Методические указания по физике для подготовки к интернет-тестированию студентов всех технических специальностей Курск 2012 - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Методические указания для выполнения практических заданий 6 1357.53kb.
Методические указания и задания к выполнению лабораторных работ для... 1 918.56kb.
Методические указания к дипломному проектированию для студентов специальностей 5 544.57kb.
Методические рекомендации для студентов всех специальностей и форм... 3 462.82kb.
Методические указания к семинарским занятиям по курсу «Философия»... 2 424.95kb.
Методические указания к самостоятельной работе обучающихся Александровск-Сахалинский... 1 48.35kb.
Методические указания по их выполнению для студентов заочной формы... 1 107.52kb.
Методические указания по решению типовых задач, а также задания на... 3 1082.21kb.
Методические указания к выполнению контрольных работ для студентов... 1 252.1kb.
Методическое пособие Задания и методические указания к контрольным... 3 474.04kb.
Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине... 1 130.81kb.
Неклассические логические элементы и квантовые компьютеры 1 59.08kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Методические указания по физике для подготовки к интернет-тестированию студентов - страница №1/3

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Юго–Западный государственный университет»

(ЮЗГУ)
Кафедра Теоретической и экспериментальной физики
УТВЕРЖДАЮ

Первый проректор –

проректор по учебной работе

_______________Е. А. Кудряшов

«____»_________________2012 г.

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ОСНОВАМ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ, АТОМНОЙ ФИЗИКЕ, ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ И ФИЗИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

Методические указания по физике для подготовки к интернет-тестированию студентов всех технических специальностей

Курск 2012

УДК 531/534

ББК В21

П 53
Составители: П.А. Красных, А.В. Кузько, А.Е. Кузько.



Под редакцией д. ф.-м. н., профессора ЮЗГУ, заведующего кафедрой ТиЭФ ЮЗГУ Н.М. Игнатенко
Рецензент

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики Юго - Западного государственного университета В.М. Пауков



Тестовые задания по основам нерелятивистской квантовой механики, атомной физике, ядерной физике и физике элементарных частиц: методические указания для подготовки студентов к интернет-тестированию по физике /Юго-Западный гос. ун-т; сост. П.А. Красных, А.В. Кузько, А.Е. Кузько. Курск, 2012. 71 с.: ил. 52, Библиогр.:с.71.

Содержат тестовые задания по темам, традиционно проверяемым в ходе интернет-тестирования в количестве 109 заданий из них 65 заданий по основам нерелятивистской квантовой механики и 44 задания по ядерной физике и физике элементарных частиц. К каждой теме предложено краткое теоретическое введение, ориентированное на решение тестов по данному разделу физики, а также примеры решения заданий. Тестовые задания взяты как из материалов, предлагаемых студентам при интернет-тестировании, так и из заданий, разработанных составителями методического пособия.

Предназначены для студентов технических специальностей.
Текст печатается в авторской редакции

Подписано в печать . Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. Тираж экз. Заказ . Бесплатно.

Юго-Западный государственный университет.

305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………...… 4

Раздел 3. Квантовая физика и физика атома 5

3.1. Корпускулярно-волновой дуализм свойств частиц. Волны

де Бройля. Принцип неопределённостей Гейзенберга ………. .5

3.2. Уравнение Шрёдингера 14

3.3. Простейшие задачи квантовой механики 19

3.4. Спектр атома водорода. Правила отбора. Теория Бора для

водородоподобных систем 30

3.5. Модель атома водорода Бора 31

3.6. Квантовомеханическая модель атома водорода 34

3.7. Векторная модель атома 38

Раздел 4. Ядерная физика и физика элементарных частиц 45

4.1. Радиоактивность. Состав атомных ядер 45

4.2.Превращение атомных ядер 48

4.3. Ядерные реакции. Элементарные частицы 59

Библиографический список 71

ВВЕДЕНИЕ

Тестирование - в частности, тестирование по физике - имеет своей целью проверку на основе ответов на тестовые задания прочности усвоения базовых знаний и навыков по конкретному предмету. Оно не ставит своей задачей установление глубины понимания предмета тестируемым, что может быть установлено лишь в устной беседе. Однако тестирование вполне пригодно как для предэкзаменационной проверки знаний, так и для проверки знаний остаточных, т.е. знаний и навыков по данному предмету, которыми студент обладает после изучения всего курса.

Предлагаемые в пособии тестовые задания для проверки остаточных знаний по физике ориентированы на проверку знаний фундаментальных физических понятий и законов, понимание их смысла и условий выполнения, а так же умения применять их для решения заданий легкой и средней сложности.

В пособие включены задания по тем разделам, знание которых, как показывает многолетний опыт, традиционно проверяются в процессе интернет-тестирования. Поэтому оно предназначено в первую очередь для подготовки студентов к этой форме контроля остаточных знаний как самостоятельно, так и под руководством преподавателей. Для удобства самостоятельной подготовки каждый раздел снабжен теоретическим введением, в котором раскрывается смысл основных понятий и законов, и которое ориентировано именно на выполнение тестовых заданий. Кроме того, большинство разделов содержит подробные примеры выполнения заданий. Для удобства проверки в каждом задании правильный ответ помечен звездочкой.



Раздел 3. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА АТОМА

3.1. Корпускулярно-волновой дуализм свойств частиц. Волны де Бройля. Принцип неопределённостей Гейзенберга
Теоретическое введение

В 1924 году де Бройль выдвинул гипотезу о том, что корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер. Он предположил, что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами обладают также и волновыми свойствами. Он сопоставил движение частицы с волновым процессом с длиной волны и частотой, которые определяются из известных соотношений для фотонов :

, (1)

где p и E – импульс и энергия частицы (в нерялитивистском случае ).

В 1927 году американские физики Девиссон и Джермер исследовали отражение пучка моноэнергетических электронов от сошлифованного перпендикулярно диагонали монокристалла никеля. Изменяя угол падения электронов и их энергию, физики измеряли интенсивность отраженного пучка электронов по силе тока, текущего через гальванометр. Оказалось, что интенсивность отраженного пучка электронов подчиняется условию Вульфа-Бреггов

,

где θ - угол скольжения, d – межплоскостное расстояние, которое определяется из рентгенографических исследований.

Следовательно, этот процесс соответствует отражению электронов как волнового процесса (подобно рентгеновским лучам) от атомных плоскостей.

Подобные опыты, а также опыты по дифракции электронов на металлической фольге (Томсон и Тартаковский), в которых на фотопластинке были получены картины, подобные рентгенограммам, подтвердили гипотезу Луи де Бройля. Электроны вели себя подобно фотонам. В 1925 году Штерн показал, что дифракцию испытывают атомные и молекулярные пучки. Длина волн при дифракции определяется по соотношению (1).

Таким образом, квантовая физика рассматривает «микрочастицы» как образования особого рода. Они не являются ни частицами, ни волной, хотя сочетают в себе их свойства.

3.1.1. Соотношение неопределенностей


В классической механике состояние частицы описывается так называемыми динамическими переменными импульсом, энергией и значениями координат.

Своеобразие квантовых частиц состоит в том, что они одновременно не могут иметь точные значения координаты х и компоненты импульса . Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, доказанному в 1927 году, между неопределенностями х и существует следующая связь:



Величины (x ,px), (y, py), (z, pz), (E, t) называются канонически сопряженными.

Для энергии и времени соотношение неопределённостей имеет вид

.

На определение энергии частицы с точностью требуется время не меньше .

Принцип неопределенности Гейзенберга:

Произведение неопределенностей двух канонически сопряженных переменных не может по рядку величины быть меньше .

Так как очень мало (ћ=1,05 10-34 Джс), то соотношение неопределенностей проявляет себя только в микромире.


Учитывая, что из соотношения Гейзенберга



Это соотношение показывает, что чем больше m, тем меньше неопределенность x и , тем с большей степенью точности можно говорить о понятии траектории микрочастицы.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U1 = 51 В; 2) U2 = 510 кВ.

*1)1,4 пм; 2)0,70 пм; 3)0,35 пм; 4)2,8 пм.



Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от её импульса p и определяется формулой

Б = h/p, (1)

где h - постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна её кинетическая энергия T. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше её энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае

где mo - масса покоя электрона.

В релятивистском случае

 (3)

где Eo = moc2 - энергия покоя электрона.


Формула (1) с учётом соотношений (2) и (3) запишется: в нерелятивистском случае

 (4)

в релятивистском случае



. (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Электрическое поле совершает над электроном работу, которая равна изменению его кинетической энергии T:

T = eU


В первом случае T1 = eU = 51 эВ = 0,5110-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Eo = moc2 = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчётов заметим, что T1 = =10-4moc2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем её в виде

Учитывая, что h/moc есть комптоновская длина волны , получим

1 = 102.

Так как  = 2,43 пм, то

1 = 1022,43/ = 171 (пм).

Во втором случае кинетическая энергия T2 = eU2 = 510 кэВ = 0,51МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Так как T2 = moc2, то по формуле (5) находим



Подставим значение  и произведём вычисления:




Пример 2. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка T = 10 эВ. Используя соотношение неопределённостей, оценить минимальные линейные размеры атома.

*1) 124 нм; 2) 62 нм; 3) 228 нм; 4) 31 нм.



Решение. Соотношение неопределённостей для координаты и импульса имеет вид

xpx  ћ (1)

где x - неопределённость координаты x электрона; px - неопределённость проекции импульса электрона на ось X; ħ - постоянная Планка делённая на 2.

Из соотношения неопределённостей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределённым становится соответствующая проекция импульса, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры , тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределённостью

x = /2.

Соотношение неопределённостей (1) можно записать в этом случае в виде

(/2)px  ħ,

откуда


  2ħ/px (2)

Физически разумная неопределённость импульса px во всяком случае не должна превышать значения самого импульса px, то есть px  px. Импульс px связан с кинетической энергией T соотношением px = (2mT)1/2. Переходя от неравенства к равенству, получим



 (3)

Произведём вычисления:

min = 21,0510-34/(29,110-311,610-1910)1/2 = 124 нм.

Задания к теме

Задание 1

Групповая скорость волны Де Бройля . . .

*1) равна скорости частицы; 2) зависит от квадрата длины волны;

3) не имеет смысла как физическая величина; 4) равна скорости света в вакууме; 5) больше скорости света в вакууме.



Задание 2

Кинетическая энергия классической частицы увеличилась в 2 раза. Длина волны Де Бройля этой частицы . . .

*1)уменьшилась в раз; 2) увеличилась в 2 раза;

3)не изменилась; 4) увеличилась в раз; 5)уменьшилась в 2 раза.



Задание 3

Если частицы имеют одинаковую длину волны Де Бройля, то наибольшей скоростью обладает . . .

*1) позитрон; 2) нейтрон; 3) протон; 4) -частица.

Задание 4

Если частицы движутся с одинаковой скоростью то наименьшей длиной волны Де Бройля обладает . . .

*1) -частица; 2) нейтрон; 3) позитрон; 4) протон.

Задание 5

Если частицы имеют одинаковую скорость, то наибольшей длиной волны Де Бройля обладает:

*1) электрон; 2) нейтрон; 3) протон; 4) -частица.

Задание 6

Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии ~10-3 с. Учитывая, что постоянная Планка =6,6·10-16 эВ∙с, ширина метастабильного уровня(в эВ) будет не менее…

*1) 6,6·10-13 ; 2) 1.5·10-13; 3) 1,5·10-19 ; 4) 6,6·10-19.

Задание 7

Время жизни атома в возбуждённом состоянии 10 нс. Учитывая, что постоянная Планка , ширина энергетического уровня (в эВ) составляет не менее …

*1) 6,610-8 ; 2) 1,510-8; 3) 1,510-10; 4) 6,610-10.
Задание 8

Отношение скоростей протона и α-частицы, длины волн де Бройля которых одинаковы, равно …


*1) 4 2) 2 3) ½ 4) ¼

Задание 9

Отношение неопределенностей проекций скоростей нейтрона и α-частицы на некоторое направление при условии, что соответствующие координаты частиц определены с одинаковой точностью, равно …

*1) 4 2) 2 3) ½ 4) ¼
Задание10

Если протон и дейтрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов, то отношение их длин волн де Бройля равно …

*1) 2) 1 3) 2 4) 1/
Задание11

Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии, равном 10–3 c. Учитывая, что постоянная Планка ħ = 1,05·10–34 Дж·с, ширина метастабильного уровня будет не менее …

*1) 0,66 пэВ; 2) 66 пэВ; 3) 1,52 ТэВ; 4) 0,66 нэВ.
Задание12

Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии ~10-3 с. Учитывая, что постоянная Планка =6,6·10-16 эВс, ширина метастабильного уровня (в эВ) будет не менее…

*1) 6,6·10-13 2) 1.5·10-13 3) 1,5·10-19 4) 6,6·10-19
Задание13

Время жизни атома в возбуждённом состоянии 10 нс. Учитывая, что постоянная Планка , ширина энергетического уровня (в эВ) составляет не менее …

*1) 6,610-8 2) 1,510-8 3) 1,510-10 4) 6,610-10
Задание 14

Отношение скоростей двух микрочастиц = 4. Если их длины волн де Бройля удовлетворяют соотношению 2 = 21, то отношение масс этих частиц  равно …

*1) ½ ; 2) 2; 3) ¼; 4) 4.
Задание 15

Если протон и дейтрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов, то отношение их длин волн де Бройля равно …

*1) 2) 1 3) 2 4) 1/
Задание 16

Неопределенность в определении местоположения частицы, движущейся вдоль оси x, равна длине волны де Бройля для этой частицы. Относительная неопределенность ее скорости не меньше ___ %.

*1) 16 2) 100 3) 32 4) 8
Задание 17

Отношение длин волн де Бройля для протона и α-частицы, имеющих одинаковую кинетическую энергию, равно…


*1) 2; 2) ½; 3) 4; 5) ¼.
Задание 18

Ширина следа электрона на фотографии, полученной с использованием камеры Вильсона, составляет  1 мм. Учитывая, что постоянная Планка ħ = 1,05·10–34 Дж·с, а масса электрона  m = 9,1·10–31 кг неопределенность в определении скорости электрона будет не менее …

*1) 0,12 м/с 2) 0,12 мм/с 3) 1,05·10–31 мм/с 4) 1,05·10–34 мм/с
Задание 19

В опыте Дэвиссона и Джермера исследовалась дифракция прошедших ускоряющее напряжение электронов на монокристалле никеля. Если ускоряющее напряжение увеличить в 8 раз, то длина волны де Бройля электрона _____ раз(-а).

*1) уменьшится в 2) увеличится в 8 

3) уменьшится в 4  4) увеличится в


Задание 20

Положение пылинки массой m = 10–9 кг можно установить с неопределенностью х = 0,1 мкм. Учитывая, что постоянная Планка ħ = 1,05·10–34 Дж·с, неопределенность скорости vхм/с) будет не менее…

*1) 1,05·10–18 2) 1,05·10–21 3) 1,05·10–24 4) 1,05·10–27.
Задание 21

Отношение длин волн де Бройля для молекул водорода и кислорода, соответствующих их наиболее вероятным скоростям при одной и той же температуре, равно…


*1) 4 2) 1/2 3) 2 4) 1/4

3.2. Уравнение Шрёдингера

Теоретическое введение

Де Бройль сопоставил свободно движущейся частице плоскую волну (смысл которой сначала был не ясен).



Заменив и на р и Е уравнение волны де Бройля пишут в виде:



Функцию называют волновой функцией, (по Борну) квадрат которой определяет вероятность нахождения частицы в пределах объема



- комплексно сопряженная .

- выражает плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства.

Интеграл по всему пространству равен единице:

- это условие нормировки.

На - функцию налагают стандартные условия: она должна быть непрерывной, однозначной, конечной, иметь непрерывную и конечную производную.

Таким образом, квантовая механика имеет статистический характер, она определяет лишь вероятность нахождения частицы в данной точке пространства.

Волновая функция является решением уравнения Шрёдингера, полученным им в 1926 оду Общий вид его:

(2)

m – масса частицы,

i- мнимая единица,

U – потенциальная энергия частицы.

- оператор Лапласа

Это уравнение не выводится и получено Шредингером из оптико-механической аналогии уравнений светового луча и траекторий движения частиц.

В случае, если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (U явно не зависит от t) то волновую функцию можно разбить на две части, зависящих от координат и времени.



При подстановке во временное уравнение Шредингера (2) и после сокращения на придем к уравнению Шрёдингера для стационарных состояний

(3)

или



Теперь плотность вероятности



В связи с принципом неопределенности и введением волновой функции принцип причинности в квантовой механике видоизменяется. Если по силовому полю и начальным условиям решая уравнения Ньютона в классической механике мы определяем положение и скорость частицы, то в квантовой механике, зная волновую функцию и силовое поле можем найти волновую функцию при помощи уравнения Шредингера в любой момент времени.

Запишем стационарное уравнение Шрёдингера для частицы, движущейся в различных силовых полях

а) Стационарным уравнением Шредингера для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками является уравнение:

;

б) Стационарным уравнением Шредингера для электрона в водородоподобном ионе является уравнение:

;

в) Стационарным уравнением Шредингера для линейного гармонического осциллятора является уравнение:

.

Задания к теме

Задание 22

Нестационарным уравнением Шредингера является уравнение

*1); 2);

3) ; 4) .



Задание 23

Стационарным уравнением Шредингера для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками является уравнение:

*1) ; 2) ;

3) ; 4) .



Задание 24

Электрону, движущемуся в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, соответствует уравнение . . .

*1) ; 2) ;

3) ; 4) .



Задание 25

Установите соответствие уравнений Шрёдингера их физическому смыслу



1

Нестационарное

А



2

Стационарное для микрочастицы в потенциальной одномерной яме

Б



3

Стационарное для электрона в атоме водорода

В



4

Стационарное для гармонического осциллятора

Г









Д



*1) 1-Г, 2-В, 3-А, 4-Б; 2) 1-Г, 2-Б, 3-А, 4-В; 3) 1-А, 2-Б, 3-Г, 4-В;

4)1-В, 2-Б, 3-А, 4-Д.



Задание 26

Стационарным уравнением Шредингера для электрона в водородоподобном ионе является уравнение . . .

*1) ; 2) ;

3) ; 4) .



Задание 27

Стационарным уравнением Шредингера для линейного гармонического осциллятора является уравнение…

*1) ; 2) ;

3) ; 4) .



Задание 28

Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид:



,

где U- потенциальная энергия микрочастицы. Электрону в атоме водорода соответствует уравнение…

*1) ; 2) ;

3) ; 3) .



Задание 29

Квадрат модуля волновой функции , входящей в уравнение Шрёдингера, равен …

*1) плотности вероятности обнаружения частицы в соответствующем месте пространства;

2) импульсу частицы в соответствующем месте пространства;

3) энергии частицы в соответствующем месте пространства.
Задание 30

С помощью волновой функции , входящей в уравнение Шрёдингера, можно определить …

*1) вероятность обнаружения частицы в любой точке пространства;

2) импульс частицы в любой точке пространства;

3) траекторию движения частицы.
Задание 31

Состояние микрочастицы в данном состоянии описывается волновой функцией, квадрат модуля которой определяет…

*1) плотность вероятности микрочастицы в данном состоянии;

2) кинетическую энергию микрочастицы в данном состоянии;

3) потенциальную энергию микрочастицы в данном состоянии;

4) вероятность нахождения микрочастицы в данном состоянии.


Задание 32

Вероятность dP(x) обнаружения электрона вблизи точки с координатой x на участке dx равна…

*1) dP(x)= │Ψ(x)│2 dx; 2) dP(x)=Ψ(x2dx;

3) dP(x)= Ψ2(x)·dx; 4) dP(x)= Ψ(x)·dx.


Задание 33

В стационарных состояниях, описываемых волновой функцией



,

плотность вероятности данного состояния…

*1) не зависит от времени; 2) зависит от времени гармонически;

3) зависит от времени по экспоненте; 4)зависит от времени линейно.


3.3. Простейшие задачи квантовой механики

Теоретическое введение

3.3.1. Прохождение частиц через потенциальный барьер

Различие в поведении квантовых и классические частиц проявляется в том случае если на пути частицы встречается потенциальный барьер (при , при )

Для классической частицы: если Е – полная энергия частицы меньше U0 то она не преодолеет и, потеряв часть скорости, будет двигаться вдоль Х.

Для квантовой частицы: если ,она проникнет на некоторую глубину, а затем начнет двигаться обратно.

Глубиной проникновения . при которой вероятность нахождения частицы уменьшается в е раз



Например, металлическое тело для свободных электронов является потенциальной ямой с U0, которая выше Е электрона на 1 эВ. Тогда Å.

Поверхность металла является потенциальным барьером, в который электроны проникают на глубину и возвращаются обратно. Следовательно, поверхность металла окружена облаком электронов.

Даже если , то есть вероятность отражения частицы от барьера

.

Для барьера конечной ширины вероятность того, что квантовая частица пройдет сквозь него называется коэффициентом прохождения (прозрачности)



Для барьера произвольной формы



Частица как бы проходит через «туннель» в потенциальном барьере и поэтому такое явление называется туннельным эффектом.

В туннеле получается, что кинетическая энергия отрицательна. Такого быть не может, так как одновременно знать кинетическую и потенциальную энергию в квантовой механике невозможно, то же самое, что одновременно и x, следовательно, понятие отрицательной кинетической энергии абсурдно.

3.3.2. Движение частиц в одномерной яме с абсолютно непроницаемыми стенками

В уравнение Шредингера полная энергия Е частицы входит в качестве параметра. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения Шредингера удовлетворят стандартным условиям не при любых значениях Е, а лишь при определенных значениях, которые называются собственными значениями энергии. Решения соответствующие собственным значениям энергии называются собственными функциями. Совокупность собственных значений называется спектром. Спектр бывает дискретным и непрерывным. В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать



.

Пусть частица находится между двумя бесконечными стенками, удовлетворяющими условиям

, .

Для одномерного случая уравнение Шредингера



За пределами ямы вероятность обнаружения частицы равна нулю. Следовательно, и . Из условий непрерывности на границах



Для частицы в яме уравнение Шредингера имеет вид



Обозначим . Для уравнения общим решением является

Из условия

Из условия

При то есть частица отсутствует.

Откуда .

Выразив из энергию, получим:

,

С
пектр энергии
является дискретным. Если вычислитьь разницу между соседними уровнями энергии и в качестве частицы взять молекулу с кг, то для ширины ямы ℓ = 10 см получим эВ. То есть, чем больше m и больше , тем гуще уровни энергии. Для электрона ~ 10-10 м (атомные размеры) эВ.

Найдем собственные функции



Для нахождения А воспользуемся условием нормировки



Функция на концах промежутка х = 0 и x = ℓ обращается в ноль, поэтому интеграл можно получить, умножив среднее значение на .



Откуда



В состоянии n = 2 вероятность нахождения частицы посередине ямы рана 0. В классической физике все положения частицы равновероятны.

Пример 1. Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной . Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале  = 0,01 в двух случаях: 1) вблизи стенки (0 < x < );

2) в средней части ящика (( - )/2 ≤ x ≤( + l)/2).

1)0,02; 2)0,01; 3)0,60; 4)0,54.

Решение. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от x до x + dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна d = (x)2dx.

В первом случае искомая вероятность найдётся интегрированием в пределах от 0 до 0,01:



Так как x изменяется в интервале 0 ≤x ≤0,01 и, следовательно, x/ <, справедливо приближённое равенство

sin2(x/)  (x/)2.

С учётом этого выражение (1) примет вид



После интегрирования получим

 = .

Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи её максимума в заданном малом интервале ( = =0,01) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением

 = 2(sin2(/2)/ = 20,01/ = 0,02.
Задания к теме

Задание 34

Частица массой m с энергией E < U0 подлетает к потенциальному барьеру высотой U0 Для области I уравнение Шредингера имеет вид…

*1) ;

2) ;

3) ;

4) .


Задание 35

Частица массой m с энергией E < U0 подлетает к потенциальному барьеру высотой U0 Для области II уравнение Шредингера имеет вид…


*1) ;

2);

3);

4) .



Задание 36

Н
а рисунке приведены картины распределения плотности вероятности нахождения микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Состоянию с квантовым числом n = 2 соответствует график …

1); *2); 3); 4).
Задание 37

Н
а рисунке приведены картины распределения плотности вероятностей нахождения микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Состоянию с квантовым числом n = 4 соответствует график …

1); 2); 3); *4).

Задание 38

Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле



,

где ω  плотность вероятности, определяемая ψ- функцией. Если ψ  функция имеет вид указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна …

*1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Задание 39

Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле



,

где ω  плотность вероятности, определяемая ψ- функцией. Если ψ  функция имеет вид указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна …

*1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Задание 40

Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле , где ω  плотность вероятности, определяемая ψ- функцией. Если ψ  функция имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна …

*1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Задание 41

Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле



,

где ω  плотность вероятности, определяемая ψ- функцией. Если ψ  функция имеет вид указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна …

*1) ; 2) ; 3) ; 5) .
Задание 42

На рисунке изображена плотность вероятности обнаружения микрочастицы на различных расстояниях от «стенок» ямы. Вероятность её обнаружения в центре ямы равна …

*1) 0; 2) ; 3) ; 4) .
Задание 43

На рисунке изображена плотность вероятности обнаружения микрочастицы на различных расстояниях от «стенок» ямы. Вероятность её обнаружения на участке равна …


*1) ; 2) ; 3) 0; 4) .
Задание 44

На рисунках схематически представлены графики распределения плотности вероятности обнаружения электрона по ширине одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками для состояний с различными значениями главного квантового числа n. В состоянии с n = 4 вероятность обнаружить электрон в интервале от  до l равна





*1) 5/8; 2) 3/8; 3) ¾; 4) 7/8.


Задание 45

На рисунке приведены возможные ориентации вектора – орбитального момента импульса электрона в атоме. Значение орбитального квантового числа для указанного состояния равно:


*1) 2 2) 1 3) 4 4) 5





Задание 46

На рисунке приведена одна из возможных ориентаций момента импульса электрона в р-состоянии. Какие еще значения может принимать проекция момента импульса на направление Z внешнего магнитного поля?




1) 2 *2) *3) 4) 2
Задание 47

Момент импульса электрона в атоме и его пространственные ориентации могут быть условно изображены векторной схемой, на которой длина вектора пропорциональна модулю орбитального момента импульса  электрона. На рисунке приведены возможные ориентации вектора . Значение орбитального квантового числа и минимальное значение главного квантового числа для указанного состояния соответственно равны …



*1) l = 1, n = 2

2) l = 1, n = 1

3) l = 3, n = 3

4) l = 3, n = 4
Задание 48

На рисунке приведены возможные ориентации вектора . Величина орбитального момента импульса (в единицах ħ) для указанного состояния равна …

*1) 2) 3)2 4) 3


Задание 49

На рисунке приведены возможные ориентации вектора . Величина орбитального момента импульса (в единицах ħ) для указанного состояния равна …


1) *2) 3) 2 4) 3

Задание 50

Частица находится в прямоугольном одномерном потенциальном ящике с непроницаемыми стенками шириной 0,2 нм. Если энергия частицы на втором энергетическом уровне равна 37,8 эВ, то на четвертом энергетическом уровне равна _____ эВ.

*1) 151,2 2) 75,6 3) 18,9 4) 9,45

3.4. Спектр атома водорода. Правила отбора. Теория Бора для водородоподобных систем

Теоретическое введение

В 1905 году Дж. Томсоном была предложена модель атома, который представлял собой шар с равномерно распределенным положительным зарядом, внутри которого находятся электроны.

В 1911 году Резерфорд, бомбардируя -частицами ( м/с) металлическую фольгу, определял углы их рассеяния на атомах мишени, регистрируя сцинтилляции на экране, покрытом сернистым цинком.

Так как некоторые -частицы отклонялись на большие углы, Резерфорд пришел к выводу о существовании ядра атома, в котором сосредоточен весь положительный заряд и почти вся масса атома.

Ядро создает сильное электрическое поле, так как имеет малый объем. Резерфорд разработал количественную теорию рассеяния -частиц по углам которая предполагала взаимодействие -частицы и ядра атома по закону Кулона как для точечных зарядов.

-частица при центральном попадании в ядро сближается на расстояние, которое можно найти. Посчитав, что вся кинетическая энергия -частицы расходуется на потенциальную энергию взаимного отталкивания , можно получить:



=

При подстановке значений получаем, что размер ядра равен

м.

3.5. Модель атома водорода Бора

Теоретическое введение

Возникшее противоречие ядерной модели атома с классической электродинамикой (которое заключалось в том, что электрон, двигаясь ускоренно, должен терять энергию на излучение электромагнитных волн и за короткое время ~10-8 с упасть на ядро), было разрешено Нильсом Бором в 1913 году. Бор ввел постулаты, противоречащие классическим представлениям.

  1. Атом может находиться в определенных энергетических состояниях, при которых он не излучает и не поглощает энергию. Из бесконечного множества электронных орбит в действительности реализуются только дискретные орбиты, удовлетворяющие квантовым условиям.

  2. При переходе атома из одного энергетического состояния с энергий в другое с излучается или поглощается квант энергии .

.

Стационарные орбиты электрона определяются главным квантовым числом, которое разрешает только определенные значения момента импульса электрона.



Существование дискретных уровней энергии атома было доказано немецкими физиками Франком и Герцем в1914 г. В этих опытах использовался триод, заполненный парами ртути. Между К и С создавалось ускоряющее напряжение, которое плавно менялось, а между С и А - постоянное поддерживалось задерживающее напряжение. Зависимость анодного тока I от ускоряющего напряжения U, полученная в опыте, оказалось, имела максимумы. Это свидетельствовало о том, что при соударениях электронов с атомами электроны могли испытывать неупругие столкновения, когда их энергия была равна энергии возбуждения атома.

Согласно закону Ньютона электрону центростремительное ускорение сообщает кулоновская сила

(1)

– заряд ядра атома

Откуда



, где n = 1,2, 3, … (2)

При n = 1 м – радиус первой боровской орбиты.

Энергия атома водорода:




Подставив сюда (2), получим разрешенные энергии атома водорода:
, где

n = 1,2,3,…

Частота спектральной линии при переходе атома из состояния с энергией n в состояние с энергией m определяется:

(4)

с-1

В
ычисленные по формуле (4) частоты оказались в полном с
огласии с экспериментом. Однако модель Бора была не последовательно классической, но и не квантовой. При помощи данной теории невозможно в принципе объяснить закономерности спектров многоэлектронных атомов.

Таким образом, теория Бора являлась переходным этапом в развитии квантовой физики.

Теория атома водорода, построенная Бором, подтверждалась экспериментальным определением частот излучения атома водорода, которые называются серями.

Бальмер установил, что частоты волн водорода, излучаемые в видимом диапазоне, определяются по формуле Бора и соответствуют переходу на второй энергетический уровень со всех выше лежащих.

Эту серию назвали серией Бальмера

, n = 3, 4, 5,…

Серия Лаймана

, n = 2, 3, 4, 5,…
3.6. Квантовомеханическая модель атома водорода

Квантовая физика дает для атома водорода такое же решение для значений энергии атома, что и теория Бора, но она боле последовательна и описывает не только излучение атома водорода.

Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода имеет вид:


Решения этого уравнения для любого положительного значения энергии соответствует пролету электрона около ядра и удалению в бесконечность, что не соответствует определению атома, как динамически устойчивой системы.

Решения, соответствующие дискретным отрицательным значениям энергии, равной

, n = 1,2,3,…

соответствуют электрону, связанному с ядром.

При n = 1 получим значения энергии в основном состоянии атома водорода эВ.

Так как электрон в атоме водорода движется в центрально-симметричном поле ядра, то оператор Лапласа и собственные волновые функции удобно записывать в сферической системе координат

.

Собственные волновые функции содержат 3 целочисленных параметров n, l, m , которые называются квантовыми числами.

Число n – главное квантовое число. Оно определяет уровни энергии электрона в атоме.

ℓ – азимутальное или орбитальное квантовое число, оно определяет модуль орбитального момента импульса ).



m – магнитное квантовое число, оно определяет проекцию орбитального момента импульса на некоторое направление z, определяемое внешним магнитным полем)

.

n = 1, 2, 3,…. При данном n ℓ = 0, ±1, ±2, ±3, … ±(n – 1).

При данных n и ℓ m = 0, 1, 2, …, ℓ.

Энергетическое состояние электрона определяется только квантовым числом n. Решения, удовлетворяющие стандартным условиям, получаются при значениях l , не превышающих n – 1

- всего n значений

При данном квантовое число m может принимать 2ℓ + 1 различных значений

.

Состояния атома с одинаковой энергией (одинаковым квантовым числом n), отличающиеся числами l и m, называются вырожденными состояниями.

Число различных состояний называется кратностью вырождения.

Так как для данного n , а m может принимать , значение , то кратность вырождения водородного атома:



Таким образом, каждому значению En соответствует несколько собственных функций , отличающихся числами и m..

Состояние электрона с = 0 называют S – состоянием,

= 1 - p – состоянием,



= 2 - d, ℓ = 3 - f, ℓ = 4 - g, ℓ = 5 - h.

Так как , то возможны следующие состояния:

1S

2S 2P

3S 3P 3d

4S 4P 4d 4f

В квантовой механике доказывается, что для орбитального вантового числа имеется правило отбора



Это значит, что возможны такие переходы, при которых изменяется на единицу.

Поэтому для серии Лаймана )

Бальмера

При увеличении числа n дискретность энергетических уровней уменьшается и характер поведения частицы приближается к классическому. В этом состоит принцип соответствия:

При больших квантовых числах следствия, вытекающие из квантовой механики, должны совпадать с результатами классической теории.

Подобно тому, как при релятивистская механика переходит в ньтоновскую, при квантовая механика переходит к классическому описанию (пренебрегаем ).

Собственные функции распадаются на два множителя:

,

- вещественный,

- комплексный.

Так как координаты r, независимы, то при подстановке в уравнение Шредингера в сферических координатах уравнение Шредингера разбивается на две независимые части.

Первое уравнение Шредингера для радиальной части



и для сферической части



Первое уравнение зависит только от вида потенциальной энергии, а следовательно определяется конкретной физической природой взаимодействия частиц (для нашего случая – кулоновского).

Второе уравнение не зависит от вида силового поля, поэтому его решение одинаково для всех центрально-симметричных полей.

Условие нормировки для этих уравнений имеет вид в сферических координатах:



- телесный угол

Из решения этих уравнений можно сделать следующие выводы:

1) Электрон может иметь в атоме водорода лишь дискретные значения энергия:

, n = 1, 2, 3,…

2) Состояние электрона в атоме характеризуется набором 4 квантовых чисел

а) главного квантового числа n, определяющего энергию электрона;

б) орбитальное квантовое числа ℓ, определяющего дискретное значение модуля орбитального момента импульса



Магнитного квантового числа m, определяющего стационарные ориентации орбитального момента импульса электрона L в пространстве, например, их проекции на направление внешнего магнитного поля .



Диапазону значений ℓ соответствует значений m..

Например, если = 2, то вектор орбитального момента импульса электрона в атоме может принимать в пространстве дискретных ориентаций .m = 0, ±1, ±2.

г) спинового квантового числа s, определяющего ориентацию собственного момента импульса электрона (спина).

Собственный механический момент электрона определяется

, где .

Проекция собственного механического момента равна

.

Полный механический момент электрона складывается из спинового и орбитального моментов электрона

, j = ℓ + s, ℓ + s-1, │ℓ-s│,

j – квантовое число полного момента импульса.

Проекция полного механического момента



В
заимодействие орбитального и магнитного момента (как взаимодействие магнитных стрелок)
приводит к расщеплению энергетических уровней, а следовательно, спектральных линий. Оно называется спин-орбитальным взаимодействием.
3.7. Векторная модель атома

Д
вижение электронов в других атомах
, помимо атома водорода, определяется теми же квантовыми числами n, ℓ, j, m, ms. Но влияние на движение электрона других электронов приводит к тому, что его энергия зависит кроме n и от квантового числа .

Механические и магнитные моменты атомов складываются из орбитальных и спиновых моментов отдельных электронов.

Возможны два случая:

1. Если орбитальные моменты связаны между собой сильнее, чем с и наоборот (такая связь называется LS-связью), то все моменты складываются в суммарный орбитальный момент атома , а все в суммарный спиновый момент . А затем находится полный момент атома .

Результирующий орбитальный момент импульса для SL-связи

,

где L – орбитальное квантовое число атома.

Для двух электронов .

Проекция момента импульса атома на некоторое направление



Также и для полного спинового момента





Тогда полный орбитальный момент атома







Векторная модель строится по следующим правилам. Пусть известен модуль момента импульса и одна из его проекций М и Мz (Мx и Мy – не определены). Следовательно, может иметь направление одной из образующих конуса (совершает прецессию).

То, что проекция полного момента атома квантуется, было доказано в опыте Штерна и Герлаха.
следующая страница >>