Условия задач
Задача № 2
Общие условия ко всем вариантам
Дана матрица A, которая является матрицей оператора  в стандартном базисе пространства R³.

1. Найти собственные числа и собственные векторы оператора .

2. Убедившись в существовании базиса пространства R³, состоящего из собственных векторов оператора , записать матрицу оператора  в таком базисе.

3. Указать матрицу перехода к новому базису из собственных векторов и проверить справедливость формулы, связывающей матрицы оператора в разных базисах.

Условия вариантов

(матрица A)

1.. 2. . 3. . 4. .
5. . 6. . 7. . 8. .
9. . 10. . 11. . 12. .
13. . 14. . 15. . 16. .
17. . 18. . 19. . 20. .

21. . 22. . 23. . 24. .
25. . 26. . 27. . 28. .
29. . 30. .

§7. Инвариантные подпространства. Собственные векторы
Пусть  – линейный оператор в пространстве V; e₁, …, e_n – некоторый фиксированный базис этого пространства. Тогда, как мы видели выше (см. § 2 первой части, стр. 10–11), (x) = А_·, где А_ − матрица оператора  в данном базисе, а − столбец из координат вектора x в том же базисе.
Определение. Линейное подпространство L  V называется инвариантным подпространством оператора , если из x  L следует (x)  L.

Примеры.

1. V = R³,  – нулевой оператор, L – линейное подпространство V. Если x  L, то (x) = 0  L. Следовательно, в этом случае любое линейное подпространство инвариантно.

2. V = R²,  = id – тождественный оператор. Здесь также любое линейное подпространство инвариантно.

3. V = R³,  – ортогональное проектирование на плоскость OXY (см. рис. 2 в первой части). Опишем инвариантные подпространства: всё пространство; нулевое подпространство; плоскость OXY; прямые, лежащие в плоскости OXY и проходящие через начало координат; ось OZ; плоскости, проходящие через ось OZ.

4. V = R²,  – оператор поворота на угол  (см. рис. 1 в первой части). Если   kπ, то нетривиальных (т.е. отличных от V и от {0}) инвариантных подпространств нет. Если  = kπ, то все линейные подпространства инвариантны.

5. Пусть  – произвольный линейный оператор в V, L₁ = Ker , L₂ = = Im . Тогда линейные подпространства L₁ и L₂ инвариантны (это вытекает из их определения − докажите!).

6. Пусть V – линейное пространство, в котором действует линейный оператор , L₁ и L₂ – инвариантные подпространства оператора . Пусть также V = L₁  L₂, т.е. для любого вектора v из V имеем: v = x + y, x  L₁, y  L₂, L₁  L₂ = {0}. Выберем базис в V: e₁, …, e_k – базис L₁, e_k+1, …, e_n – базис L₂; тогда e₁, …, e_n будет базисом V. Найдем в этом базисе матрицу A_ нашего оператора . Так как L₁ и L₂ инвариантны, то (е₁), …, (е_k)  L₁, а (e_k+1), …, (е_n)  L₂, и, следовательно,

(е₁) = e₁ + … + e_k + 0e_k+1 + … + 0e_n;

(е₂) = e₁ + … + e_k+ 0e_k+1 + … + 0e_n;

…

(е_k) = e₁ + … + e_k + 0e_k+1 + … + 0e_n;

(e_k+1) = 0e₁ + … + 0e_k + e_k+1 + … + e_n;

…

(e_n) = 0e₁ + … + 0e_k + e_k+1 + … + e_n.

А_ = = .

Здесь – матрица оператора , действующего в пространстве L₁; – матрица оператора , действующего в пространстве L₂.

Аналогично, если V = L₁  L₂  …  L_k и L₁, L₂, …, L_k – инвариантные подпространства оператора , то

А_ = .

Здесь каждая матрица есть матрица оператора , действующего в пространстве L_i.

Рассмотрим одномерное линейное подпространство L, инвариантное относительно оператора , и его базисный вектор e, L = e>. Так как (e)   L, то (e) = λe.

Пусть x  L и, следовательно, x = e для некоторого скаляра (числа из основного поля) ; тогда

(x) = (e) = (e) = λe = λx.

Значит, все векторы из L умножаются на одно и то же число λ, и оператор  действует в L как гомотетия с коэффициентом λ.

Если, в частности, все e_k> (линейные оболочки базисных векторов пространства V) суть инвариантные подпространства оператора , то, т.к. V = e₁>  e₂>  …  e_n>, матрица A_ диагональна:

А_ = .

Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора , если (x) = λx; число λ (для данного вектора x оно определено однозначно − докажите!) называется собственным значением оператора , соответствующим собственному вектору x.

Если x − собственный вектор оператора , то x> − инвариантное подпространство и оператор в нем действует как умножение на число λ − собственное значение.

Теорема 1. Множество всех собственных векторов оператора , соответствующих одному собственному значению λ, если присоединить к нему нулевой вектор 0, является линейным подпространством, которое называется собственным подпространством оператора  и обозначается V_λ.

Доказательство. V_λ содержит нулевой вектор по определению и тем самым непусто. Пусть x, y  V_λ. Рассмотрим вектор x + βy и покажем, что он является собственным вектором оператора  с тем же самым собственным значением λ (либо равен 0).

Действительно, (x + βy) = (x) + β(y) = λx + βλy = λ(x + βy), т.е. вектор x + βy  V_λ.

Теорема 2. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство проведем методом математической индукции. Пусть k − число собственных векторов. При k = 1 x₁  0. Следовательно, x₁ − линейно независимая система из одного вектора. Пусть для k векторов утверждение верно. Выведем из этого, что теорема верна для k + 1 вектора. Пусть даны собственные векторы x₁, x₂, …, x_k, x_k+1 с различными собственными значениями λ₁, λ₂, …, λ_k, λ_k+1 и пусть выполняется соотношение

₁x₁ + ₂x₂ + … + _kx_k + _k+1x_k+1 = 0. (1)

Требуется доказать, что все _i = 0.

(₁x₁ + ₂x₂ + … + _kx_k + _k+1x_k+1) = 0;

₁(x₁) + ₂(x₂) + … + _k(x_k) + _k+1(x_k+1) = 0;

₁λ₁x₁ + ₂λ₂x₂ + … + _kλ_kx_k + _k+1λ_k+1x_k+1 = 0. (2)

Умножим обе части равенства (1) на λ_k+1:

₁λ_k+1x₁ + ₂λ_k+1x₂ + … + _kλ_k+1x_k + _k+1λ_k+1x_k+1 = 0. (3)

Вычитаем из равенства (3) равенство (2):

₁(λ_k+1 − λ₁)x₁ + ₂(λ_k+1 − λ₂)x₂ + … + _k(λ_k+1 − λ_k)x_k = 0.

Так как x₁, x₂, …, x_k − система k собственных векторов с различными собственными значениями λ₁, λ₂, …, λ_k, то по предположению индукции все коэффициенты в последнем равенстве равны нулю, т.е. при i = 1, 2, …, k выполняются соотношения _i(λ_k+1 − λ_i) = 0, но тогда _i = 0, ибо λ_k+1  λ_i.

Подставив эти _i = 0 в равенство (1), получаем _k+1x_k+1 = 0. Так как x_k+1 − собственный вектор и, следовательно, ненулевой, то _k+1 = 0. Теорема доказана.

§8. Метод нахождения собственных векторов линейного оператора

Рассмотрим базис e₁, …, e_n пространства V и запишем вектор x и матрицу оператора  в этом базисе:

x = x₁e₁ + … + x_ne_n = , А_ = .

Так как действие оператора  на вектор x описывается с помощью матрицы A_ следующим образом:

(x) = А_,

то для собственного вектора x = оператора , соответствующего собственному значению λ, имеем:

= λ. (1)

Умножая матрицу A_ на вектор x, получаем:

(2)

Система (2) − это система линейных уравнений для нахождения собственных векторов оператора , соответствующих собственному значению λ. После приведения подобных членов получаем однородную систему из n уравнений с n неизвестными:

(3)

Матрица этой системы имеет вид:

= − = A_ − λE.

Элементы этой матрицы зависят от λ. Так как по определению собственный вектор x  0, то нас интересуют ненулевые решения системы (3).

Если det (A_ − λE)  0, то система (3) по теореме Крамера имеет единственное решение − нулевой вектор. Если же det (A_ − λE) = 0, то r = = rang (A_ − λE) n и размерность подпространства решений системы (3) равна n − r > 0, т.е. имеются ненулевые решения системы (3) − собственные векторы, соответствующие собственному значению λ. Линейное подпространство решений системы (3) оказывается в этом случае собственным подпространством V_λ линейного оператора . Оно состоит из собственных векторов, соответствующих собственному значению λ, дополненных вектором 0, и, следовательно, является инвариантным подпространством оператора .

Рассмотрим теперь определитель матрицы A_ − λE. Это число, которое зависит от λ, т.е. det (A_ − λE) является функцией от λ. Используя определение детерминанта матрицы, легко понять, что det (A_ − λE) является многочленом степени n.

Действительно, при n = 1 det (− λ) − многочлен первой степени. Используя формулу

det (A_ − λE) = ( − λ)− + … + (−1)ⁿ⁺¹

и рассуждая по индукции, получаем:

P(λ) = det (A_ − λE) = (−1)ⁿλⁿ + … + det A_.

(Свободный член многочлена P(λ) равен P (0) = det A_.) Многочлен P(λ) называется характеристическим многочленом матрицы A_. Так как собственные векторы существуют только для тех λ, для которых det (A_ − λE) = 0, то собственные значения линейного оператора являются теми корнями уравнения P(λ) = 0, называемого характеристическим уравнением матрицы A_, которые принадлежат полю P (R или C). Пусть λ₁, λ₂, …, λ_s − все комплексные корни характеристического уравнения (в случае поля R мы рассматриваем комплексные корни!), k₁, k₂, …, k_s − их кратности. Множество S = {, , …, } называется спектром матрицы A_, т.е спектр матрицы A_ − множество корней характеристического уравнения с указанием их кратностей. Заметим, что k₁ + k₂ + … + k_s = n.

Таким образом, чтобы найти собственные векторы оператора , нужно записать характеристический многочлен его матрицы и найти его корни. Если оператор  действует в линейном пространстве V над полем C, то все корни будут собственными значениями оператора . Соответствующие собственные векторы находятся из системы (3). Таким образом, если  действует в пространстве над полем C, то у него всегда есть собственные векторы.

Если оператор  действует в линейном пространстве над полем R, то только вещественным корням характеристического многочлена соответствуют собственные векторы оператора. Следовательно, оператор, действующий в линейном пространстве над полем R, может вообще не иметь собственных векторов.

Примеры.

1.  − оператор поворота на угол  в R²,   kπ;

A_ = − матрица  в базисе i, j;

P(λ) = det = (cos − λ)² + sin² = cos² − − 2λcos + λ² + sin² = λ² − 2λcos + 1.

D = 4cos² − 4 = 4(cos² − 1) Отсутствие собственных векторов у оператора поворота вытекает также и из геометрического смысла собственного вектора. Вектор x собственный, если его образ (x) ему коллинеарен. При повороте на угол   kπ (x) не коллинеарен x, если x  0.

2.  – ортогональное проектирование на плоскость OXY в пространстве R³.

A_ = − матрица оператора  в базисе i, j, k;
P(λ) = det = −λ(1 − λ)²;

λ₁ = 0, λ₂ = 1 − корни характеристического уравнения −λ(1 − λ)² = 0; S = = {0^[1], 1^[2]} − спектр матрицы A_. Все корни вещественны, и для каждого можно найти собственное подпространство. Пусть λ₁ = 0. Рассмотрим систему (3) с этим λ. Матрица этой системы совпадает с A_ = и имеет главный ступенчатый вид. Решения соответствующей системы − векторы вида

= =  = k,

то есть собственные векторы, соответствующие собственному значению λ₁ = 0, − ненулевые векторы, коллинеарные вектору k. Собственное подпространство V₀ − ось OZ; dim V₀ = 1.

Для второго собственного значения λ₂ = 1 собственные векторы также находим из системы (3), матрица которой

A_ − 1E = ,

т.е. система (3) имеет вид: x₃ = 0.

Отсутствующие неизвестные x₁, x₂ − свободные, а общее решение записывается в виде:

= =  + β =i + βj.

Собственное подпространство V₁ − плоскость OXY; dim V₁ = 2.

Пусть V − n-мерное линейное пространство над полем P (R или C),  − линейный оператор и характеристический многочлен P(λ) имеет n различных корней в поле P; тогда спектр матрицы A_ имеет вид:

S = {, , …, }.

Пусть V, V, …, V − соответствующие собственные подпространства оператора  и e₁  V, e₂  V, …, e_n  V − собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям; тогда по теореме 2 (§7) e₁, …, e_n линейно независимы и, следовательно, образуют базис пространства V, а все подпространства V одномерны. Запишем матрицу оператора  в этом новом базисе.

(e₁) = λ₁e₁ = λ₁e₁ + 0e₂ + … + 0e_n;

(e₂) = λ₂e₂ = 0e₁ + λ₂e₂ + … + 0e_n;

…

(e_n) = λ_ne_n = 0e₁ + 0e₂ + … + λ_ne_n.

Получаем:

A_ = .

Матрица A_ диагональна, и на диагонали стоят соответствующие собственные значения. Вообще, если в пространстве V удается найти базис из собственных векторов, то матрица оператора в этом базисе будет диагональной, а на диагонали будут стоять соответствующие собственные значения оператора .

§9. Канонический вид линейного оператора
Рассмотрим линейный оператор  в пространстве V. Согласно определению (§2), матрица A_ оператора зависит от выбора базиса в линейном пространстве. Пусть e₁, …, e_n и f₁, …, f_n − различные базисы пространства V. Векторы f₁, …, f_n, как и все остальные векторы пространства V, имеют свои координаты в базисе e₁, …, e_n и записываются как линейные комбинации базисных векторов:

f₁ = e₁ + e₂ + … + e_n;

f₂ = e₁ + e₂ + … + e_n;

…

f_n = e₁ + e₂ + … + e_n.

Матрица P = называется матрицей перехода от базиса e₁, …, e_n к базису f₁, …, f_n. Это матрица, в столбцах которой стоят координаты векторов второго базиса в первом базисе. Столбцы матрицы P − векторы f₁, …, f_n, которые являются линейно независимыми, т.к. образуют базис. Следовательно, rang P = n, det P  0 и существует обратная матрица P⁻¹.

Рассмотрим произвольный вектор x пространства V и разложим его по базисам e₁, …, e_n и f₁, …, f_n:

x = x_ie_i = f_i.

P = () − матрица перехода от первого базиса ко второму, и

f_i = e_k;

x =x_ke_k =e_k =e_k =

=e_k =()e_k.

Так как координаты вектора в данном базисе определены однозначно, то

x₁ = + + … + ;

x₂ = + + … + ;

…

x_n = + + … + .

В матричном виде эти соотношения записываются как

= P; (4)

= P⁻¹. (5)

Формулы (4) и (5) называются формулами преобразования координат вектора при переходе от одного базиса к другому.

Рассмотрим линейный оператор , и пусть A_ и − матрицы этого оператора в первом и во втором базисах. Пусть x − произвольный вектор пространства V и y = (x); тогда в первом и во втором базисах можно записать:

= A_; = .

Используя формулу (4), первое из равенств запишем в виде:

P = A_P ,

или, так как матрица P обратима, в виде:

= P⁻¹A_P .

Отсюда получаем:

P⁻¹A_P = .

Следовательно,

P⁻¹A_P = . (6)

Определение. Две матрицы A и B называются подобными (A ~ B), если существует невырожденная матрица P такая, что B = P⁻¹AP.

Отношение подобия обладает следующими свойствами.

1. A ~ A, т.к. A = EAE (E⁻¹ = E).

2. Если A ~ B, то B ~ A. Действительно, из B = P⁻¹AP следует, что A = = PBP⁻¹ = (P⁻¹)⁻¹BP⁻¹.

3. Если A ~ B и B ~ C, то A ~ C. Действительно, B = P₁⁻¹AP₁, C = = P₂⁻¹BP₂; следовательно, C = P₂⁻¹P₁⁻¹AP₁P₂ = (P₁P₂)⁻¹AP₁P₂. Заметим, что (P₁P₂)⁻¹ = P₂⁻¹P₁⁻¹, т.к. P₁P₂P₂⁻¹P₁⁻¹ = P₂⁻¹P₁⁻¹P₁P₂ = E.

Из этих свойств следует, что подобие является отношением эквивалентности и множество всех квадратных матриц порядка n разбивается на непересекающиеся классы подобных матриц. Среди этих классов есть такие, которые состоят только из одной матрицы. Например, классы матриц, подобных матрице E или матрице 0. (Найдите все такие классы!)

Из формулы (6) следует, что матрицы линейного оператора  в различных базисах подобны. Верно и обратное. Пусть B = P⁻¹AP, т.е. A ~ B. Рассмотрим оператор  в пространстве Rⁿ, действующий следующим образом:

:  A,

т.е. оператор умножения на матрицу A. Матрица A_ этого оператора в стандартном базисе совпадает с матрицей A. (См. §2.) Рассмотрим столбцы матрицы P. Это n векторов, записанных в координатном виде в стандартном базисе, причем эти n векторов линейно независимы, т.к. существует P⁻¹. Рассмотрим новый базис p₁, p₂, …, p_n, составленный из столбцов матрицы P. Матрица перехода от стандартного базиса к базису p₁, p₂, …, p_n совпадает с матрицей P, и, следовательно, по формуле (6) = = P⁻¹A_P = P⁻¹AP = B, то есть подобные матрицы суть матрицы одного оператора в различных базисах. Итак, имеется взаимно однозначное соответствие между линейными операторами, действующими в пространстве V (dim V = n), и классами подобных матриц порядка n.

Теорема. Характеристические многочлены подобных матриц равны.

Доказательство. Обозначим характеристические многочлены: P_A(λ) = det (A − λE), P_B(λ) = det (B − λE); нам дано, что A ~ B, т.е. B = = C⁻¹AC. Имеем: P_B(λ) = det (B − λE) = det (C⁻¹AC − C⁻¹(λE)C) = = det (C⁻¹(A − λE)C) = det C⁻¹det (A − λE)det C = det (A − λE) = P_A(λ), что и требовалось доказать.

Следствие. Спектры подобных матриц совпадают.

Из этой теоремы следует, что можно ввести понятия характеристического многочлена P_φ (λ), характеристического уравнения и спектра S_φ оператора , вычисляя их по матрице A_, взятой в произвольном базисе пространства V.

Определение. Оператор  называется диагонализируемым, если существует базис, в котором его матрица диагональна.

Если A_ − матрица такого оператора в произвольном базисе, то она подобна матрице

D = ,

A_  D.

Как же по матрице A_ узнать, диагонализируем ли оператор ? Мы уже знаем, что если S_φ = {, , …, }, то оператор диагонализируем. Если оператор диагонализируем, а характеристические многочлены подобных матриц равны, то

P_φ (λ) = P_D(λ) = det = (−1)ⁿ(λ − λ₁)…( λ − λ_n).

Мы видим, что характеристический многочлен диагонализируемого оператора разлагается на линейные множители в рассматриваемом поле (в последнем выражении возможны повторения сомножителей). Для поля C это условие, как известно, выполняется всегда. Для поля R оно означает, что все корни характеристического многочлена являются действительными числами, причем равными тем самым λ_i, которые стоят на диагонали матрицы D.

Заметим, однако, что условие принадлежности всех корней характеристического уравнения рассматриваемому полю еще не является достаточным для диагонализируемости оператора. Рассмотрим, например, матрицу порядка n:

J_n () = ,

называемую жордановой клеткой, и оператор  умножения на эту матрицу в пространстве Rⁿ.

P_ () = = (  )ⁿ,

  корень характеристического уравнения кратности n, и спектр оператора  имеет вид S_ = {^[n]}. Если бы матрица J_n () была подобна диагональной матрице D, то

D = ,

так как спектры подобных матриц совпадают, и, следовательно, оператор  был бы гомотетией с коэффициентом , что неверно, так как умножение на матрицу J_n () переводит вектор x = в вектор

y = J_n () =  .
Теорема. Оператор  диагонализируем тогда и только тогда, когда выполняются два условия.

1. Характеристический многочлен разлагается на линейные множители в рассматриваемом поле.

2. Размерность каждого собственного подпространства равна кратности соответствующего корня характеристического многочлена.

Эту теорему мы оставляем без доказательства.

Отметим, что если матрица оператора  в некотором базисе диагональна (A_ = D), то этот базис состоит из собственных векторов оператора . Действительно, пусть e₁, …, e_n – базис, в котором A_ = D; тогда e_i = (1 на i-м месте) и

φ(e_i) = = = λ_i e_i.

Следовательно, у диагонализируемого оператора должен быть базис из собственных векторов.

Рассмотрим снова оператор  умножения на жорданову клетку и найдем собственные векторы оператора . Единственное собственное значение оператора  − число , и система (3) §8 в этом случае принимает вид:

x₁ − свободное неизвестное. Пространство V_ = , dim V_ = 1, и собственных векторов не хватает, чтобы составить из них базис пространства Rⁿ. Второе условие теоремы о диагонализируемости оператора не выполняется, т. к. кратность корня  равна n, а dim V_ = 1 (мы предполагаем, что n > 1).
§10. Примеры
Рассмотрим конкретные примеры на применение изложенных методов.

1. Дана матрица A = , и известно, что она в стандартном базисе является матрицею некоторого линейного оператора , действующего в пространстве R³: A = A_. Найдем собственные числа и собственные векторы оператора .

Составляем матрицу A − λE:

A − λE =

и вычисляем ее определитель, т.е характеристический многочлен оператора :

= 2 − 2 + + (1 − λ) = 2(2 − 3 − λ) − 2(4 + 2λ − 2) + + (1 − λ)(6 + 5λ + λ² − 2) == 2(−1 − λ) − 2(2λ + 2) + (1 − λ)(λ² + 5λ + 4) = −2 − − 2λ − 4λ − 4 + λ² + 5λ + 4 − λ³ − 5λ² − 4λ = −λ³ − 4λ² − 5λ − 2. (Мы разложили определитель по третьему столбцу.)

Собственные числа нашего оператора суть корни этого многочлена, Нам, стало быть, надо решить кубичное уравнение:

−λ³ − 4λ² − 5λ − 2 = 0.

В надежде отыскать целый корень этого уравнения испытаем делители свободного члена. Немедленно обнаруживаем, что, например, число −1 является корнем. Для нахождения остальных корней делим наш многочлен «уголком» на λ + 1. Получаем в частном − λ² − 3λ − 2, а это уже квадратный трехчлен, и мы легко находим его корни: −1 и −2. Имеем разложение: − λ² − 3λ − 2 = −(λ + 1)(λ + 2), а характеристический многочлен разлагается так:

P_A(λ) = −λ³ − 4λ² − 5λ − 2 = −(λ + 1)²(λ + 2),

так что у нас два собственных значения, одно из которых двукратно, и спектр таков: S = {(−1)^[2], (−2)^[1]}.

Теперь для каждого собственного значения надо найти соответствующие собственные векторы. Для λ₁ = −1 вычисляем:

A ─ λ₁E = A + E = .

Для нахождения собственных векторов мы должны решить однородную систему линейных уравнений с найденной матрицей. Для этого приводим матрицу к главному ступенчатому виду:

 (1 2 −2).

Такой матрице соответствует система из одного уравнения:

x₁ + 2x₂ ─ 2x₃ = 0.

Неизвестные x₂ и x₃ являются свободными, следовательно, подпространство решений двумерно. Находим его базис:

, .

Окончательно множество всех собственных векторов с собственным значением −1 можно описать в виде следующей формулы:

α + β, α² + β² ≠ 0.

А теперь всю эту работу надо проделать заново с собственным значением −2. Вычисляем:

A ─ λ₂E = A + 2E =

и приводим матрицу к главному ступенчатому виду:

 .

Соответствующая система состоит из двух уравнений:

Теперь свободное неизвестное одно (x₃), и подпространство решений одномерно. Находим его базис:

.

Множество всех собственных векторов с собственным значением −2 можно описать в виде формулы:

α, α ≠ 0.

Мы видим, что у нас выполняются все условия теоремы из §9 (стр. 14), так что должен существовать базис из собственных векторов. Для нахождения такого базиса достаточно объединить найденные нами базисы в подпространствах решений двух однородных систем. Матрица перехода к такому базису есть матрица, столбцы которой суть найденные базисные векторы:

T = .

Матрица нашего линейного оператора в этом новом базисе будет диагональной:

A^’ = .

Нам осталось только проверить выполнение формулы (6) на стр. 13. Вместо этой формулы удобнее, однако, проверять эквивалентную ей формулу:

AT = TA^’.

Вычисляя обе части этой формулы, имеем:

AT = TA^’ = .

2. Дана матрица A = , которая является матрицей линейного оператора  в пространстве R³: A = A_. Требуется найти собственные числа и собственные векторы оператора .

Составляем матрицу A − λE:

A − λE =

и вычисляем ее определитель:

= (2 − λ)(λ² − 3λ + 2) = −(λ − 2)²(λ − 1). (Мы разложили определитель по третьему столбцу.)

У нас два собственных значения, одно из которых двукратно, и спектр таков: S = {1^[1], 2^[2]}.

Теперь для каждого собственного значения ищем соответствующие собственные векторы. Для λ₁ = 1 вычисляем:

A − λ₁E = A − E = .

Приводим эту матрицу к главному ступенчатому виду:

 .

Соответствующая система состоит из двух уравнений:

У нас одно свободное неизвестное (x₃), и подпространство решений одномерно. Находим его базис:

.

Множество всех собственных векторов с собственным значением 1 можно описать в виде формулы:

α, α ≠ 0.

Для λ₂ = 2:

A − λ₂E = A − 2E = .

Приводим матрицу к главному ступенчатому виду:

 (2 −1 0).

Такой матрице соответствует система из одного уравнения:

2x₁ ─ x₂ = 0.

Базис подпространства решений:

, .

Здесь также выполняются условия теоремы из §9, так что должен существовать базис из собственных векторов. Матрица перехода к такому базису:

T = .

Матрица нашего линейного оператора в этом новом базисе будет диагональной:

A^’ = .

Проверим выполнение формулы: AT = TA^’. Имеем:

AT = TA^’ = .

Учебное издание

Линейные операторы. Часть 2
Составители: БУСЯЦКАЯ Ирина Константиновна

АНДРЕЕВ Кирилл Кириллович

Редактор

Технический редактор

Подписано в печать Формат 6084/16.

Бумага Усл. печ. л. Уч.-изд. л.

Изд. № . Тираж 200 экз. Заказ Бесплатно.

Московский государственный институт электроники и математики.

109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3/12.

Отдел оперативной полиграфии Московского государственного

института электроники и математики.

113054, Москва, ул. М.Пионерская, 12.