем размещения является перестановка. Через обозначается количество перестановок в множестве , содержащем элементов. Имеет место формула
.
Таким образом, имеем , т.е. количество размещений объектов на местах совпадает с количеством перестановок множества из элементов.
Пример 4. Сколькими способами можно выстроить 4 человек в ряд для фотографии.
Решение. Дано количество это число перестановок множества из 4 элементов.
Пример 5. Сколько хорд можно провести через 6 точек, лежащих на одной окружности?
Решение. Из множества, содержащего 6 различных элементов, выбираются 2 элемента, так как хорда однозначно определяется двумя точками, лежащими на окружности. Порядок элементов роли не играет. Например, [АВ] и [ВА] — одна и та же
хорда. Следовательно, необходимо найти число сочетаний из шести
элементов по два, т. е. . Значит, можно провести различных хорд.
Важное значение имеет формула мощности для булеана, т.е. для множества всех подмножеств универсума:
Пример 6. Сколькими способами можно разделить 4 книги между двумя студентами.
Решение. Раздел определяется подмножеством множества книг , выданных первому студенту. Поэтому ответом будет число .
- число упорядоченных выборок с повторениями или число размещений из по с повторениями;
При формировании упорядоченной - выборки, мы строим компонентный вектор , где каждая компонента выбирается из множества независимо от других компонент, причем допускается неограниченное число повторений. Можно записать: . Поэтому имеет место формула: , доказательство которой осуществляется методом математической индукции на основе свойства произведения.
Пример 7. Сколько существует четырехзначных чисел, составленных из цифр .
Решение. Такие числа представляют собой упорядоченные выборки с возможными повторениями из множества по позициям отрезка . Поэтому ответом является число .
Индивидуальное задание 1.
Решить указанный набор задач из общего списка задач приведенного ниже.
Nv
|
Номера задач для решения
|
Nv
|
Номера задач для решения
|
1
|
3,7,20
|
2
|
16,26,37
|
3
|
11,45,23
|
4
|
21,29,44
|
5
|
43,2,7
|
6
|
13,11,34
|
7
|
13,34,28
|
8
|
2,43,18
|
9
|
2,12,35
|
10
|
4,34,35
|
11
|
5,8,30
|
12
|
6,16,39
|
13
|
4,8,32
|
14
|
4,29,42
|
15
|
6,9,31
|
16
|
9,19,29
|
17
|
8,14,37
|
18
|
7,24,41
|
19
|
16,19,22
|
20
|
4,12,11
|
21
|
23,24,30
|
22
|
43,13,5
|
23
|
41,6,27
|
24
|
48,35,7
|
25
|
7,11,43
|
26
|
6,47,43
|
27
|
49,50 53
|
28
|
51,52,55
|
29
|
30,47,54
|
30
|
19,31,53
|
31
|
22,29,50
|
32
|
24,39,55
|
33
|
17,6,52
|
34
|
47,45,50
|
Nv
|
Задание
|
1
|
На железнодорожной станции имеются 5 светофоров. Сколько может быть дано различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет три состояния: «красный», «желтый» и «зеленый»?
|
2
|
Сколькими способами можно распределить 6 различных учебников между четырьмя студентами?
|
3
|
Сколькими способами можно разложить в два кармана 9 монет разного достоинства?
|
4
|
Сколько «слов», каждое из которых состоит из семи различных букв, можно составить из букв слова выборка.
|
5
|
В классе 30 учеников. Ежедневно для дежурства выделяются два ученика. Можно ли составить расписание дежурств так, чтобы никакие два ученика не дежурили вместе дважды в течение учебного года?
|
6
|
Сколькими способами можно переставлять буквы слова логарифм так, чтобы второе, четвертое и шестое места были заняты согласными буквами?
|
7
|
Сколько четырехзначных нечетных чисел можно составить из цифр числа 3694, если каждую цифру можно использовать не более одного раза?
|
8
|
На прямой взяты 5 точек, а на параллельной ей прямой 7 точек. Сколько существует треугольников, вершинами которых являются эти точки?
|
9
|
Сколькими способами можно распределить поровну 6 различных учебников между двумя студентами?
|
10
|
Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?
|
11
|
Из состава конференции, на которой присутствуют 52 человека, нужно выбрать делегацию, состоящую из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать.
|
12
|
Сколько букв алфавита можно составить из пяти сигналов в каждой букве, если три сигнала — импульсы тока, а два - паузы?
|
13
|
Сколько четырехзначных чисел имеется в пятеричной системе счисления?
|
14
|
В почтовом отделении продаются открытки десяти видов. Сколькими способами можно купить здесь набор из восьми открыток, если открыток каждого вида имеется не менее восьми штук?
|
15
|
Трое юношей и две девушки выбирают место работы. Сколькими способами они могут это сделать, если в городе есть три завода, где требуются рабочие в литейные цехи (туда берут лишь мужчин), две ткацкие фабрики (туда приглашают женщин) и две фабрики, где требуются мужчины и женщины?
|
16
|
2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,
2, 3, 4, 5?
|
17
|
3. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2,
3, 4, 5, если каждую из этих цифр можно использовать не более
одного раза?
|
18
|
Сколькими способами 7 человек могут разместиться в оче
реди в кассу?
|
19
|
В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков,
причем все уроки разные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?
|
20
|
6. Сколько имеется пятизначных чисел, которые делятся на 5?
|
21
|
7. На одной из боковых сторон треугольника взято точек,
на другой — точек. Каждая из вершин при основании
треугольника соединена прямыми с точками, взятыми на
противоположной стороне, а) Сколько точек пересечения этих прямых образуется внутри треугольника? б) На сколько частей делят треугольник эти прямые?
|
22
|
Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры
четные?
|
23
|
Сколько есть пятизначных чисел, у которых все цифры
нечетные?
|
24
|
Сколько четырехзначных чисел можно написать с
помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5?
|
25
|
Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 100 фехтовальщиков, нужно выбрать по одному фехтовальщику для участия в состязаниях. Сколькими способами это можно сделать.
|
26
|
Имеется 5 видов конвертов и 6 видов марок. Сколько способов отправить некоторый конверт с маркой.
|
27
|
Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова “камзол”.
|
28
|
Бросают игральную кость с шестью гранями и запускают волчок, имеющий 8 граней. Сколькими способами они могут упасть.
|
29
|
На вершину горы ведут 5 дорог. Сколькими способами можно подняться на дорогу и спуститься с нее. Тот же вопрос, если подниматься и спускаться нужно разными путями.
|
30
|
На ферме 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью. Если такой выбор сделан, сколькими способами его можно сделать еще один раз.
|
31
|
19 Сколько можно составить трехцветных полосатых флагов, если имеется материя трех различных цветов. Тот же вопрос, если одна из полос должна быть красной.
|
32
|
У одного человека 7 книг по математике, а у другого 9. Сколькими способами они могут поменять книгу одного на книгу другого.
|
33
|
5 мальчиков и 5 девочек садятся в ряд на 10 расположенных подряд стульев, причем мальчики садятся на места с нечетными номерами, а девочки — на места с четными номерами. Сколькими способами это можно сделать?
|
34
|
Автомобильные номера составляются из одной, двух или
трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров,
используя 32 буквы русского алфавита.
|
35
|
Сколько разных делителей имеет число
|
36
|
Сколькими способами из 30 учащихся можно выбрать
делегацию, состоящую из 3 учащихся?
|
37
|
В комнате 10 лампочек. Сколько всего разных способов
освещения комнаты, при которых горит ровно 6 лампочек?
Сколько всего может быть различных способов освещения комнаты?
|
38
|
Дано 8 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной
прямой. Сколько прямых можно провести, соединяя точки
попарно?
|
39
|
5. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?
|
40
|
Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая
следующая цифра меньше предыдущей?
|
41
|
Сколькими способами могут разместиться 5 покупателей
в очереди в кассу?
|
42
|
На собрании должны выступить 4 человека А, В, С, D,
Сколькими способами их можно разместить в списке ораторов, если В не может выступать до того момента, пока не выступит А?
|
43
|
На собрании должны выступить 4 человека А, В, С, D,
Сколькими способами их можно разместить в списке ораторов, если В должен выступать непосредственно перед А?
|
44
|
Из колоды 52 карты извлечено 5 карт. В скольких случаях среди выбранных карт окажется не менее одного туза.
|
45
|
Из колоды 52 карты извлечено 5 карт. В скольких случаях среди выбранных карт окажется ровно один туз.
|
46
|
Из колоды 52 карты извлечено 5 карт. В скольких случаях среди выбранных карт окажется ровно два туза.
|
47
|
Из колоды 52 карты извлечено 5 карт. В скольких случаях среди выбранных карт окажется не менее чем два туза.
|
48
|
В местком избрано 9 человек. Из них нужно выбрать председателя, зампредседателя, секретаря и культорга. Сколькими способами это можно сделать.
|
49
|
Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин необходимо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее двух женщин. Сколькими способами это можно сделать.
|
50
|
У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имен 300, а ему дают не более трех имен. Порядок (первое имя, второе имя, третье имя ) существенен.
|
51
|
Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо составить команду из 4 человек для участия в беге на 1000 м. Сколькими способами это можно сделать. А сколькими способами можно составить команду для участия в эстафете 100+200+400+800?
|
52
|
У отца есть 5 попарно различных апельсина, которые он выдает своим сыновьям так, что каждый получает либо один апельсин либо ничего. Сколькими способами это можно сделать.
|
53
|
Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из одного офицера, двух сержантов и 3 рядовых.
|
54
|
В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек(все предметы отличаются друг от друга). Сколькими способами они могут накрыть стол для чаепития(каждый получает одну чашку, одно блюдце и одну ложку)?
|
55
|
Сколькими способами можно выбрать 6 человек из 10, если данные двое из этих 10 не могут быть выбраны вместе.
|
<< предыдущая страница следующая страница >>
|
Лабораторная работа Лабораторная работа Основы теории множеств - umotnas.ru o_O