Занятие 2 Аналитические функции. Условия Коши-Римана 1 Производная и дифференциал функции комплексной переменной - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
7 Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. 1 23.13kb.
Производная и дифференциал высших порядков 1 43.21kb.
Занятие 1 Функции комплексной переменной 1 Множества, кривые, области 1 183kb.
Программа вступительного экзамена по специальной дисциплине 1 135.04kb.
Экзаменационные вопросы по математическому анализу 1 90.72kb.
Тема 1 Функции комплексной переменной 3 554.38kb.
Перечень вопросов к зачётному занятию по дисциплине «Физика, математика» 1 52.51kb.
Функции нескольких переменных. Основные определения и понятия. 1 44.21kb.
Занятие 8 Вычеты 1 Определение вычета 2 Вычисление вычетов 1 167.28kb.
Урок алгебры в 9-м классе по теме "Свойства функций. Четные и нечетные... 1 149.79kb.
Предел функции Определение предела функции 9 2360.39kb.
Решение. Возьмем на комплексной плоскости ℂ две различные точки и... 1 245.67kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Занятие 2 Аналитические функции. Условия Коши-Римана 1 Производная и дифференциал - страница №1/1

Практическое занятие 2 Аналитические функции. Условия Коши-Римана
2.1 Производная и дифференциал функции комплексной переменной

2.2 Условия Коши-Римана

2.3 Геометрический смысл модуля и аргумента производной

2.4 Конформное отображение


2.1 Производная и дифференциал функции комплексной переменной

Пусть однозначная функция определена и конечна в некоторой области . И пусть точки и принадлежат области. Обозначим =.



Производной функции в точке называется предел (если он существует и конечный)

.

Приращение стремится к нулю любым образом, т. е. точка приближается к точке по любому направлению.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение представимо в виде

,

где при .



Теорема 1 Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

,

где .

Величина называется дифференциалом функции и обозначается .

В частности, при получаем , т. е. дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением. Заменяя приращение на , имеем

.

Таким образом, дифференциал дифференцируемой функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.

Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема как в самой точке, так и в ее окрестности. Функция называется аналитической в области , если она аналитична в каждой точке этой области.
2.2 Условия Коши-Римана

Пусть однозначная функция комплексной переменной , определенная в области .



Теорема 2 Для того чтобы в точке функция была дифференцируемой, необходимо и достаточно, чтобы функции и были дифференцируемы в точке как функции двух действительных переменных и , и выполнялись условия Коши-Римана:

, .

Производная аналитической функции находится по формулам:



, ,

, .

Поскольку свойства алгебраических действий и правила предельного перехода для функций действительной переменной распространяются и на функцию комплексной переменной, то правила дифференцирования функций действительной переменной справедливы и для функции комплексной переменной:



,

,

, ,

,

.

Функция действительных переменных и называется гармонической, если она дважды дифференцируема и ее частные производные и удовлетворяют уравнению Лапласа



.

Теорема 3 Если функция аналитическая в области , то и являются гармоническими в области.

Обратное верно не всегда: если взять за и две произвольные функции, гармонические в области, то функция не всегда будет аналитической в этой области, так как две произвольно взятые гармонические функции могут не удовлетворять условиям Коши-Римана.

Две гармонические в области функции и , связанные в области условиями Коши-Римана, называются сопряженными.

Теорема 4 Пусть односвязная область и функция гармоническая в . Тогда существует такая сопряженная ей гармоническая функция , определенная с точностью до постоянного слагаемого, что функция является аналитической.
2.3 Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Пусть функция – аналитическая в некоторой точке и . Модуль производной называется коэффициентом подобия в точке при отображении . При имеет место растяжение, при – сжатие.

Аргумент производной – это угол, на который надо повернуть касательную в точке к любой гладкой кривой , проходящей через точку так, чтобы получить касательную в точке к образу этой кривой при отображении . При этом, если , то поворот происходит против часовой стрелки, если – по часовой.



2.4 Конформное отображение

Взаимно-однозначное отображение области на область , осуществляемое функцией , называется конформным, если оно в каждой точке области обладает свойством сохранения углов и постоянством растяжений.

Другими словами, если конформное отображение области в область , то

– величина угла между пересекающимися в точке кривыми области равна величине угла между образами этих кривых, пересекающихся в точке области ;

– бесконечно малому кругу с центром в точке соответствует бесконечно малый круг с центром в точке .

Если при отображении направление отсчета соответствующих углов одинаковое, то имеет место конформное отображение 1-го рода, если направление отсчета углов изменяется на противоположное, то – конформное отображение 2-го рода.



Теорема 5 Пусть функция – аналитическая в точке и . Тогда отображение является конформным в точке .

Теорема 6 (критерий конформности) Для того, чтобы функция являлась конформным отображением в области , необходимо и достаточно, чтобы была однолистной, аналитической и всюду в области .

Для конформного отображения справедливы следующие теоремы.



Теорема 7 (Римана) Всякую односвязную область плоскости , граница которой состоит более чем из одной точки, можно конформно отобразить на внутренность единичного круга плоскости .

Теорема 8 Существует единственная функция , осуществляющая конформное отображение заданной односвязной области, граница которой состоит более чем из одной точки, на единичный круг так, что

, ,,.

Теорема 9 (принцип взаимно однозначного соответствия границ) Пусть в ограниченной односвязной области с контуром задана аналитическая функция , непрерывная в и осуществляющая взаимно однозначное отображение контура на некоторый контур плоскости . Тогда, если при заданном отображении контуров сохраняется направление обхода, то функция , осуществляет конформное отображение на внутреннюю область , ограниченную контуром .

Пусть область содержит в составе своей границы прямолинейный отрезок . Область , полученная зеркальным отражением области относительно прямой, на которой лежит отрезок , называется областью, симметричной области относительно (рисунок 2. 1).



Рисунок 2. 1 – Симметричные области и



относительно
Точки и называются симметричными относительно прямой, если они лежат на перпендикуляре к этой прямой по разные стороны от нее и на равных расстояниях.

Теорема 10 (принцип симметрии Римана-Шварца) Пусть 1) граница области содержит прямолинейный отрезок ;

2) на множестве определена непрерывная функция , осуществляющая отображение области на область ;

3) при отображении прямолинейный отрезок границы области переходит в прямолинейный отрезок границы области .

Тогда 1) если аналитична в области , то она аналитична в области ;

2) области и симметричны относительно прямой, содержащей отрезок ;

3) различные точки , из симметрично отображаются в различные точки и из соответственно.
Вопросы для самоконтроля
1 Что называется производной функции в точке?

2 Какая функция называется дифференцируемой в точке?

3 Сформулируйте необходимое и достаточное условия дифференцируемости.

4 Что называется дифференциалом функции комплексной переменной?

5 Какая функция называется аналитической: а) в точке, б) в области?

6 Для каких функций выполняются условия Коши-Римана?

7 По каким формулам вычисляется производная функции комплексной переменной?

8 Какие функции называются гармоническими? Является ли аналитическая функция гармонической?

9 В чем состоит геометрический смысл модуля производной?

10 В чем состоит геометрический смысл аргумента производной?

11 Какое отображение называется конформным?

12 В чем состоит различие между конформным отображениями 1- и 2-го родов?

13 Сформулируйте критерий конформного отображения?

14 В чем суть теоремы Римана?

15 В чем состоит принцип соответствия границ?

16 Сформулируйте принцип симметриии Римана-Шварца.


Решение типовых примеров
1 Исследовать на дифференцируемость функцию .

Решение. Функция непрерывна на всей комплексной плоскости . Она может быть представлена в виде

.

Тогда при любом имеем



.

Приращение может стремиться к нулю по любому направлению. Выбирая для два различных направления, получим два различных значения отношения:

– если , , то ;

– если , , то .

Следовательно, предел не существует.

Функция непрерывная на всей комплексной плоскости не имеет производной ни в одной точке плоскости.



2 Исследовать функцию на дифференцируемость и найти ее производную.

Решение. Пусть . Тогда

.

Следовательно, , .

Условия Коши-Римана

,

выполняются в любой точке .

Значит, функция дифференцируема на всей комплексной плоскости.

Тогда


.

3 Найти аналитическую функцию , если при условии .

Решение. Частные производные первого и второго порядков функции равны:

, ;

, .

Функция является гармонической на всей комплексной плоскости , так как



.

Согласно теореме 4, существует функция , сопряженная к . Проинтегрируем 1-е условие Коши-Римана по переменной :



,

.

Дифференцируя последнее равенство по переменной и подставляя во 2-е условие Коши-Римана , получим



.

Отсюда . Интегрируя по , получим



, .

Тогда аналитическая функция имеет вид



.

Из условия находим постоянную : .

Искомая функция примет вид

=

=.



4 Выяснить геометрическую картину отображения, осуществляемого функцией .

Решение. Поскольку , то отображение является конформным во всех точках плоскости .

Модуль производной , значит, происходит растяжение при отображении .

Аргумент производной равен , поэтому направление при отображении не меняется.

5 Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении в точке .

Решение. Имеем . Тогда



.

Так как


,

,

то при отображении происходит растяжение с коэффициентом, равным 4, и поворот против часовой стрелки на угол, равный .



6 Найти область , в которую функция отображает круг .

Решение. Функция является аналитической всюду в плоскости . Введем полярные координаты

, .

Тогда отображение в тригонометрической форме запишется в виде



или .

Найдем уравнение окружности в полярных координатах:





,

т. е. уравнение окружности в полярных координатах принимает вид .

Обозначим через полярные координаты в плоскости . Тогда справедливы равенства

, .

При отображении окружность переходит в кардиоиду



или ,

при этом сохраняется направление обхода окружности и кардиоиды .

На основании принципа взаимно однозначного соответствия границ заключаем, что функция осуществляет конформное отображение внутренности рассматриваемой окружности на внутренность кардиоиды (рисунок 2. 4).

Рисунок 2. 2 – Рисунок к типовому примеру 6


Задания для аудиторной работы

1 Выяснить, в каких точках дифференцируемы функции:

а) ; в) ;

б) ; г) .

2 Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти :

а) ; б) .



3 Найти области аналитичности функций:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .



4 Проверить гармоничность функций:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

5 Восстановить аналитическую функцию по известной действительной или мнимой части:

а) при условии ;

б) при условии ;

в) при условии .

г) ;

д) ;

е) .

6 Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображениях в указанных точках:

а) , ; ;

б) , ; .

7 Найти области растяжения и сжатия при отображениях:

а) ; б) .



8 Найти области конформности функций:

а) ; б) ; в) .



9 Найти образы окружности при отображениях:

а) ; б) ; в) .


Задания для домашней работы
1 Выяснить, в каких точках дифференцируемы функции:

а) ; в) ;

б) ; г) .

2 Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти :

а) ; б) .



3 Найти области аналитичности функций:

а) ; в) ;

б) ; г) .

4 Проверить гармоничность функций:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

5 Восстановить аналитическую функцию по известной действительной или мнимой части:

а) при условии ;

б) при условии ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .



6 Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображениях в указанных точках:

а) , ; ;

б) , ; .

7 Найти области растяжения и сжатия при отображениях

а) ; б) .



8 Найти области конформности функций:

а) ; в) ;

б) ; г) .

9 Найти образы прямой при отображениях:

а) ; б) ; в) .