страница 1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие работы
|
А. И. Соколов «Квантовая механика» - страница №1/1
А. И. Соколов«Квантовая механика»Содержание курса Часть 1
Дифракция на диафрагме с одной щелью, непредсказуемость результатов измерений координат отдельных частиц. Зависимость дифракционной картины от ширины щели и скорости частиц. Дифракция на двух щелях. Вероятностный и волновой аспекты ди-намики микрочастиц. Аналогия между механикой микромира с электродинамикой. Волновая функция, ее аддитивность. Вероятностная интерпретация волновой функ-ции, нормировка. Волновая функция как носитель полной информации о квантовоме-ханическом состоянии системы. Принцип суперпозиции состояний. Линейность кван-товой механики как физической теории.
Рассеяние на диафрагме как измерение поперечной координаты частицы. Связь между шириной щели и поперечной компонентой скорости частицы за диафрагмой. Соотно-шение неопределенности для координаты и импульса. Примеры соотношений неопре-деленности для других пар физических величин. Принцип неопределенности Гейзен-берга. Аналогия между квантовой механикой и классической теорией колебаний: вол-новые пакеты, соотношение неопределенности для их координат и соответствующих проекций волнового вектора. Формула де Бройля. Отсутствие траекторий у микрочас-тиц. Роль измерения в физике микромира. Боровский принцип дополнительности. Соотношение неопределенности для энергии и времени.
Гипотеза де Бройля относительно вида волновой функции свободной частицы. Длина волны, соотношение неопределенности для координаты и импульса, дифракционная картина. Соотношение Эйнштейна. Групповая скорость волны де Бройля. Совпадение групповой скорости волны де Бройля с классической скоростью частицы. Принцип соответствия.
Средние значения физических величин (наблюдаемых) – важнейшие характеристики состояния квантовой системы. Выражения для средних значений координат и функций координат. Формула для среднего значения произвольной наблюдаемой, квантовоме-ханические операторы. Операторы координаты и потенциальной энергии. Операторы проекции импульса и вектора импульса. Соотношения между операторами различных физических величин как проявление боровского принципа соответствия. Оператор ки-нетической энергии. Гамильтониан. Операторы проекций углового момента и вектора момента.
Математический оператор: определение, примеры. Линейные операторы, их основные свойства. Сумма и произведение операторов; единичный и нулевой операторы. Не-коммутативность произведения операторов, примеры. Коммутатор и антикоммутатор двух операторов. Собственные функции и собственные значения (числа) линейных операторов, примеры. Спектры линейных операторов. Вырожденные собственные числа, кратность вырождения, примеры операторов с вырожденными спектрами.
Сопряжение по Эрмиту, эрмитово сопряженный оператор, примеры. Самосопряжен-ный (эрмитов) оператор. Оператор, сопряженный по Эрмиту к произведению двух операторов. Произведение двух самосопряженных операторов, условие его эрмито-вости. Теоремы о вещественности собственных чисел эрмитовых операторов и орто-гональности их собственных функций (с доказательством). Антиэрмитовы операторы.
Система собственных функций эрмитового оператора как ортогональный базис в бес-конечномерном векторном пространстве. Пространство Гильберта. Разложение произ-вольного вектора по базису в гильбертовом пространстве, формула для коэффициен-тов разложения. Сходимость разложения к исходной функции. Условие полноты. Пример: ряд Фурье как разложение по собственным функциям эрмитового оператора. Коммутативность операторов, имеющих общую систему собственных функций.
Функция как вектор в гильбертовом пространстве, различные представления функции. Действие оператора на функцию, матрица оператора, формула для матричных элемен-тов. Матрица произведения двух операторов. Свойства матриц эрмитовых операторов. Матрица оператора в его собственном представлении, вещественность собственных чисел эрмитовых матриц.
Волновая функция произвольного квантового состояния ψ в F-представлении. Среднее значение физической величины F в состоянии ψ. Условие нормировки волновой функ-ции в F-представлении. Аналогия между выражением для среднего в F-представлении и соответствующей «экспериментальной» формулой (формулой теории вероятностей). Физический смысл собственных чисел оператора F и коэффициентов разложения ψ по его собственным функциям. Собственные функции оператора F как волновые функции квантовых состояний, в которых F имеет определенное значение. Примеры: волна де Бройля как собственная функция оператора импульса, волна де Бройля в импульсном представлении.
Уравнение движения для волновой функции, естественные физические предположения (гипотезы) о его возможной структуре. Уравнение Шрёдингера. Гамильтониан как фундаментальный оператор, определяющий динамику квантовой системы. Гамильто-нианы одночастичной и двухчастичной систем. Гамильтониан системы многих частиц.
Квантовые системы в статических внешних полях. Гамильтонианы, не зависящие от времени явно. Решение уравнения Шрёдингера методом разделения переменных. Уравнение для временной части волновой функции, его решение. Стационарное урав-нение Шрёдингера (уравнение Шрёдингера без времени). Собственные функции га-мильтониана как волновые функции стационарных состояний. Независимость средних от времени в этих состояниях. Стационарные состояния как состояния с определенны-ми значениями полной энергии. Энергетический спектр квантовой системы. Разло-жения по собственным функциям гамильтониана.
Специфика дифференцирования наблюдаемых по времени в квантовой механике. Временные производные от средних значений. Оператор производной физической величины по времени. Квантовые скобки Пуассона. Операторы скорости и ускорения. Второй закон Ньютона в операторной форме. Теоремы Эренфеста. Сохраняющиеся величины (интегралы движения) в квантовой механике.
Среднеквадратичное отклонение от среднего как количественная характеристика неопределенности физической величины в данном квантовом состоянии. Коммутатор операторов двух наблюдаемых, его антиэрмитовость. Интеграл Вейля, условие его неотрицательности. Неравенства Гейзенберга для двух произвольных физических величин. Коммутатор как индикатор и мера гейзенберговской неопределенности.
Частица в произвольном квантовом состоянии. Изменение со временем вероятности обнаружения частицы в конечном объеме. Вектор плотности потока вероятности j, его физический смысл. Уравнение непрерывности для |ψ|2 и j как закон сохранения числа частиц. Вектор плотности потока вероятности в случае свободной частицы. Вектор j для состояний с вещественными волновыми функциями.
Одномерные одночастичные системы. Частица в прямоугольной потенциальной яме – простейшая модель связанного состояния. Стационарное уравнение Шрёдингера, гра-ничные условия в случае бесконечно высоких стенок. Квантование энергии. Связь между характером движения и типом энергетического спектра. Квантовые флуктуации как следствие соотношений неопределенности, отсутствие состояния покоя в микро-мире. Волновые функции стационарных состояний, их нормировка, квазиклассичес-кий предел. Средние значения координаты и импульса частицы в яме.
Стационарное уравнение Шрёдингера. Граничные условия в случае конечных стенок. Уравнение для энергетического спектра, его анализ. Зависимость числа связанных состояний (уровней энергии) от глубины ямы. Наличие связанного состояния в сколь угодно мелкой и узкой одномерной потенциальной яме. Роль размерности простран-ства.
Периодический потенциал как модель идеальной кристаллической решетки. Решение стационарного уравнения Шрёдингера в случае произвольного периодического потен-циала. Волна Блоха, амплитуда Блоха. Модель Кронига-Пенни, гребенка Дирака как частный случай модели Кронига-Пенни. Граничные условия. Уравнение для энергети-ческого спектра. Разрешенные и запрещенные зоны. Зависимость энергии частицы от волнового вектора.
Гармонический осциллятор – важнейшая физическая модель. Гамильтониан одномер-ного осциллятора. Стационарное уравнение Шрёдингера, безразмерные переменные. Решение уравнения Шрёдингера в инфракрасном пределе. Поиск точного решения в виде степенного ряда, рекуррентное соотношение для коэффициентов. Обеспечение корректной асимптотики волновых функций путем обрыва ряда. Квантование энергии гармонического осциллятора, особенности его энергетического спектра. Квантовые флуктуации (нулевые колебания). Волновые функции стационарных состояний, их четность. Полиномы Эрмита-Чебышева. Квазиклассический предел.
Трехмерный гармонический осциллятор как система с разделяющимися декартовски-ми координатами. Волновые функции стационарных состояний и энергетический спектр трехмерного осциллятора. Вырождение энергетических уровней, его кратность. Физическая природа вырождения, вырождение как следствие симметрии системы.
Изменение физических величин во времени. Оператор эволюции, его унитарность. Перенос временной зависимости с волновой функции на операторы как унитарное преобразование. Квантовая механика в представлении Гейзенберга, уравнения движения для операторов и их матриц. Пример: операторы координаты и импульса гармонического осциллятора в гейзенберговском представлении. Гамильтониан произвольной системы как сумма гамильтониана невзаимодействующих частиц (невозмущённого) и оператора энергии взаимодействия. Оператор эволюции с невозмущённым гамильтонианом. Представление взаимодействия (представление Дирака), уравнения для волновой функции и операторов физических величин. |
|