Программа по дисциплине утверждено

Федеральное агентство по образованию Ульяновский государственный университет	Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине

УТВЕРЖДЕНО

Ученым советом факультета математики и информационных технологий

Протокол №________ от «____»_________20 г.

Председатель __________________

(подпись, расшифровка подписи)

Рабочая программа

Дисциплина:	Математический анализ

Кафедра:	Алгебро-геометрических вычислений ____(АГВ)____ (аббревиатура)

Специальность (направление): 08 05 01 Менеджмент организаций, 08.05.01 Менеджмент, 08.00.111 Маркетинг, 08.05.02 Экономика и управление на предприятиях машиностроения, 08.05.02 Экономика и управление городским хозяйством, 08.05.02 Экономика и управление торговлей, 08.05.05 Экономика и управление персоналом, 08.05.04 Экономика и государственное и муниципальное управление
(код специальности (направления), полное наименование)

Дата введения в учебный процесс УлГУ: «_____» ___________ 20 г.

Сведения о разработчиках:

ФИО	Аббревиатура кафедры	Ученая степень, звание
Штраус Леонид Авраамович	АГВ	к.ф.м.н.

Заведующего кафедрой

Мищенко С.П. /_____________/

(ФИО) (Подпись)

«______»__________ 20 г.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

Данная программа определяет объем знаний по курсу математического анализа для студентов факультета управления.

Пpогpамма pассчитана на 144 учебных часа.

Обучение пpоводится в двух семестpах. Предусматривается

в каждом семестpе выполнение индивидуального семестрового задания и проведение итоговой контрольной работы.

Дисциплина «Математический анализ» базируется на знаниях и умениях, полученных студентами в школе. Курс математического анализа имеет образовательное и прикладное значение. На практических занятиях вырабатываются умения и навыки решения задач математического анализа, даются приложения основных понятий математического анализа в экономике.

Цели

Целями изучения дисциплины являются:

Научное обоснование понятий и фактов математического анализа, первое представление о которых дается в школьном курсе математики, овладение начальными знаниями по математическому анализу, необходимыми для изучения других дисциплин специальности (например, теории вероятностей) и применения математических методов в экономике.
развитие навыков решения задач по математическому анализу

Задачи

Основными задачами учебной дисциплины являются:

1. формирование у будущих экономистов комплексных знаний об основных структурах и методах исследования в математическом анализе, применяющихся в экономике

2. приобретение студентами навыков и умений по решению простейших задач математического анализа.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате изучения дисциплины «Математический анализ» студенты должны

знать основные понятия (и соответствующие факты ) данного курса:

множества и функции, действительные чисел, предел последовательности и функции, непрерывность функции, точки разрыва, дифференцируемая функция, дифференциал, производная, монотонная функция, экстремум функции одной переменной, выпуклость, точки перегиба, асимптоты; неопределённый и определённый интегралы, частные производные и дифференциал, экстремум функции нескольких переменных, дифференциальное уравнение, его решение и общее решение, числовой ряд, сходящийся ряд, функциональный и степенной ряды, область и радиус сходимости.

уметь решать простейшие задачи по данному курсу:

1. Находить пределы последовательностей; находить пределы рациональных и иррациональных выражений непосредственно и с помощью табличных эквивалентностей.

2. Находить точки разрыва функции и определять их тип.

3. Владеть техникой дифференцирования: применять правило дифференцирования сложной функции, приём логарифмического дифференцирования, дифференцировать параметрически и неявно заданные функции, находить производные высших порядков.

4. Применять дифференциал к приближённым вычислениям.

5. Находить пределы (раскрывать неопределённости) с помощью правила Лопиталя.

6. Проводить с помощью производной исследование функций и строить их графики.

7. Владеть техникой интегрирования: уметь интегрировать простейшие выражения непосредственно, а также с помощью приемов интегрирования по частям и замены переменной. Применять интеграл для решения прикладных задач.

8. Находить частные производные и экстремумы функций двух переменных.

9. Решать простейшие дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах, а также линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

10. Исследовать числовые ряды на сходимость с помощью простейших признаков, а также находить радиус сходимости степенных рядов.

Объем дисциплины и виды учебной работы:

Вид учебной работы	Количество часов (форма обучения очная__)
	Всего по плану	В т.ч. по семестрам
	Всего по плану	1	2	3
1	2	3	4	5
Аудиторные занятия:	144	72	72
Лекции	72	36	36
практические и семинарские занятия	72	36	36
Самостоятельная работа	144	72	72
Всего часов по дисциплине	288	144	144
Текущий контроль (количество и вид, контрольные работы)	2	1	1
Курсовая работа
Виды промежуточной аттестации (экзамен, зачет)	экзамен	экзамен	экзамен

Распределение часов по темам и видам учебной работы:

Форма обучения ___очная____

Название и разделов и тем	Всего	Виды учебных занятий
		Аудиторные занятия		Самостоятельная работа
		лекции	практические занятия, семинар	Самостоятельная работа
1	2	3	4	5
1. Введение в анализ	40	20	20	40
2. Дифференциальное исчисление	32	16	16	32
3. Интегральное исчисление	32	16	16	32
4. Функции нескольких переменных	16	8	8	16
5. Ряды	12	6	6	12
6. Дифференциальные уравнения	12	6	6	12
Итого	144	72	72	144

СОДЕРЖАНИЕ

Тема 1: Введение в анализ.

1.1.Действительные числа

Множества и операции над ними. Логическая символика. Аксиоматическая теория множества действительных чисел. Аксиома полноты. Изображение действительных чисел на прямой.

Числовые промежутки. Модуль действительного числа. Ограниченные и неограниченные множества.. Теорема о существовании верхней грани у ограниченного сверху множества. Принцип Кантора вложенных отрезков. Лемма о предельной точке.
1.2. Функции

Общее понятие функции. Композиция функций. Обратимая функция. Понятие об обратной функции. Сужение функции. Действительные функции действительной переменной и их способы задания. Арифметические действия над числовыми функциями. Некоторые классы функций: ограниченные и неограниченные, монотонные, четные, нечетные, периодические. Классификация функций. Числовые последовательности, их свойства (огpаниченность, монотонность) и способы задания. Подпоследовательности. Применение функций в экономике.

1.3. Предел.

Предел числовой последовательности. Основные свойства сходящихся последовательностей. Теоpемы о пpеделах, связанные с аpифметическими действиями и неpавенствами. Пpедел монотонной ограниченной последовательности. Число "е" и связанные с ним пpеделы. Опpеделение пpедела функции в точке. Теоpемы о пpеделах функций, связанные с аpифметическими действиями и неpавенствами. Одностоpонние пpеделы. Пpедел функции пpи х а. Бесконечные пpеделы. Бесконечно малые, бесконечно большие функции. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

1.4. Непрерывность.

Понятие непрерывности функции в точке и на множестве. Непрерывность суммы, произведения, частного. Непрерывность сложной функции. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классификация. Свойства непрерывных на отрезке функций. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции. Таблица эквивалентности бесконечно малых функций.

Тема 2: Дифференциальное исчисление функций одной переменной
2.1. Функции одной переменной

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Геометрический, механический, экономический смысл производной. Эластичность.Уравнение касательной и нормали к плоской кривой. Дифференцируемые функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования: производная суммы, произведения и частного.Односторонние и бесконечные производные. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производная параметрически заданной функции. Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Применение понятия производной в экономике.

Дифференциал. Инвариантность формы записи дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков. Экономический смысл второй производной. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Экономический смысл теоремы Лагранжа.

Теорема Коши. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей. Формула Тейлора. Исследование функций методами дифференциального исчисления. Условия постоянства функции. Монотонные функции. Необходимое условие монотонности. Достаточное условие монотонности. Экстремум функции. Необходимое условие существования экстремума. Достаточное условие существования экстремума. Направление выпуклости кривой. Достаточное условие выпуклости. Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

Приложение производной в экономической теории.

Тема 3: Интегральное исчисление.

3.1. Неопределённый интеграл.

Первообразная функция и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной (подстановка), интегрирование по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций.

3.2. Определённый интеграл.

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Понятие определённого интеграла и условия интегрируемости функции на отрезке. Свойства определённого интеграла. Определённый интеграл с переменным верхним пределом.

Теорема о производной определённого интеграла с переменным верхним пределом.

Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в

определённом интеграле. Несобственные интегралы. Приближённые вычисления определённого интеграла. Геометрические приложения определённого интеграла. Несобственные интегралы. Использование понятия определённого интеграла в экономике.

Тема 4: Функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных. Поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные функции нескольких переменных. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Понятие дифференцируемой функции (на примере функции двух переменных). Необходимое условие дифференцируемости. Дифференцируемость и непрерывность. Полный дифференциал. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Производные сложной функции. Дифференциал сложной функции.

Частные производные и дифференциалы высших порядков. Локальный экстремум функции двух переменных. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

Наибольшее и наименьшее значение функции в заданной области. Функции нескольких переменных в экономической теории.
Тема 5. Ряды.

5.1. Числовые ряды.

Понятие числового ряда. Частичные суммы числового ряда. Сходящиеся числовые ряды. Геометрическая прогрессия. Гармонический ряд. Необходимое условие сходимости числового ряда. Понятие знакоположительного ряда. Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда. Признак сравнения знакоположительных рядов. Признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак.

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

5.2. Степенные ряды.
Понятие степенного ряда. Теорема Абеля об абсолютной сходимости степенного ряда.

Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Разложение в степенной ряд элементарных функций.

Применение рядов в приближенных вычислениях.

Тема 6. Дифференциальные уравнения.

Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике.

ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1 семестр.

1. Элементарные функции и их графики.

2. Предел последовательности. Вычисление пределов последовательностей.

Число "е" и связанные с ним пределы.

3. Предел функции. Вычисление пределов функций.

4. Таблица эквивалентности бесконечно малых. Вычисление пределов с помощью эквивалентности бесконечно малых.

5. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.

6. Техника дифференцирования. Дифференциал и его приложения.

7.Исследование функций и построение графиков.

2 семестр.
1. Неопределённый интеграл. Непосредственное интегрирование.

2. Замена переменной в неопределённом интеграле. Интегрирование

по частям.

3. Интегрирование простейших рациональных дробей.

4. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций.

5. Определённый интеграл. Приложения определённого интеграла.

6. Несобственные интегралы.

7. Функции нескольких переменных.

8. Числовые ряды. Степенные ряды.

9. Дифференциальные уравнения.

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА

I семестр.

Действительные числа. Модуль действительного числа и его свойства.
Множества и операции над множествами. Числовые множества. Ограниченные и неограниченные множества. Определение границ и граней числовых множеств. Теорема о существовании верхней грани ограниченного сверху множества.
Числовая последовательность и ее предел. Единственность предела.
Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
Арифметические операции над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух последовательностей.
Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами: теорема о трех последовательностях, предельный переход в неравенствах
Бесконечно малые последовательности. Необходимое и достаточное условие существования предела последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей.
Бесконечно большие последовательности. Неограниченные последовательности. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
Предел монотонной ограниченной последовательности. Число «е».
Подпоследовательность. Теорема об извлечении сходящейся подпоследовательности.
Общее понятие функции. Числовые функции и их свойства. Элементарные функции и их графики.
Предел функции в точке. Единственность предела.
Бесконечно малые функции и их свойства. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке. Сравнение бесконечно малых функций. Таблица эквивалентности.
Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций. Неограниченные функции.
Теорема об ограниченности функции, имеющей предел в точке. Теоремы о пределах функций, связанные с арифметическими действиями. Теоремы о пределах функций, связанные с неравенствами.
Первый замечательный предел. Следствия.
Второй замечательный предел. Следствия.
Непрерывность функции в точке.
Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация.
Свойства функций, непрерывных в точке: непрерывность суммы, произведения и частного. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Непрерывность композиции.
Обратная функция. Непрерывность функции, обратной к непрерывной строго монотонной.
Непрерывность основных элементарных функций: линейной, рациональной, степенной, показательной, логарифмической , тригонометрических, обратных тригонометрических, гиперболических.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Производная, ее геометрический, механический, экономический смысл.
Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.
Дифференцируемость функции. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
Правила дифференцирования. Производная суммы, произведения и частного.
Производные обратной, сложной, параметрически заданной функций. Производная функции, заданной неявно.
Производные основных элементарных функций. Таблица производных.
Дифференциал. Инвариантность формы дифференциала первого порядка. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Теоремы Ролля, Лагранжа. Правило Лопиталя.
Формула Тейлора. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
Необходимое и достаточное условие постоянства функции.
Монотонность функции. Достаточное условие строгой монотонности. Необходимое и достаточное условие монотонности.
Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Выпуклость функции. Достаточное условие выпуклости.
Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
Асимптоты графика функции.
Общая схема исследования функций и построения графиков.
Применение производной в экономической теории.

II семестр.

1. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного

интеграла. Таблица интегралов.

Основные методы интегрирования: непосредственноe интегрирование, замена переменной (подстановка) и интeгрирование по частям.
Интегрирование простейших рациональных дробей.
Интегрирование иррациональных функций.
Интегрирование тригонометрических функций.
Определённый интеграл и его свойства.
Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной в определённом интеграле.
Интегрирование по частям в определённом интеграле.
Геометрические приложения определённого интеграла.
Несобственные интегралы.
Приложения определённого интеграла в экономике.
Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Линии уровня. Предел и непрерывность функции двух переменных.
Частные производные функции двух переменных, геометрический смысл частных производных.
Дифференцируемость функции двух переменных. Полный дифференциал.
Производная по направлению. Градиент.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
Экстремум функции двух переменных.
Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в заданной области.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Числовой ряд и его сумма. Сходимость ряда. Действия над рядами.

Необходимое условие сходимости числового ряда.

Геометрическая прогрессия.
Гармонический ряд.
Знакоположительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительных рядов.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак.
Знакочередующиеся ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теорема Лейбница.
Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда.
Ряд Тейлора и ряд Маклóрена. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
Применение рядов в приближенных вычислениях.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.

Л И Т Е Р А Т У Р А

ОСНОВНАЯ

Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш.Кремера.- М.: Банки и биржи,

1998.- 471 с.

А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. Краткий курс математического анализа для втузов. – М.: Наука, 1973.- 720 с.

3. Зорич В.А. Математический анализ, часть 1-М.: Наука,1981.-544с.

4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие для вузов.- М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2002.- 558 с.

5. Ляшко И.И., Боярчук А.А., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах и задачах, ч.1. Введение в анализ, производная, интеграл. – Киев, Издательское объединение «Вища школа», 1974.-680 с.

6.Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты: Учебное пособие. 3-е изд., испр.-СПб.: Издательство «Лань», 2005. -240 с.

7. Штраус Л.А., Баринова И.В. Пределы: методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления.- Издательство УлГУ, 2007.-25 с.

8. Штраус Л.А. Интеграл. Методические указания для студентов экономического факультета и факультета трансферных специальностей.- Издательство УлГУ, 1997.- 54с.

Форма А Страница из

Оглавление