Сборник задач для практических занятий по физике

Статистический метод позволяет вскрывать атомно-молекулярный механизм процессов в макросистемах, обосновывать выводы термодинамики, устанавливать границы их применимости, решать задачи, неразрешимые методами термодинамики (например, вывод уравнения состояния макросистемы, описание явлений переноса).
Вопросы для экспресс контроля.

Какой газ называется идеальным? Опишите атомно-молекулярную модель идеального газа.
Что такое средняя квадратичная скорость молекул?
Приведите и поясните основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газ.
В чем смысл абсолютной температуры с точки зрения молекулярно – кинетической теории.
Какие явления называются явлениями переноса? Какие явления переноса вы знаете?
Что такое диффузия? В чем заключается закон Фика?
Что такое теплопроводность? Сформулируйте закон Фурье.
Дайте понятие вязкости. Сформулируйте закон Ньютона для вязкости.
Как зависят коэффициенты диффузии, вязкости и теплопроводности от давления и температуры идеального газа?
Как связаны между собой коэффициенты диффузии, вязкости и теплопроводности идеального газа?

Найти молярную массу и число степеней свободы молекул газа, если известны его удельные теплоемкости: Дж/(гК) и Дж/(гК).
Теплоизолированный сосуд с газообразным азотом при температуре ⁰С движется со скоростью м/с. Как и на сколько процентов изменится давление газа после внезапной остановки сосуда?
*Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в раза?
Газ из жестких двухатомных молекул, находившийся при нормальных условиях, адиабатически сжали в раза по объему. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекулы в конечном состоянии.
Найти среднюю длину свободного пробега и среднее время между столкновениями молекул газообразного азота, находящегося:

при нормальных условиях;
при температуре ⁰С и давлении нПа (такое давление позволяют получать современные насосы)?

Идеальный газ совершает политропический процесс с показателем политропы . Найти среднюю длину свободного пробега и число столкновений каждой молекулы ежесекундно как функцию:
1. объема V;
2. давления P;
3. температуры Т;
*Идеальный газ с молярной массой находится в тонкостенном сосуде объемом , стенки которого поддерживаются при постоянной температуре . В момент времени в стенке сосуда открыли малое отверстие площадью S, и газ начал вытекать в вакуум. Найти концентрацию газа как функцию времени , если в начальный момент времени .
В результате некоторого процесса коэффициент вязкости идеального газа увеличился в раза, а коэффициент диффузии – в раза. Как и во сколько раз изменилось давление газа?
Найти показатель политропы процесса, совершаемого идеальным газом, при котором остается неизменным коэффициент: а) диффузии; б) вязкости; в) теплопроводности.
Газ заполняет пространство между двумя длинными коаксильными цилиндрами, радиусы которых и , причем . Внутренний цилиндр неподвижен, а внешний вращают с достаточно малой угловой скоростью . Момент сил трения, действующих на единицу длину внутреннего цилиндра равен . Найти коэффициент вязкости газа .
*Найти распределение температуры в пространстве между двумя коаксильными цилиндрами с радиусами и , заполненном однородным теплопроводящим веществом, если температуры цилиндров постоянны и равны соответственно и .
Определить толщину льда, образующегося в течении заданного времени на спокойной поверхности озера. Считать, что температура Т окружающего воздуха все время постоянна и равна температуре наружной поверхности льда (Тпл, где Т_пл – температура плавления льда). Произвести численный расчет, предполагая, что Т=263 К. Для льда коэффициент теплопроводности равен 2,22 Дж/(с·м·К), удельная теплота плавления льда Дж/кг, плотность кг/м³.
Сферический кусок льда (с начальным радиусом см) погружен в большую массу воды с температурой 10⁰С. Предполагая, что теплопередача в жидкости связана только с ее теплопроводностью, определить время , в течении которого лед полностью растает. Теплопроводность воды Дж/(с·см·⁰С), удельная теплота плавления льда Дж/г.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА
Цель – понять, что и на какой основе изучает статистическая физика; как выражаются средние по ансамблю значения макроскопических характеристик термодинамических систем.
Указания к самостоятельной работе.
Изучить теоретический материал по конспекту лекций и учебным пособиям [4, стр. 310-324; 2, стр. 107-114]. Обратите внимание на то, в каких условиях статистические закономерности имеют смысл, что такое макросостояния и микросостояния системы, что понимают под статистическим ансамблем и почему усреднения по ансамблю значения макрохарактеристик можно рассматривать как истинные.
Вопросы для экспресс – контроля.

Приведите распределения Максвелла по компонентам импульсов, по величине импульсов.
Приведите распределения Максвелла по компонентам скоростей, по величине скорости.
Обоснуйте основные свойства распределения Максвелла по скоростям. Какова роль молекул хвостовой части распределения?
Как изменяется кривая распределения молекул по скоростям с увеличением температуры?
Что такое наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости и посредством каких математических операций можно получить формулы для их определения из распределения Максвелла?
Какие две тенденции действуют в газе, находящемся во внешнем потенциальном поле?
Приведите распределение Больцмана и поясните его смысл.

В опыте Штерна (см рис.) на поверхности вращающегося цилиндра С конденсируются молекулы серебра с различными скоростями. Каким скоростям молекул, попадающих на пластинку ДД’, соответствует наибольшее почернение?
*Найти относительное число молекул газа, скорости которых отличаются не более чем на от значения:

наиболее вероятной скорости;
средней квадратичной скорости.

Определить с помощью распределения Максвелла давление, оказываемое газом на стенку, если температура газа и концентрация молекул .
*Газ состоит из молекул массы и находится при температуре . Найти с помощью распределения Максвелла по скоростям соответствующее распределение молекул по кинетическим энергиям . Определить наиболее вероятное значение кинетической энергии . Соответствует ли наиболее вероятной скорости?
*Какая часть молекул газа, находящегося при температуре , имеет кинетическую энергию поступательного движения большую, чем , если ?
Распределение молекул по скоростям в пучке, выходящем из отверстия в сосуде, описывается функцией , где – температура газа внутри сосуда. Найти наиболее вероятные значения:

скорости молекул в пучке; сравнить полученную величину с наиболее вероятной скоростью в самом сосуде;
кинетической энергии молекул в пучке.

При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обнаружено, что среднее их число в слоях, расстояние между которыми мкм, отличается друг от друга в раза. Температура среды К. Диаметр частиц мкм и их плотность на г/см³ больше плотности окружающей жидкости. Найти по этим данным число Авогадро.
*В длинном вертикальном сосуде находится газ, состоящий из двух сортов молекул с массами и , причем . Концентрации этих молекул у дна сосуда равны соответственно и , причем . Считая, что по всей высоте поддерживается одна и та же температура и ускорение свободного падения равно , найти высоту , на которой концентрации этих сортов молекул будут одинаковыми.
*В очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде находится углекислый газ при некоторой температуре . Считая поле тяжести однородным, найти, как изменится давление газа на дно сосуда, если температуру газа увеличить в раз.
Горизонтально расположенную трубку с закрытыми торцами вращают с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его торцов. В трубке находится углекислый газ при температуре Т=300⁰ К. Длина трубки см. Найти значение , при котором отношение концентраций молекул у противоположных торцов трубки .

КВАНТОВЫЕ СТАТИСТИКИ. ПОНЯТИЕ ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЙ. ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В МЕТАЛЛАХ

Цель – понять, в чем различие статистичности в квантовой механике и в классической статистической физике, научиться применять квантовые статистики Ферми-Дирака и Бозе – Эйнштейна для описания коллективных свойств микрочастиц.
Указания к самостоятельной работе.
Подготовиться к занятию, изучив теоретический материал по конспекту лекций и учебным пособиям [3, стр. 157-165, 179-184; 2, стр. 488-496]. Обратите внимание на то, что по своим коллективным свойствам микрочастицы подразделяются на бозоны и фермионы. Распределение фермионов по квантовым состояниям определяется принципом Паули, в соответствии с которым в одном квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона. При этом, квантовая статистика фермионных газов описывается распределением

и называется статистикой Ферми-Дирака.

В отличие от фермионов, бозоны могут накапливаться в одном состоянии, при этом квантовая статистика бозонов описывается распределением

и называется статистикой Бозе-Эйнштейна.

Вопросы для экспресс – контроля.

Какие физические объекты описываются статистикой Ферми-Дирака? Что такое энергия Ферми?
Как выглядит кривая распределения фермионов по энергиям при абсолютном нуле температуры? Что происходит с кривой распределения при повышении температуры?
Что такое вырожденный электронный газ в металлах?
Дайте понятие плотности состояний. Как определяется платность состояний для вырожденного электронного газа?
Что такое температура вырождения?
Как определяется энергия Ферми, средняя энергия электронов проводимости в металлах?
Какие физические объекты описываются статистикой Бозе-Эйнтшейна?

*Определить концентрацию свободных электронов в металле при температуре К. Энергию Ферми принять равной 1 эВ.
*Определить вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся в интервале эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми, для двух температур:

*Электроны в металле находятся при температуре К. Найти относительное число свободных электронов, кинематическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на 2%.
Оценить температуру вырождения для калия, если принять, что на каждый атом приходится по одному свободному электроны. Плотность калия равна 860 кг/м³.
*По функции распределения электронов в металле по импульсам установить распределение электронов по скоростям:

при любой температуре;
при К.

Выразить среднюю скорость электронов в металле при К через максимальную скорость. Вычислить среднюю скорость электронов для металла, уровень Ферми которого при К равен 6 ЭВ.
*Выразить среднюю квадратичную скорость электронов в металле при К через максимальную скорость электронов. Функцию распределения электронов по скоростям считать известной.

ТЕПЛОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ В КРИСТАЛЛАХ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ КРИСТАЛЛОВ.

Цель – понять, что многие физические явления в твердых телах связаны с колебаниями атомов кристаллической решетки и передачей возбуждения от одного атома к другому в виде упругих волн звукового диапазона.
Указания к организации самостоятельной работы.
Подготовьтесь к занятию по конспекту лекций и учебным пособиям [3, стр. 167-174; 2, стр. 497-500]. Обратите внимание на то, что в основе классической теории теплоемкости твердых тел лежит закон о равнораспределении энергии по степеням свободы. Твердое тело рассматривается как система независимых друг от друга атомов, имеющих три степени свободы и совершающих колебания с одинаковой частотой. Согласно этой теории молярная теплоемкость всех твердых тел одинакова и не зависит от температуры (закон Дюлонга - Пти), что противоречит результатам эксперимента, особенно в области низких температур, и приводит к выводу о необходимости учета квантомеханических эффектов в теории теплоемкости

В квантовой теории теплоемкости твердых тел, разработанной Эйнштейном, кристалл рассматривается как система атомов, каждый из которых является квантовым гармоническим осциллятором и совершает колебания, независимо от других с частотой . При этом средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы квантового гармонического осциллятора , полученное в рамках этой теории выражение для молярной теплоемкости твердых тел

лишь качественно описывает зависимость теплоемкости от температуры. Количественная теория теплоемкости Эйнштейна расходится с данными эксперимента, особенно в области низких температур, что обусловлено тем, что атомы не могут колебаться с одинаковой частотой независимо друг от друга.

В теории Дебая учитывается, что система колеблющихся атомов не является независимой. Связь между атомами приводит к тому, что в кристалле распространяются упругие волны и основной вклад в энергию тепловых колебаний кристалла вносят колебания низких частот, соответствующих упругим волнам с длиной волны, большей периода кристаллической решетки.

Полученное в рамках этой теории выражение для теплоемкости удовлетворительно описывает теплоемкость реальных кристаллов. В частности, в области низких температур .

Вопросы для экспресс контроля

Что представляют собой тепловые колебания атомов кристалла?
В чем сущность теории теплоемкости Эйнштейна?
Почему при низких температурах для объяснения теплоемкости кристаллов обязательна квантомеханические представления, а при высоких температурах можно ограничиться классическим приближением?
Как определяется среднее значение энергии квантового осциллятора, приходящееся на одну степень свободы?
Приведите выражение для молярной внутренней энергии кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна.
Что такое характеристическая температура Эйнштейна и как определить молярную нулевую энергию по Эйнштейну?
Как задается частотный спектр колебаний в квантовой теории теплоемкости Дебая?
Каким образом можно найти энергию твердого тела, если задан его частотный спектр?
Что такое характеристическая температура Дебая и как определить молярную нулевую энергию кристалла по Дебаю?
Как ведет себя молярная теплоемкость в области низких температур по теории Дебая?

Часть I.

*Вывести формулу для средней энергии классического линейного гармонического осциллятора при тепловом равновесии. Вычислить среднюю энергию линейного осциллятора при К.
*Используя результат решения предыдущей задачи, определить энергию и теплоемкость системы, состоящей из классических трехмерных независимых гармонических осцилляторов. Температура К.
*Определить: а) среднюю энергию линейного одномерного квантового осциллятора при температуре равной температуре Эйнштейна ( К); б) энергию системы, состоящей из квантовых трехмерных независимых осцилляторов при , если К.
*Во сколько раз измениться средняя энергия квантового осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы, при повышении температуры от до ? Учесть нулевую энергию.
Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна вычислить изменение молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на К от температуры .
*Определить относительную погрешность, которая будет допущена, если при вычисление теплоемкости вместо значения, даваемого теорией Эйнштейна (при ), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти.
Вычислить по теории Эйнштейна молярную нулевую энергию кристалла цинка. Характеристическая температура Эйнштейна для цинка равна 230 К.

Часть II

*Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию распределения частот для кристалла с трехмерной кристаллической решеткой. При выводе принять, что число собственных колебаний ограничено и равно ( - число атомов в рассматриваемом объеме)
Зная функцию распределения частот для трехмерной кристаллической решетки, вывести формулу для энергии кристалла, содержащего число атомов ( – постоянная Авогадро).
*Используя формулу энергии трехмерного кристалла получить выражение для молярной теплоемкости. Найти предельное выражение для молярной теплоемкости при низких температурах ().
Вычислить по теории Дебая молярную нулевую энергию кристалла меди. Характеристическая температура меди равна 320 К.
Используя теорию теплоемкости Дебая определить изменение молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на К от температуры .
*Определить относительную погрешность, которая будет допущена при вычислении теплоемкости кристалла, если вместо значения, даваемого теорией Дебая (при ), воспользоваться значением, даваемого законом Дюлонга и Пти.
Найти отношение характеристических температур Эйнштейна и Дебая. Для решения задачи воспользоваться выражениями для нулевых энергий вычисленных по теориям Эйнштейна и Дебая.

Библиографический список

Савельев, И.В., Курс физики: учеб.пособие.: В 3-х т. Т.2/И.В. Савельев.-М.: Наука, 1988.- с.
Детлаф, А.А., Курс физики/ А.А. Детлаф, Б.М. Яворский.-М.: Высш.шк., 1989.-500 с.
Савельев, И.В. Курс физики: учеб.пособие.: В 3-х т. Т.3/И.В. Савельев.-М.: Наука, 1989.-352 с.
Савельев, И.В. Курс физики: учеб.пособие.: В 3-х т. Т.1/И.В. Савельев.-М.: Наука, 1977.- с.