Лабораторная работа Лабораторная работа Основы теории множеств - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Лабораторная работа №1 Построение детерминированного синтаксического... 1 279.02kb.
Лабораторная работа №1 Установка и настройка сетевой карты. 1 58.04kb.
Лабораторная работа №1 по курсу "Информационная безопасность" Лабораторная... 1 122.31kb.
Лабораторная работа №6 по курсу "Информационная безопасность" Лабораторная... 1 57.72kb.
Лабораторная работа по курсу Радиотехника Москва 2003 1 183.89kb.
Лабораторная работа №1 Законы сохранения в механике 2 612.89kb.
Лабораторная работа №5 Программирование под Cryptoapi теоретические... 1 753.9kb.
Лабораторная работа №15 Изучение внешнего фотоэффекта Теоретические... 1 201.55kb.
Лабораторная работа №3 Исследование преобразователя частоты 1 75.36kb.
«основы теории множеств» 2 476.13kb.
Лабораторная работа №1 по дисциплине: Дискретная математика Группа 1 77.9kb.
Графическое представление статистического распределения. Гистограмма. 1 119.1kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Лабораторная работа Лабораторная работа Основы теории множеств - страница №1/7

Лабораторные работы по курсу Дискретная математика

6. Лабораторная работа 6.

7. Лабораторная работа 7.

Лабораторная работа 1. Основы теории множеств.

Цель. Изучить базовые понятия теории множеств и операции над множествами.

Задание. Изучить теоретические положения, примеры решения задач, решить задачи индивидуального задания, ответить на контрольные вопросы.

  1. Краткие теоретические положения.

Определение. Множество- это собрание объектов любой природы.

Пример. Множество всех станций метро, множество всех букв алфавита, множество всех чисел, множество всех книг, которые когда-то были написаны и т.д.

Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита : A, B, F, и т.д. Множество может быть задано двумя способами: перечислением своих элементов и характерным свойством .



Пример. Задание множеств. Определим следующие множества: A=1,2,3,4, B={“Иван”, “Андрей”, C=  5, 10, 15 . Данные множества заданы перечислением своих элементов. Их можно задать также характерным свойством. A=x: x-целое число и 1x4; B={x: x- имя одного из сыновей Петра}; C={x: x- целое число и x делится на 5 и 1x18}. В последнем случае множество определяется как собрание тех и только тех объектов, которые удовлетворяют данному свойству.

Про каждый объект x всегда можно сказать, принадлежит он данному множеству A или нет. В первом случае записывается xA и читается как “x принадлежит A”, т.е. x является элементом множества A. Во втором случае используется запись xA, которая, таким образом означает, что объект x не является элементом множества A. Например, пусть A=10, 15  и x=10. Тогда имеем xA. Если же x=12, то выполняется соотношение xA. При выяснении вопроса принадлежит или нет данный объект некоторому множеству, может оказаться, что множество задано характерным свойством. Тогда нужно проверить, выполняется или нет свойство для данного объекта. Пусть, например, A=x: x-четно и 112, хотя и x является четным числом. Наконец, при x=10 будем иметь, что xA, так как все условия в данном случае выполняются. Для удобства рассмотрений вводится одно специальное множество, называемое пустым и обозначаемое символом . Оно не содержит ни одного элемента.



Между двумя множествами A и B может выполняться отношение включения : AB тогда и только тогда, когда каждый элемент множества A является в то же время элементом множества B, т.е. является истинной следующая импликация: (xA)(xB), а множество A называется подмножеством множества B. Множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. одновременно AB и BA. В этом случае является истинной следующая равносильность (xA)(xB). Наряду со знаком включения “” используется также знак “строгого включения, который означает “включено, но не совпадает”. Если AB, то множество A называется собственным подмножеством множества B. Пусть, например, A={1,2,3}, B={1,3}, C={4,5,6}, D={3,2,1}. Тогда BA, причем, также и BA. Утверждение, что СA является неверным. Выполняется отношение DA, но отношение DA уже не выполняется. Множество всех подмножеств множества X имеет специальное обозначение: P(X) и называется экспонентой множества X, в связи с чем используется также обозначение 2X. Например, если X={1,2,3}, то P(X)={,{1},{2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}. Важнейшей характеристикой множества является его мощность , т.е. количество элементов в нем. Мощность множества X обозначается одним из двух возможных способов: как X или как card(X). Например, для множества A из предыдущего примера имеем A=4, что также можно записать в виде card(A)=4, для множества B имеем B=2. Интересным является тот факт, что для любого множества A выполняется равенство: P(A)=2A. Например, для множества A={1,2,3}, для которого A=3, множество P(A) уже было выписано нами ранее и легко видеть, что P(A)=8=2 3 . Мощность пустого множества равна 0: =0. Если BA, то B  A, если же включение строгое: BA, то и неравенство строгое B  A. Над множествами можно выполнять различные операции. К важнейшим из их относятся объединение, пересечение, дополнение, разность и симметрическая разность.

Определение. Пусть даны два множества A и B. Их объединение AB определяется согласно правилу AB={x: xA или xB, пересечение AB - по правилу AB ={x: xA и xB, разность по A\B по правилу A\B ={x: xA и xB}, симметрическая разность AB={x:((xA) и (xB)) или :((xA) и (xB))}. Таким образом, объединение включает все элементы обоих множеств, пересечение- элементы, которые входят в оба множества одновременно, разность- элементы, входящие в первое множество и не входящие во второе, симметрическая разность- элементы, которые не входят одновременно в оба множества.

Пример. Пусть A= 1,2,3,4, B= 3,4,5. Тогда, в соответствии с данным определением будем иметь: AB= 1,2,3,4,5, AB =3,4, A\B =1,2, AB={1,2,5}.

Чтобы определить четвертую важную операцию, дополнение нужно использовать понятие “универсального множества”, т.е. такого множества, которое содержит элементы всех множеств рассматриваемой задачи. Универсальное множество обозначается буквой E.



Определение. Дополнением данного множества A называется такое множество Ad , которое состоит из всех элементов, т.е. элементов универсального множеcтва, не входящих в A. Таким образом, имеем: Ad=E\A={x:xE и xA}. Пусть, например, изучается задача о свойствах натуральных чисел в пределах от 1 до 10. Т.е. универсум в данной задаче имеет вид E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Рассмотрим множество A={2,9,10}. Тогда Аd={1,3,4,5,6,7,8}.

Операции над множествами становятся абсолютно понятными, если использовать аппарат т.н. диаграмм Венна. При этом универсуму E соответствует геометрический квадрат, а различные его подмножества изображаются в виде различных фигур в квадрате. Операции над множествами изображаются следующим образом:

AB AB

A\B Ad




AB

К важнейшим операциям на множествах относится операция AB декартового произведения двух множеств. По определению, это множество всех пар (a, b), где первая компонента берется из множества A, вторая - из множества B. Пусть, например, A={1, 2, f}, а B={2, r}. Тогда AB={(1,2), (1,r), (2,2), (2, r), (f,2), (f,r)}. Легко вычисляется мощность множества AB. Она равняется произведению мощностей множеств A и B:  AB= AB. Так в предыдущем примере  AB=6, A=3, B=2. Интересный пример декартового произведения двух множеств возникает, если взять A={a, b, c, d, e, f, g, h}, а B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. В этом случае множество AB означает набор полей шахматной доски:

Множество может быть описано также с помощью формулы.



Пример. Дан универсум и базовые множества (т.е. некоторые подмножества универсума) . Новое множество задано формулой .Найти состав множества .

Решение. Построим дерево формулы.

Вычислим формулу поэтапно по ее структурному дереву, начиная с нижнего уровня, т.е. с листьев.

Имеем:





Ответ: .

Декартово произведение можно определить и для n множеств A1, A2, …, An, где n2, как множество A1 A2… An всех упорядоченных наборов вида (a1, a2, …, an), причем aiAi для всех i[1:n]. При этом также выполняется соотношение A1 A2… An= A1A2 … An.
Задание 1. Решить задачи на тему операции над множествами.

Во всех последующих задачах универсум имеет состав: {1,2,3,4,a,b,c,d,ee,tt,ww}.

Опираясь на определение базовых операций на множествах найти:

a) -объединение двух множеств;

б) -пересечение двух множеств;

в) -разность первого и второго множества;

г) -разность второго и первого множества;

д) - симметрическая разность двух множеств;

е) - дополнение первого множества;

ж) - дополнение второго множества;

з) - декартово произведениепервого множества на второе;

е) - декартово произведениепервого множества на второе;

и) Множество задано указанной формулой

1) ;

2) ;

3) :

4) :

5) :

6) :

7) :

8) :

9) :

10) :

11) :

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)



Контрольные вопросы

1. Дать определение объединения двух множеств.

2. Дать определение пересечения двух множеств.

3. Привести определение разности двух множеств.

4. Привести определение симметрической разности двух множеств.

5. Привести определение дополнения множества.

6. Дать определение декартового произведения двух множеств.
Лабораторная работа 1.1

Операции в булевской алгебре множеств.

Цель. Научиться выполнять преобразования в алгебре множеств. Научиться выполнять доказательства или опровержения утверждений в алгебре множеств.

Краткие теоретические положения.

Пусть некоторое универсальное множество. Булевской алгеброй на данном универсуме называется кортеж , состоящий из семейства всех подмножеств универсума - носителя алгебры , сигнатуры , состоящей из базовых теоретико-множественных операций - объединения, - пересечения, - разности множеств, - симметрической разности, универсума как единичного элемента алгебры , если умножение в в алгебре понимается как операция пересечения, пустого множества - нулевого элемента алгебры, если сложение понимать как объединение множеств.

Теорема. В булевской алгебре выполняются следующие соотношения (базовые тождества)


1а) AB=BA 1б) AB=BA

Законы коммутативности объединения и пересечения.

2a) A(BC)=(AB) C 2б) A(BC)=(AB) C



Закон ассоциативности объединения и пересечения.

Данный закон позволяет определить тройное объединение множеств как или как , а также тройное пересечение .

3a) A(BC)=(AB) (AC) 3б) A(BC)=(AB) (AC)

Дистрибутивность объединения относительно пересечения и дистрибутивность пересечения относительно объединения.

4a) A=A 4б) AU=A



Свойства нуля и единицы в алгебре множеств.

5a) AAd=E 5б) AAd=



Свойство дополнительности множества и его дополнения в универсуме.

6а) A U=U 6б) A=



Свойство поглощения. Универсум поглощает любое свое подмножество. Свойство мультипликативности нуля, при умножении любого множества на ноль, т.е. на пустое множество, получается 0.

7a) d=E 7б) Ud=



Дополнения нуля и единицы, они взаимно дополнительны в алгебре иножеств.

8a) AA=A 8б) AA=A



Законы идемпотентности объединения и пересечения.

9a) A(AB)=A 9б) A(AB)=A



Законы поглощения, поглощает , поглощает .

10a) (AB)d=AdBd 10б) (AB)d=AdBd



Законы де Моргана.

11) если AB=U и AB= то A=Bd



Логическое определение операции дополнения.

12) Ad=U\A



Выражение операции дополнения через операцию разности множеств.

13) (Ad)d=A



Закон двойного дополнения.

14) A\B=ABd



Выражение операции разности множеста через операцию дополнения.

15) A∆B=(ABd) ( AdB)



Выражение операции симметрической разности через операции пересечения, объединения и дополнения.

16) A∆B=B∆A



Коммутативность симметрической разности.

17) (A∆B) ∆C=A∆ (B∆C)



Ассоциативность симметрической разности.

18) A∆=A



Пустое множество является нулем относительно операции симметрической разности.

19)AB(AB=A)(AB=B) (ABd=)



Логическое определения отношения включения в булевской алгебре. Говорят, что , если выполняется тождество AB=A, или, что равносильно, тождество AB=B, или такде тождество ABd=.

20) A=B( AB) и ( BA)

Опираясь на свойства 1)-20) можно устанавливать другие тождества и решать различные задачи по теории множеств.

Пример. Доказать тождество: A\(A\B)=B\(B\A). Решение: Упростим левую часть тождества. Имеем: A\(A\B) = A( A\B)d (применили свойство 14) = A(ABd)d( еще раз применили свойство 14) = A(AdBdd) (применили закон де Моргана 10б) = A(AdB) (применили свойство 13) = (A Ad) (AB)(применили свойство 3б)= (AB) (применили свойство 5б) = AB (применили свойство 4а). Аналогичными преобразованиями правую част доказываемого тождества приводим к виду BA. Так как AB= BA в силу свойства 1б), тождество доказано.

Пример. Доказать теорему де Моргана (AB)d=AdBd, основываясь на отношении принадлежности. Решение: Имеем цепочку равносильностей: (x(AB)d)  (x(AB))  ((xA) и (xB))  ((xAd) и (xBd))  (x( Ad Bd)), которая и означает, что множества (AB)d и AdBd состоят из одни и тех же элементов, а поэтому совпадают.

К важнейшим операциям на множествах относится операция AB декартового произведения двух множеств. По определению, это множество всех пар (a, b), где первая компонента берется из множества A, вторая- из множества B. Пусть, например, A={1, 2, f}, а B={2, r}. Тогда AB={(1,2), (1,r), (2,2), (2, r), (f,2), (f,r)}. Легко вычисляется мощность множества AB. Она равняется произведению мощностей множеств A и B:  AB= AB. Так в предыдущем примере  AB=6, A=3, B=2. Интересный пример декартового произведения двух множеств возникает , если взять A={a, b, c, d, e, f, g, h}, а B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. В этом случае множество AB означает набор полей шахматной доски:




Пример. Доказать тождество .

Решение. Пусть кортеж . Это означает, что и . В частности отсюда следует, что и , т.е. , а также что и , т.е. . Из последних двух утверждений следует, что . Итак, . Докажем обратное включение. Пусть . Отсюда следует что и . Отсюда следкет что или и , т.е. кортеж . Включение доказано. Включения двух множеств доказаны в обе стороны. Равенство множеств доказано.

Пример. Доказать .

Решение. Пусть . Докажем, что . Предположим противное, т.е. . Это означает, что или . Пусть имеет место первое. Это означает, что . Тогда , но , т.к. ю Но тогда , получли противоречие. Следовательно вариант невозможен. Невозможность варианта доказывается аналогично. Итак, наше предположение, что ошибочно, поэтому. Утверждение доказано.

Пример. Доказать .

Решение. Для доказательства эквивалентности необхлжимо доказать имрликации в обе стороны. Пусть . Докажем, что . Предположим противное. Например, что . Это означает, что . Но для этого элемента тогда выполняется , но тогда . Получили противоречме. Следовательно случай невозможен. Аналогично, невозможно . Итак, , в одну сторону утверждение доказано. Докажем его в обратную сторону. Пусть , но . Получим отсюда противоречие. Если , то . Если , то или . Пусть . Но тогда , отсюда следует, что . Получили противоречие с предположением . Равносильность доказана в обе стороны, утверждение доказпно.

Задание 1. Доказать утверждение в булевской алгебре.

Индивидуальное задание 1.





Утверждение

1

;

2

;

3

;

4

;

5

;

6

;

7

;

8

;

9

;

10

;

11

;

12

;

13

;

14



15

;

16



17

;

18

;

19

;

20

;

21

;

22

;

23

;

24

;

25

;

26

;

27

;

28

;



Логическое определение отношения равенства в алгебре множеств.
Лабораторная работа 2. Множества, задание множества с помощью предиката.

Цель. Научиться по предикату(логическому условию на универсуме) определять поэлементный состав конечного множества.

Задание 1. Дан универсум всех возможных элементов множеств и одноместный предикат , определенный на нем. Определить состав множества , порожденного предикатом , т.е. множества, состоящего из тех элементов универсума, для которых значение предиката истинно, т.е. равно 1.

Выполнить 10 пунктов задания для следующих одноместных предикатов:























Краткие теоретические положения.

Пусть - универсум, т.е. совокупность всех возможных объектов данной задачи. Предикатом , где , называется функция , определенная на универсуме и принимающая два значения: 1- истина и 0-ложь. Множеством , порожденным данным предикатом, называется множество , т.е. множество таких объектов, для которых данный предикат истинен.



Пример. Пусть - множество студентов вуза, универсум данной задачи. Универсум состоит из объектов вида , где -некоторый студент данного вуза. Объект обладает рядом характеристик, полей. Например имеется поле .возраст- возраст данного студента. Рассмотрим предикат , т.е. предикат принимает значение 'истина' для студентов не младше 18 лет и только для таких студентов. Тогда множество - это множество студентов данного вуза, которые не младше 18 лет. Т.е. .

При построении необходимых предикатов используюся логические функции, т.е. функции, принимающие значения в множестве {0,1}. Основными в двузначной логике являются следующие функции. Отрицание – функция , принимающая значения 1, когда , и значение 0, когда . Дизъюнкция – функция , принимающая значение 0 тогда и только тогда, когда оба аргумента имеют значение 0. Конъюнкция – функция , принимающая значение 1 тогда и только тогда, когда оба аргумента имеют значение 1. Импликация – функция , равная 0 тогда и только тогда, когда , , т.е. посылка выполняется, а заключение нет. В остальных случаях импликация равна 1, т.е. не нарушается. Равносильность это функция , равная 1 тогда и только тогда, когда значения ее аргументов совпадают, т.е. оба равны 0 или оба равны 1. При разных значениях аргументов равносильность равна 0.



Пример. Пусть . Т.е. универсумом данной задачи является множество натуральных чисел. Пусть дан предикат . Требуется найти множество , т.е. множество истинности данного предиката. Рассмотрев выражение для P(x) определяем, что , если - натуральное число, которое больше 10, не больше 20 и которое делится на 5. Получаем . Т.е. данному набору требований удовлетворяет только одно число 15. Множество {15}и служит ответом в данной задаче.

При построении множеств используются также предикаты от нескольких агргументов. Предикатом (n-местным) от n переменных называется функция, принимающая значения 0 и 1. Например, - двуместный предикат, определенный на , означающий , т.е. тот факт, что первый аргумент данного предиката не меньше второго. Так Q(3,4)=0, т.к. высказывание ложно, Q(5,1)=1, т.к. высказывание истинно. Предикат становится высказыванием, если вместо n его аргументов подставить определенные значения. Предикат называется 0 – местным, если он вообще не имеет аргументов, т.е. является просто высказыванием. Из n-местного предиката стандартным образом образуются (n-1) местные, путем использования специальных знаков называемых кванторами, “” - квантор всеобщности и “” - квантор существования. Например, применение знака “” к аргументу x в вышеописанном предикате Q приводит к образованию одноместного предиката , определенного на множестве N натуральных чисел, причем - верно, а - т.е. неверно, т.к. не для всех выполняется свойство , например если не выполняется. Поэтому построенный одноместный предикат характеризуется значениями Q1(1)=1, Q1(y)=0, при y = 1. К двуместному предикату Q(x,y) можно применить также квантор “” - квантор существования. Тогда получаем другой одноместный предикат . Предикат Q2(y) равен 1 при всех значениях y, т.к. для любого числа у всегда найдется такое х, что . Таким образом, Q2(y) =1 при всех у. Итак, применение кванторов, существования () и всеобщности () приводит к уменьшению местности предиката на 1. Переменная, которая стоит под знаком квантора, называется связанной (в предыдущих примерах – это х), от неё полученный новый предикат (кванторный предикат) не зависит. Остальные переменные – свободные. Если в кванторном предикате остались свободные переменные, то к нему можно применять кванторы по оставшимся свободным переменным до тех пор, пока все переменные не окажутся связанными. В этом случае получаем высказывание. Пусть, например, - 0 –местный предикат, в котором все переменные связаны, т.е. это высказывание и Q3 имеет определенное значение 0 или 1, ложь или истина. В словесной форме читается как “ существует натуральное число у такое, что для всех натуральных чисел х выполняется неравенство ”. Ясно, что значением Q3 является 1, истина, т.к. можно взять у=1, т.е. указать тот элемент, о существовании которого утверждается.

Пример. - универсум данной задачи, т.е. отрезок множества натуральных чисел от 3 до 20, включающий все натуральные числа в указанном промежутке, включая данные. Дан двухместный предикат, определенный на , имеющий вид , т.е. предикат истинен на паре чисел тогда и только тогда, когда числа различны и первое число в данной паре делится нацело на второе, Дан предикат , получаемый применением квантора существования по переменной к исходному предикату . Требуется найти множество , т.е. множество истинности предиката . Для этого заметим, что тогда и только тогда, когда для данного числа существует число , которое является делителем числа . Т.е. в множество необходимо включать те числа, которые имеют делители в этом же множестве, отличные от данного числа. К таким относятся: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20. Таким образом, получаем ответ: ={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}.
Пример выполнения задания.

{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,17,18,19,20}.



- принадлежит , больше 3, меньше или равно 8 и четно.

Ответ: ={4,6,8};



Упростим второе условие



, т.к. - целое.

- принадлежит , больше 1, меньше или равно 5 и четно.

Ответ: ={2, 4};



Упростим первое условие.



;

Упростим второе условие.



;

- принадлежит , больше 4, меньше или равно 6 и нечетно.

Ответ: ={5};



Упростим первое условие.



Упростим второе условие.



;

- принадлежит , больше или равно 4, меньше или равно 6 и при делении на 3 дает остаток 1.

;

5=3∙1+2, 21;

6=3∙2+0, 01;

Ответ: ;





- принадлежит и таков, что существует , причем , такое, что делится нацело на .

Проверяем каждое число.



{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,17,18,19,20}.

2- нет; 3- нет; 4=2∙2, 2- да, 5- нет, 6=2∙3, 2- да,

7- нет, 8=2∙4, 4- да, 9=3∙3, 3- да, 10=2∙5, 2- да,

11- нет, 12=2∙6, 2- да, 13- нет, 17-нет, 18=2∙9, 2- да, 19- нет, 20=2∙10, 2- да.

Ответ: {4, 6, 8, 10, 12, 18, 20}.



- принадлежит , четно и или больше 8 или меньше или равно 4.

Ответ: {2, 4, 10, 12, 18, 20}.





- принадлежит , и таков, что меньше всех квадратов элементов универсума . Это равносильно, чтобы был меньше наименьшего такого квадрата, т.е. числа .

Ответ: {2, 3}.





- принадлежит и таков, что существуют , такие, что выполняется условие , т.е. элемент можно представить в виде суммы каких либо элементов из множества .

Проверяем каждое число.



{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,17,18,19,20}.

2- нет, 3- нет, 4=2+2- да, 5=2+3- да, 6=2+4- да, 7=2+5- да, 8=2+6- да, 9=2+7- да, 10=2+8- да, 11=2+9-да, 12=2+10- да, 13=2+11- да, 17=4+13- да, 18=6+12- да, 19=6+13- да, 20=2+18- да.

Ответ: {4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,17,18,19,20}.



- принадлежит и таков, что для всех выполняется условие , т.е. элемент нельзя представить в виде произведения каких либо элементов из множества .

Проверяем каждое число.



{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,17,18,19,20}.

2- да, 3- да, 4=2∙2-нет, 5- да, 6=2∙3-нет, 7- да, 8=2∙4-нет, 9=3∙3-нет,

10=2∙5-нет, 11- да, 12=2∙6-нет, 13- да, 17- да, 18=2∙9-нет, 20=2∙10-нет.

Ответ: {2,3,5,7,11,13,17,19}.





- принадлежит и таков, что существуют , такие, что выполняется условие , т.е. элемент можно представить в виде произведения каких либо элементов из множества , причем должно выполняться также дополнительное условие, что эти элементы должны быть больше 1.

Проверяем каждое число.



{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,17,18,19,20}.

2- нет, 3- нет, 4=2∙2-да, 5- нет, 6=2∙3-да, 7- нет, 8=2∙4- да, 9=3∙3-да,

10=2∙5-да, 11- нет, 12=2∙6-да, 13-нет, 17- нет, 18=2∙9-да, 20=2∙10-да.

Ответ: {4,6,8,9,10,12,20}.

следующая страница >>