Федеральное государственное автономное образовательное

Правительство Российской Федерации

учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский университет

"Высшая школа экономики"»

Санкт-Петербургский филиал федерального государственного

автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"»

Факультет экономики
Кафедра экономической теории

БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА

На тему: «Симметрия в высокочастотном финансовом диапазоне»

Направление экономика

Студент группы № 142

Лекомцев Михаил Алексеевич
Научный руководитель

доцент, к.ф-м.наук,

Рассказов Сергей Вениаминович

Санкт-Петербург

2013

Введение

Современные фондовые рынки вступили в новую технологическую фазу. Быстрое развитие области компьютерных вычислений и биржевой инфраструктуры, базируясь на высоком уровне ликвидности, способствовало возникновению алгоритмической торговли и позволило совершать огромное число сделок за короткий промежуток времени. В итоге, появилось абсолютно новое направление в финансах - высокочастотные финансы (англ. high frequency finance, HFF), анализ которых представляет наибольший интерес современных трейдеров. Высокочастотный диапазон в финансах – это рыночная информация (цена, доходность, волатильность и т.д.), временная характеристика которой начинается от секунд до нескольких часов.

В процессе открытия всё новых горизонтов инвестирования, в финансах актуализируется применение фундаментальных научных разработок из других наук. Одной из важнейших смежных наук является эконофизика, изучающая явления в финансах и экономике с точки зрения физических процессов, неотъемлемой составной частью которой является принцип симметрии.

Принимая во внимание огромное фундаментальное значение принципа симметрии в физике и схожести процессов, протекающих в высокочастотном финансовом диапазоне, особый интерес вызывает применение данного принципа в разработке алгоритмических торговых систем, которые являются ключевым элементом взаимодействий в высокочастотном финансовом диапазоне.

Исходя из этого, целью исследования является определение симметрии в распределении доходностей финансового инструмента в высокочастотном финансовом диапазоне на российском фондовом рынке с последующим применением результатов в расчетах рыночной волатильности.

Согласно поставленной цели исследования, авторы выдвинули следующие задачи:

определить на основе определенных критериев финансовые инструменты, которые будут исследованы на предмет наличия симметрии;
написать программный код в среде MATLAB для совершения процедуры анализа эмпирических рыночных данных с помощью теоретических;
провести анализ эмпирических доходностей в высокочастотном диапазоне с использованием нескольких видов распределений (alpha-stable, normal inverse Gaussian, normal, hyperbolic);
провести моделирование взаимодействия участников фондового рынка для определения природы рыночных распределений;
определить наличие симметрии распределений в высокочастотном диапазоне;
применить полученные результаты в процедуре оценки рыночной волатильности.

Предметом исследования является симметрия в высокочастотном финансовом диапазоне.

Планируемые методы исследования:

анализ учебно-научной литературы по заданной теме;
математико-статистический, количественный и стохастический анализ и обработка собранных показателей, а именно котировок финансовых инструментов российской биржи ММВБ-РТС;

Следует отметить, что степень разработанности данной темы в русскоязычной литературе крайне низка. Практически отсутствуют какие-либо результаты исследований российского фондового рынка в рамках данной предметной области. Поэтому её неразработанность только увеличивает актуальность данной темы.

Структура работы поделена на теоретическую и практическую составляющие. В первой главе рассматривается физика принципа симметрии, анализируются характеристики высокочастотного диапазона, описываются виды используемых распределений. Вторая глава состоит из практических аспектов моделирования взаимодействия участников фондового рынка и определения симметрии в высокочастотном финансовом диапазоне на российском фондовом рынке. В заключительной части подводится итог проделанной работы.

Следует отметить, что фундаментальная часть настоящего исследования была удостоена первого места на Втором Всероссийском конкурсе студенческих работ “Развитие финансовых рынков в России” при поддержке биржи ММВБ-РТС.

1. Принцип симметрии и особенности высокочастотного финансового диапазона

1.1 Принцип симметрии в различных областях науки

Фундаментальные свойства и законы характерно встречаются во многих областях науки, которые выгодно отличаются универсальностью выбора предметного поля. Иными словами, законы, описывающие явления в одной науке, могут быть апробированы в описании и понятии явлений из абсолютно другой. К таковым идеям, безусловно, относится принцип симметрии. Данный принцип нашел самое распространённое применение в статистической физике, позволяя численно описывать многие явления: начиная от фундаментальных законов природы и заканчивая моделированием интенсивного потока от импульса грунтовых вод¹. Фундаментально, симметрия – это инвариантность относительно группы преобразований². Для более детального описания группы преобразований целесообразно рассмотреть пример из геометрии.

Рассмотрим две некие геометрические фигуры A₁ и A_2. В случае совершения над заданными фигурами операций параллельного переноса, вращения и других схожих операций, то в A₁ и A₂ остается сохранным расстояние ρV1;V2= (x1-x2)2+(y1-y2)2 между соответствующими двумя точками V₁(x₁,y₁) и V₂(x₂,y₂) до и V_1,2^’(x_1,2’,y_1,2^’) после движения. Принято считать, что фигуры будут равными, если их возможно совместить при указанных операциях. В традиционной евклидовой геометрии именно расстояние является инвариантом, в основе которой лежит ортогональная группа преобразований координат точек.

Детализируем определение группы преобразований на рассмотренном примере. Совокупность SymA всех движений , которые обращают фигуру A саму в себя, образуют группу симметрии фигуры A при выполнение следующих условий:

тождественное преобразование id (единичный элемент e группы) принадлежит множеству SymA;
существует обратное преобразование  ^-1 (обратный элемент группы), которое также переводит фигуру в себя:   SymA 

 ^-1  SymA.

Последовательное выполнение движений (преобразований)   SymA и   SymA переводит A в себя. Указанная композиция (операция группового умножения o) движений записывается как  o   SymA, при этом  o ^-1= ^-1o=e и  o e=e o=.

Композиция трех преобразований не зависит от порядка их выполнения (ассоциативна), то есть ( o) o  =  o( o ).

Переходя к определению понятия самоподобия, которое будет фигурировать в тексте настоящей работы, следует рассмотреть пример простой степенной зависимости вида y = (x)^H = e^H^^ln(x), сохраняющейся в широком диапазоне масштабов значений входной переменной x. Данная функция симметрична относительно мультипликативных преобразований xx. Данная функция обладает свойством самоподобия (его часто также связывают с фракталами, о которых более подробно будет описано далее): y’=(x)^H=^Hy. Происходит сохранение формы выражения y вплоть до константы ^H с масштабом  переменной x. Обобщенно функция y(x)=M()y, где M() есть случайная функция масштаба. Обозначая H()=log_(M()), последнее выражение переписывается в виде y(x)=^H⁽^⁾y. Именно здесь допускается зависимость H от времени, которое играет одну из главных ролей в большинстве процессов, протекающих в экономике и финансах. Аналогичные соображения, примененные к случайным временным рядам, приводят к самоподобным и мультифрактальным процессам.

Целесообразно проиллюстрировать принцип симметрии на нетривиальном примере прямой линии. Прямая это особое множество точек в пространстве: при любом изменении масштаба получится то же самое множество точек. Кроме того, произведя над прямой параллельный перенос, вновь получится полностью аналогичное множество точек. Иными словами прямая линия инвариантна относительно параллельного переноса и изменения масштаба. Благодаря этому, симметрия явно пересекается с понятием фрактал и фрактальной геометрии.

Фрактал³ - это геометрическая фигура, отдельные части которой, полученные с помощью афинных преобразований, подобны фигуре в целом, т.е. части фигуры самподобны между собой и вся фигуры в целом самоподобна составляющим частям. В традиционной математике фрактал можно определить как множество точек в евклидовом пространстве, которые обладают дробной размерностью Хаусдорфа – Безиковича⁴, являющейся единственным известным методом определения размерности подмножества в евклидовом множестве. Кроме того, фрактал имеет размерность Хаусдорфа – Безиковича большую, чем топологическая размерность. Так, в евклидовой геометрии множество точек, образующих линию, обладают размерностью d = 1 (т.к. линия одномерный объект); множество точек, образующих поверхность, имеют размерность d = 2 и так далее. Иными словами все привычные геометрические фигуры имеют целочисленную размерность. Именно размерность Хаусдорфа – Безиковича имеет свойство описывать степень неоднородности контура как классических геометрических фигур, так и фракталов. Определим математически размерность Хаусдорфа – Безиковича, в которой центральное место занимает расстояние между точками в пространстве⁵.

В евклидовом пространстве существует множество G с размерностью d. Исследуемое множестве наполняется геометрическими кубами с размерностью d, при условии, что длина ребра рассматриваемых кубов не превышает некого значения ∂, то есть ∂_I d и ∂:

L_d(∂) = in∂i

Следует отметить, что нижняя грань рассматриваемой суммы равна следующему выражению:

Ld ∂=infi, ∂i

Легко заметить, что уменьшая максимальную длину ∂, при сохранении достаточно большого значения d, будет соблюдаться следующий предел:

lim∂→0Ld (∂) → 0

В то же время при малом значении d следующий предел выполняется:

lim∂→0Ld (∂) → ∞

Размерностью Хаусдорфа - Безиковича являются пограничные значения параметра d_x , для которого справедливо выражение:

lim∂→0Ld∂= 0, d> dx∞, d

Одним из наиболее известных видов геометрических фракталов, который проявляет инвариантность относительно аффинных преобразований, является кривая Коха⁶. Это фрактальная кривая, которая была открыта шведским математиком Хельге фон Кохом в 1914 году. Размерность Хаусдорфа - Безиковича рассматриваемой фрактальной структуры определяется соотношением:

D= LnkLnl≈1,2619,

где:

k – число элементов,

l – относительвый размер элементов.

Графически кривая Коха представляется следующим образом (рассмотрен случай для 4 итераций):

Рисунок . Кривая Коха до 4 уровня итерации.

Практическое применение кривой Кохи было найдено, в частности, в определении длины береговой линии, описанное Бенуа Мандельбротом⁷.

Помимо геометрических фигур свойствами самоподобия и аффинной инвариантности обладает целый класс функций, открытый ученым Карлом Вейерштрассом и в дальнейшем более детально изучен Бенуа Мандельбротом. Функция Вейерштрасса это пример непрерывной недифференцируемой функции. Аналитически рассматриваемая функция имеет следующий вид:

wx= n=0∞bn*cos(anπx),

где:

a – произвольное нечетное число,

b – положительное число, меньше единицы.

Графически функция представлена на Рис.2. Можно отчетливо наблюдать, что при увеличении масштаба функция остается полностью самоподобна, что доказывает её фрактальный характер. Наличие данной характеристики позволило функции Вейерштрасса найти обширное применение в функциональном анализе и решении дифференциальных уравнений высших порядков.

Рисунок . Пример графика функции Вейерштрасса. Увеличенное изображение участка графика находится в красном кругу, доказывая самоподобие функции.

Рассмотренные выше примеры характеризуют симметрию и самоподобие, а, следовательно, и инвариантность по масштабу только лишь с точки зрения аффинных преобразований. Но большинство комплексных нетривиальных процессов имеют одно важнейшее отличие от рассмотренных примеров – это фактор времени. Несмотря на всю сложность описания, существуют процессы, которые обладают симметрией относительно изменения времени. Именно такого рода процессы наиболее актуальны в рамках настоящего исследования и имеют непосредственное происхождение в финансах и экономике.

Утверждение, что то или иное явление стационарно, то есть не зависит от времени, очевидно, очень содержательно: нет нужды прослеживать эволюцию и фиксировать свойства процесса, которые могут изменяться во времени. Столь же содержательно понятие автомодальность, которое перекликается с понятиями симметрии и самоподобия, а также активно применяется в статистической физике. Автомодельность⁸ означает, что пространственные распределения характеристик изучаемого процесса или явления (в физике, к примеру, это скорость течения, напряжение, сила тока и так далее) изменяются во времени, но оставаясь геометрически подобным после специализированных преобразований. В качестве примера автомодельного процесса, свойства которого на разных интервалах времени привести к единому образцу, можно привести процесс из статистической физики, в которой такого рода процессы стали впервые изучаться.

В книге Баренблатта “Автомодельные являения” подробно рассматривается распределение процесса течения грунтовых вод после сильного заводнения. Статистические распределения процесса с разными значениями свободного коэффициента с, характеризующего силу напора, представлены на Рис.3. Абстрагируясь от математического объяснения процесса, изучается одномерный случай, когда все характеристики напора течения H(x,t) зависят от горизонтальной пространственной координаты (x) и времени (t). На Рис.3 можно наблюдать, что в различные моменты времени (отмечено на Рис.3 сплошными линиями) распределения процесса различны.

Рисунок . Процесс временной последовательности напора H(x,t), зависящая от времени, в естественных координатах для разных параметров свободного коэффициента с

Знание распределения напора течения грунтовых вод дает возможность создания максимально прочных оградительных сооружений (дамбы, к примеру). Но в ходе исследования возникло предположение, что рассматриваемый процесс автомоделен и не зависит от времени. В качестве проверки данной гипотезы был проведен численный эксперимент, описанный Баренблаттом. Суть эксперимента заключается в том, что было введено начальное условие для исследуемого процесса H(x,t):

Hx,0= Il*f0xl, I= -llHx,0dx

где:

H – процесс напора течения грунтовых вод,

x – пространственная координата,

l – расстояние между пространственными координатами,

f – функция в виде прямоугольника, значения которой либо 1, либо 0.

При условии, что l конечно, пространственную координату и время можно перенормировать, так что в численном эксперименте было взято значение l = 1. Результаты эксперимента оказались показательными: для всех значений параметра c было обнаружено, что процессы H(0,t) и x_f(t) при больших значениях параметра времени t стремятся к степенным законам вида:

H0,t= A(kt)-α, xft=B(kt)μ

Учитывая факт к стремлению к степенным законам, описанным выше, логично произвести нормировку исходных процессов H(x,t) и отобразить их в “приведенных” координатах x/x_f(t) и H(x,t)/H(0,t). Результат отображения представлен на Рис.4

Рисунок . Представление распределения процесса напора течения грунтовых вод в нормировке.

На рис.4 можно видеть, что временные последовательности для напора воды H(x,t), построенные в приведенных координатах, коллапсируют вне зависимости от времени и свободного коэффициента с к единой параболе вида:

H(x,t)H(0,t)=1- x2xf2

Наличие автомодельности процесса открывает новые перспективы в моделировании и создания более прочных защитных сооружений и конструкций. Кроме того, данный пример, взятый из статистической физики, наглядно демонстрирует возможность инвариантности статистического процесса относительно временного фактора, что в дальнейшем будет апробировано на финансовых данных.

Рассмотрев понятие симметрии под призмой геометрических и физических примеров, необходимо исследовать наличие инвариантности и самоподобия в экономической науке, что представляет наибольший практический интерес в настоящей работе. Но, несмотря на явную плодотворность идеи симметрии в перечисленных выше и иных направлениях науки, о применении данного метода в экономике известно не столь много. Между тем стохастические процессы ценового движения на мировых фондовых рынках заставляют внедрять в финансовые расчеты методы формализации и анализа наподобие существующих в релятивисткой физике. На стыке наук интенсивно развивается новое направление – “Эконофизика”, неотъемлемой составной частью которой является принцип симметрии.

На данный момент в экономической науке аккумулировано существенное число фактов, в которых прослеживаются черты инвариантности к каким-либо изменениям⁹. Суть автомодельности в большей части изученных фактов в экономике сводится к тому, что некоторые характеристики исследуемого процесса с точностью до константы сохраняются при преобразованиях растяжения или сжатия некоторого аргумента следующего вида:

X→β*X

В вышестоящем выражении в качестве переменной X может выступать время, численность населения или любой другой экономический фактор.

Рассмотрим принцип симметрии на одном из самых тривиальных примеров из области финансов, а именно на примере формулы сложных процентов¹⁰. Формула сложных процентов имеет следующий вид:

S=P* eρ∆,

где:

∆ = t₂ – t₁,

P – современная стоимость денежных средств, т.е. в момент времени t₁,

S – будущая стоимость денежных средств, т.е. в момент времени t₂,

ρ – сила роста.

Аналогично случаю проявления симметрии при аффинных преобразованиях, в случае с формулой сложных процентов она остается неизменной при сдвиге границ временного окна, то есть:

∆ =t2±τ-t1±τ=t2-t1

Автомодальность формулы проявляется в инвариантности относительно преобразования t → t ± τ. Из-за этого свойства будущая стоимость денежных средств зависит только от продолжительности временного окна или разности между начальной и конечной датами, а не от самих значений дат.

Другим, более интересным в рамках настоящего исследования, примером является распределение процесса разности цен на финансовые активы, который, как выяснилось, имеет почти полную аналогию с описанным выше процессом течения грунтовых вод. Но на данный момент не существует модели стохастического процесса, описывающего временную эволюцию логарифма цены, которая была бы принята всеми исследователями. Результаты недавних эмпирических исследований¹¹ показывают, что возможно ответить на следующие вопросы, которые важны для данного исследования:

имеется ли самоподобие в реальных рыночных данных и какова его природа;
в каком временном интервале имеет место симметрия или самоподобие.

Интересные результаты исследования приведены в работе авторов Wang и Hui “The distribution and scaling of fluctuations of Hang Seng index in Hong Kong stock market”, которые доказывают, что частотные распределения биржи Гонконга самоподобны на различных временных интервалах, то есть после поправки на масштабный коэффициент (аналогично случаю процесса течения напора грунтовых вод) они имеют почти одинаковую форму.

Рисунок . Функции плотности распределения вероятности изменений цены для индекса Hang Seng, рассчитанные для разных временных горизонтов Δt = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 мин.

Как видно из Рис.5, без применения преобразований, распределения на разных временных промежутках не является симметричным, которые имеют толстые хвосты, высоко лептоэксцессны и характеризуются негауссовским профилем для малых индексных изменений. Далее авторы рассматривают вероятность возврата к начальному значению, рассчитанному как функция от временного интервала ∆t, находят наклон прямой и затем рассчитывают индекс α и масштабный фактор γ для проверки наличия самоподобия между временными интервалами. В итоге, после масштабных преобразований, была подтверждена масштабная симметрия. Графически симметрия представлена на Рис. 6. Распределения доходностей за разные временные промежутки накладываются друг на друга, что означает автомодальность рассматриваемого процесса относительно фактора времени.

Рисунок . Функции плотности вероятности после скейлинговых преобразований функций, представленных на Рис.5.

Исследование симметрии и её примеров в разных научных группах и, в особенности, в финансах позволяет утверждать обоснованность дальнейшего изучения явления на примере рыночных процессов на российском фондовом рынке с последующим практическим применением и апробацией.
следующая страница >>

Оглавление

Введение

1. Принцип симметрии и особенности высокочастотного финансового диапазона

1.1 Принцип симметрии в различных областях науки