Похожие работы
|
Теоретические вопросы из билетов к зачету (I семестр): - страница №1/1
Теоретические вопросы из билетов к зачету (I семестр):
(http://kadm.math.usu.ru)
-
Понятие множества. Равенство и включение множеств. Пустое и универсальное множества. Булевы операции, их свойства. Булеан множества.
-
Упорядоченные пары и кортежи. Декартово произведение, свойства.
-
Бинарные отношения на множестве. Основные свойства бинарных отношений. Примеры.
-
Основные типы бинарных отношений: эквивалентность, частичный порядок, линейный порядок.
-
Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактор-множество. Связь отношения эквивалентности и разбиения.
-
Матрица бинарного отношения. Связь свойств бинарного отношения и свойств его матрицы. Связь с операциями над булевыми матрицами.
-
Отображения (функции) как отношения. Обратное отображение как отношение. Инъективность, сюръективность, биективность. Ядро отображения.
-
Отношение частичного порядка. Отношение покрытия. Диаграммы ч.у.м.
-
Минимальные и максимальные, наименьшие и наибольшие элементы ЧУМ, их свойства.
-
Изоморфное вложение ч.у.м. Теорема о представлении ч.у.м.
-
Условия фундированности, индуктивности и артиновости. Как эти условия связаны между собой?
-
Вполне упорядоченные множества. Принцип полной индукции.
-
Ординалы. Ординальная сумма и ординальное произведение.
-
Аксиома выбора. Теорема Цермелло.
-
Мощность множества. Отношение равномощности. Кардинальное число. Сравнение кардинальных чисел. Теорема Кантора-Бернштейна.
-
Бесконечные множества. Критерий Дедекинда бесконечности множества. Счетные множества. Теорема о счетных множествах.
-
Континуальные множества. Теорема о континуальных множествах.
-
Теорема Кантора о булеане. Иерархия кардиналов. Континуум-гипотеза.
-
Парадоксы теории множеств. Способы их избежать.
-
Сочетания. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля. Свойство симметрии биномиальных коэффициентов.
-
Размещения без повторений, с повторениями. Перестановки без повторений, с повторениями. Полиномиальные коэффициенты.
-
Перестановки как функции. Орбиты элементов. Циклы. Теорема о разложении на циклы.
-
Симметрические группы. Группа симметрий квадрата. Изоморфизм групп. Теорема Кэли.
-
Числа Каталана. Число наддиагональных путей в квадратной решетке. Правильные расстановки скобок, триангуляции выпуклых многоугольников.
-
Принцип включения-исключения. Число сюръекций. Разбиения: числа Стирлинга второго рода, числа Белла.
-
Рекуррентные соотношения. Решение линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами. Числа Фибоначчи.
-
Конкатенация и ее свойства. Коммутирующие слова. Полугрупповой код.
-
Свободная полугруппа. Гомоморфизм. Теорема о гомоморфных образах свободной полугруппы.
-
Построение свободной группы: эквивалентность слов, операция на классах слов, редуцированные слова, единственность редуцированного слова в классе.
-
Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы.
Литература.
-
В.А. Баранский, В.В. Кабанов. Общая алгебра и ее приложения. Екатеринбург, 2008.
-
Ю.М. Важенин. Множества, логика, алгоритмы. Екатеринбург, 1995.
-
Н.К. Верещагин, А. Шень. Начала теории множеств. Часть 1. http://www.mccme.ru/free-books/
|