«основы теории множеств» - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Основные понятия теории множеств 1 92.49kb.
Вопросы к экзамену Основные понятия теории множеств. Примеры 1 22.46kb.
Ключевые понятия теории нечетких множеств 1 28.53kb.
Лабораторная работа Лабораторная работа Основы теории множеств 7 1675.01kb.
Множества. Пересечение множеств. Объединение множеств 1 60.85kb.
Множество. Подмножество. Пересечение и объединение множеств 1 65.34kb.
За цикл работ по приложению математической логики к алгебре и теории... 1 20.05kb.
Логическая операция Обозначения 1 83.3kb.
Закон для декартового произведения множеств относительно пересечения. 1 17.44kb.
Должностная инструкция системного программиста 1 45.24kb.
Экзаменационные вопросы по курсу "Основы теории коммуникации" 1 60.38kb.
Множество. Подмножество. Пересечение и объединение множеств 1 65.34kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

«основы теории множеств» - страница №1/2

ГБОУ «Вечерняя сменная общеобразовательная школа
г.Бежецка».

ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

ПРЕДПРОФИЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ

ОБУЧАЮЩИХСЯ 9 КЛАССОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ

НА ТЕМУ:


«ОСНОВЫ ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ».

Программу разработала


учитель математики
Уварова Т. В.

г. Бежецк.



Пояснительная записка

Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся 9-х
классов посвящен одному из фундаментальных понятий математики -
МНОЖЕСТВУ. Множества могут состоять из объектов самой
различной природы. Их элементами могут быть буквы, атомы,
предметы, животные, числа, уравнения, точки, углы и т.д. Именно этим
объясняется чрезвычайная широта теории множеств, её приложимость
к самым разнообразным областям знаний (математике, физике,
экономике, лингвистике, биологии, геометрии и т.д.), её
вездесущность.

Школьный курс математики теоретически не касается изучения теории


множеств, хотя практически теоретико - множественный подход
неразрывно связан с курсом математики, алгебры и геометрии.

Учащимся значительно легче манипулировать операциями с


множествами, если они будут представлены не смешанными
словесно-символическими записями, а чисто символическими
записями, которые четко формулируют необходимые, достаточные,
необходимые и достаточные условия теорем, дают конкретные
определения объединения множества корней уравнения, числовых
промежутков, решений системы уравнений, пересечения множеств
решения уравнений и неравенств в системах и т.п. Кроме этого
расширяется спектр задач о нахождении числа элементов множеств,
заданных несколькими условиями, где применяется алгебра множеств.

Цель курса:

повышение уровня математической подготовки выпускников основной


школы и расширение спектра задач, посильных для учащихся.

Задачи курса:

- обеспечить усвоение основных понятий теории множеств,


- развивать логическое мышление, познавательные интересы и
творческие способности учащихся.

1

- показать применение теоретико - множественного подхода в других


областях знаний.

- представить учащимся возможность проанализировать свои


способности к математической деятельности.

Методы работы:

объяснительно - иллюстративный, проблемный, и частично-поисковый.



Формы работы;

фронтальная, индивидуальная и групповая.



Планируемые результаты:

- усвоение основ теории множеств.

- развитие интереса к обучению.

- использование математических знаний и умений в практической

деятельности и повседневной жизни.

- выбор профиля.



Список литературы:

1 .Калужнин Л.А. « Элементы теории множеств и математической

логики в школьные годы» М. Просвещение. 1978 г.

2.Факультативный курс « Избранные вопросы математики» 7-8 классы.

М. Просвещение. 1978 г.

3.Сборник статей « Вопросы преподавания алгебры и начала анализа в

средней школе» М. Просвещение. 1992 г.

4.Крамор В.С. « Повторяем и систематизируем школьный курс

алгебры» М. Просвещение. 1992 г.

5.Виленкин Н.Я. «Алгебра» для 9 класса, учебное пособие для учащихся

школ и классов с углубленным изучением математики. М. Просвещение

1998 г.
6.Энциклопедия для детей « Математика», том 11, М. «Аванта +».2002г.



Содержание курса:

Содержание курса реализуется на принципах последовательности и

системности. Данный курс включает 3 раздела:

- множества;

- операции над множествами;

2

- свойства операций над множествами;

которые отражают фундаментальность понятия множества.

Первый раздел формирует у учащихся понятие множества и его


элементов, дает определение конечного и бесконечного множества и
способов их задания. На основе существующих знаний и умений
систематизируется и расширяется теоретический и практический
материал, связанный с числовыми множествами и множествами точек
на плоскости.

Второй раздел кроме определений операций над множествами включает


рассмотрение чисто символических записей, на основе которых четко
формируются и определяется конкретность необходимых, достаточных,
необходимых и достаточных условий теорем, систематизируются ранее
изученные знания и умения из курса алгебры и геометрии, где особое
место уделяется графическому способу решения не линейных систем
уравнений и неравенств.

Третий раздел включает в свое содержание алгебру множеств и её


применение для решения задач о нахождении числа элементов
множеств, заданных несколькими условиями, где учащиеся знакомятся с
формулами включений и исключений. Данный материал в школьном
курсе не рассматривается.

Теория множеств доступна для разных областей знаний, поэтому


межпредметная направленность курса осуществляется не только в
подборе материала для практических задач, но и при объяснении
основных понятий и определении теории множеств. Вследствии этого
математические задания соответствуют достаточному уровню
сложности.

На изучение трех разделов отводится 16 часов и 1 час на определение


успешности усвоения материала.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

№п\п

Наименование разделов и
темы

кол-во
часов

Форма контроля

1

2



Множества

Множества и их элементы

Характеристическое


7
1

практическая работа в группах


математический диктант

3

3
4


свойство множества
Числовые множества
Множество точек на
плоскости

2
2
2

практическая работа в группах


доклады, дифференцированная
самостоятельная работа

5
6


7
8

Операции над

множествами

Подмножества


Пересечение множеств
Объединение множеств
Разность множеств

6
1
2
2
1

тестирование



9


10

Свойства операций над

множествами.

Алгебра множеств


Формула включений и
исключений

3
1

2


деловая игра



11

Проверка усвоения знаний

1

защита проекта
Замечание:

Данный курс, с учетом возможностей учащихся (колония строгого


режима), не включает в планы занятий этапа выполнения и проверки
домашнего задания.

В следствии того, что на планирование уроков геометрии в вечерних


школах отводится 1 час в неделю, то в основном практические задания,
входящие в элективный курс, углубляют и систематизируют знания и
умения из курса алгебры, хотя теоретические вопросы посвящены и
интересным разделам из курса геометрии.

4

ЗАНЯТИЕ 1

Множества и их элементы

" Множество есть многое мыслимое


нами как единое".

Георг Кантор

- «Сережа, посмотри какая коллекция птиц за окном!» - малыш теребил
за рукав своего брата школьника.

-«Не коллекция, а стая. Бывает коллекция рисунков, марок,


драгоценных камней. А птицы летают стаями, рыбы плавают
косяками.»
-«А почему по-разному называют ? Ведь одно и то же ...?»

В повседневной жизни постоянно различные совокупности


предметов называют одним и тем же словом:
совокупность документов (как?)- архивом,
собрание музыкантов? - оркестром,
группу лошадей? - табуном,
родителей, детей и их родственников? - семья
группу людей? - толпой или очередью и т.д.

Прав малыш!


Действительно в этих понятиях заключено нечто общее. В математике в
подобных случаях чаще всего используют универсальное слово
"множество". Математическим понятием, отражающим объединение
некоторых объектов, предметов или понятий в целую совокупность,
является понятие множества. Это понятие является в математике
первичным, не определяемым, т.е. фундаментальным, таким же, как
понятие точки и прямой в геометрии, - к более простым понятиям оно
не сводится.

ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕРЫ МНОЖЕСТВА:
-множество людей живущих на Земле;
-множество рыб в Тихом океане;
-множество звезд в Галактике;
-множество всех натуральных чисел;
-множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих

условию 2< х <10;


-множество всех точек плоскости, находящихся на равном расстоянии
от фиксированной точки О;
-множество пар чисел (х, у), удовлетворяющих условию Зх+2у < 0;

5

-множество учащихся данной школы;

-множество императоров России и т.д.

Предметы, объекты, образующие данное множество, называются

его элементами.

Например:

Александр 1 является элементом множества Российских императоров;

Число 9 - элементом множества N чисел; но Иван 11 не является

элементом множества Российских императоров, ( Россия получила

название империя в 1721 г. Первым русским императором был Петр 1);

число не является элементом множества натуральных чисел.

Обычно множества обозначаются латинскими прописными буквами, а

их элементы - строчными.

Если объект является элементом множества А, записывается так а А

( читают: а принадлежит множеству А) .

Если объект а не является элементом множества А , то пишут : а А

(читают: а не принадлежит множеству А).

Например: А - множество всех нечетных натуральных чисел; В-

множество всех российских писателей;

3А; 6А; Н.В. Гоголь В; М.ТвенВ ; и т.д.

Множества А и В называются равными, если они содержат одни

и те же элементы.

Например: А={1;2;3}; В ={3;2;1}; А=В

Равенство множеств А и В записываются в виде А=В.

Приведите примеры равных множеств.

Задание: Пусть М множество всех треугольников. Перечислите
геометрические фигуры, принадлежащие этому множеству. Приведите
примеры геометрических фигур не принадлежащих М. Из скольких
элементов состоит множество треугольников на данном рисунке?

6



Упражнения:

(для обсуждения и решения в группах)





1 группа

2 группа

1

Назовите известные вам названия
множеств военнослужащих

Какие названия применяют для
обозначения множеств кораблей

2

Как называется множество точек
земной поверхности,
равноудаленных от обоих
полюсов

Как называется множество царей
(фараонов, императоров) данной
страны, принадлежащих одному
семейству

3

Как называются линии на
географических картах,
изображающие множество точек
земной поверхности, имеющих:

а) одинаковую долготу,

б) одинаковую высоту над
уровнем моря


Как называются линии на
географических картах,
изображающие множество точек
земной поверхности, имеющих:

а) одинаковую широту,

б) одинаковую среднюю годовую
температуру.


4

Назовите 3 элемента,
принадлежащих множеству:
а)полных десятков,
б)простых чисел,
принадлежащих промежутку
[81,99];
в) простых чисел вида 8n+1.

Назовите 3 элемента, принадлежащих
множеству:

а)квадратов натуральных чисел;


б)чисел, кратных 3 и не делящихся
на 5;
в)простых чисел вида 2n +1.

7

5

Пусть А - множество всех
существ, умеющих летать, В -
множество всех насекомых, С -
множество всех птиц:
а)назовите 2 элемента множества
В, не являющихся элементами
множества А,

б)существуют ли элементы,


принадлежащие всем трем
множествам?

Пусть А - множество всех существ,
умеющих летать, В - множество всех
насекомых, С - множество всех птиц:
а)назовите 2 элемента множества С,
не являющихся элементами
множества А,

б)существуют ли элементы,


принадлежащие всем трем
множествам?

6

Пусть А - множество делителей
числа 60. Верна ли запись?
а)7 А;
б)10А;
в)20А .

Составьте список элементов


множества А.

Пусть А - множество корней
квадратного уравнения х2 - 7х+12=0.
Верна ли запись?

а)3А;

б)-5 А;

в)10А ;

г)4А .

Составьте список элементов


множества А.

7*

Пусть А - множество всех
многочленов от одной
переменной х, все коэффициенты
которых целые. Верна ли запись?
а)х2-15х+6А;
б)х2 + у2-1А.

Пусть А - множество всех
многочленов от одной переменной х,
все коэффициенты которых целые.
Верна ли запись?

а)х3-1А;


б) х2-5А.

ЗАНЯТИЕ 2

Характеристическое свойство множества.

" Не будем спорить будем вычислять"

Г .Лейбниц

Когда в математике говорят " множество", то подразумевают, что есть


возможность выяснить принадлежит любой из данных предметов
рассматриваемому множеству или нет. Но говоря «есть возможность
выяснить», мы совсем не имеем ввиду, что сделать это просто.

8

Например, обозначим через М множество, состоящее из цифр 1,2.3. Через а


обозначим цифру, находящуюся на стотысячном месте после запятой в
десятичной записи числа =3, 14159... Принципиально ( с помощью
компьютера ) можно определить верна ли запись а М , но вот так сразу
сказать, какое из соотношений а М, аМ имеет место нельзя.

Так как же выяснить, Принадлежит предмет рассматриваемому

множеству или непринадлежит ? Как сказал Г Лейбниц : " Не будем

спорить - будем вычислять".

Для этого введем определения конечных и бесконечных множеств и

познакомимся со способами задания множеств.

Какое множество называется конечным?

Конечным называется множество, состоящее из конечного числа

элементов.

Приведите примеры конечных множеств.

Являются ли конечными данные множества? Почему?
а) множество людей выше 3 м роста,
б) множество нечетных чисел, делящихся на 2.

Итак, среди конечных множеств выделяют пустое множество-


множество не имеющее ни одного элемента.

Какое множество называется бесконечным? Приведите примеры.


Имеется два существенно различных способа задания множества .

Способы задания.

перечислением всех своих

элементов ( множество

континентов, множество

учащихся 6 класса и т..д.)


Обозначение: {2;4;6}

характеристическое

свойство - свойство которым

обладают все элементы

рассматриваемого множества и

не обладают никакие другие

объекты


А={ |Р (х)}

Примеры : 1)А= {х |- 1 < х < 2}

( множество А состоит из тех и только из тех чисел , которые


удовлетворяют неравенству - 1 <х<2 )

2) А = { х| а есть мать х}. ( множество всех детей женщины с именем


а)

9

3)геометрическое место точек ( с данным свойством). Биссектриса угла - геометрическое место точек плоскости, лежащих внутри этого угла


и равноудаленных от его сторон.

Какие множества можно задать перечислением своих элементов?


Почему? Какие с помощью характеристического свойства?

Упражнения: (устно)

1. Даны множества А={ | nN} и В ={n3 -2 |nN}.


Укажите а) по 3 элемента каждого из этих множеств;

б)множества, которым принадлежит число 3; 4; 5; 13; 25;


в)множества, которым не принадлежат данные числа 3; 4; 5;
13; 25.

2. В данном множестве все элементы, кроме одного, обладают


некоторым свойством. Опишите это свойство и найдите элемент, не
обладающий им:

а){ треугольник, квадрат, трапеция, круг, правильный шестиугольник};


б){ лев, лисица, гиена, слон, рысь}

в) { бежать, смотреть, синий, знать, писать}


г){2,6;15;84; 156}

д) {Москва, Санкт- Петербург; Одесса, Гомель; Лондон}

3. Опишите множество точек М на плоскости , таких, что:
а) { М| ОМ=К}; 6){М| ОМ< К}; в){ М | АОМ =МСВ};
г){ М| АМ=ВМ } ; д){ М| АМ =ВМ=СМ },

где - О, А, В, С - фиксированные точки плоскости.

4.Задайте характеристическим свойствам множество всех:
а) квадратов;
б)прямоугольников;
в)равнобедренных треугольников;

г) параллелограммов.

5.Укажите среди следующих множеств пустое:

а) множество параллелограммов с неравными смежными сторонами;

б) множество целых корней уравнения ( х-1)3 -1= 0;

в) множество действительных корней уравнения 2х2 +1 =0;

г) множество горных вершин высотой более 8000 м ;
е)множество положительных корней уравнения

х3+6х2+11х+6 = 0.



10

Пример: Принадлежат ли числа и множеству: А={ |nN}.

Решение:
=


2n2 =n2+16
n2=16

n1= - 4; n2= + 4


т.к. 4 N и = А, то А.

=

Зn2= n2+16

n2 = 8

n1 = -2; n2 = +2 N, значит A .

Ответ: А, A .
Упражнения:

1. Исследуйте, принадлежат ли числа множеству А ={| nN }.

2.Напишите пять чисел, принадлежащих множеству А={| nN }.

3.Угадайте по какому закону составлено бесконечное множество:


а){…...}

б) {……}

в){2; 12; 36; 80; 190;……}.

4. Докажите, что указанное множество не содержит целых чисел:


а)А={| nN };

б) А = {| nN }.

5.Пусть А = {h | h - такое число, что прямая у= х+h имеет общие
точки с окружностью х22 =1}. Какие утверждения справедливы?
а) -1А ; б) 2 А; в) 1А; г)А; д) 0А .

11

Математический диктант.

1.Задайте перечислением элементов множество, заданное


характеристическим свойствам:

1 вариант

2 вариант

а)А={х|-11<х≤-3,хN}
б)А={х|х2-8х +15=0}

а)А{х|-1<х≤7,3 хN}
в) А={х| х2 - 5х +6 =0 }

2. Является следующее множество пустым?

1 вариант

2 вариант

множество равносторонних
треугольников для которых
выполняется равенство а2 + в2 = с2
где а, в, с - длины сторон.

множество точек с натуральными
координатами, лежащих на прямой
у=х

3. Исследуйте принадлежит ли число данному множеству

А={|nN}

А={|nN }

4.Пусть:

А={х|х3+4х2+х - 6 = 0}

А= {х | 4х3+ 8х2 + 5х +1 = 0}

Справедливо ли утверждение

а) 2 А б)3 А
в) 1А

а) -1А б)1 А

в) 2А





5.Задайте множество А перечислением его элементов.

Пятеро друзей - Иван, Андрей, Виктор, Ольга и Мария решили


сфотографироваться. Они хотят стать в ряд таким образом, чтобы
юноши и девушки чередовались. Перечислите все возможности.

12

Ответы.




1 вариант

2 вариант

1

А={ Ø}
А={3;5}

А={1;2;3;4;5;6;7}

А={2;3}


2

да

да

3

нет

да

4

А={-3;-2;1}

А={-1;}



5

всего 12 возможностей

всего 12 возможностей

ЗАНЯТИЕ 3

Числовые множества

" Числа не управляют миром,

но показывают как управляется мир"

И.В. Гете.

Множества могут состоять из объектов самой различной природы.
Элементами их могут быть буквы, атомы, числа, уравнения, точки, углы и
т.д.. именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и
её приложимость к самым разнообразным областям знаний ( математике ,
физике, биологии, и т.д.)

Для математики особо важную роль играют множества, составленные из


из математических объектов - чисел, геометрических фигур и т. д. Очень
часто мы встречаемся с числовыми множествами. Их элементами
являются что? ... Их примеры мы рассматриваем в 8 классе. Давайте их
вспомним!( R, Q, Z, N - множества действительных, рациональных . целых
и натуральных чисел).
[а ,+ ∞)= {х | х≥ а}

(-∞, а] = {х| х≤ а} - числовые лучи;


[ а,b] = {х| а≤ х ≤ b } - отрезок;
( а,b) = {х| а< х < b} - интервал;
[ a, b) = {х|а≤ х < b }

13

(а,b] = {х|а< х≤ b } - числовые полуинтервалы.


Общее название ? ( числовые промежутки)

Числовыми лучами также являются множества:

(а, +∞) = {х | х>а} и (-∞, а) = {х | х< а}, а также и вся числовая ось
(-∞,+ ∞) = {х| -∞< х< +∞}

А на предыдущих занятиях мы встречались с числовыми множествами?


Как вы думаете, где используются числовые множества в курсе алгебры 7-
8 классов ? ( при решении уравнений и неравенств, их ОДЗ)

Практическая работа в группах:

Задание.

1. Проанализировать данную тему (главу) учебника алгебры;

2. найти задания , где используются числовые множества для
решения уравнений и неравенств;

3. переформулировать задание с использованием слова "множество";

4. найти ответ своего задания, записать его в новой символике;

5. сколько элементов содержит ваше числовое множество?

(Задания выбираются учащимися в зависимости от уровня сложности или
указывается конкретная тема из курса алгебры (страницы учебника

или задачника).


Алимов 8 класс " Алгебра"

№ 679, 680, 681, 682, 695, 696, 699 - квадратные неравенства.


№ 470, 471, 551, 553 - квадратные уравнения , а также задания для
итогового повторения.

9 класс.
№ 157 - 162, № 216 - область определения функции.


№ 196 - 199;; 201 - 204, 205, 222, - иррациональные уравнения.
№192; 193; 2004; 206; 220; 221; -иррациональные неравенства.

Упражнения.

1. Найдите множество значений переменной, при которых имеет смысл


уравнение:

а)х2+5х + 7 + = 1 + + ;



14

б)х2 + b2 + = 0;


в)= 3+ ;
г) = 1+ ;

2. Найти множество корней уравнения:


a);

б) ;

в);

г) .

3. Совпадают ли множества корней для пары уравнений:

а) х+5 =15 -х и х+5 + =15 -х + ;


б)х+1=0 и (х+1)=0;
в) = и = ;
г)х2-9=0 и =0;

д)х2-6х+9=0 И ;

е)х2+6х=0 и - =2;

ж )х2 -6х +8 =0 и - - = 0.



15

ЗАНЯТИЕ 4.

Множество точек на плоскости.

" Вдохновение нужно в геометрии,


как и в поэзии"

А.С.Пушкин.

Множество точек на плоскости часто задают их характеристическими
свойствами.
Например, множество точек плоскости, расстояние от которых до прямой l не превосходит числа d > 0 , есть множество точек полосы, ограниченной двумя прямыми , параллельными прямой 1 и отстоящими от неё на расстоянии d.

Множество точек на плоскости можно задать с помощью равенства,


связывающего их координаты. Так равенство F(х, у)= 0 задает множество
точек М (х,у) плоскости , координаты которых удовлетворяют этому
равенству. F (х ,у) = 0, как правило, задает на плоскости кривую и называется
уравнением кривой
( например, у = кх + b - уравнение прямой).

Определение кривых 2 порядка и их уравнения

(доклады)



  1. окружность 3. гипербола

  2. эллипс 4. парабола.



Кривая разбивает плоскость на две части .
В одной из этих частей выполняется
неравенство F(х; у) <0 , в другой - F(х;у)>0
Для определения знака неравенства в каждой части надо:



  1. взять точку и подставить её в

координаты в выражении F( х;у);

  1. вычислить значение F (х;у) = с;
    3)если с<0 , то выполняется неравенство F(х;у)<0,

если с>0 то F(х;у) >0

16

Пример 1. (рис. 1)

у-2х+1=0- прямая, разбивает плоскость на две части;
1) О (0;0); 2) <0; 3) у = - 2х +1< 0

Пример 2.(рис. 2) (х+1)2 +(у-2)2 =25 - окружность с центром А ( -1,2)


и радиусом R = 5 , разбивает плоскость на 2 части.
1) А ( -1;2) ; 2) 0-25 = -25 < 0 ; 3) ( х+1)2 + ( у-2)2 < 25.

Упражнения

1. Напишите уравнение окружности, если,

а) центр находится в точке А ( -3; 1 ), радиус R = 8,

б) центр находится в точке А ( 3;1) и окружность проходит через и


точку В ( 7;4);

в) окружность проходит через точки А ( 4;6) и В (-2;2) , а её радиус


R=5,

г).окружность описана вокруг треугольника АВС, где А ( 9; 2);


В (7; 6), С (0;-1);

д)для всех её текущих точек М (х;у) выполняется условие АМ: ВМ=2,


гдеА(0;0), В ( 6;0).

2. Найдите уравнение множества точек М (х; у), равноудаленных от


точки F (1; -2) и от прямой х=2.

3. Постройте множество точек М (х;у) плоскости , для которых


а) х2 + у2 + 12х + 6у + 20 ≥ 0; ( окружность)

б)х 2+ у2- 8х + 6у + 25 ≥0; ( точка)

в) х2+ у2+ 8х - 6у + 34 < 0. (Ø)

17


4. Каким уравнением задается граница множества точек М (х;у), для
которых

а)|у| < 4х-2; б) х22 < 9?

5)Постройте множество точек М (х;у) плоскости, для которых

а)у ≤ х2-6х+1;

б) |х| + |у| ≤ 1.

Дифференцируемая самостоятельная работа.

Постройте множество точек М( х;у) плоскости для которых:

1. а) у ≥ Зх-2;
б) х22+6у ≤ 0.


  1. а) х2 -5х + 6 > 0;
    б) х22 - 4х + 2у+5 ≤ 0.

  2. а)|у| > |х+1|;

б) х2 + у2+6х - 4у + 15 < 0.

18

ЗАНЯТИЕ 5

Подмножества

"Часть меньше целого"


Аристотель.

Если множество не является пустым, то из него можно образовать другие

множества, являющиеся его частями.

•Какие составляющие части имеет множество позвоночных? (Птицы,

рыбы, млекопитающиеся.)
•Назовите части множества натуральных чисел. ( простые, четные,

кратные 5).

В математике вместо слова " часть" используют слово " подмножество".
•Сформулируте определение подмножества.

Множество В называется подмножеством множества А, если
каждый элемент х В в то же время является и элементом
множества А, т.е. х
А.

Обозначение: В А .Данный Знак является знаком включения одного


множества в другое.

Пусть А - множество всех четырехугольников,


В - множество всех трапеций,
С - множество всех параллелограммов,
Д - множество всех ромбов;
Е -множество всех квадратов.

• Какие из этих множеств являются подмножеством других?

Ответ: ЕДСВА

• Где располагалась бы множество всех прямоугольников?



Задания

1) Назовите 5 подмножеств в множестве слов русского языка.


2) Расположите множества так, чтобы каждое предыдущее множество было
подмножеством следующего,
а) А- множество всех учеников 9 класса данной школы;

В - множество всех учеников данной школы;

С - множество всех учеников 9 класса, посещающих факультативные
занятия по математике;

19

Д - множество учащихся всех школ России;

F - множество всех юношей 9 класса данной школы , посещающих

факультативные занятия по математике

б) А - множество всех четырехугольников;
В - множество всех ромбов;

С -множество всех многоугольников;


Д - множество всех параллелограммов;
Е - множество всех выпуклых многоугольников.

в) А - множество всех позвоночных животных;


В - множество всех животных;

С- множество всех млекопитающих животных;


Д - множество всех волков;
Е - множество всех хищных млекопитающих;
F - множество всех Красных волков.

Игра " Наоборот"

Задание: расположите множества так, чтобы каждое множество было
подмножеством следующего, но построение цепочки начнем с последнего
( главного), самого большого множества.
Учащимся выдаются карточки с названием множеств. Они по очереди
составляют цепочку включений ( если учащихся много, то можно
организовать работу по группам)



Задание.

Пусть А - множество четных натуральных чисел,

В - множество натуральных чисел кратных 10:

20

В А. Справедливы ли утверждения?

а) чтобы натуральное число n было четным числом необходимо, чтобы


n делилось на 10;

б) чтобы n делилось на 10, достаточно, чтобы число это было четным?


(нет) Почему? Итак : nА достаточно, чтобы nВ

nВ необходимо, чтобы nА



Вывод: Если ВА , то принадлежность элемента х множеству В
является достаточным условием его принадлежности множеству А, а
принадлежность элемента множеству А необходимым условием его
принадлежности множеству В.

Если множества А и В совпадают ( А=В), то принадлежность элемента


множеству А необходима и достаточна для его принадлежности
множеству В.

Если множества А и В совпадают ( А=В), то принадлежность элемента


множеству А необходима и достаточна для его принадлежности
множеству В.

Другими словами, теоремы о том, что некоторое условие является


необходимым и достаточным, - это теоремы о совпадении двух
множеств.
•Приведите примеры таких теорем.

Упражнения:

Опишите множества А и В и вместо многоточия подставьте один из


терминов: необходимо, достаточно, необходимо и достаточно. Какое из
соотношений А B , В А , А = В - справедливо?
а) Для того,чтобы четырехугольник был ромбом,..., чтобы он был
квадратом;

б)Для того чтобы число делилось на 9 ,... чтобы оно делилось на 3;


в) Для того чтобы число делилось на 10, ... чтобы его десятичная запись
оканчивалась нулем.

г)Для того, чтобы произведение двух множителей равнялось нулю ...,


чтобы по крайней мере один из них равнялся нулю.

д) Для того, чтобы число делилось на 5,... ,чтобы оно делилось на 25.

е) Для того, чтобы треугольник был прямоугольным,..., чтобы выполнялось
равенство с2 = а2 + b2, где а, b, и с - длины сторон.

ж) Для того, чтобы параллелограмм был ромбом,..., чтобы его диагонали


были взаимно перпендикулярны.

з)Для того, чтобы углы были вертикальными ,..., чтобы они были равны,


и) для того, чтобы треугольник был равносторонним,..., чтобы его углы
были равны.

21

ЗАНЯТИЕ 6

Пересечение множеств.

Существует очень удобный прием изображений взаимоотношений


между множествами - так называемые диаграммы Эйлера - Венна.
На них множества представлены плоскими фигурами, чаще всего
кругами. При этом удобно считать, что все рассматриваемые
множества являются подмножествами некоторого фиксированного
множества, которое назовем универсальным и обозначим буквой
U . Для наглядности будем изображать его в виде
прямоугольника. На рис. 1а видно, что множество В содержится в
множестве А , т.е В А
На рисунке 1 б множества А и В совпадают т.е. А=В

На рис. 1в представлены два множества, ни одно из которых не

является подмножеством другого.

рис. 1а рис.1б рис.1 в

Какая операция изображена на рис 1в?

Определение: Пересечением множества Аи В называется
новое множество, содержащее те и только те элементы,
которые входят одновременно
и в множество А, и в множество В.
Обозначение: АВ . ( знак пересечения)

Например, если А множество всех прямоугольников, В - множество


всех ромбов, то АВ - множество всех квадратов.
Если А - множество всех участников олимпиады, В - множество
призеров, то АВ - множество всех участников олимпиады,
получивших медали.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию пересечения множеств А


и В на диаграммах Эйлера - Венна. На рис .2а заштриховано
множество АВ , на рис. 2б множества Аи В не пересекаются, т.е.

АВ = 0


следующая страница >>