Методические указания к выполнению контрольной работы по учебной дисциплине «Математика» для подготовки бакалавров по программе ооп( срок освоения 5 лет)фгос впо 3-го поколения по направлениям : 081100

Методические указания к выполнению контрольной работы по учебной дисциплине «Математика» для подготовки бакалавров по программе ООП( срок освоения 5 лет)ФГОС ВПО 3-го поколения по направлениям : 081100.62 Государственное и муниципальное управление и 080200.62 Менеджмент.

Контрольная работа выполняется во втором семестре. Для выполнения контрольной работы необходимо изучить теоретические вопросы и приобрести практические навыки решения задач следующих тем:

Дифференциальные уравнения

1. Понятие о дифференциальном уравнении. Дифференциальное уравнение первого порядка. Понятие об общем и частном решении. Начальные условия. Интегральные кривые.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

4.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейно- независимые решения. Структура общего решения.

6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение уравнения.

7. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Теорема наложения.

8. Метод вариации произвольных постоянных.

9. Частные решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами для правых частей в виде функций : многочлен; Aekx; A cos( nx)+ B sin( nx).

Теория вероятностей.

1.Относительная частота события. Вероятность события. Полная группа событий. Статистическое и классическое определения вероятности.

2. Сумма событий. Вероятность суммы несовместных событий. Вероятность суммы двух совместных событий.

3. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

4. Формула полной вероятности.

5. Формула Байеса.

6. Формула Бернулли (теорема о повторении независимых испытаний).

7. Наивероятнейшее число появления события в n независимых испытаниях.

8.Формула Пуассона.

9. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.

10. Ряд распределения дискретной случайной величины.

11. Функция распределения случайной величины ( интегральная функция распределения).

12.Плотность вероятностей (дифференциальная функция распределения).

13.Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение), их свойства.

14. Виды распределений: биноминальное, пуассоновское, равномерное, нормальное)′

15. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.

Примеры решения задач.

Задача №1. Решить уравнение y'- y tgx= -y2cosx.

Решение: Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения ( как и для линейного уравнения) искомую функцию y представим в виде произведения двух других функций : u = u(x) и v =v (x), то есть введем подстановку y = u v . Тогда y'= u 'v + u v' и данное уравнение примет вид: u 'v + u v' - u v tgx = - u 2v2 cosx или

v( u '- u tgx) + u v' = - u 2v2 cosx (1)

Выберем функцию u так, чтобы u '- u tgx=0 (2).

При подобном выборе функции u уравнение (1) примет вид :

u v' = - u 2v2 cosx или v' = - u v2 cosx (3).

Решая уравнение (2) как уравнение с разделяющимися переменными , имеем: d udy = u tgx , d u u = tgx dx, ln u = - lncosx, u = 1cosx.

Здесь произвольная постоянная C = 0. Подставляя найденное значение u в уравнение (3), имеем:

dvdx = - 1cosxv2 cosx , dv-v2 = dx, 1v = x+ C, v = 1x+C.

Тогда y = u v = 1cosx 1x+C = 1(x+C)cosx - общее решение данного уравнения.

Задача №2. Найти частное решение уравнения y″+ 4y = 4sin(2x) – 8 cos(2x), удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0, y'0= 0

Решение: Общее решение y данного уравнения равно сумме общего решения yодн. однородного уравнения и какого- либо частного решения yч данного уравнения, то есть y = yодн.+ yч.

Для нахождения yодн. составим характеристическое уравнение k2+ 4 = 0, имеющее комплексные корни k1=2i и k2= -2i. В этом случае общее решение неоднородного уравнения ищем в виде

yодн.= eαx( C1cos⁡(β x) + C2sin(β x)), (4) где α ±βi –комплексные корни характеристического уравнения.

Подставив в равенство (4) α = 0, β = 2 , имеем:

yодн.= e0x( C1cos⁡(2x) +C2 sin(2x)) = C1cos⁡(2x) + C2sin(2x ). Для нахождения частного решения yч неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция f(x) = eαx( C1cos⁡(β x) + C2sin (β x) ) и числа α ±βi не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение yч = x ( A cos(2x) + B sin(2x) ).

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим y″ч:

y″ч = (4B – 4Ax) cos(2x) + (- 4A-4Bx) sin(2x)

Подставив в данное уравнение yч и y″ч, получим:

4B COS(2x) – 4A sin(2x) = 4 sin (2x) – 8 cos(2x), откуда A= -1, B=-2. Следовательно, yч = - x ( cos(2x) + 2 sin(2x) ) и

Y=C1cos⁡(2x) + C2sin(2x ) - x ( cos(2x) + 2 sin(2x)). Есть искомое

Найдем y':

y' = -2 C1sin(2x) + 2C2cos(2x) – cos(2x) – 2sin(2x) –x ( -2sin (2x)+ 4cos(2x)). Используя начальные условия, получим систему:

C1 = 0

2C2 - 1 =0, откуда C1 = 0, C2 = 12. Следовательно,

Y=12cos⁡(2x) - x ( cos(2x) + 2 sin(2x)) есть искомое частное решение данного уравнения.

Задача №3. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут, не менее трех?

Решение: Пусть событие A-из четырех семян взойдут не менее трех; событие B- из четырех семян взойдут три семени; событие С- из четырех взойдут четыре семени. По теореме сложения вероятностей

P (A) =P (В) + P (C).

Вероятности P (В) и P (C) определим по формуле Бернулли, применяемой в следующем случае. Пусть производится серия n независимых испытаний , при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна p ,а вероятность не наступления события этого события равна q=1 – p. Тогда вероятность того, что событие А в n испытаниях появиться ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли:

pn(k) = Cnk pk qn-k, где Cnk =n!k!(n-k)! - число сочетаний из n элементов по k.

Тогда P (В)= p4(3)= C43 p3 q4-3 = 4!3!4-3!0,93(1-0,9)=)0,2916;

P (C) = p4(4) = C44 p4 q4-4 = 0,94= 0,6561.

Искомая вероятность P (A) =0,2916 + 0,6561 = 0,9447.

Задача №4. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350?

Решение: Вычислить искомую вероятность p400(350) по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:

pn(k)= 1npq φ(x), где φ(x)=12πe-x22 и x=k-npnpq.

Из условия задачи p =0,9 ; q=1 – 0,9=0,1; n=400;k =350.λ

Тогда x =350-400⋅0,9 400⋅0,9⋅0,1 = -1,67.

Из таблицы 1 приложений находим φ(-1,67)) = φ(1,67)=0,0989

Искомая вероятность равна p400(350) ≈1400⋅0,9⋅0,1⋅0,0989≈0,0165.

Задача №5. Среди семян пшеницы 0,02% сорняков. Найти вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет обнаружено 6 семян сорняков.

Решение: Применение Локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности p=0,0002 приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения, поэтому при малых значениях p для вычисления pn(k) применяют формулу Пуассона

pn(k) ≈λkk!⋅e-λ, где e≈2,7182…; λ=np.

По условию задачи p=0,0002: n= 10000 ; k=6.

Тогда λ=10000⋅0,0002=2 и

p10000(6) ≈266!⋅e-2≈64720⋅0,1353≈0,012.

Задача №6.Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.

Решение: Если вероятность наступления события А в каждом из n испытаний постоянна и равна p , то вероятность

pn(k1≪k≪k2) ≈ 12π αβe-x22 dx, где α=k1-npnpq, β=k2-npnpq.

Функция Ф(x)=12π 0xe-t22dt называется функцией Лапласа. В приложениях (таблица 2) даны значения этой функции для 0 ≪x≪5. При x>5 функция

Ф(x) =0,5. При отрицательных значениях x в силу нечетности функции Лапласа Ф(-x) = - Ф(x). Используя функцию Лапласа, имеем pn (k1≪k≪k2)) ≈ Ф(β) - Ф(α).

По условию задачи n=500; P=0,9; q=0,1; k1=400; k2=440. Найдем α и β:

α =400-500⋅0,9500⋅0,9⋅0,1=-7,45; β= 440-500⋅0,9500⋅0,9⋅0,1=-1,49.

Тогда p500(400≪k≪440) ≈ Ф(-1,49)- Ф(-7,45) ≈- Ф(1,49)+ Ф(7,45) ≈-0,4319 +0,5≈0,0681.

Задача №7. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

X	40	42	41	44
P	0,1	0,3	0,2	0,4

Найти : 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию Д(х); 3) среднее квадратическое отклонение .σ

Решение: Математическое ожидание М(X) вычисляется по формуле:

М(X)=х1 ⋅p1 + х2 ⋅p2 +…+ хn ⋅pn,

Тогда М(X)= 40⋅0,1 + 42⋅0,3+ 41⋅0,2 + 44⋅0,4 = 42,4.

Дисперсией Д(X) дискретной cлучайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения cлучайной величины X от ее математического ожидания, т.е.

Д(X) = М((X - МX)2=(x1-МX)2⋅p1+ (x2-МX)2⋅p2+ … +(xn-МX)2⋅pn .

Из последней формулы имеем

Д(X)= (40-42,2)2⋅0,1 +(42-42,2)2⋅0,3 +(41-42,2)2⋅0,2 +(40-42,2)2⋅0,4 =2,04.

Дисперсию можно найти другим способом , исходя из следующего свойства: дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания М(X) , то есть

Д(X)= М(X2 ) – (МX)2.

Для вычисления М(X2 ) составим закон распределения величины X2:

X	402	422	412	442
P	0,1	0,3	0,2	0,4

М(X2 )= 402⋅0,1 +422⋅0,3 +412⋅0,2 +)= 442⋅0,4 =1799,8

Д(X)= 1799,8-42,42 =2,04.

Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение σ случайной величины X, равное квадратному корню из дисперсии Д(X), т.е.

σ =Д(X) .

Из этой формулы имеем σ =2,04 ≈1,43.

Задача №8. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения

0 при x

F(x) = x3 при 0≪x≪1,

1 при x>1

Найти : 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) математическое ожидание М(X); 3) дисперсию Д(X).

Решение: 1) Дифференциальной функцией распределения f(x) непрерывной случайной величины называется производная от интегральной функции F(x), то есть f(x) =F'(x).

0 при x

f( x) = 3 x2 при 0≪x≪1,

0 при x>1

2) математическое ожидание определяется по формуле:

М(X) =-∞∞xf(x)dx.

Так как функция f( x) при x1 равна нулю, то из последней формулы имеем

М(X) =01x f( x) dx =01x 3 x2 dx=3x44 |01=34.

Дисперсию определим по формуле

Д (X) =-∞∞(x- МX) 2⋅ f( x) dx.

Тогда Д (X) =01(x- 34) 2⋅ 3 x2 dx =3 01(x4-32x3+916x2)⋅ dx=

3 (x55- 3x48+ 3x316) |01= 3 15-38+316= 380.

Задача №9. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм . Найти : 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность того. что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем 1,5мм.

Решение: 1) Пусть X- длина детали. Если случайная величина X распределена по нормальному закону , то P (α≪X≪β) = Ф(β-aσ ) - Ф(α-aσ ), где Ф(x)- функция Лапласа, a= М(X), σ=Д(X).

В задаче a= 40 , α=34; β =43, σ =3. Тогда то P (34≪X≪43)= Ф(43-403 ) - Ф(34-403 ) = Ф(1) - Ф(-2)= Ф(1) + Ф(2)= 0,3413 + 0,4772= 0,8185.

2) По условию задачи a=40 , δ =1,5.

Тогда из формулы P (x-a

Задачи для контрольной работы.

Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом, если сумма цифр учебного шифра есть число нечетное, то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 1. Если сумма цифр учебного шифра есть число четное, то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 2. Таблица №1

Номер варианта	Номера задач для контрольной работы
1	1 11 21 41 51 61 71 81
2	2 12 22 42 52 62 72 82
3	3 13 23 43 53 63 73 83
4	4 14 24 44 54 64 74 84
5	5 15 25 45 55 65 75 85
6	6 16 26 46 56 66 76 86
7	7 17 27 47 57 67 77 87
8	8 18 28 48 58 68 78 88
9	9 19 29 49 59 69 79 89
10	10 20 30 50 60 70 80 90

Таблица № 2

Номер варианта	Номера задач для контрольной работы
1	91 101 111 121 131 141 151 161
2	92 102 112 122 132 142 152 162
3	93 103 113 123 133 143 153 163
4	94 104 114 124 134 144 154 164
5	95 105 115 125 135 145 155 165
6	96 106 116 126 136 146 156 166
7	97 107 117 127 137 147 157 167
8	98 108 118 128 138 148 158 168
9	99 109 119 129 139 149 159 169
10	100 110 120 130 140 150 160 170

В задачах 1-20 найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.

1. ( e2x + 1) dy + ye2xdx=0.

2. (2+y)dx – ( 2- x )dy =0.

3. x2dy + ( y- 1)dx = 0.

4. y (ex+1)dy - ex dx =0.

5. (ex+2)y'= yex.

6. y'=ex-y.

7. xyy'= 3x2.

8. y'tgx – y =0.

9. (1+ x2) y'=1 +y2.

10. y'cos(x)- y sin(x) = 0.

11. x y'- y = x3.

12. x y'- y = -2ln x.

13 . x3y' + 3x2y=2.

14. y'+ exy= e2x.

15. xy'+ y = x+ 1.

16. y'- ycos(x) =-sin (2x).

17. x y'- y= - lnx.

18. y'-4xy = --4x3.

19. 2x y'+ y = 2x3.

20. y'-+ xy =-x3

В задачах 21-30 найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка , удовлетворяющее указанным начальным условиям.

21. y″ + y' - 2y = 6x2 , y(0) = -4, y'(0) =-1.

22. y″ - 4y = 8x2 , y(0) =2, y'(0) =-3.

23. y″ - 2y' + y = 8 ex, y(0) = 1, y'(0) =3.

24. y″ -+ 2y' + 5y = 4 e-x, y(0) = 1, y'(0) =1.

25. y″ + 6 y' + 9 y = 10sin(x), y(0) = 0, y'(0) =1.

26. y″ + 9 y =cos(3x) , y(0) = 1, y'(0) =3.

27. y″ - 3 y' + 2 y = ex, y(0) = 2, y'(0) =2.

28. y″- 5y' +6 y = 13sin(3x), y(0) = 2, y'(0) =2.

29. y″ -- 2y'=2x+1, y(0) = 1, y'(0) =1.

30. y″ + y = 2x3- x+2, y(0) = 3, y'(0) =-2.

31.B читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей , из которых 3 в мягком переплете. Библиотекарь взял 2 учебника . Найти вероятность того, что оба учебника в мягком переплете .

32 . Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает ответы на предложенные ему экзаменатором три вопроса.

33. Для некоторой местности в июле шесть пасмурных . Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.

34. Из 200 рабочих норму выработки не выполняют 15 человек. Найти вероятность того, что два случайно выбранных рабочих не выполняют норму.

35. три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,6 , вторым – 0,7, третьим – 0,8. . Найти вероятность того, что при одном выстреле попадут в цель : а) все три стрелка; в) попадет хотя бы один из них.

36. В ящике лежат 20 электрических лампочек , из которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что взятые одна за другой две лампочки окажутся стандартными.

37. Одновременно бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что на каждой кости появится нечетное количество очков.

38. Из заготовленной для посева пшеницы зерно первого сорта составляет 40%, второго сорта – 50%, третьего сорта – 10%. Вероятность того, что взойдет зерно первого сорта равна 0,8, второго – 0,5. Третьего – 0,3. Найти вероятность того, что взойдет наугад взятое зерно.

39.В магазин поступили телевизоры из трех заводов . Вероятность того, что телевизор изготовлен на первом заводе равна 0,3, на втором – 0,2, на третьем – 0,5.Вероятность того, что телевизор окажется бракованным , для первого завода равна 0,2, для второго – 0,1, для третьего – 0,3.Найти вероятность того, что наугад взятый телевизор окажется не бракованным.

40. В мастерской на трех станках изготавливаются одновременно детали. Вероятность безотказной работы первого станка равна 0,8, второго – 0,7, третьего – 0,9.Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,2, на втором – 0,3. На третьем – 0,1. Найти вероятность того, что наугад выбранная деталь окажется стандартной.

41.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Производится 4 выстрела. Найти вероятность того, что цель будет поражена : а) три раза; б) не более двух раз.

42. Вероятность всхожести пшеницы равна 0.8 Найти вероятность того, что из 5 семян взойдет не менее 3.

43.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Написать закон распределения вероятностей попадания в цель при 5 выстрелах и построить многоугольник распределения вероятностей.

44.Всхожесть семян пшеницы составляет 90%. Определить наиболее вероятное число всходов из 200 посеянных семян.

45.Семена пшеницы содержат 0,2 % сорняков. Найти вероятность того, что в 1000 семян будет 6 семян сорняков.

В задачах 46 – 50 дана вероятность p того, что семя злака прорастет. Найти вероятность того, что из n посеянных семян прорастет ровно k семян.

46. n = 100, p = 0,9 , k = 95.

47. n = 400, p = 0,8 , k = 330.

48. n = 900, p = 0,36, k = 340.

49. n = 225, p = 0,64, k = 158.

50. n = 250 , p = 0,81, k = 200

В задачах 51 – 60 дана вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний . Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее k1 и не более k2 раз.

51. n = 360, p = 0,8, k1 = 280, k2 = 300.

52. n = 490, p = 0,86 k1 = 320, k2 = 350.

53. n = 640, p = 0,9, k1 = 500, k2 = 540.

54. n = 225, p = 0,2, k1 = 50, k2 = 60.

55. n = 810, p = 0,4, k1 = 340, k2 = 400.

56. n = 250, p = 0,7, k1 = 150, k2 = 180.

57. n = 300, p = 0,3, k1 = 110, k2 = 130.

58. n = 625, p = 0,8, k1 = 480, k2 =500.

59. n = 100, p = 0,5, k1 = 60, k2 = 80.

60. n = 256, p = 0,9, k1 = 200, k2 = 220.

В задачах 61 – 70 задан закон распределения дискретной случайной величины X ( в первой строке указаны возможные значения величины X , во второй строке даны вероятности p этих значений). Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию Д(Х) ; 3) среднее квадратическое отклонение σ.

61. Х 8 4 6 5

P 0,1 0,3 0,2 0,4

62. Х 23 25 27 29

P 0,2 0,1 0,3 0,4

63. Х 10 8 6 9

P 0,4 0,1 0,3 0,2

64. Х 32 40 37 35

P 0,1 0,3 0,4 0,2

65. Х 42 41 43 45

P 0,3 0,3 0,2 0,2

66. Х 15 11 13 12

P 0,2 0,5 0,2 0,1

67. Х 52 54 57 51

P 0,1 0,4 0,3 0,2

68. Х 21 20 22 26

P 0,5 0,2 0,2 0,1

69. Х 34 30 32 36

P 0,2 0,4 0,3 0,1

70. Х 50 48 51 53

P 0,3 0,2 0,2 0,3

В задачах 71 – 80 случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(X). Найти : 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию Д(Х).

71.

0 при x

F(X) = x2 при 0≪x ≪1,

1 при x>1.

72. 0 при xF(X) = x216 при 0≪x ≪4,

1 при x>4.

73. 0 при x

F(X) = x -2 при 2≪x ≪3,

1 при x>3.

74. 0 при xF(X) = x24 при 0≪x ≪2,

1 при x>2.

0 при x

75. F(X) = x -4 при 4≪x ≪5,

1 при x>5.

76. 0 при x

F(X) = x28 при 0≪x ≪2,

1 при x>2.

77.

0 при x

F(X) = x29 при 0≪x ≪3,

1 при x>3.

78.

0 при x

F(X) = x -1 при 1≪x ≪2,

1 при x>2.

79.

0 при x

F(X) = x при 0≪x ≪1,

1 при x>1.

80. 0 при x

F(X) = x327 при 0≪x ≪3,

1 при x>3.

81. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5мм и 200.5 мм. Найти процент стандартных деталей.

82.Средний диаметр стволов деревьев на некотором участке равен 25см, среднее квадратическое отклонение равно 5см. Считая диаметр стволов случайной величиной, распределенной нормально, найти процент деревьев, имеющих диаметр свыше 20 см.

83. Процент всхожести семян равен 90%. Оценить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет от 850 до 950 семян включительно.

84. Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равно 0,5. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превосходит 1.

85. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 150 мм и средним квадратическим отклонением 0,5 мм. Какую точность размера детали можно гарантировать с вероятностью 0,95?

86. Средний вес зерна равен 0,2г, среднее квадратическое отклонение равно 0,05 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого зерна окажется в пределах от 0,16 г до 0,22 г.

87. Норма высева семян на 1 га равна 200 кг. Фактический расход семян на 1 га колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10 кг. Определить количество семян, обеспечивающих посев на площади 100 га с гарантией 0,95.

88. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0.25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5мм и 200.5 мм. Из – за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0.4 мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?

89. Масса яблока, средняя величина которой равна 150 г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130 г до 180 г.

90. Устройство состоит из 20 однотипных независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента за 10 часов работы равна 0,9. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за 10 часов окажется меньше двух.

В задачах 91 -110 найти общее решение дифференциального уравнения.

91. dyy- y2 + dxx = 0.

92. y2+ 1 dx = xydy.

93. ydx – xdy = 0

94. 4x3 - y' = 0.

95. ( x + 1 ) y dx = dy.

96. y2 dy = (1- 2x )dx.

97. ( 1 + y2) dx = ( 1 + x2)dy.

98. dy = y sin(x) dx.

99. dy = ex+ydx.

100. dy = ( y + 2 )dx

101. y' - y ctg (x) = sin(x ).

102. y' - y = ex.

103. y' -+ 2y = 4x.

104. y' -+ y-1x= 1.

105. x y dy – ( x2+ y2)dx = 0.

106. y' -+ y cos (x) = sin(x )cos(x).

107. ( x – y )dy – ydx = 0.

108. ( x2+ 1 )y'+ 4 xy = 3.

109. dy = yx ln yx.

110. ydy + ( x – 2y )dx = 0.

В задачах 111 -120 найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка , удовлетворяющее указанным начальным условиям.

111. y″ + 9y'= 15 sin (2x), y(0)= - 7, y'0=0.

112. y″ - 2y'- 3y = e4x, y(0)= 1, y'0=0.

113. y″ + y = - sin (2x), y(π)= 1, y'π=1.

114. y″ - 2y'+2y = 4excos(x), y(π)= πeπ, y'π=eπ.

115. y″ - 2y'= ex( x2+ x-3 ), y(0)= 2, y'0=2.

116. y″ - 2y' = ex( x2+ x-3 ), y(0)= 2, y'0=2.

117. y″ - y' = 2( 1-x ), y(0)= 1 y'0=1.

118. y″ - 4y'+3y = e5x, y(0)= 3, y'0=9.

119. y″ - 8y'+16y = e4x, y(0)= 0, y'0=1.

120. y″ +y = cos(x), y(π2)= 4, y'π2=1.

121 При наборе телефона абонент забыл две последние цифры , помня лишь, что эти цифры различные, и набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

122. В урне 7 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность того, что среди наудачу вытянутых 6 шаров будут 4 белых и 2 красных?

123. Среди 50 электрических лампочек имеется 3 нестандартных. Найти вероятность того, что две последовательно взятые электрические лампочки окажутся нестандартными.

124. Среди 17 студентов группы, в которой 8 девушек, разыгрываются 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

125. телефонный номер состоит из шести цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

126. Из колоды карт (36 шт.) вынута одна карта. . Найти вероятность того, что это «дама» или «король».

127. К концу дня в магазине осталось 60 арбузов, среди которых 50 спелых. Покупатель выбирает 2 арбуза. Какова вероятность того, что оба арбуза спелые?

128. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наугад отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

129. Из ящика, содержащего жетоны с номерами от 1 до 40, участники жеребьевки вытягивают жетоны. Определить вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 2.

130.Студент пришел на экзамен, зная лишь 24 из 32 вопросов программы. Экзаменатор задал ему три вопроса. Найти вероятность того, что студент ответил на все вопросы.

131. С первого автомата на сборку поступают 20%, со второго – 30%, с третьего – 50% деталей. Первый автомат дает в среднем 0,2 % брака, второй – 0,3%, третий – 0,1%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь, бракованная.

132. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,3. Имеется 4 билета. Найти вероятность того, что :1) ни один билет не выиграет 2) выиграет хотя бы один билет.

133. Испытывается каждый из 16 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытания, равна 0,8.Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытания.

134. Найти вероятность того, что переключение передач наступит 70 раз на 243-километровой трассе, если вероятность переключения на каждом километре этой трассы равна 0,25.

135.Определить вероятность того, что из 1000 родившихся детей число мальчиков будет не менее 455 и не более 555, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.

136. В группе спортсменов 20 бегунов, 6 прыгунов, 4 метателя молота. Вероятность того, что будет выполнена норма мастера спорта бегуном, равна 0,9; прыгуном – 0,8; метателем – 0,75. Найти вероятность того, что наудачу вызванный спортсмен выполнит норму мастера спорта.

137.Вероятность того. что вещь, взятая на прокат, будет возвращена исправной, равна 0,8. Найти вероятность того, что из пяти взятых вещей : 1) три будут возвращены исправными; 2) будут возвращены исправными не менее двух вещей.

138. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2.Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

139.Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12%. Найти вероятность того, что из 46 телевизоров 36 выдержат гарантийный срок.

140.Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,02. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 855 пассажиров.

В задачах 141 – 145 задан закон распределения дискретной случайной величины X ( в первой строке указаны возможные значения величины X , во второй строке даны вероятности p этих значений). Найти: 1) значение вероятности p3; 2) математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию Д(Х) .

141. Х 2 3 5 6

P 0.25 0.3 p3 0.15

142. Х 1 2 5 7

P 0.3 0.2 p3 0.2

143. Х -1 1 2 3

P 0.15 0.25 p3 0.3

144. Х 2 4 6 8

P 0.12 0.28 p3 0.3

145. Х 4 6 8 10

P 0.2 0.4 p3 0.1

В задачах 146 – 150 задан закон распределения дискретной случайной величины X ( в первой строке указаны возможные значения величины X , во второй строке даны вероятности p этих значений). Найти: 1) значение вероятности p3; 2) функцию распределения F(X) и построить ее график.

146. Х 2 3 5 6

P 0.25 0.3 p3 0.15

147. Х 1 2 5 7

P 0.3 0.2 p3 0.2

148. Х -1 1 2 3

P 0.15 0.25 p3 0.3

149. Х 2 4 6 8

P 0.12 0.28 p3 0.3

150. Х 4 6 8 10

P 0.2 0.4 p3 0.1

В задачах 151 – 155 случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(X). Найти : 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию Д(Х).

151. 0 при x

F(X) = 3(x+1)4 при -1≪x ≪13,

1 при x>13.

152. 0 при x

F(X) = x4 при 0≪x ≪4,

1 при x>4.

153.

0 при x

F(X) = x+24 при 2-≪x ≪2,

1 при x>2.

154. 0 при x

F(X) = ( x-2 )2 при 2≪x ≪3,

1 при x>3.

155.

0 при x

F(X) = x(2 – x) при 4≪x ≪5,

1 при x>5.

В задачах 156 – 160 случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(X). Найти : 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) вероятность того, что в результате опыта случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) ; 3) построить графики функций F(X) и f(x).

156. 0 при x

F(X) = 3(x+1)4 при -1≪x ≪13,

1 при x>13. α =0,1 β= 0,5

157. 0 при xF(X) = x4 при 0≪x ≪4,

1 при x>4. α =1 β= 3

158. 0 при x

F(X) = x+24 при 2-≪x ≪2,

1 при x>2.

α =0 β= 1

159.

0 при x

F(X) = ( x-2 )2 при 2≪x ≪3,

1 при x>3.

α =1 β= 2

160. 0 при x

F(X) = x(2 – x) при 4≪x ≪5,

1 при x>5.

α =0,1 β= 0,5

В задачах 161 -165 заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины X . Найти : 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α;β); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х – а окажется меньше δ.

161. а =25, σ =4, α =17, β =31, δ =2.

162. а =16, σ =3, α =13, β =22, δ =6

163. а =20, σ =2, α =15, β =22, δ =3.

164. а =12, σ =2, α =9, β =16, δ =4.

165. а =18, σ =5, α =14, β =23, δ =3.

В задачах 166 -170 задан закон распределения непрерывной случайной величины f (x) =1σ2πe-( x-a)22σ2 . Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию Д(Х), вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (α;β).

166. а =1, σ =4, α =5, β =9.

167. а =4, σ =3, α =7, β =15.

168. а =8, σ =4, α =8. β =16.

169. а =4, σ =2, α =6, β =8.

170. а =3, σ =4, α =6, β =17.0>