Учебно-методическое пособие микроэкономические производственные функции - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Учебно-методическое пособие Ижевск 2012 резьбовые соединения учебно-методическое... 1 403.92kb.
Учебно-методическое пособие Н. Новгород 2011 ббк 74. 5 В 12 2 591.49kb.
Учебно-методическое пособие по специальности 1-08 01 01 «Профессиональное... 4 1608.91kb.
Случайные процессы учебно-методическое пособие Москва 2006 1 231.5kb.
Учебно-методическое пособие по проведению тестирования по дисциплине... 1 417.26kb.
Учебно-методическое пособие по проведению тестирования по дисциплине... 1 180.52kb.
Под общей ред. М. В. Гамезо Общая психология Учебно-методическое... 11 5027.04kb.
Учебно-методическое пособие для студентов исторического факультета... 2 485.1kb.
Учебно-методическое пособие для студентов I курса учетно-финансового... 3 492.89kb.
Учебно-методический комплекс по дисциплине «уголовное право» Учебно-методическое... 8 3185.28kb.
Учебно-методическое пособие для студентов лечебного, педиатрического... 12 3706.38kb.
Введение в микроэкономику 2 922.67kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Учебно-методическое пособие микроэкономические производственные функции - страница №1/1


Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию


Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования


«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»



УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ



МИКРОЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
(по курсу «Микроэкономика-2» для студентов экономического факультета специальности «Математические методы в экономике»)

Ростов-на-Дону

2005

Печатается по постановлению кафедры «Экономической кибернетики» экономического факультета РГУ



Протокол № 3 от 27 октября 2005 г.

Составитель: доцент Шаль А.В.

Рецензенты: доцент Рунова Л.П.

СОДЕРЖАНИЕ


Введение ………………………………………………………………………...4

1 Технология и производственные возможности ……………………………..5

2 Производственная функция……………………………………………………7

2.1 Основные представления ……………………………………………………7

2.2 Свойства производственных функций ……………………………………..10

2.3 Возможность замещения…………………………………………………….15

2.4 Геометрическая интерпретация для двухфакторной ПФ………………….19

2.5 Иллюстрация свойств на примере однофакторной ПФ…………………...23

3 Основные типы производственных функций………………………………..26

3.1 Степенные производственные функции……………………………………26

3.2 Производственная функция Кобба-Дугласа ………………………………29

3.3 ПФ с постоянной эластичностью замещения ресурсов…………………...33

3.4 Производственные функции с постоянными пропорциями………………35

3.5 Линейные производственные функции…………………………………….39

4 Соотношения между суммарными, средними и предельными величинами в экономике……………………………………………………………………….. 41

4.1 Абсолютные и относительные величины в экономическом анализе…….41

4.2 Соотношение между суммарными, средними и предельными величинами……………………………………………………………………... 42

Заключение……………………………………………………………………….47

Список использованных источников…………………………………………..48
ВВЕДЕНИЕ

Под производством обычно понимается процесс изготовления различных предметов, которые принято называть благами. Но термин «производство» имеет более широкое содержание. Производством называют «любую деятельность по использованию естественных ресурсов, включая самого человека, для получения как осязаемых, так и неосязаемых («нематериальных») благ»./2,стр.266/

Закономерности производства принято рассматривать на примере материального производства, при этом имея в виду, что они распространяются и на «нематериальное» производство.

Под материальным производством понимается процесс трансформации производственных ресурсов в продукт. Основой любого производства является предприятие (фирма, организация), которое осуществляет затраты экономических факторов (капитал, труд, природные ресурсы) для изготовления продукции и услуг.

Теория производства изучает прежде всего соотношения между количеством затраченных ресурсов и размером выпуска. Для описания этого процесса используется аппарат производственных функций.

В учебном пособии рассматриваются основы теории производства, ее основные элементы. Пособие состоит из четырех разделов. В первом рассматриваются понятия технологии и производственных возможностей. Во втором - свойства производственных функций на абстрактной ПФ. Третий раздел посвящен основным видам производственных функций, наиболее часто используемых в теории производства. Четвертый, для общего развития, соотношению суммарных , средних и предельных величин в экономике.

Учебное пособие рекомендуется студентам отделений «Математические методы в экономике для углубленного изучения курса «Микроэкономика-2».

1 ТЕХНОЛОГИЯ И ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ

Производственные возможности народного хозяйства в любой момент времени определяются двумя группами факторов:

а) технологическими условиями производства, которые выражаются зависимостями между затратами различных ресурсов (воспроизводимых и невоспроизводимых) и выпуском продукции;

б) объемами и качеством наличных ресурсов.

Пусть X=(xi) обозначает вектор затрат ресурсов,iM, M={1,…,m};Y=(yj) – вектор объемов производства,jN, N={1,…,n}. Воспроизводимые средства производства одновременно являются и продуктами, и ресурсами. Поэтому все виды ресурсов можно разбить на два подмножества : M1 – воспроизводимые ресурсы (они же продукты), i1 M1, M1 N;M2 – невоспроизводимые ресурсы, i2M2. При этом объемы невоспроизводимых ресурсов в каждый данный момент ограничены: X2 ≤ R. Кроме того, необходимо учитывать различия в расходовании предметов труда и основных фондов. Первые полностью расходуются в одном производственном цикле (затраты имеют размерность потока); вторые используются многократно (объемы использования в каждом производственном цикле имеют размерность запаса).

Среди различных пар векторов (X, Y) рассматриваются технологически допустимые пары, которые называются технологиями (или технологическими процессами). Технологическая допустимость означает возможность получить из затрачиваемых (используемых) ингредиентов вектора X вектор продукции Y.Совокупность всевозможных допустимых технологий (X, Y) образует технологическое множество Z.

Пусть (X1, Y1), (X2, Y2) - две допустимые технологии и (X1, Y1) ≠ (X2, Y2). Технология (X1, Y1) называется более эффективной, чем (X2, Y2), если выполняется соотношение : X1≤ X2, Y1 ≥ Y2 , т.е. по первой технологии затраты не больше, а выпуски не меньше, причем хотя бы по одному ингредиенту затрат или выпуска имеет место строгое неравенство. Технология (X*, Y*) называется эффективной, если не существует другой допустимой технологии, более эффективной, чем (X*, Y*). Множество всех эффективных технологий- Z*.



Множество производственных возможностей может быть представлено в виде:

(X, Y) Z, (1)

X2 ≤ R.

При ограниченных невоспроизводимых ресурсах за определенный промежуток времени может быть произведено ограниченное количество продукции. Очевидно, что выбор эффективных вариантов производства продукции и использования ресурсов будет осуществляться на множестве Z*.

Однако, проблема выбора лучшей структуры конечной продукции (оптимального вектора Y) не может решаться только с позиций производства; здесь прежде всего необходимо учитывать социальные потребности. Поэтому общая модель производственного планирования формулируется как задача нахождения множества вариантов (X, Y) путем максимизации векторной функции Y на множестве:



(X, Y) Z,

X2 ≤ R. (2)

Y → max

В отличие от чисто технологической эффективности допустимых параметров (X, Y) Z* ,эффективные варианты задачи (2) учитывают также и ограниченность ресурсов, направления использования которых определяются стремлением получить больше конечной продукции.


2 ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ



2.1 Основные представления
В качестве функций в теории фирмы используются особые зависимости, описывающие технологическое множество фирмы. Такие функции получили название «производственных».

Можно дать несколько определений производственной функции:

1)Производственная функция характеризует чисто техническую зависимость между количеством применяемых ресурсов и объемом выпускаемой продукции в единицу времени./2/

2)Производственная функция- это функция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемого или используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная - значения объемов выпускаемой продукции ./1/

3)Производственная функция – это экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей – факторов. /5/

Во всех определениях присутствует в явном или неявном виде технология. Можно сказать, что технология лежит в основе производственной функции и выступает в качестве ограничений при принятии решений.



Технология - это определенное состояние знаний о различных способах, которые могут использоваться для соединения производственных факторов в процессе выпуска продукции.

В производственной функции не участвуют такие экономические величины, как цена или норма процента. Производственная функция должна воплощать технологические ограничения, которые налагаются на экономические решения, в то время как экономические решения не налагаются на способ, которым размеры продукции связаны с затратами.

Производственная функция подразумевает, что техническая проблема максимизации уже решена. Определение производственной функции предполагает, что при каждой комбинации факторов достигается максимальный объем продукции, соответствующий данной комбинации. (Данный объем продукции может быть произведен различными комбинациями факторов. С другой стороны, при данной комбинации факторов можно достичь несколько объемов выпуска в зависимости от эффективности организации производства).

В общем виде производственную функцию можно записать следующим образом:

g = f(x) = f(x1,x2,…,xn) (3)

где g - размер выпуска

xj - количество j-го фактора

Большое распространение получили трехфакторные производственные функции, в которых выпуск зависит от затрат труда, капитала и природных ресурсов:

g = f(L,K,M) (4)

В зависимости от исходной информации и целей исследования каждый фактор может быть дифференцирован. Труд – по профессиям, категориям, степени сложности; капитал, воплощенный в производственных фондах, - по видам оборудования, мощности, производительности; природные ресурсы – по видам.

Кроме того, производственная функция может учитывать время в явном виде, т.е. как особый вид производственного фактора. В этом случае производственные функции разделяются на статические и динамические.

Существует множество конкретных производственных функций. Самая распространенная – функция Кобба – Дугласа:



(5)

Производственные функции могут разрабатываться и как самостоятельные экономико – математические модели для анализа сложившихся зависимостей, принятия решений, прогнозирования, так и в качестве составных частей более сложных моделей.

Несмотря на многообразие производственных функций, анализ деятельности фирмы проводится обычно на абстрактной производственной функции.

Задача рационального ведения хозяйства для фирмы заключается в определении количества продукции и в расчете необходимых для ее выпуска затрат с учетом технологической связи между ними и заданными ценами на затраты и продукцию.

Предположим, что фирма производит только один вид продукции, используя несколько видов затрат. Все возможные комбинации затрат представляют собой пространство затрат. Тогда фирма должна выбрать точку в пространстве затрат. Обозначим через xj количество затрат j-го вида, j = , тогда вектор затрат – это вектор – столбец: x = (x1,x2,…,xn)T

Пространство затрат I состоит из всех возможных векторов затрат и является неотрицательным. Кроме того, будем считать, что все затраты могут непрерывно изменяться.

I = {(x1,x2,…,xn)T | xj ≥0, j = } (6)

Каждой точке пространства затрат соответствует единственный максимальный выпуск, произведенный при использовании этих затрат. Таким образом, производственную функцию можно записать в виде:

g = f(x) = f(x1,x2,…,xn) (7)

где g - размер выпуска

xj - количество j-го фактора, j =

В терминах пространства затрат, производственная функция представляет собой отражение любого вектора затрат (точки пространства) в единственное неотрицательное действительное число, а именно максимальный выпуск, который может быть получен при использовании этого вектора затрат.


2.2 Свойства производственных функций
Сформулируем некоторые предположения о свойствах производственных функций (в виде аксиом) :

1) Производство невозможно при отсутствии хотя бы одного ресурса, т.е. f(0, x1 ,…,xn) = 0 (f(x) = 0, если xj = 0). Это означает, что каждый ресурс необходим хотя бы в малых количествах. Полное его отсутствие не может быть компенсировано другими ресурсами.

2) При увеличении затрат производственных ресурсов выпуск продукции не уменьшается.

f(x') ≥ f(x") при x' ≥ x", (8)

причем если x' > x", то f(x') > f(x").

Если функция f(x) дифференцируема, то можно записать:

при xj >0 (9)

Можно определить вектор предельного продукта как вектор – строку:

MP(x) = (MP1(x), MP2(x),…, MPn(x)) = (10)

Величина называется предельной эффективностью (производительностью, доходностью) j –го ресурса. Она характеризует отношение прироста выпуска продукции к малому приросту количества производственного ресурса.

Это условие выполняется не всегда, поэтому вводится понятие экономической области (например: удобрения, увеличения числа рабочих). Экономическая область – это множество таких сочетаний ресурсов X, для которых выполняется соотношение (9). Использование ресурсов в сочетаниях, не попадающих в экономическую область, бессмысленно с экономической точки зрения. Границами экономической области являются поверхности = 0, которые называются разделяющими поверхностями или изоклиналями. Экономическая область – это подмножество пространства затрат:

{XI | MP(x) ≥ 0} (11)

Другим показателем эффективности является средняя эффективность ресурса, которая определяется как:

(12)

Средняя эффективность (или средний продукт) показывает среднее количество продукции, приходящееся на одну единицу j – го фактора производства.

В качестве характеристики изменения выпуска продукции при увеличении затрат ресурсов используют также показатель эластичность выпуска по отношению затрат j- го ресурса, который определяется по формуле:



(13)

Эластичность выпуска по отношению к изменению затрат j –го вида показывает, на сколько процентов возрастает объем продукции при увеличении затрат j-го ресурса на 1%. Производственная функция может характеризоваться постоянной, повышающейся или падающей эластичностью.

На рис.1 приведены три типичных графика, характеризующих влияние увеличения затрат ресурса j при неизменных объемах других ресурсов для функции q = xα , 0

1- изменение выпуска продукции f(x);

2 - изменение средней эффективности ресурса APj;

3 - изменение предельной эффективности ресурса MPj ;

4 – эластичность j – го ресурса ξj = const =α .

Из рисунка видно, что функция 1 растет, но ее рост замедляется. Функции 2 и 3 убывают, причем предельная эффективность ниже средней эффективности. Функция 4 постоянна.




f(x)

APj 1

MPj

ξj 4



2

3

xj

рис.1

3) По мере увеличения количества одного ресурса при постоянных количествах другого предельная эффективность использования этого ресурса не возрастает .Математически это означает, что вторая частная производная производственной функции не положительна:



(14)

Таким образом, предельная эффективность ресурса падает. В литературе это свойство производственной функции называется законом убывающей доходности (эффективности) факторов производства.

Закон убывающей доходности можно сформулировать так: по мере того, как затраты одного вида добавляются к установленным объемам других затрат, в конечном счете достигается особая область, в которой предельный продукт затрат снижается.

Такая ситуация вполне объяснима. Например, если в производстве зерна увеличивать количество труда на фиксированном участке земли, то предельная производительность труда будет снижаться вследствие исчерпания возможностей специализации и в связи с трудностями координации усилий.

Важно понимать, что уменьшение предельной эффективности ресурсов типично только в условиях экономической статики, т.е. при неизменном научно-техническом уровне и неизменном качестве используемых ресурсов.

Необходимо отметить, что в теории фирмы все ресурсы разделяются на две категории: фиксированные и варьирующиеся. Фиксированные ресурсы – это такие ресурсы, величина которых не изменяется в течение рассматриваемого периода (здания, оборудование). Варьирующиеся ресурсы изменяются за этот же период (количество рабочих, количество сырья).

Считать ресурс изменяющимся или фиксированным, зависит от длины рассматриваемого периода. На очень коротком промежутке времени все ресурсы можно считать фиксированными. Чем длиннее период, тем больше ресурсов варьирующихся. При достаточно продолжительном периоде все ресурсы можно считать изменяющимися.

В соответствии с этим, существуют два подхода в изучении поведения фирмы: в краткосрочном и долгосрочном периодах. Краткосрочным считается отрезок времени, в течение которого организационная структура, здания и оборудование фирмы остаются фиксированными. Долгосрочным считается отрезок времени, в течение которого все ресурсы могут варьироваться.

Деление периодов на краткосрочные и долгосрочные необходимо с той целью, что закон убывающей доходности факторов производства справедлив лишь для периода, когда часть факторов остается неизменной, а другие факторы можно изменять. В долгосрочном периоде этот закон не действует.

4) Производственная функция характеризуется определенной отдачей от расширения масштабов производства .Отдача от расширения масштабов производства характеризует производственную функцию с точки зрения изменения выпуска продукции при пропорциональном изменении затрат ресурсов, которое математически выражается в умножении всех компонент вектора Х на скаляр λ.

Говорят, что скалярная функция f(x) является однородной функцией степени n, если для любого вектора Х и любого скаляра λ она удовлетворяет соотношению:

f(λx) = λn f(x) (15)

Если n > 1, то производственная функция характеризуется возрастающей отдачей от расширения масштабов производства; если n = 1 –постоянной отдачей (наиболее часто встречающийся случай); при n

Для характеристики последствий изменения масштабов производства вводят показатель ξ(x) – эластичность производства:

(16)

Этот показатель характеризует процентное изменение выпуска продукции при изменении масштаба производства на 1% при данной структуре ресурсов Х.

Можно установить связь между эластичностью производства и эластичностью выпуска по отношению к изменению затрат ресурсов ξj (х).

Так как f(λx) = f(λx1,λx2,…,λxn), то после дифференцирования обеих сторон по λ получим:

(17)

Тогда:


(18)

Таким образом, эластичность производства в некоторой точке пространства затрат равна сумме эластичностей выпуска по отношению к затратам производственных ресурсов в этой точке.

Можно привести примеры эластичности производства (по λ):

1) постоянный доход – удвоение затрат приводит к удвоению выпуска. Вариант экстенсивного развития производства.

2) увеличивающийся доход – если фирма удвоила свой масштаб, то она может использовать технологии, которые не могла использовать при меньшем масштабе. Можно удвоить размер строительством аналогичного по мощности предприятия, но это может оказаться неэффективно, так как маленькое предприятие может быть не в состоянии использовать те технологии, которые доступны большому предприятию.

Большая специализация может также приводить к увеличивающемуся эффекту. Чем больше людей и оборудования используется, тем больше возможность подразделить задачи и специализировать варьирующиеся ресурсы.

3) причиной убывающего дохода может быть сложность координации больших предприятий и исчерпание возможностей специализации.

2.3 Возможность замещения ресурсов
Перейдем к анализу важной проблемы: оценке возможностей замещения ресурсов в производственной функции.

Введем понятие изокванты. Возможность взаимного замещения ресурсов означает, что одно и то же количество продукта q может быть произведено при различных сочетаниях ресурсов. Совокупность таких сочетаний ресурсов, при которых может быть произведено определенное количество продукции q0 называется изоквантой. Или: множество точек, удовлетворяющих уравнению постоянного выпуска f(x) = q, называется изоквантой.

Изокванты обладают следующими свойствами:


  1. изокванты не пересекаются друг с другом;

  2. изокванта разбивает пространство ресурсов на два подмножества, в одном из которых q 0 , в другом q > q0 ,граница этих множеств проходит по изокванте q0 ;

  3. большему выпуску продукции соответствует изокванта, более удаленная от начала координат;

  4. если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не имеют общих точек с осями координат.

Движение вдоль изокванты соответствует процессу эквивалентного замещения одних ресурсов другими. Поэтому изокванту называют также кривой замещения. Поскольку изокванта – это кривая равного выпуска, то при движении вдоль изокванты приращение функции равно нулю, т.е.

(19)

Разделим на dx1



(20)

Откуда получаем



(21)

Так как ,то γ ≤ 0; при строгой положительности предельных эффективностей γ

Величину γ называют предельной нормой замещения одного ресурса другим. Она показывает, сколько второго ресурса может быть высвобождено при увеличении затрат первого ресурса, если выпуск продукции остается неизменным. Предельная норма замещения γ имеет отрицательную величину, т.к. при уменьшении использования одного из ресурсов для сохранения выпуска продукции использование другого ресурса надо увеличить.

Для количественной характеристики скорости изменения предельной нормы замещения вдоль изокванты используется понятие эластичности замещения ресурсов σ(х12):



(22)

Эластичность замещения ресурсов имеет следующий экономический смысл: она приближенно показывает, на сколько процентов должно измениться отношение ресурсов при движении вдоль изокванты, чтобы при этом предельная норма замещения γ изменилась на 1%. Эластичность замещения ресурсов может быть представлена в форме:

(23)

т.е. процентное изменение соотношения затрат, деленное на процентное изменение соотношения их предельных продуктов. Эластичность замещения характеризует кривизну изоквант.

Все понятия могут быть обобщены на случай произвольного числа ресурсов. Продифференцировав функцию f(x) вдоль изокванты, получаем:

(24)

Поэтому, определив dx=(dx1 ,dx2,…,dxn), получаем

MP(x)dx=0 (25)

Если зафиксировать все затраты, кроме затрат вида j и k,то

MPj(x)dxj + MPk(x)dxk =0 (26)

поэтому


(27)

где >0. Величина γjk -предельная норма замены j-го ресурса k-м

j- номер заменяемого ресурса

k- номер замещающего ресурса

Норма замены ресурсов характеризует отношения между малыми изменениями количеств этих ресурсов при сохранении выпуска на прежнем уровне.

Можно ввести понятие эластичности замещения ресурсов j и k:



(28)

где меняются объемы только двух ресурсов j и k , а производная берется вдоль изокванты. Эластичность замещения ресурсов j и k приближенно показывает, на сколько процентов должно измениться отношение ресурсов, чтобы при этом предельная норма замещения этих ресурсов изменилась на 1%.


2.4 Геометрическая интерпретация для двухфакторной ПФ
Приведем геометрическую интерпретацию введенных понятий в случае двух видов затрат. Производственная функция имеет вид:

q=f(x1 ,x2) (29)

Изокванты выражаются формулой:

f(x1 ,x2)= q0 = const (30)

Наклон изоквант вычисляется из выражения:

(31)

В особой области, заштрихованной на рис.2, оба предельных продукта неотрицательны, поэтому наклон изоквант неположителен. Особая область, совпадающая здесь с экономической областью, ограничена двумя кривыми, которые называются разделяющими линиями. Разделяющая линия 1 является геометрическим местом затрат, для которых наклон изокванты равняется нулю (MP1(x) = 0), а разделяющая линия 2 характеризует геометрическое место затрат, для которых наклон изокванты равен бесконечности (MP2(x) = 0).



х2 Разделяющая

линия 2 R





х2' q3

Разделяющая

линия 1

q2



q1

х1' х1

рис.2


В особой области, заштрихованной на рис.2, оба предельных продукта неотрицательны, поэтому наклон изоквант неположителен. Особая область, совпадающая здесь с экономической областью, ограничена двумя кривыми, которые называются разделяющими линиями. Разделяющая линия 1 является геометрическим местом затрат, для которых наклон изокванты равняется нулю (MP1(x) = 0), а разделяющая линия 2 характеризует геометрическое место затрат, для которых наклон изокванты равен бесконечности (MP2(x) = 0). Разделяющая линия 1 показывает минимальные количества x2, необходимые для производства различных уровней выпуска. Например, для того, чтобы произвести q3 необходимо по крайней мере х2' затрат второго вида. Аналогично разделяющая линия 2 показывает минимальные количества х1, необходимые для выпуска продукции. Например, для того, чтобы произвести q1, требуется по крайней мере х1' затрат первого вида.

На этом же рисунке проиллюстрируем понятие дохода от расширения масштабов производства. Как известно, если производственная функция характеризуется постоянным доходом от расширения масштабов производства, то



f(λx1,λx2) = λ f(x1,x2) (32)

Возьмем в качестве λ= 1/х1, получим:

q = f(x1,x2) = 1/ λ f(λx1,λx2) = x1 f (1 ,x2/ x1) (33)

т.е. выпуск зависит только от уровня затрат одного вида x1 и от уровня отношения затрат (x2 / x1 ). Вдоль каждого луча, проходящего через начало координат, такого как OR на рис.2, соотношение затрат постоянно, так что выпуск продукции зависит только от x1. Например, если количество затрат первого вида в точке, где OR пересекает изокванту q3, равно удвоенному количеству в точке, где OR пересекает изокванту q2, то q3=2 q2

При этом очевидно, что если производственная функция характеризуется постоянным доходом от расширения масштабов производства, то все изокванты являются радиальным растяжением относительно какой-либо одной изокванты.

В качестве иллюстрации закона убывающей доходности могут служить кривые продукции (рис.3). На графике а) построена кривая продукции для затрат первого типа

P1(x) = f(x1,), (34)

показывающая зависимость выпуска от затрат первого типа при неизменных затратах второго типа. На рисунке б) показаны кривые среднего и предельного продукта.



(35)

Первое равенство характеризует выпуск продукции, произведенной на единицу затрат первого вида; второе – добавочный доход, полученный при использовании дополнительного количества затрат первого типа.

Геометрически MP1 выражает наклон кривой P1, а АP1 – тангенс угла, составленного лучом, проведенным из начала координат в P1.

На обоих графиках показаны три критические точки:

1), в которой P1 имеет точку перегиба, где МP1 достигает максимума;

2), в которой луч из начала координат касается P1 , где АP1 достигает максимума и равно МP1 ;

3), в которой P1 достигает максимума и МP1 =0.

На рис.3 показан также закон убывающей доходности, т.к. МP1 понижается после первой критической точки.

q

P1(x)











a)





МP1

АP1 б)






1-я стадия 2-я стадия 3-я стадия

рис.3
Также рисунок отражает три стадии производства.

Первая стадия длится до второй критической точки, в которой средний продукт достигает максимума (и равен предельному продукту). На этой стадии предельный продукт выше среднего:

МP1 > AP1 >0 (36)

Вторая стадия находится между второй и третьей критическими точками. На второй стадии средний продукт превышает предельный, а МP1 положительный:

АP1 > МP1 >0 (37)

Третья стадия расположена за третьей критической точкой. На этой стадии предельный продукт отрицателен МP1
2.5 Иллюстрация свойств на примере однофакторной ПФ
Рассмотрим однофакторную ПФ вида (7):

q = a0 + a1x –a2x2 (38)

Предположим, что все параметры (a0, a1, a2 ) положительны и переменная х неотрицательна. Функция вида (38) представляет собой уравнение параболы. При х = 0 функция принимает значение a0 . С увеличением затрат х продукт q растет до максимальной величины, после чего снижается до нуля в точке, где х удовлетворяет равенству:

a0 + a1x –a2x2 = 0 (39)

В дальнейшем q переходит в область отрицательных значений. Для экономического анализа эта область не представляет интереса.

Рассчитаем основные характеристики данной производственной функции.

Средний продукт равен:

(40)

Анализ АР показывает, что средний продукт при значениях х, близких к нулю, имеет большие значения, а затем быстро снижается до нуля, когда х удовлетворяет равенству:



(41)

При дальнейшем росте х АР переходит в область отрицательных значений. Средний продукт и сам продукт q равняется нулю при одном и том же значении х.

Определим предельный продукт МР:

(42)

При х = 0 МР=a1 , с увеличением х предельный продукт снижается по прямой до нуля, после чего становится отрицательным. Приравнивая производную к нулю (, х0), получим значения х, при котором продукт q достигает максимума, а предельная производительность равна нулю:



(43)

Характер изменения величин продукта, а также средней и предельной отдачи ресурса для функции вида (38) показан на рис.4

Данная производственная функция может использоваться для отражения, когда единственный фактор производства оказывает следующее влияние на величину выпуска: увеличение затрат до некоторого предела способствует росту продукта, а за этим пределом только ухудшают условия производства. В качестве примера можно назвать влияние на урожайность сельскохозяйственных культур нормы высева семян, количества внесенных удобрений, глубины орошения.

Эластичность выпуска по затратам равна:



(44)

Эластичность выпуска по затратам при небольших значениях х есть величина положительная меньшая единицы. С ростом переменной х эластичность, пройдя точку максимума, снижается, т.к. числитель дроби убывает быстрее знаменателя. После точки максимума продукта q при отрицательной предельной производительности (при ) эластичность является отрицательной величиной.


q = a0 + a1x –a2x2

a1

a0

MP AP

x

рис.4
3 ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ


3.1 Степенные производственные функции

Степенная производственная функция с n ресурсами имеет следующий вид:



, (45)

где q – объем выпуска

xj – количество j – го фактора

a, 1 ,2 ,…,n – положительные параметры

Обычно предполагается, что j

Степенную ПФ вида (45) часто представляют в логарифмическом виде, эквивалентном (45). При xj >0 (j = 1, 2,…, n):



(46)

Для данного вида производственных функций выпуск продукции невозможен при отсутствии хотя бы одного ресурса.

Предельная эффективность j – го ресурса имеет вид:

(47)

При xj > 0 () имеем , причем в силу 0j j к бесконечности предельная эффективность стремится к нулю (при постоянных объемах других ресурсов).

Эластичность выпуска по j – му ресурсу:

(48)

Данное соотношение показывает роль параметров j – это эластичности выпуска по соответствующему ресурсу. Показатели степени производственной функции вида (45) характеризуют отношение предельной и средней эффективностей использования производственных ресурсов. Таким образом, отношение этих двух эффективностей в степенной ПФ не зависит от количества используемых ресурсов.

Рассчитаем эластичность производства:

(49)

В степенных производственных функциях выполняется предположение о наличии определенной отдачи от изменения масштабов производства. При > 1 имеем возрастающую, при = 1 постоянную, а при

Можно сделать вывод о том, что степенная ПФ удовлетворяет всем четырем предположениям о производственных функциях.

Рассмотрим вопрос о замещаемости производственных ресурсов в степенной ПФ.

Предельные нормы замещения ij имеют вид:

(50)

Очевидно, что предельные нормы замещения являются линейными функциями отношения объемов ресурсов, поэтому изоклинали степенной ПФ – плоскости (при n=2 – лучи, исходящие из начала координат:

При ij = - cij=const имеем или )

При пропорциональном росте объемов производственных ресурсов предельная норма замещения не изменяется. При стремлении количества замещаемого ресурса к нулю предельная норма замещения падает, но остается положительной, т.е. возможность замещения сохраняется при любых малых количествах замещаемого ресурса.

Посчитаем эластичность замещения ij. Заметим, что из (50) следует:

, тогда (51)

(52)

равенство единице эластичности замещения ресурсов в степенных производственных функциях вне зависимости от коэффициентов a, 1 ,2 ,…,n является одним из важнейших свойств производственных функций этого типа. Оно показывает, что характеристика замещения одного ресурса другим задана заранее, вне зависимости от желания исследователя. Это является одним из недостатков производственной функции.

Изокванты степенной ПФ описываются соотношением:

(53)

Для двух ресурсов характерный вид изоквант показан на рис.5

х2 изоклинали

изокванты






х1

рис.5


На рисунке изокванта приближается к оси координат при стремлении одного из ресурсов к бесконечности. Это можно показать аналитически из уравнения изокванты:

(54)

получаем ее уравнение как функцию х21 )



(55)

В силу того, что 0 j 2(х1 )



(56)

т.е. изокванта неограниченно приближается к оси х1 . Аналогично, при изокванта приближается к оси х2.

Это стремление изоквант к координатным осям означает, что любое заранее заданное количество продукции может быть выпущено при сколь угодно малом количестве одного из ресурсов, если имеется в достаточном количестве другой ресурс. Это свойство переносится на степенные ПФ с любым числом переменных: одним производственным ресурсом можно компенсировать недостаток всех остальных ресурсов.
3.2 Производственная функция Кобба –Дугласа
Функция Кобба –Дугласа для двух факторов производства может быть записана как

Где a, ,  - константы, определяемые из наблюдаемых данных, Y- выпуск, L- мера услуг труда, К- мера услуг капитала.

Предельные продукты труда и капитала могут быть соответственно выражены следующим образом:

(57)

Очевидно, что эти выражения являются положительными.

Предельные продукты убывают при изменении каждого фактора при прочих равных условиях. Рассмотрим:

(58)

Поскольку  и  обычно меньше единицы, эти выражения являются отрицательными.

В предельном продукте труда (57) средний продукт труда домножается на параметр . Иногда выпуск на единицу труда именуется «индексом производительности труда». Если (57) разрешить относительно , то мы имеем:

(59)

что представляет собой частную эластичность выпуска от труда.

Она указывает на процентное изменение выпуска, приписываемое процентному изменению затрат труда при неизменности затрат капитала.

Аналогично  является частной эластичностью выпуска от капитала.

Поскольку параметры  и  каждый в отдельности представляют собой процентное изменение выпуска в зависимости от процентных изменений труда и капитала, то соответственно два коэффициента, взятые вместе, измеряют совокупное процентное изменение выпуска при данном изменении затрат труда и капитала. Короче говоря,  +  является степенью однородности производственной функции Кобба – Дугласа.

Отдача на единицу масштаба производства характеризуется следующим образом:

 +

 +  = 1 – постоянная отдача

 +  > 1 – экономия от масштаба
3.3 ПФ с постоянной эластичностью замещения ресурсов.
Функции этого класса имеют следующий общий вид:

(60)

где b, , , 1 ,2 ,…,n – положительные параметры

xj- количество j – го фактора (ресурса)

Функцию (60) можно представить в более удобной форме при xj >0 (j=1, 2,…,n)



(61)

Рассмотрим двухфакторную производственную функцию, для которой =1:



(62)

где q - размер выпуска продукции

х1 – затраты капитала

х2 – затраты труда

Для анализа свойств замещения построим изокванту функции (60), которая описывается соотношением:

(63)

Преобразуя это выражение, получим:



(64)

Окончательно уравнение изокванты имеет вид:



(65)

Эта изокванта изображена на рис.6






х2



х1



рис.6
На рис.7 дан общий вид изоквант для ПФ вида (60)

х2













х1

рис.7


При она имеет асимптоту . Это означает, что даже при неограниченном росте количества первого ресурса для выпуска продукции в количестве q0 необходим второй ресурс в количестве, большем. Аналогично при увеличении количества первого ресурса. Таким образом, полное замещение ресурсов, характерное для степенных ПФ, здесь отсутствует.

Рассмотрим свойства ПФ типа (60) в общем виде.

Для выпуска продукции необходимы все ресурсы. Это можно показать предельным переходом в функции (60) при , если зафиксировать любые положительные значения других переменных. Посчитаем предельную эффективность j-го ресурса:

(66)

Можно показать, что предельная эффективность ресурса падает с ростом его объема при постоянных количествах других ресурсов.

Эластичность выпуска по j-му ресурсу имеет вид:

(67)

Отсюда видно, что эластичности выпусков по ресурсам не постоянны, в отличие от степенных ПФ, т.е. отношение предельного продукта к среднему изменяется. При фиксированных затратах остальных ресурсов уменьшение количества j-го ресурса приводит к увеличению эластичности выпуска до величины , неограниченное увеличение – к падению эластичности выпуска по этому ресурсу до нуля. Поэтому отношение предельного продукта к среднему падает с ростом объема используемого ресурса.

Эластичность производства имеет вид:

(68)

Из (68) видно, что эластичность производства не зависит от отношения ресурсов. Параметр  характеризует отдачу от увеличения масштабов производства.

Предельные нормы замещения имеют вид:

(69)

Предельные нормы замещения зависят от отношения ресурсов, изоклинали являются плоскостями, а при пропорциональном увеличении количеств обоих ресурсов предельная норма замещения не изменяется.

Для определения эластичности замещения прологарифмируем соотношение (69):

(70)

Отсюда получим:



(71)

Эластичность замещения постоянна, но в отличие от степенных ПФ, не равна единице и меняется при изменении параметра  от единицы (при =0 ) до нуля (при ). Из-за этого свойства ПФ вида (60) и получили свое название – ПФ с постоянной эластичностью замещения или сокращенно ПЭЗ – функции. Распространено также название CES – функции от английского названия Constant Elasticity of Substitution.

При все характеристики ПЭЗ функции (j , ,ij ,ij ) стремятся к соответствующим характеристикам степенной ПФ. Можно показать, что и сама функция стремится к степенной ПФ при .А в случае двух факторов производства – к ПФ Кобба-Дугласа.

В случае, когда , согласно (71) в этом случае ,т.е. эластичность замещения также стремится к нулю, и, если произвести необходимые алгебраические преобразования, получим, что ПЭЗ стремится к ПФ с постоянными пропорциями.




3.4 Производственные функции с постоянными пропорциями
В литературе данный класс ПФ называют функциями затрат - выпуска, а также функциями Леонтьева. ПФ с постоянными пропорциями имеют следующий вид,:

, (72)

где b, c1 ,c2 ,…,cn – положительные параметры.

Основное отличие ПФ этого типа от рассмотренных ранее – наличие единственной рациональной структуры производственных ресурсов, задаваемой вектором с=( c1 ,c2 ,…,cn). Если вектор ресурсов х удовлетворяет соотношению х = с, (73)

где -неотрицательный скаляр, то ресурсы используются рационально, а выпуск продукции определяется соотношением:

q = b (74)

Всякое отклонение затрат ресурсов от этой структуры приводит к нерациональному использованию части ресурсов. Покажем это. Пусть структура вектора затрачиваемых ресурсов х отклоняется от рациональной, т.е.:

x=c + d (75)

где вектор d=( d1 ,d2 ,…,dn) имеет по крайней мере один нулевой элемент (пусть для определенности dn = 0), тогда, согласно (72):



(76)

То есть, выпуск продукции имеет ту же величину, что и при затратах x=c. Ресурсы, описываемые вектором d, были затрачены без какой-либо пользы, они не смогли заместить недостающий для увеличения производства n-й ресурс. Таким образом, здесь замещение недостающего ресурса невозможно не только тогда, когда этот ресурс полностью отсутствует, но и при любых количествах ресурса. Это позволяет ввести понятие лимитирующего ресурса, на котором достигается минимум производственной функции (72). Лимитирующих ресурсов может быть несколько. Увеличение их количества приводит к увеличению выпуска продукции, остальные ресурсы являются избыточными, увеличение их количества не приводит к увеличению выпуска продукции. Более того, возможно некоторое уменьшение их количества без потери в выпуске продукции. Если выполняется соотношение (73),то все ресурсы являются лимитирующими и избыточных ресурсов нет.

Для ПФ (72) выполняется первое предположение о свойствах ПФ, т.е. производство невозможно в отсутствии хотя бы одного ресурса. Рассмотрим другие свойства этой функции. Поскольку функция (72) недифференцируема (но непрерывна), то производные выпуска по ресурсам можно рассматривать только в отдельных областях пространства ресурсов. Это делает исследование в случае большого числа ресурсов довольно громоздким, поэтому возьмем для анализа функцию с двумя ресурсами и с=(1, 1),т.е. функцию следующего вида:

(77)

Эта функция сохраняет все основные черты функции (72) с произвольным числом ресурсов и произвольным вектором с.

Рассмотрим изокванты функции (77). Уравнение изокванты имеет вид:
(78)

Из этого соотношения следует, что для выпуска продукции в объеме . Увеличение количества одного из ресурсов сверх этой величины без изменения количества другого приводит к выпуску того же самого объема продукции q0. Поэтому изокванты имеют вид, изображенный на рис.8:



х2 А

q3

q2

q1

O x1

рис.8
Точки рациональных пропорций между ресурсами лежат на луче ОА.

Отметим, что при x1 >x2 имеем q = bx2, поэтому при x1 >x2

(79)

При x1 2 имеем q = bx1, поэтому



(80)

Отсюда следует, что при x1 >x2 :



(81)

а при x1 2 :



Полученные значения эластичности выпуска по ресурсам имеют следующий смысл: для лимитирующего ресурса предельная и средняя эффективности равны, в противном случае из-за равенства предельной производительности нулю эластичность выпуска по этому ресурсу равна нулю.

Эластичность производства  равна единице. Это следует из того, что

 = 1 +2 (82)

Также этот вывод может быть получен непосредственно:

(83)

То есть функция характеризуется постоянной отдачей от расширения масштабов производства.

Предельная норма замещения  при x1 >x2 равна -, а при x1 2 равна нулю, что следует из значений предельной эффективности. Вид изоквант на рис.8 также свидетельствует об этом, поскольку предельная норма замещения геометрически интерпретируется как тангенс угла наклона касательной к изокванте. Величина  не меняется при изменении отношения объемов ресурсов (кроме луча АО, где  меняется разрывно),поэтому обычное определение эластичности замещения ресурсов здесь не подходит. Поскольку функция (77) была получена предельным переходом из ПЭЗ- функции, причем эластичность замещения при этом стремится к нулю, то полагают  = 0 и говорят, что функция (77) имеет нулевую эластичность замещения, что не противоречит экономическому смыслу величины, так как она характеризует скорость изменения предельной нормы замещения .
3.4 Линейные производственные функции
Линейная функция выпуска может быть получена из ПЭЗ – функции предельным переходом при . При этом эластичность  меняется от единицы до бесконечности. Получим:

(84)

При  = 1 (постоянная отдача от увеличения масштабов производства) получаем линейную функцию:



, где aj = bj (85)

Изокванты этой производственной функции для случая двух производственных ресурсов изображены на рис.9:


х2







х1

рис.9
Как следует из (85), изокванта – это прямая линия.

Для функции (85) нарушается первое предположение о свойствах ПФ: производство может быть осуществлено при наличии любого из ресурсов. В этой функции отдельные ресурсы вообще не связаны между собой, каждый из них используется независимо, причем с постоянной предельной эффективностью:

(86)

Эластичность выпуска по отношению к изменению затрат j-го вида ресурсов имеет вид:



(87)

Она показывает, какая доля продукции выпускается за счет j-го ресурса.

Эластичность производства равна единице:

(88)

Предельная норма замещения ресурсов не зависит от количества используемых ресурсов:



(89)

В связи с этим, для функции (85) естественно положить  = , поэтому данную ПФ часто называют функцией с бесконечной эластичностью замещения. Функция типа (85) может использоваться в тех случаях, когда вклад каждого ресурса независим. Например, фирма состоит из отдельных производств, каждое из которых использует свой собственный производственный ресурс, подходящий только для этого производства.



4 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СУММАРНЫМИ, СРЕДНИМИ И ПРЕДЕЛЬНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ В ЭКОНОМИКЕ
4.1 Абсолютные и относительные величины в экономическом анализе
Все экономические показатели можно, с известной долей условности, разделить на абсолютные и относительные. Первые выражаются в каких-либо объемных или денежных единицах и могут быть либо потоковыми (т.е. величина за определенный период), либо запасовыми (т.е. величина за определенную дату). Вторые, относительные, показатели представляют собой отношения абсолютных ( или других относительных) показателей, то есть количество единиц одного показателя на одну единицу другого. Относительными показателями являются не только соотношения разных показателей в один и тот же момент времени, но и одного и того же – в разные моменты; это – темпы роста данного показателя. Широко используются два типа относительных показателей: это средние и предельные величины. Средняя величина в данном случае показывает величину соответствующего показателя в расчете на единицу выпуска, предельная – прирост соответствующего показателя в расчете на единицу прироста выпуска. В экономическом анализе и принятии решений в одних случаях важны абсолютные показатели, в других – относительные. Как правило, для комплексного анализа экономической ситуации, для выбора наилучшего решения важны как абсолютные, так и относительные показатели.

Встречаясь с этими величинами в экономике, часто приходится использовать соотношения между ними (например, между суммарными, средними и предельными издержками) и решать задачи на нахождение по одной из величин двух других (например, среднего и предельного дохода по суммарному доходу).



4.2 Соотношения между суммарными, средними и предельными величинами
Нахождение средней величины по суммарной. Формально, эта задача решается с помощью определения средней величины: . Для графического решения этой задачи (когда суммарная величина задана в виде графика) необходимо провести вектор, соединяющий начало координат с точкой графика функции, имеющей координаты (x, F(x)). Тангенс угла наклона этого вектора, равный отношению противолежащего катета прямоугольного треугольника F(x) к прилежащему x будет численно равен средней величине при любом значении независимой переменной х, отличной от нуля.


Y

F(x)

F(x)


 x


x

рис.10


Геометрическая интерпретация изменения средней величины


При изменении независимой переменной х угол наклона вектора также изменяется. Увеличение этого угла с увеличение х свидетельствует о возрастании средней величины, а уменьшение – об убывании. В частности для приведенного на рис.10 графика средняя величина убывает, и ее график изображен на рис.11




AF(x)



х

рис.11


Нахождение суммарной величины по средней


Формально обратная задача решается так же, ка и прямая, с помощью определения, из которого находим F(x)=x AF(x)

Если средняя величина задана в виде графика, то суммарную величину при данном значении независимой переменной х можно определить как площадь прямоугольника с вершинами в начале координат и точке графика средней величины, имеющей координаты (х, АF(x)), и сторонами х и AF(x). Определяя характер изменения площади, мы можем построить график суммарной величины. Однако, на практике, при качественном построении графиков, удобнее применить «метод подбора», т.е. подобрать такую функцию F(x), чтобы наклон прямой, соединяющей точки ее графика с началом координат, изменялся в соответствии с заданным характером изменения средней величины.


Нахождение предельной величины по суммарной


Формально эта задача решается с помощью определения предельной величины MF(x)= F(x).Для графического решения этой задачи необходимо через точку графика суммарной величины, имеющую координаты (x, F(x)), провести касательную к графику. Тангенс угла наклона касательной к графику суммарной величины в произвольной точке х согласно геометрической интерпретации производной будет численно равен предельной величине.

y

α


F(x)



x x


рис.12

Геометрическая интерпретация изменения предельной величины


При изменении независимой переменной х угол наклона касательной также изменяется. Увеличение этого угла с увеличением х свидетельствует о возрастании предельной величины, а уменьшение – об убывании. В частности, для приведенного выше графика суммарной величины предельная величина убывает, а ее график имеет вид :

MF(x)


х

рис.13

Нахождение суммарной величины по предельной


Формально обратная задача означает нахождение функции F(x), производная которой F(x)=MF(x) известна Для решения этой задачи служит операция интегрирования. В большинстве практических задач применение операции интегрирования часто можно заменить применением «метода подбора» - т.е. подобрать такую функцию F(x), что ее производная будет равна данной в задаче функции МF(x).

Если предельная величина задана в виде графика, то, согласно геометрической интерпретации неопределенного интеграла, площадь под графиком функции предельной величины в диапазоне изменения независимой переменной от нуля до х будет равна суммарной величине минус некоторая постоянная С.

Если при х0 площадь S(x) 0, то константу можно найти как значение суммарной величины при х=0.

Соотношения между средними и предельными величинами


Задача нахождения по одной из величин другой может быть сведена к одной из предыдущих задач, если, предварительно, мы найдем суммарную величину. Например, если дана средняя величина AF(x), то суммарная величина F(x)= х AF(x), а предельная МF(x)= F(x)= (х AF(x))=

=АF(x) + х АF(x). Аналогично можно выразить среднюю величину через предельную . Первое из этих соотношений имеет простую интерпретацию : в точке экстремума функции AF(x) ее производная равна нулю, и , следовательно, предельная величина совпадает со средней в точке экстремума последней. Предположим, что независимая переменная может принимать только положительные значения, тогда:

а) в области возрастания функции AF(x) ее производная AF(x) > 0,и

МF(x) > АF(x).

б) в области убывания функции АF(x) ее производная AF(x)

Таким образом, график предельной величины лежит выше графика средней величины в области возрастания последнего, ниже – в области убывания, и проходит через точку экстремума графика средней величины.









АС


МС

AC0

Рис.14


ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Наряду с производственными функциями для моделирования процесса производства также могут использоваться функции затрат, производственные способы. Функция затрат является обратной функцией по отношению к производственной функции и отражает зависимость объема затрат факторов производства от величины выпуска.

И производственные функции, и функции затрат используются для отражения таких процессов, когда производится один вид продукции и при этом затрачивается несколько видов ресурсов. Для моделирования производственных единиц с несколькими продуктами используются другие методы. Наиболее распространенным является метод, основанный на концепции производственного способа. Функции затрат и производственные способы не вошли в данное учебное пособие.



Список использованных источников





  1. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. – М.: Издательство «Айрис-Пресс», 2002. – 576 с.

  2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «ДИС», 1997. – 368 с.

  3. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика: в 2-х т./ Общая редакция В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа. 1998. Т. 1. 349 с.

  4. Замков О.О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе: Курс лекций. – М.: ГУ ВШЭ, 2001. – 122 с.

  5. Теория фирмы / Под ред. В.М. Гальперина. СПб : Экономическая школа, 1995. (Вехи экономической мысли»; Вып. 2). 534 с.


0>1>1>