Название работы	Кол-во страниц	Размер
Конспект лекций для студентов специальности «Информатика»	9	1614.17kb.
Конспект лекций по курсу «Организация ЭВМ и систем» для студентов...	37	3287.39kb.
Конспект лекций для студентов специальности 1-53 01 07 «Информационные...	21	2099.06kb.
Конспект лекций для студентов специальности "Автоматизированное управление...	5	1749.59kb.
Конспект лекций по курсу «Экология» (для студентов и слушателей заочной...	7	906.45kb.
Курс лекций Лектор: доцент кафедры теоретической кибернетики Мубаракзянов Р.	3	342.08kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине конспект лекций по дисциплине	4	1144.59kb.
Курс лекций Минск 2007 (075. 8) Ббк 65. 01	37	4487.72kb.
Конспект лекций Для специальности -100100 з/о сокращенной формы обучения...	13	1277.89kb.
Конспект лекций по дисциплине «Экономика отрасли» для специальности...	4	1579.93kb.
Тексты лекций для студентов специальности 1 31 04 01- 02 «Физика...	6	2042.53kb.
1 Множества и отношения. Примеры	2	436.74kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

Пермский Государственный Технический Университет


СПЕЦИАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

конспект лекций
для студентов специальности АСУ


Пермь, 2001г.


Оглавление

Введение

Специальная математика – это некоторые разделы современной математики. Речь идет о математическом аппарате, который помогает расширить возможности математического описания или, выражаясь изящнее – математического моделирования, сложных систем. Далеко не все задачи, которые возникают в сложных системах, включающих человека, можно свести к задачам механики или математического анализа, традиционно называемого в технических вузах «высшей математикой».

Самостоятельное значение имеют математические проблемы теоретического и практического программирования.

Последние сто лет интенсивно развивались разделы математики, многие из которых часто объединяют общим названием дискретная математика, хотя деление на дискретную и непрерывную математику более чем условно. (Возьмите множество всех подмножеств эталонного дискретного множества – множества натуральных чисел, и вы получите мощность базового для традиционного математического анализа множества - множества действительных чисел).

Так что чисто формально нет непреодолимой пропасти и антагонизма между дискретной и непрерывной математикой. Всякий инструмент хорош для решения задач, на которые он ориентирован. Вопрос удобства, эффективности использования и адекватности того или иного математического аппарата вообще до определенной степени вопрос субъективный.

А что касается классификации, то относить ли, например, теорию графов к дискретной математике или к топологии – тоже вопрос. Отнесение к дискретной математике теории групп еще более условно.

Задача данного курса состоит в выработке навыков формализации физических сущностей с помощью различных «диалектов» современного математического языка. И наоборот, интерпретации полученных математических результатов.

Содержательный аспект обычно предшествует формализации и имеет для нас значение при осмыслении результатов математических манипуляций.

Так что акцент в большей степени сделан на понятийной, а не вычислительной стороне ряда разделов математики.

1. Теория множеств

1.1 Понятие множества

Множество - фундаментальное неопределяемое понятие. Множество понимается как объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью.
Теорию множеств можно подразделить на аксиоматическую и интуитивную (наивную).

Аксиоматическая теория исходит из того, что множество определяется совокупностью аксиом, записанных обычно на языке логики (предикатов). Интуитивная теория множеств апеллирует к интуиции, к базовому понятию принадлежности элемента множеству, то есть к интуитивной понятности отношения принадлежности  ( а  A - элемент а принадлежит множеству A).

Для интуитивного понятия множества существенны два момента, следующие из "определения":

1. Различимость элементов.

2. Возможность мыслить их как нечто единое.

Студенты образуют группу. Деревья составляют лес.

Целые числа составляют множество целых чисел.

Жители Марса - множество марсиан.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается  или . Обычно именно фигурные скобки используются для выделения множества (отсутствие элементов в скобках и говорит о том, что это пустое множество).

Множество, заведомо содержащее все рассматриваемые элементы, называется универсальным или универсумом - U.

Было бы опрометчиво говорить просто, что U содержит все элементы. К сожалению, имеют место так называемые парадоксы теории множеств. Самый знаменитый – парадокс Рассела, который показывает невозможность построить множество всех подмножеств, не содержащих себя в качестве элемента. Более прост в понимании парадокс брадобрея, которому приказано брить в тридевятом государстве всех тех и только тех, кто не бреется сам. Перед брадобреем неразрешимый вопрос:

Включать ли самого себя в множество тех, кого он обязан брить?!
Способы задания множеств:

A = {a, b, c, d} - задание множества явным перечислением элементов.

Например, гвардия = {Иванов, Петров, Сидоров}

B = {x | С(x)} - задание множества (характеристическим) свойством С(x).

Например, студенчество = {x | x - студент} - множество таких х, что х - студент.
Отношение включения  . Множество А включено в множество В (А  В) или А есть подмножество множества В, если из х  А следует х  В.

Например, студенческая группа  студенты данной специальности

Отношение строгого включения : Если A  B и A  B , то можно написать

A  B.
Например:   множество отличников

Кстати, на что намекает это отношение?
Свойства отношения включения:

1. Рефлексивность: A  A

2. Принцип объемности: A  B и B  A следует B = A (на основе этого принципа и доказывается равенство двух множеств).

3. Транзитивность: A  B и B  C следует A  C

Полезные соотношения:
{ }=  ; 1  { 1 } ; {{ 1 }}  { 1 } ; { а, в }  { в, а }

1.2. Операции над множествами

1. Объединение множеств A и B

A  B = { x | x  A или x  B } (или - неисключающее)

2. Пересечение множеств A и B

A  B = { x | x  A и x  B }

3. Разность множеств A и B

A \ B = { x | x  A и x  B }

4. Симметрическая разность множеств A и B

A  B = { x | (xA и xB) или (xA и xB)}=( A \ B )  ( B \ A )

5. Дополнение множества A

A = { x | x A }
Пример.

Пусть А = {1, 2, 3} и B = {3,4}, тогда

A  B = {1, 2, 3, 4}

A  B = {3}

A \ B = {1, 2}

A  B = {1, 2, 4}

А = множество чисел кроме 1, 2, 3.

1.3. Диаграммы Эйлера - Венна

Диаграммы Эйлера-Венна позволяют представить множества, как множества точек на плоскости, оганиченные замкнутыми кривыми круглой или овальной формы. Прямоугольная рамка ограничивает универсум. Обычно, если не требуется иное, рисуют так называемый общий случай: когда каждое из множеств имеет свои собственные точки и точки, общие с другими множествами.

U

II

III

I

A

B

AB – зоны I, II, III.

AB – зона III.

A\B - зона I.

A - все, кроме круга А.

AB - зоны I, III.

Диаграмма для общего случая c тремя множествами будет иметь вид:

U

A B

C

Построение диаграммы Эйлера-Венна для общего случая с четырьмя и более множествами можно предложить для самостоятельных развлечений.

следующая страница >>