Зав кафедрой Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Вопросы к экзамену по математическому анализу (2й семестр) 1 22.55kb.
Вопросы к экзамену по математическому анализу математический анализ 1 43.5kb.
Вопросы к экзамену по математическому анализу за первый курс первый... 1 38.72kb.
Программа для подготовки к экзамену по математическому анализу 1 31.67kb.
Вопросы к экзамену по математическому анализу (1 семестр) 1 48.63kb.
Вопросы по математическому анализу (1 – 2 семестры, информационные... 1 61.9kb.
3. Задача. Зав кафедрой тмп 1 98.94kb.
Вопросы к зачету по математическому анализу 1 19.46kb.
Программа междисциплинарного экзамена для поступающих на обучение... 1 146.88kb.
Теоретические вопросы по математическому анализу (часть II) 1 34.4kb.
Экзаменационные вопросы по математическому анализу 1 90.72kb.
Статья «Защита от враждебного поглощения» 1 303.33kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Зав кафедрой Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу - страница №1/1

Утверждено на заседании

кафедры математического

анализа протокол № 5 от 12.12.12
Зав. кафедрой _________________
Вопросы и задачи к экзамену

по математическому анализу

(1 семестр, специальность Миф, 2012-13 уч.г.)
Составил проф. Дорофеев А.В.


  1. Множества. Операции над множествами. Множество рациональных чисел и его свойства.

  2. Множество действительных чисел R, свойства. Геометрическое изображение и представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями.

  3. Модуль действительного числа. Геометрический смысл и теоремы об абсолютной величине числа.

  4. Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Существование точных граней ограниченного множества.

  5. Принцип вложенных отрезков. Теорема Кантора.

  6. Числовые последовательности. Предел последовательности.

  7. Признак сходимости монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса.

  8. Свойства сходящихся последовательностей.

  9. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

  10. Критерий Коши сходимости последовательности.

  11. Числовые функции. Сложная функция. Способы задания функции.

  12. Ограниченные и неограниченные функции

  13. Монотонные функции.

  14. Четные и нечетные функции.

  15. Периодические функции.

  16. Предельные точки множества. Предел как локальное свойство функции. Определение предела функции по Коши и Гейне. Геометрическое истолкование предела функции в точке.

  17. Односторонние конечные пределы, бесконечные пределы в конечной точке, предел на бесконечности, предел по множеству.

  18. Локальные свойства функции, имеющей конечный предел: единственность предела, ограниченность функции, о сохранении функцией знака своего предела. Свойства пределов, связанные с неравенствами.

  19. Бесконечно малые функции. Свойства.

  20. Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел. Теорема о пределе сложной функции.

  21. Непрерывность функции в точке. точки разрыва функции и их классификация. Локальные свойства функций непрерывных в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями и непрерывность сложной функции.

  22. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции и о достижении точных граней.

  23. Теорема БольцаноКоши о промежуточных значениях функции.

  24. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между б.б.ф. и неограниченной функцией.

  25. Существование и непрерывность обратной функции.

  26. Равномерная непрерывность функции.

  27. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции: неравенства, связанные с ними, непрерывность. 1й замечательный предел.

  28. Число е и 2ой замечательный предел.

  29. Пределы, связанные с логарифмической, показательной и степенной функциями.

  30. Сравнение б.м.ф. Эквивалентные б.м.ф. Теорема о замене функций эквивалентными при вычислении пределов. Признак эквивалентности б.м.ф.

  31. Степенная функция с целым и рациональным показателем. Свойства.

  32. Показательная функция на множестве рациональных чисел. Свойства. Определение степени с иррациональным показателем.

  33. Логарифмическая функция и ее свойства.

  34. Степенная функция любым вещественным показателем. Показательностепенная функция и ее предел.

  35. Асимптоты кривых.

  36. Гиперболические функции.


Студент должен знать:

  1. определение ограниченного (неограниченного) множества.

  2. понятие точных граней числовых множеств.

  3. теорему о точных гранях.

  4. определение предела числовой последовательности и его геометрический смысл.

  5. определение возрастающей (убывающей) последовательности.

  6. признак сходимости монотонных последовательностей.

  7. теорему БольцаноВейерштраса о подпоследовательностях.

  8. способы задания числовых функций.

  9. основные глобальные свойства числовых функций: ограниченность (неограниченность), монотонность, четность (нечетность), периодичность.

  10. определение предела функции и его геометрический смысл.

  11. локальные свойства функции, имеющей конечный предел: ограниченность, сохранение знака своего предела,

  12. теоремы о пределе промежуточной функции и предельном переходе в неравенстве.

  13. определение б.м.ф. и их свойства.

  14. связь б.м.ф. с функцией, имеющей конечный предел.

  15. арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел.

  16. свойства функции непрерывной на отрезке: теоремы Вейерштрасса об ограниченности и достижении точных граней, теорема БольцаноКоши о промежуточных значениях, теорема Коши о нулях непрерывной функции.

  17. определение б.б.ф. и их свойства.

  18. связь между б.б.ф. и неограниченной функцией

  19. теорема о существовании и непрерывности обратной функции.

  20. определение равномерной непрерывности


Студент должен уметь

Строить графики основных элементарных функций


y=ax+b, y=ax2+bx+c, y=, y=x, y=ax, y=ex, y=logax,

y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx, y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

y=shx, y=chx, y=thx, y=cthx

Вычислять различные типы пределов (односторонние конечные пределы, бесконечные пределы в конечной точке, предел на бесконечности, предел по множеству)

Исследовать функцию на непрерывность.

Исследовать точки разрыва функции

Вычислять пределы методом замены переменных, заменой эквивалентными функциями)

Раскрывать неопределенности 0/0,/ , , 0, 1, 0, 00.

Применять замечательные пределы

Вычислять асимптоты кривых

Примерный билет экзамена





  1. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции и о достижении точных граней.

  2. Дать определение АВ и построить это множество, если А= {(x,y)| x22x.

  3. Дайте определение понятиям и приведите соответствующие примеры:

а) множество Х  ограничено;

б) точная верхняя грань множества;

в) возрастающая на области определения функция;

г) бесконечно малая функция при х1



  1. Сформулируйте с помощью неравенств утверждение: = 2. В чем состоит геометрический смысл предела последовательности. Приведите пример последовательности на это свойство.

  2. Построить график функции y=

  3. Вычислить предел

  4. Найти область определения функции y= arccos(log2(x–3))


Задачи к экзамену

  1. Изобразить множества на координатной плоскости:

1) А={(х.у)0ух}, В={(х.у)у (х2)2}, А\В, АВ;

2) А={(х.у)0х3}, В={(х.у) х+у1}, А\В, АВ, В\А;



  1. Сравнить числа:

    1. 3/7 и 6/11; 2) а=+2 и b=; 3) и 2,2(8)

  1. Решить уравнения и неравенства

1. 2х2 2. x2+|x|–2=0 3. |x2–2|+|6–x2|=4 4. x2–6|x|–70 5. |2x–1|+|2x+1|4

  1. Исследовать множество М= на ограниченность. Найти sup A, inf A

  2. Вычислить пределы последовательностей

а) , б)

  1. Найти область определения функций:

1. у=lg(3xx3), 2. y=arcsin 3. y= 4 y=lоg0,5 (log2x))

  1. Провести элементарное исследование и построить график функции

1. у=arccos(cosx), 2. y=, 3. y=x11, 4. y=log2(4x2)

  1. Вычислить пределы через замену эквивалентными функциями:

1) , 2) , 3)

  1. Для функции f(x)=найти f(x), f(x), f(x)