Московский государственный технический

1. ХАРАКТЕРИСТИКИ АТОМНЫХ ЯДЕР

Основные теоретические сведения

Атомные ядра состоят из протонов и нейтронов, которые имеют одинаковый спин и почти равные массы. Общее название этих частиц - нуклоны. Физические свойства ядра определяются зарядовым числом (порядковым номером) Z, равным числу протонов в атомном ядре, и числом нейтронов N. Число А всех нуклонов в ядре называется массовым числом. Очевидно, что А = Z + N. Для описания ядра принято слева от символа химического элемента указывать сверху число нуклонов А, а снизу - заряд ядра Z. Например, - ядро атома алюминия, имеющего число протонов Z = 13 и массовое число А = 27.

В первом приближении форму атомного ядра можно смоделировать в виде шара, радиус которого определяется по эмпирической формуле

. (1.1)

Объединение нуклонов в ядро атома осуществляется посредством ядерных сил, обусловленных сильным взаимодействием между нуклонами. При этом освобождается энергия, соответствующая энергии связи ядра Е_св. Для разрушения ядра на составляющие его нуклоны необходимо затратить энергию, равную энергии связи. Согласно уравнению эквивалентности массы-энергии, энергия покоя ядра E_я= M_яс², а энергия покоя составляющих его нуклонов равна (Zm_p+ Nm_n)c². Следовательно:

Е_св=(Zm_p+ Nm_n - M_яд)c², (1.2)

где m_p - масса протона, m_n - масса нейтрона, M_яд масса ядра атома.

Отсюда видно, что этой энергии связи соответствует разность масс между суммарной массой отдельных нуклонов и массой ядра атома, которая называется дефектом масс

. (1.3)

Энергия связи, приходящаяся на один нуклон Е_св/А , называется удельной энергией связи нуклонов в ядре.

Энергию связи ядра атома можно рассчитать также с помощью полуэмпирической формулы Вейцзеккера

(1.4)

где слагаемые имеют следующий физический смысл:

- энергия связи короткодействующими ядерными силами,

- уменьшение энергии связи вследствие ненасыщенности связей поверхностных нуклонов,

- уменьшение энергии связи из-за кулоновского отталкивания,

- энергия симметрии, т.е. уменьшение энергии при отклонении от равенства N = Z,

- изменение энергии связи, связанное со спариванием одинаковых нуклонов в ядре, т.е. объединением в пары, как протонов, так и нейтронов,

Замечание: необходимо обратить особое внимание на то, что энергия связи отражает уменьшение массы ядра по сравнению с суммарной массой составляющих ядро нуклонов.

Литература.

Савельев И.В. Курс общей физики. Учебн. пособие. В 5 кн. Кн.5. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. – М.: Наука. 1998. Гл.10.
Трофимова Т.И. Курс физики. Учебн. пособие. –М.: Высш. шк. 1990. Гл. 32.

Примеры решения задач

Пример 1

Оценить расстояние между центрами нуклонов в ядрах атомов.

Решение

Используя формулу (1.I), можно определить объём ядра атома с массовым числом А

Тогда на каждый нуклон приходится объем, равный

.
Принимая для простоты, что каждый нуклон занимает в ядре кубическую ячейку, можно оценить расстояние между центрами нуклонов, считая его равным стороне куба

.

Полученную величину полезно сравнить с типичным расстоянием между атомами в молекулах и между молекулами в газах .

Пример 2

Считая, что ядро моделируется однородно заряженным шаром, оценить потенциал электрического поля в точке, расположенной на поверхности ядра.

Решение

В заданном приближении потенциал электрического поля на поверхности ядра можно определить с помощью закона Гаусса по формуле

, где q = Z|e| - заряд ядра, R – его радиус.

Тогда, используя формулу (1.1), преобразуем ее к виду

Подставив в нее заданные величины (Z = 40 и А = 95), получим

В.

Величина впечатляющая.

Пример 3

Определить отношение второго слагаемого к первому в формуле Вейцзеккера (1.4): а) для ядра, б) для ядра .

Решение

Искомое соотношение можно вычислить по формуле

.

У алюминия А₁ = 27, соответственно η₁ ≈ 0,38. У серебра А₂ = 107, соответственно η₂ ≈ 0,24. Как видим, для ядер с небольшим массовым числом большая доля нуклонов находится в поверхностном слое с ненасыщенными связями.

Пример 4

Вычислить разность масс «зеркальных» ядер атомов и .

Решение

По периодической системе элементов определяем, что в ядре атома заданного изотопа серы число протонов Z₁=16, а число нейтронов N₁ =17. В ядре , наоборот, Z₂=17, а N₂=16. Поэтому они называются «зеркальными». Массу каждого ядра можно определить как сумму масс образующих его нуклонов за вычетом дефекта масс:

;

.

Тогда искомая разность масс равна

Для удобства расчетов выразим ее в энергетических единицах

где m_pс² = 938,26 МэВ - энергия покоя протона, m_nс² = 939,55 МэВ - энергия покоя нейтрона.

Используя формулу Вейцзеккера (1.4), получаем (с учетом, что А₁ = А₂)

.

Тогда .

После расчета получаем МэВ = Дж.

Соответственно

На эту величину масса ядра больше, чем масса ядра .

Задачи для самостоятельного решения

1.1-1.25. Оценить плотность ядерного вещества и концентрацию нуклонов в ядре атома, указанного в таблице вариантов 1.

2.1-2.25. Оценить объемную плотность электрического заряда в ядре атома, указанного в таблице 1.

3.1-3.25. Вычислить с помощью формулы Вейцзеккера удельную энергию связи в ядрах атомов, указанных в таблице 1.

4.1-4.25. Используя полученное в предыдущей задаче значение энергии связи, вычислить массу ядра.

Таблица 1

Номер задачи	Ядро атома	Номер задачи	Ядро атома	Номер задачи	Ядро атома
1.1		1.10		1.18
1.2		1.11		1.19
1.3		1.12		1.20
1.4		1.13		1.21
1.5		1.14		1.22
1.6		1.15		1.23
1.7		1.16		1.24
1.8		1.17		1.25
1.9

следующая страница >>