А. А. Викентьев (Новосибирск, Академгородок)

О расстояниях на высказываниях экспертов и мера опровержимости (информативности) высказываний

в логических теориях.

А.А. Викентьев

(Новосибирск, Академгородок)

При анализе знаний, заданных в виде высказываний экспертов, для различия содержащейся в них информации и группирования их по схожести, возникает необходимость введения расстояния между высказываниями экспертов и меры опровержимости (информативности) высказываний экспертов. Этой проблемой занимались Загоруйко Н.Г., Лбов Г.С., Викентьев А.А.[1-4]. Мы хотим ввести подобное расстояние не на всем множестве моделей, а на моделях некоторой, заранее фиксированной теории Г. Такой подход кажется естественным при изучении некоторой конкретной прикладной проблемы, (поскольку тогда расстояние и информативность будут введены с помощью моделей, относящимися к изучаемой области, которая , в свою очередь, задана, например, некоторыми знаниями (аксиомами) о ней, далее - теорией. Работа выполнена в рамках проекта РФФИ 04-01-00858а. Мы фиксируем теорию Г, суть, набор таких высказываний, например, с которыми согласились все эксперты. Пусть -набор элементарных высказываний. Теорией Г назовем набор формул (- гипотез)- высказываний экспертов, с которыми все эксперты согласны. Предполагается, что теория Г удовлетворяет следующим требованиям:

1) непротиворечивости (совместности); 2) замкнутости относительно выводимости (это требование не обязательно, но для полноты можно считать, что эксперты могут доказывать формулы с помощью гипотез);

3) устойчивости моделей Г относительно булевых операций.

Расстояние на высказываниях экспертов и его простейшие свойства.

Пусть База Знаний состоит из формул исчисления ысказываний.

Определение 1. Множество элементарных высказываний , используемых для написания высказываний из , назовем носителем совокупности знаний. Рассматриваем P(S())-множество всевозможных подмножеств S(), его элементы, суть наборы , где истинностных значений элементарных высказываний, называем моделями. Мощность множества моделей исчисления высказываний равна | P(S())|=.
Обозначим через ModГ=Mod_S_(∑)Г=╞Г} все модели теории Г. Множество моделей из ModГ на которых формула А – истинна, обозначим через Mod_Г(A).

Теорема 1. Для теорий Г, устойчивых относительно подмоделей или расширений справедливы следующие свойства расстояния:

1) ;2) ;

3) если ,то ;

4) ;

5) если и ,то ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

Доказательство аналогично [4] с использованием свойств теорий.

Мера опровержимости (информативности) высказываний.

Определение 2. Мерой опровержимости высказывания назовем относительное число моделей теории Г на которых высказывание ложно. Для высказываний совместных с теорией определим меру информативности на множестве ModГ, как меру опровержимости высказывания .

Теорема 2. Для теорий Г, устойчивых относительно подмоделей или расширений справедливы следующие свойства меры опровержимости высказываний:

1) ; 2) ;

3) 4) ;

5) если , то и ;

6) если , то ;

7) ;

8) и9) если ,и , то ;

10) если , и , то ;

11) ;

12) .

Доказательство аналогично [4, 1] с использованием теоремы 1. Имеет место обобщение этих результатов на аналогичные теории первого порядка. с аналогичныи свойствами.
Литература

1. Г.С.Лбов, Н.Г.Старцева. Логические решающие функции и вопросы статистической устойчивости решений. Новосибирск: Издательство Института математики, 1999. С. 85-102.

2. Н.Г.Загоруйко, М.В.Бушуев. Меры расстояния в пространстве знаний // Анализ данных в экспертных системах. Новосибирск,1986. Выпуск 117:Вычислительные системы. С.24-35.

3. А.А.Викентьев, Г.С.Лбов. О метризации булевой алгебры предложений и информативности высказываний экспертов // Доклад РАН 1998.Т.361, №2 С.174-176.

4. A.A.Vikentiev, G.S.Lbov. Setting the metric and informativeness on statements of experts // Pattern Recognition and Image Analysis. 1997 V.7, N2, P.175-183.

5. Г.Кейслер, Ч.Ч.Чэн Теория моделей. Москва:Мир,1977.

6. Ю.Л.Ершов, Е.А.Палютин Математическая логика. Санкт-Петербург, 2004.