Рабочая программа для студентов направления 011000. 62 Механика. Прикладная математика «подготовлено к изданию»

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

«УТВЕРЖДАЮ»

Проректор по учебной работе
__________________ /Волосникова Л.М./

____ _____________ 2011 г.

ЛАБОРАТОРИИ СПЕЦИАЛИЗАЦИЙ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа

для студентов направления 011000.62 – Механика. Прикладная математика

«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:

Автор работы __________________ /Бельмецев Н.Ф./

«____» _____________ 2011 г.

Рассмотрено на заседании кафедры математического моделирования 11 февраля 2011 г., протокол №7.

Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.

«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:

Объем 7 стр.

И.о. зав. кафедрой __________________ /Бутакова Н.Н./

«____» _____________ 2011 г.

Рассмотрено на заседании УМК Института математики и компьютерных наук 23 марта 2011 г., протокол №6.

Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.

«СОГЛАСОВАНО»:

Председатель УМК __________________ /Гаврилова Н.М./

«____» _____________ 2011 г.

«СОГЛАСОВАНО»:

Зав. методическим отделом УМУ __________________ /Федорова С.А./

«____» _____________ 2011 г.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Н.Ф. Бельмецев

ЛАБОРАТОРИИ СПЕЦИАЛИЗАЦИЙ
Учебно-методический комплекс

Рабочая программа для студентов

направления 011000.62 – Механика. Прикладная математика

Тюменский государственный университет

2011

Н.Ф. Бельмецев. Лаборатории специализаций. Учебно-методический комплекс. Рабочая учебная программа для студентов направления «Механика. Прикладная математика» Института математики и компьютерных наук. Тюмень, 2011, 6 стр.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Лаборатории специализаций [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Н.Н. Бутакова, к.ф.-м.н., доцент, и.о. зав. кафедрой

математического моделирования

© ГОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2011

1. Цели и задачи курса
Цель дисциплины – изучение практических методов исследования дифференциальных уравнений, методами группового анализа.

Основные задачи курса по дисциплине «Лаборатории специализаций»:

1) обеспечить овладение минимумом знаний и практических навыков по групповому анализу дифференциальных уравнений;

2) познакомить студентов с идеологией применения теории непрерывных групп преобразований в математической физике

2. Тематический план курса

№	Тема	Лекции, час.	Практические занятия, час.	Самостоятельная и индивидуальная работа, час.	Итого часов по теме	Итого количество баллов
5 семестр
Модуль 1
1	Однопараметрические группы преобразований	0	12	10	22	0-30
Всего		0	12	10	22	0-30
Модуль 2
2	Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями	0	8	6	14	0-20
3	Алгебры Ли	0	4	4	8	0-10
Всего		0	12	10	22	0-30
Модуль 3
4	Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений (о.д.у.), допускающих группу	0	12	12	24	0-20
Коллоквиум №1		0	0	8	8	0-20
Всего		0	12	20	32	0-40
Итого за осенний семестр		0	36	40	76	0-100
6 семестр
Модуль 1
5	Групповая классификация о.д.у. второго порядка	0	10	10	20	0-30
Всего		0	10	10	20	0-30
Модуль 2
6	Инвариантные решения о.д.у.	0	12	10	22	0-30
Всего		0	12	10	22	0-30
Модуль 3
7	Инвариантные и частично инвариантные решения уравнений математической физики	0	6	6	12	0-10
8	Групповая классификация уравнений математической физики	0	6	6	12	0-10
Коллоквиум №2		0	0	8	8	0-20
Всего		0	12	20	32	0-40
Итого за весенний семестр		0	34	40	74	0-100
Итого за год		0	70	80	150	-

3. Планы практических занятий
Тема 1. Однопараметрические группы преобразований (12 час.)

Определение и примеры однопараметрических групп Ли; уравнение Ли; инварианты, инфинитезимальный оператор; инвариантные уравнения.

Тема 2. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями (8 час.)

Локальная группа Ли, допускаемая уравнением теплопроводности; группы точечных преобразований и формулы продолжения; определяющие уравнения; решение некоторых систем определяющих уравнений.

Тема 3. Алгебра Ли (4 час.)

Понятие алгебры Ли; операция коммутации; разрешимые алгебры Ли.

Тема 4. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений (о.д.у.), допускающих группу (12 час.)

Интегрирующий множитель для о.д.у. первого порядка вида Q(x,y)dx-P(x,y)dy=0; замена переменных, понижающая симметрию о.д.у.; дифференциальные инварианты.

Тема 5. Групповая классификация о.д.у. второго порядка (10 час.)

О.д.у. второго порядка, допускающие трехмерную алгебру Ли; общая классификация о.д.у. второго порядка; признаки линеаризуемости о.д.у. второго порядка.

Тема 6. Инвариантные решения о.д.у. (12 час.)

Нахождение инвариантных решений о.д.у.; оптимальная система инвариантных решений.

Тема 7. Инвариантные и частично инвариантные решения уравнений математической физики (6 час.):

Инвариантные решения уравнений в частных производных; частично инвариантные решения; существенно различные решения.

Тема 8. Групповая классификация уравнений математической физики (6 час.):

Групповая классификация дифференциальных уравнений на примере уравнений адиабатических движений газа и нелинейного уравнения теплопроводности.

4. Темы рефератов

1. Инварианты группы преобразований

2. Инвариантные многообразия

3. Инвариантные решения уравнений

4. Классификация инвариантных решений

5. Ранг и дефект многообразия

6. Частично инвариантные решения

7. Кратные волны

8. Автоморфные системы

9. Групповое расслоение

10. Касательные преобразования
5. Контрольные вопросы к зачету

Определение и примеры однопараметрических групп Ли.
Уравнение Ли
Инварианты, инфинитезимальный оператор.
Инвариантные уравнения
Локальная группа Ли, допускаемая уравнением теплопроводности
Группы точечных преобразований и формулы продолжения
Определяющие уравнения
Решение некоторых систем определяющих уравнений
Понятие алгебры Ли
Операция коммутации
Разрешимые алгебры Ли
Интегрирующий множитель для о.д.у. первого порядка вида Q(x,y)dx-P(x,y)dy=0
Замена переменных, понижающая симметрию о.д.у.
Дифференциальные инварианты
О.д.у. второго порядка, допускающие трехмерную алгебру Ли
Общая классификация о.д.у. второго порядка
Признаки линеаризуемости о.д.у. второго порядка
Нахождение инвариантных решений о.д.у.
Оптимальная система инвариантных решений.
Инвариантные решения уравнений в частных производных
Частично инвариантные решения
Существенно различные решения
Групповая классификация дифференциальных уравнений на примере уравнений адиабатических движений газа и нелинейного уравнения теплопроводности

6. Литература

Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. - М.: Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2004. – 352 с. [электронный ресурс] / Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/42324
Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. // Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика», № 8. – М.: Знание, 1989. – 48 с. [электронный ресурс] / Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/172
Ибрагимов Н. Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений // Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика», № 7. – М.: Знание, 1991. – 48 с. [электронный ресурс] / Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/195
Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. – Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. – 240 с.
Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978 .- 399 c.
Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. –М.: УРСС, 2007 .-240 с.
Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. -Ижевск: РХД, 2005 .-175 с. (др. годы издания)