Занятие №3. 24 февраля. «Задачи на четность и нечетность. Инварианты». Разминка - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Четность и нечетность 19 1 30.42kb.
Лекция физические инварианты материя, пространство и время 1 322.07kb.
Занятие в новом семестре. Давайте начнем. Борис, мы начинаем бфб. 1 358.16kb.
Программа мероприятий Дней науки им со ран (4-8 февраля) 6 февраля... 1 8.27kb.
Семинарское занятие №1 Тема: Предмет и задачи, история, методы психологии... 1 174.11kb.
«Вводное занятие» 2 906.72kb.
Программа учебного визита в Киркенес (Норвегия) 21 23 февраля 2013 г. 1 20.99kb.
Разложить в ряд Фурье функцию с заданными значениями параметров ... 1 17.19kb.
Министерство сельского хозяйства и продовольствия удмуртской республики 1 543.43kb.
Программа телеканала "Россия 1" с 04 по 10 февраля 2013 г. Понедельник... 1 43.77kb.
Основные вопросы на доказательства (1 семестр) Алгебра 1 40.17kb.
Структура детской исследовательской работы 1 48.09kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Занятие №3. 24 февраля. «Задачи на четность и нечетность. Инварианты». Разминка - страница №1/1

Занятие №3.24 февраля. «Задачи на четность и нечетность. Инварианты».

Разминка.

а) Сколько острых углов в 2012 тупоугольных треугольниках? Ответ : 4024

б) Если а*в = ав + а + в и 3*5 =2*х, то чему равен х? Ответ : 7.

в)Произведение четырех различных натуральных чисел равно 100. Чему равна их сумма?
Ответ : 18.

г) Числа а, в, с таковы, что а:в:с равно 1:2:3.Чему равно (а+в) :(в+с) : (с+а)?

Ответ :3:5:4.

д) Если (33 )х =(99)а, то х равен… Ответ :6а..

1) 1)Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все ее звенья?

Решение

Пронумеруем вершины ломаной в порядке следования числами от 1 до 11.

Прямая делит плоскость на две полуплоскости (1) и (2). Пусть вершина 1 в полуплоскости (1).

Соседние вершины ломаной будут расположены в разных полуплоскостях. Значит, вершина 2 - в полуплоскости (2), вершина - в полуплоскости (1), и так далее, вершина 11 - в полуплоскости (1).

Тогда звено, соединяющее вершины 1 и 11, не пересекает прямую.

Значит, прямая не может пересекать все звенья ломаной.



Ответ

нет, не может.


2)Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?

Решение

Если бы такое было возможно, то все звенья ломаной разбились бы на пары пересекающихся. Однако тогда число звеньев должно быть четным.



Ответ

нельзя.


3).Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?

Решение

Для каждого количества очков есть ровно 8 половинок доминошек с таким очками. Внутри цепи все одинаковые половинки встречаются парами (половинки от разных доминошек).

Половинке с 5 очками, стоящей на одном конце цепи, нет пары внутри цепи, значит, ее пара стоит на другом конце.

Ответ

5 очков


4)Произведение 22 целых чисел равно 1.
Докажите, что их сумма не равна нулю.

Подсказка

1. Какими могут быть множители?

2. Каких множителей сколько может быть?

Решение

Множители - числа +1 и -1, причем количество чисел -1 четно.

Чтобы сумма равнялась нулю, чисел +1 и -1 должно быть поровну, то есть по 11 штук. Но 11 чисел -1 быть не может.










5)На доске написаны числа 0, 1, 0, 0. За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них. Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными?

Решение

За каждый шаг, независимо от того, какие числа мы увеличиваем, сумма всех написанных чисел увеличивается на 2. Поскольку вначале сумма равна 1, то она всегда будет оставаться нечетной. А сумма четырех одинаковых чисел, очевидно, четна. Поэтому, добиться, чтобы все числа стали равными невозможно.

6).Можно ли расставить знаки "+" или "-" между каждыми двумя соседними цифрами числа 123456789, чтобы полученное выражение равнялось нулю?

Подсказка

Какова будет четность полученного выражения?



Решение

Расставим знаки "+" и "–" вначале каким-то произвольным образом, например рассмотрим выражение 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 = 5.

Если перед какой-то цифрой k стоит "+", то при замене его на "–" значение выражения изменится на –2k, следовательно, четность выражения не изменится. Аналогично, четность выражения не изменится, если в некотором месте знак "–" изменить на "+".

Таким образом, четность полученного выражения не зависит от расстановки знаков, следовательно, при любой расстановке знаков значением выражения является нечетное число. Поскольку 0 – число четное, ответ на вопрос задачи – отрицательный.



Ответ:

нельзя
7)На столе стоят 13 перевернутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?



Ответ

Нет, число перевернутых стаканов всегда остается нечетным.


8)Ученица 7 класса Катя и несколько ее одноклассников встал

и в круг, взявшись за руки. Оказалось, что каждый держит за руки либо двух мальчиков, либо двух девочек. Если в кругу стоит пять мальчиков, то сколько там стоит девочек?



Решение

Любые двое, стоящие рядом, разного пола.


Поэтому, мальчики и девочки чередуются.
Так как они стоят по кругу, то их при этом четное число.
Значит, мальчиков столько же, сколько и девочек.

Ответ

Пять девочек

9)

Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?



Подсказка

Подумайте: можно ли вообще десятью такими купюрами набрать нечетное число рублей?



Решение

Каждая купюра – нечетное число рублей.


Сумма четного числа нечетных чисел четна, поэтому не может равняться 25.

Ответ

нельзя.











10)Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?

Магический квадрат - это квадратная таблица, заполненная числами, в которой суммы чисел во всех строках и столбцах равны.

Подсказка

Обратите внимание, что среди первых 36 чисел только одно четное, а остальные - нечетные.



Решение

Среди этих чисел одно (2) - четное, а остальные - нечетные. Поэтому в той строке, где стоит двойка, сумма чисел нечетна, а в других - четна.



Ответ

нет, нельзя.



















13)Можно ли 77 телефонов соединить между собой проводами так, чтобы каждый был соединён ровно с пятнадцатью?

Решение

Нет, нельзя. Если каждый из 77 телефонов соединён ровно с 15ю, то "концов" проводов будет 77*$ \times$15. Это нечётное число, но число "концов" должно быть чётным, поскольку каждый провод имеет два конца.



Ответ

 Нет. Если бы это было возможно, то "концов" проводов было бы 77×15, но их число должно быть чётным, поскольку каждый провод имеет два конца.

14) По кругу написано 7 натуральных чисел. Попробуйте доказать, что найдутся два соседних числа, сумма которых чётна.

Подсказка

Подумайте о соотношении чётных и нечётных чисел среди написанных семи.



Решение

Если сумма двух чисел чётна, то либо оба числа чётны, либо оба нечётны. Выберем любое из записанных чисел и начнём все эти числа подряд перебирать. Либо мы найдём два подряд идущих числа одинаковой чётности (тогда наша задача решена), либо не найдём таких чисел. В этом случае наши числа будут образовывать цепочку, в которой чередуются чётные и нечётные числа. Всего записано семь чисел, значит, чётность первого и седьмого чисел цепочки будут совпадать. А это, в свою очередь, означает, что, когда мы замкнём цепочку (числа выписаны по кругу!), то первое и седьмое числа окажутся рядом и их сумма будет чётной, что и требовалось доказать.



http://www.problems.ru/