в данной работе была рассмотрена мера риска cvaR и одна из существующих ее модификаций. Было показано, что она не является когерентн - umotnas.ru o_O
в данной работе была рассмотрена мера риска cvaR и одна из существующих ее модификаций. Было показано, что она не является когерентн - umotnas.ru o_O
|
страница 1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Похожие работы
|
в данной работе была рассмотрена мера риска cvaR и одна из существующих ее модификаций. - страница №1/1
МЕРА CVAR, ЕЕ МОДИФИКАЦИИ И МЕСТО СРЕДИ КОГЕРЕНТНЫХ МЕР РИСКА MEASURE CVAR, ITS MODIFICATIONS AND ITS PLACE AMONG COHERENT RISK MEASURES Кустицкая Татьяна Сибирский федеральный университет, Красноярск, m-tanika@yandex.ru Аннотация. В данной работе была рассмотрена мера риска CVaR и одна из существующих ее модификаций. Было показано, что она не является когерентной мерой риска и предложено другое направление модификации - через функционал возмущенной вероятности. Получаемые таким образом меры риска являются когерентными и позволяют учесть информацию обо всем распределении. Также были рассмотрены разные варианты изложения аксиоматики когерентных мер риска. Ключевые слова. Когерентные меры риска, функционал возмущенной вероятности, СVaR. 1. Введение Наиболее распространенная в настоящее время методология оценки рыночных рисков основана на вычислении меры риска Value-at-Risk (VaR), представляющей собой квантиль распределения заданного уровня. Однако эта мера имеет ряд недостатков, которые не позволяют считать ее хорошим критерием для большого класса задач принятия решения. В последнее время активно развивается теория когерентных мер риска, которые являются перспективными в плане представления нелинейных предпочтений и согласовываются с естественными требованиями к мерам риска. Одним из наиболее известных представителей когерентных мер риска является мера CVaR (Conditional Value-at-Risk), вычисляемая на основе VaR и несущая в себе больше информации о распределении, нежели VaR (а точнее о "хвосте" распределения). Однако из-за того, что большая часть распределения все же никак не отражается в мере CVaR, область ее применения тоже весьма ограничена. В данной работе рассматривается одна из модификаций меры CVaR и определяется другое возможное направления для модификации этого функционала. Рассмотрим вероятностное пространство (), где - множество элементарных исходов, - -алгебра, заданная на , а - вероятностная мера, определенная на множествах из . Определение 1. Риском на называется произвольное измеримое отображение из в (т.е. случайная величина). Значения риска интерпретируются как доход или убыток, получаемый неким инвестором. Обозначим совокупность всех рисков на . Учитывая вышесказанное, к "хорошему" функционалу меры риска можно предъявить как минимум следующие требования: он должен представлять отношение предпочтения на , согласованное с отношением порядка на , кроме того должен представлять предпочтение, наилучшим образом характеризующее индивидуальное отношение к риску, в частности, обладающее свойством неприятия риска. 3. Когерентные меры риска В работе Арцнера, Делбаена, Эбера и Хифа [2] были аксиоматически определены когерентные меры риска. Рассмотрим вероятностное пространство . Множество элементарных исходов будем считать конечным (). Пространство всех рисков будет изоморфно . Перенумеровав элементы некоторым произвольным образом, будем отождествлять случайные величины с векторами из . Значение случайной величины трактуется как доход. Введем на порядок обычным образом: , если при всех . Кроме того считаем, что на задано отношение предпочтения . ПО) положительная однородность: И1) инвариантность относительно сдвига: Когерентные меры риска в [2] представляют отношение предпочтения как в (1). Чтобы они задавали отношение предпочтения как в (2), можно, следуя работе [3], провести изложение в терминах супермодулярных функций, которые являются эквивалентным описанием когерентных мер риска, точнее, если — когерентная мера риска, то — супермодулярная функция, связанная с соотношением для произвольного . Такие супермодулярные функционалы также будем называть когерентными мерами риска. Они будут обладать следующими свойствами: M2) монотонность: C2) супераддитивность: ПО) положительная однородность: И2) инвариантность относительно сдвига: Свойство монотонности гарантирует, что когерентные меры риска монотонны относительно естественных порядков на множестве рисков. Субаддитивность (супераддитивность) отражает стремление к диверсификации портфеля и наличие у задаваемого предпочтения неприятия риска. Положительная однородность также является вполне естественным требованием - разумно требовать, чтобы мера риска от инструментов с одинаковыми характеристиками в раз отличалась от значения меры риска, подсчитанной для одного такого инструмента. Свойство инвариантности относительно сдвига указывает на линейность изменения функционала вдоль вектора, задающего безрисковый актив. 3.1. О разных способах изложения аксиоматики когерентных мер риска В работе [2] когерентные меры риска определяются набором аксиом: M, C, ПО, И. В работе [3] автор излагает аксиому монотонности в следующем виде:
Пусть , тогда по свойству УM: . по свойству C. , а так как , то , т.е. выполняется свойство M.
Пусть , из монотонности и положительной однородности вытекает, что , т.е. - выполняется свойство УM. Из утверждения следует, что выполнение для субаддитивного и положительно однородного функционала свойства УМ является необходимым условием того, что этот функционал монотонен. В работе [7] при определении когерентных мер риска аксиома усеченной монотонности изложена в другом виде: Рассмотрим меру риска , предложенную в работе [4] Покажем, что для этого функционала выполняются свойства УM*, C, ПО:
При этом , т.к. . Значит, - выполняется свойство УM*. 2. Выполняется свойство C т.к. 3. Пусть . - выполняется свойство ПО. Покажем, что не выполняется свойство УM: Пусть , тогда , . А т.к. УM является необходимым условием, чтобы для субаддитивной и положительно однородной меры риска выполнялось свойство монотонности, то получаем, что мера не монотонна. Свойство УM* не может заменить свойства УM или M в аксиоматике когерентных мер риска. В настоящее время стандартом в измерении рыночных рисков является мера VaR, что во многом определено тем, что она заложена в регулятивные нормы банковской деятельности (рекомендации Базельского комитета, технология оценки риска Risk Metrics). Пусть случайная величина - убыток. Значение меры VaR - наибольший убыток, который не будет превышен с уровнем доверия . Если значение интерпретировать как доход, то VaR вычисляется следующим образом: Мера VaR проста в вычислении, но имеет ряд серьезных недостатков: VaR не учитывает возможность больших потерь, которые могут произойти с малой вероятностью, не различает типы "хвостов" распределения, не является когерентной мерой риска. Для нее не выполняется свойство C1 (или С2), из чего следует, в частности, что эта мера риска представляет предпочтения, не обладающие свойством неприятия риска. Мера CVaR является когерентной альтернативой мере VaR. Она была предложена в работе [2] под названием Tail conditional expectation. К. Ачерби в работе [1] предложил свой вариант такой меры под названием Expected Shortfall. Итак, пусть - убыток, - уровень доверия В [1] показано, что где - функция, названная Ачерби обобщенным квантилем. Для абсолютно непрерывных распределений . Если случайная величина - доход, , то Мера когерентна и более адекватно оценивает риск в случае "тяжелых хвостов", чем . Но она не учитывает структуру распределения в целом, и поэтому хороша, если необходимо защититься от больших потерь, а в задачах формирования портфеля, в которых необходимо максимизировать доходность, неэффективна. 4.1. Мера риска В работе [7] авторами предложена модификация меры , которая, как, утверждается, является когерентной и наряду с тяжестью хвостов учитывает общую структуру распределения: где риск - убыток, - уровень доверия, . Данная мера риска сочетает в себе квантильную меру и меру рассеяния, которая вычисляется по распределению в целом. Поэтому можно согласиться, что лучше, чем учитывает общую структуру распределения. Однако можно показать, что не является когерентной мерой риска. Контрпример, доказывающий, что мера риска не когерентна Рассмотрим две случайные величины и , значение которых будем интерпретировать как убыток. Пусть распределена равномерно на . Пусть , соответственно . Ясно, что . Так как мера по утверждению ее авторов когерентна, то должно выполняться, т.е. свойство M1. Проверим это. Согласно (6) Таким образом, для данных и свойство M1 выполняется не при всех , а только лишь связанных с соотношением (8). Таким образом, получаем, что мера не монотонна, а значит, не когерентна. В работах [5], [6] была предложена мера риска, названная функционалом возмущенной вероятности где , - неубывающая функция на . называется возмущающей функцией. Можно легко показать, что функционал обладает свойствами M1, ПО, И1. Если же при этом функция - вогнутая на , то соответствующий функционал субаддитивен (C1), а значит, является когерентной мерой риска. Теперь перейдем к конкретному примеру. Пусть риск - убыток, , Предположим, что Аналогично проводятся рассуждения для . Получаем, что . Таким образом, мера является частным случаем меры . Отсюда напрашивается один из вариантов модификации - замена функции другой ломаной, которая удовлетворяет (10), вогнута и "склеивается" в точке . Получившаяся мера риска представляет собой сумму двух некоторым образом "взвешенных" условных ожиданий (до и после порогового значения ). Это позволяет по-разному учесть информацию о распределении до и после в зависимости, например, от исходной задачи или от отношения к риску. Вообще говоря, заменив функцию любой другой функцией , удовлетворяющей (10) и являющейся вогнутой, мы получим некоторую когерентную модификацию меры . 5. Список использованной литературы
|
|
|