страница 1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие работы
|
Фрактальная графика и ее практическое применение - страница №1/1
УДК 004.925.83 ФРАКТАЛЬНАЯ ГРАФИКА И ЕЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕЖумаш Э.К.Казахский Национальный Университет имени аль-Фараби, Алматы Научный руководитель – д.ф.-м.н., проф. Хаджиева Л. А. Целью данной работы является изучение математических основ фракталов и их практическое применение в компьютерной графике в среде графического редактора OpenGl. Рассмотрены алгебраические фракталы, в частности фрактал Мандельброта, а также геометрические фракталы, такие как Кривая Коха, трехмерная губка Менгера. Результатом работы является построения выбранных фракталов в редакторе OpenGL с использованием рекурсивных функций, который значительно расширяют возможности формирования красивых и сложных изображений. Использование фрактальных изображений значительно облегчает работу по созданию сложных объектов в компьютерной графике. В современном мультимедийном мире, где развитие технологии идет ускоренными темпами огромное значение имеет компьютерная графика, с помощью инструментов который человек имеет огромные возможности для построения ранее казавшихся невозможными получить изображения. Фрактальную природу имеют большое количество объектов окружающего мира. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия. Использование данного свойства фрактала является наиболее востребованным в компьютерной графике, что дает возможность получать невероятно красивые изображения путем повторения одного и того же узора. Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Фракталом называют функциональное отображение или множество, получаемое бесконечным рекурсивным процессом и обладающее тремя следующими свойствами: дробной размерностью, самоподобием и недифференцируемостью. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической. Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств: • Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину. • Является самоподобной или приближённо самоподобной. • Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую. Может быть построена при помощи рекурсивной процедуры. По способу построения фракталы делят на линейные и нелинейные. • Алгоритмы построения линейных фракталов определяются линейными функциями. В них самоподобие присутствует в самом простом варианте: любая часть повторяет целое. • Нелинейные фракталы задаются нелинейной функцией роста, то есть уравнениями в степени выше первой. В них самоподобие будет выглядеть более сложным: любая часть является уже не точной, а деформированной копией целого. Классификация фракталов:
В работе изложены математические основы фрактальных изображений. Рассмотрены рекурсивные методы построения фракталов. В качестве примеров взяты салфетка Серпинского, Кривая Коха, фрактал Мандельброта, дерево Пифагора. Исследовано влияние стохастичности на рекурсивное изображение. С помощью функций случайного выбора rand() построены различные виды древовидных изображений. Представлены алгоритмы и программные коды их формирования. Другим большим разделом фрактального приложения в компьютерной графике являются динамические фракталы, которые также представляют практический интерес. В работе рассмотрены двух- и трехмерные аттракторы Лоренца, Питера де Йонга, генератор ван дер Поля (VDP), осциллятор Дуффинга (OSD), система Чуа (CHUA), аттракторы Плыкина, Смейла - Вильямса и др. Построены их фазовые портреты и исследовано влияние физических параметров рассматриваемых механических и физических систем на получаемые изображения. Результаты проведенных исследований представлены многочисленными рисунками, которые ввиду ограниченности объема публикаций здесь не приведены. В данной работе для разработки программ по выполнению построения фракталов были рассмотрены: • Графические средства операционной системы Windows. • Графика на языке С++ и в рамках растрового редактора OpenGL. Использование математических основ и свойств фракталов в компьютерной графике, а также алгоритмов их рекурсивного построения дают расширенные возможности для построения сложных изображении при небольших объемах вычислений и временных затрат. Введение фактора случайности в фрактальную графику приводит к большому разнообразию качественных и красивых изображений, которые находят широкое применение в КГ. Литература
|
|