Экзаменационные билеты Ю. В. Митришкин Кафедра иу-1, группы 71, 72, 2009 г., 2-й семестр, 4 курс (зачет)

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Проектирование линейных систем управления с обратной связью
Экзаменационные билеты
Ю.В. Митришкин

Кафедра ИУ-1, группы 71, 72, 2009 г., 2-й семестр, 4 курс (зачет)

Управление по состоянию. Метод размещения полюсов замкнутой системы управления посредством преобразующей матрицы. Вывод формулы Аккермана.

Представление структурных схем замкнутой системы управления с регулятором по состоянию для модели объекта с двумя интеграторами в двух видах: общем и для моделирования в simulink. Вывод матриц уравнения наблюдателя с использованием равенства матричных передаточных функций модели объекта и наблюдателя. Вывод уравнения для ошибки оценки состояния. Представление системы управления с наблюдателем в координатах вектора состояния модели объекта и ошибки оценивания, а также в координатах векторов состояния модели объекта и наблюдателя. Характеристическое уравнение системы с наблюдателем. Теорема разделения.

Понятие дискретной системы (системы в дискретном времени). Ситуации, когда требуется переход от систем в непрерывном времени к системам в дискретном времени. Переход от описания систем в пространстве состояний в непрерывном времени к описанию в пространстве состояний в дискретном времени и наоборот. Вычисление матриц системы в дискретном времени для случаев невырожденной и вырожденной матрицы А. Пример дискретной системы без непрерывного аналога. Дискретизация уравнений в пространстве состояний двойного интегратора.

Понятие z-преобразования числовой последовательности. Теорема о сдвиге на целое число тактов. Решение разностных уравнений состояния разомкнутой системы управления. Теорема об управляемости линейных дискретных систем. Вывод передаточной функции дискретной системы.

Пример применения разностных уравнений. Аналогия представления непрерывных и дискретных систем. В непрерывном времени: формула Коши, теорема о преобразовании Лапласа производной функции по времени, передаточная функция, преобразование Лапласа матричной экспоненты, формула Коши с применением операции свертки, теорема о преобразовании Лапласа операции свертки, преобразование Лапласа свертки матричной экспоненты и входного сигнала.

Аналогия представления непрерывных и дискретных систем. В дискретном времени: решение неоднородной системы разностных уравнений с учетом начальных условий; теорема z-преобразования о сдвиге на такт вперед; связь состояния, начальных условий и входного сигнала в изображениях по z-преобразованию; z-преобразование степени квадратной матрицы; связь вектора состояния с входным сигналом, выраженная через свертку; представление свертки в дискретном времени и ее физический смысл.

Система линейных алгебраических уравнений в координатной и векторно-матричной формах. Правило умножения матрицы на вектор в двух формах: а) в форме скалярных произведений строк на вектор-столбец, б) в форме линейной комбинации столбцов матрицы. Теорема Кронекера-Капелли и ее алгебраический смысл. Замена координат при умножении матрицы на вектор-столбец: связь исходной матрицы с матрицей для новой системы координат. Связь базисов посредством матрицы преобразования координат. Установление связи координат одного и того же вектора, заданного в разных базисах пространства координат. Алгебраический смысл столбцов матрицы преобразования координат.

Происхождение задачи на собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы. Алгебраический смысл собственных векторов и собственных значений. Геометрический смысл определителя квадратной матрицы.

Перестановка, инверсия, подстановка. Определения определителя квадратной матрицы: 1) формула алгебраической суммы слагаемых всевозможных произведений n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, 2) разложении Лапласа: определение по индукции. Вырожденная матрица и ее определитель. Получение характеристического уравнения матрицы с помощью ее определителя для нахождения собственных значений.

Получение СЛАУ для нахождения собственного вектора. Понятие ядра матрицы. Сравнение собственных значений и сингулярных чисел матриц. Получение частного решения линейного однородного векторного дифференциального уравнения с помощь собственного вектора и собственного значения. Фундаментальная система решений линейного однородного векторного дифференциального уравнения как базиса пространства решений. Общее решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений. Вычисление вектора весовых коэффициентов в общем решении.

Диагонализация квадратной матрицы с помощью системы попарно различных собственных векторов. Представление решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений с помощью матричной экспоненты. Условие устойчивости линейной динамической системы в непрерывном времени. Получение общего решения однородной векторной системы разностных уравнений и нахождение вектора весовых коэффициентов. Условие устойчивости решения разностного уравнения. Аналогия решений однородных дифференциальных и разностных систем уравнений с постоянными коэффициентами.

Синтез закона управления по состоянию для дискретного объекта, обеспечивающего нулевые собственные значения матрице замкнутой системе. Обоснование перехода синтезированной системы из любого состояния в нулевое состояние за конечное время посредством теоремы Кэли-Гамильтона. Пример нильпотентной матрицы.

Теорема о сингулярном разложении матриц. Связь выходного сигнала в линейной замкнутой системе с матричными передаточными функциями с задающим воздействием и внешним выходным возмущением. Связь максимального сингулярного числа функции чувствительности с минимальным сингулярным числом передаточной функции разомкнутой системы. Запас робастной устойчивости замкнутой системы, выражаемый через Н-бесконечность норму выходной мультипликативной неопределенности. Теорема о малом коэффициенте усиления. Определение Н-бесконечность нормы устойчивой правильной матричной передаточной функции в частотной и временной области. Тождество Парсеваля.

Связь максимальных сингулярных чисел дополнительной функции чувствительности и передаточной функции разомкнутой системы. Противоречие между качеством управления и запасом робастной устойчивости из-за фундаментальной связи между чувствительностью и дополнительной чувствительностью. Обеспечение компромисса посредством спецификации на частотные характеристики сингулярных чисел передаточной функции разомкнутой системы в диапазонах низких и высоких частот.

Мультипликативная выходная неопределенность модели объекта управления. Аддитивная неопределенность модели объекта управления. Запасы робастной устойчивости многомерных систем в частотной области на основе теоремы о малом коэффициенте усиления. Типы задач смешанной чувствительности для разрешения противоречия между точностью управления и запасом робастной устойчивости.

Расширение модели объекта управления посредством весовых функций: пред- и пост-компенсаторов. Нормализованная взаимно-простая факторизация передаточной функции расширенной модели объекта. Тождество Безу. Неопределенности в факторизованной модели объекта. Конфигурация замкнутой робастной системы управления с факторизованной расширенной моделью объекта. Вывод формулы для запаса робастной устойчивости с неопределенностями в матричных сомножителях факторизации путем преобразования структурной схемы.

Формула для вычисления максимального робастного запаса устойчивости в задаче о синтезе регулятора методом формирования частотной характеристики разомкнутой системы управления. Грамианы управляемости и наблюдаемости. Спектральный радиус квадратной матрицы. (A,B,C,D)-представление робастного регулятора, обеспечивающего заданный запас робастной устойчивости. Алгебраические уравнения Риккати для вычисления матриц и , входящих в формулы максимального запаса устойчивости и робастного регулятора.

Линейно-квадратичная проблема оптимального управления (задача оптимальной стабилизации). Теорема о синтезе линейно-квадратичного регулятора. Уравнение Риккати, оптимальный закон управления по состоянию, минимальное значение показателя качества. Последовательность этапов при синтезе линейно-квадратичного регулятора.