Рабочая програма учебной дисциплины

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына
Российской академии наук

«УТВЕРЖДАЮ»

Директор ВЦ РАН

академик Ю.Г. Евтушенко
______________________
«___» декабря 2012 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАМА

УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

«Классические и современные методы теоретической механики»

для подготовки аспирантов по специальности

01.02.01 «Теоретическая механика»

Москва 2012

1. Аннотация

Настоящая программа содержит дополнительные разделы к университетскому курсу теоретической механики по темам: кинематика, динамика, колебания, вариационные принципы механики, элементы теории групп Ли, гамильтонова механика, элементы небесной механики, механика управляемых движения. Особое внимание уделяется компьютерной реализации рассматриваемых методов.

2. Цели и задачи курса

Ознакомление слушателей с современным состоянием развития методов теоретической механики.

Приобретение навыков использования современных средств компьютерного исследования.

Опробирование рассматриваемых методов на исследовании модельных задач, связанных с темой диссертации.

3. Место курса в структуре послевузовского профессионального образования (аспирантуре)

Курс «Классические и современные методы теоретической механики» относится к основным курсам учебного плана подготовки аспирантов по специальности 01.02.01 «Теоретическая механика».

Для успешного изучения курса аспиранту необходимо знать университетский курс теоретической механики, иметь навыки программирования на одном из современных объектно-ориентированных языков и знакомство с современными математическими компьютерными средствами численно-аналитического исследования. Полученные в рамках курса знания необходимы для работы над диссертацией по специальности 01.02.01 «Теоретическая механика».

4. Требования к результатам освоения курса

В результате изучения курса «Классические и современные методы теоретической механики» аспирант должен:

Знать

методы составления дифференциальных уравнений движения систем многих тел со сложными связями, допускающими качение, скольжение, люфты, сухое трение и другие нелинейные эффекты,
аналитические и численные методы решения систем дифференциальных уравнений,
аналитические и численные методы качественного исследования решений систем дифференциальных уравнений.

Уметь

выбирать наиболее удобную форму представления механической модели для эффективного использования всех изученных методов и компьютерных средств,
давать адекватную механическую трактовку получаемым математическим результатам и делать практические выводы.

Владеть

навыками проведения сложных математических выкладок и доказательств с использованием разнообразных компьютерных средств.

5. Содержание и структура курса

Лекционное изложение курса предполагает знание аспирантом университетского курса теоретической механики и содержит углубленное изучение и дополнительный материал по следующим разделам: 1. Кинематика, 2. Динамика, 3. Вариационные принципы механики, 4. Гамильтонова механика, 5. Элементы теории устойчивости, 6. Элементы теории колебаний, 7. Элементы небесной механики, 8. Элементы теории управления движением.

5.1 Содержание разделов курса

№	Наименование раздела	Содержание раздела	Форма текущего контроля
1	Кинематика	Кинематика точки. Естественный трехгранник Дарбу. Криволинейные координаты и параметры Ламе. Кинематика системы отсчета (кинематика абсолютно твердого тела). Свойства матрицы направляющих косинусов и кватернионов. Спиновые матрицы Паули и параметры Келли—Клейна. Угловая скорость. Кинематические уравнения для углов Эйлера, для матрицы направляющих косинусов (уравнения Пуассона) и уравнения для кватернионов. Теорема о телесном угле в кинематике вращательного движения. Кинематика относительного движения.	Собеседо-вание
2	Динамика	Геометрия масс и основные теоремы динамики. Теоремы об изменении количества движения и момента количества движения. Теорема о движении центра масс. Реактивное движение. Уравнение Мещерского. Теорема об изменении кинетической энергии. Основные теоремы динамики для относительного движения. Специальные задачи динамики точки. Задача двух тел и ее решение. Классификация траекторий. Законы Кеплера для эллиптических траекторий. Основная задача внешней баллистики. Классические задачи динамики твердого тела. Случаи Эйлера, Лагранжа, Ковалевской. Стационарные движения: перманентные вращения и регулярная прецессия. Гироскоп. Лагранжева механика. Принцип Даламбера—Лагранжа. Конфигурационное многообразие системы с конечным числом степеней свободы. Обобщенные координаты. Виртуальные перемещения. Голономные и неголономные системы. Уравнения Лагранжа. Уравнения Лагранжа с множителями. Уравнения Аппеля. Уравнения Рауса для систем с циклическими координатами. Первые интегралы уравнений Лагранжа.	Собеседо-вание
3	Вариационные принципы механики	Принцип наименьшего принуждения Гаусса. Принцип Гамильтона—Остроградского. Принцип наименьшего действия в формах Лагранжа и Якоби.	Собеседо-вание
4	Гамильтонова механика	Обобщенные импульсы. Преобразования Лежандра. Уравнения Рауса и Гамильтона. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Лиувилля о фазовом объеме. Интегральные инварианты Пуанкаре и Пуанкаре—Картана. Канонические преобразования. Локальный критерий каноничности. Производящие функции. Метод Биркгофа нормализации гамильтониана. Уравнение Гамильтона—Якоби. Переменные действие-угол. Теорема Лиувилля об инвариантных торах.	Собеседо-вание
5	Элементы теории устойчивости	Основные понятия теории устойчивости движения. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Функции Ляпунова. Общие теоремы второго метода Ляпунова. Устойчивость линейных стационарных систем. Критерий Рауса—Гурвица. Частотные критерии (критерии Михайлова, Найквиста). Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Понятие о критических случаях. Критический случай пары чисто мнимых корней. Устойчивость стационарных движений механической системы. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия и ее обобщения. Обращение теоремы Лагранжа. Коэффициенты устойчивости Пуанкаре. Влияние структуры сил на характер устойчивости положения равновесия.	Собеседо-вание
6	Элементы теории колебаний	Колебания линейных стационарных систем. Спектральные свойства линейных систем. Нормальные координаты. Классификация линейных сил. Теоремы Релея. Вынужденные колебания. Амплитудно-частотные характеристики. Резонанс. Параметрический резонанс в линейных системах с периодическими коэффициентами. Колебания нелинейных систем. Амплитудно-частотные характеристики. Бифуркации стационарных состояний. Автоколебания, как устойчивые предельные циклы на фазовой плоскости. Понятие нормальной формы Пуанкаре. Понятие о разделении движений и методах осреднения. Метод точечных отображений.	Собеседо-вание
7	Элементы небесной механики	Дифференциальные уравнения возмущенного движения в оскулирующих элементах в задаче двух тел. Задача трех тел и ее первые интегралы. Ограниченная круговая задача трех тел. Понятие о точках либрации и их устойчивости. Задача о движении небесного тела вокруг его центра масс под действием момента гравитационных сил.	Собеседо-вание
8	Элементы теории управления	Структурный анализ и линейный синтез управляемых систем. Управляемость, наблюдаемость, стабилизируемость линейных систем. Критерии управляемости и наблюдаемости. Управление по принципу обратной связи. Стабилизация по первому приближению. Оценивание состояния линейных систем. Фильтр Калмана. Совместная задача оценивания и управления. Инерциальная навигация. Методы определения местоположения и ориентации объекта, движущегося в поле сил притягивающего центра. Уравнения ошибок инерциальной навигации и их свойства. Принцип максимума Понтрягина. Метод динамического программирования Беллмана. Связь принципа максимума с методом Беллмана.	Собеседо-вание

5.2 Структура курса

Общая трудоемкость курса составляет 7 зачетных единиц (252 час.)

Вид работы	Трудоемкость, часов
Общая трудоемкость	252
Лекции	20
Самостоятельное изучение разделов	232

Трудоемкость отдельных разделов курса

№	Наименование раздела	Количество часов
№	Наименование раздела	Всего	Лекции	Самост. раб.
1	Кинематика	28	2	24
2	Динамика	32	4	28
3	Вариационные принципы механики	32	1	31
4	Гамильтонова механика	32	4	29
5	Элементы теории устойчивости	32	4	28
6	Элементы теории колебаний	32	2	30
7	Элементы небесной механики	32	2	30
8	Элементы теории управления	32	1	31
	Итого	252	20	232

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы аспирантов

Форма контроля знаний: Кандидатский экзамен по специальности

Контрольные материалы: На кандидатском экзамене аспирант должен продемонстрировать знания в объеме основной программы кандидатского экзамена по специальности 01.02.01 «Теоретическая механика», а также дополнительной программы, разрабатываемой индивидуально в связи с выбранной темой диссертации.

7. Список литературы

Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. Теоретическая механика. М: Издательский центр «Академия», 2010, 432 с.
Аппель П. Теоретическая механика. Т. 1, 2. М.: Физматгиз, 1960.
Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Наука, 1997.
Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: ЧеРо, 1999.
Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965.
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Физматлит, 1969.
Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы теории колебаний. М.: Наука, 1988.
Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.: Гостехиздат, 1946.
Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. Изд-во Удмурдсткого университета, 1999.
Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1992.
Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998.
Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965.
Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С. и др.Оптимизация динамики управляемых систем. М.: Изд-во МГУ, 2000.
Климов Д.М. Инерциальная навигация на море. М.: Наука, 1984.
Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Б.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1967.
Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976.

8. Материально-техническое обеспечение курса

Для получения необходимой информации и самостоятельной работы аспиранты могут пользоваться персональными компьютерами отдела механики, компьютерным классом ВЦ РАН, кластерной компьютерной системой ВЦ РАН, библиотекой ВЦ РАН, а также ресурсами сети Интернет.

Программу составил д.ф.-м.н. Степанов С.Я.

Программа утверждена на заседании Ученого совета ВЦ РАН

протокол № _____________ от «____» декабря 2012 г.