Занятие 1 Ряды с неотрицательными членами 1 Определение числового ряда, необходимый признак сходимости - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Занятие 1 Ряды с неотрицательными членами 1 Определение числового ряда, необходимый - страница №1/1

Тема 1 Числовые и функциональные ряды
Практическое занятие 1 Ряды с неотрицательными членами
1.1 Определение числового ряда, необходимый признак сходимости

1.2 Простейшие свойства числовых рядов, критерий Коши сходимости ряда

1.3 Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами
1.1 Определение числового ряда, необходимый признак сходимости

Пусть – числовая последовательность. Выражение вида



называется числовым рядом, числа , , …, , … – членами ряда, а число -м или общим членом ряда.

Сумма конечного числа первых членов

называется частичной суммой данного ряда.

В частности,

,

,

,

……………………


………………………… .

Если для последовательности частичных сумм ряда существует конечный предел , то ряд называется сходящимся, а число суммой данного ряда:

.

Если предел последовательности не существует или равен бесконечности, то ряд называют расходящимся.

Теорема 1 (необходимое условие сходимости числового ряда) Если ряд сходится, то предел общего члена равен нулю: .

Выражение вида , представляющее собой числовой ряд, называется -м остатком ряда и обозначается или .

Для сходящегося ряда можно записать равенство

.

Теорема 2 Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы любой его остаток сходился.

Очевидно, что если числовой ряд сходится, т. е. , то



.

Следовательно, отбрасывание любого конечного числа членов не влияет на сходимость ряда.



1.2 Простейшие свойства числовых рядов, критерий Коши сходимости ряда

Ряд


,

называется рядом с неотрицательными членами.

Для рядов с неотрицательными членами справедливы следующие свойства:

– перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (расходимость);

– если ряды и сходятся и их суммы равны и соответственно, то ряд также сходится и

.

Ряд называется суммой рядов и ;

– если ряд сходится и его сумма равна , то ряд также сходится и

.

Ряд называется произведением ряда на число ;



– если ряд сходится, то и ряд, полученный группировкой его членов без изменения порядка их расположения, также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Теорема 3 (критерий Коши сходимости ряда) Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое число , что для всех и всех имело место неравенство:

.
1.3 Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

Теорема 4 Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Теорема 5 (интегральный признак Коши) Если неотрицательная интегрируемая функция на промежутке монотонно убывает, и члены ряда имеют вид , то ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости имеет место неравенство:

.

Теорема 6 (признак сравнения) Пусть для членов рядов и справедливо неравенство . Тогда:

1) если ряд сходится, то и ряд сходится,

2) если ряд расходится, то и ряд расходится.

Следствие (предельный признак сравнения) Пусть для членов рядов () и () существует конечный предел:

, .

Тогда ряды и сходятся и расходятся одновременно.

Для исследования на сходимость рядов с помощью признаков сравнения используются ряды:

– ряд из элементов геометрической прогрессии: , , сходящийся при и расходящийся при ;

– обобщенный гармонический ряд: , сходящийся при и расходящийся при .



Теорема 7 (признак Д’аламбера) Пусть для ряда () существует предел

.

Тогда при ряд сходится, а при ряд расходится.

Вопрос о сходимости ряда остается открытым, если .



Теорема 8 (признак Коши) Пусть для ряда () существует предел

.

Тогда при ряд сходится, а при ряд расходится.

Вопрос о сходимости ряда остается открытым, если .

Из существования предела следует, что существует и предел . Обратное утверждение не всегда имеет место, т. е. признак Коши «сильнее» признака Д’аламбера.
Вопросы для самоконтроля
1 Какое выражение называется числовым рядом?

2 Что называется суммой ряда?

3 Сформулируйте необходимое условие сходимости ряда.

4 Какое выражение называется остатком ряда?

5 Перечислите простейшие свойства сходящихся числовых рядов.

6 Сформулируйте критерий Коши сходимости ряда.

7 Какие ряды называются рядами с неотрицательными членами?

8 Сформулируйте интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами.

9 Сформулируйте признаки сравнения сходимости рядов с неотрицательными членами.

10 Сформулируйте признак Д’аламбера сходимости рядов с неотрицательными членами.

11 Сформулируйте признак Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.

Решение типовых примеров
1 Записать первые пять членов ряда, общий член которого задан формулой .

Решение. Полагая в формуле общего члена , 2, 3, 4, 5, получим

,

,

,

,

.

Ряд можно записать в виде



.

2 Найти общий член ряда

.

Решение. Показатель степени каждого члена совпадает с номером этого члена, поэтому показатель степени -го члена равен .

Числители дробей , , , , … образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью 1. Поэтому -й числитель равен . Знаменатели образуют арифметическую прогрессию с первым членом 3 и разностью 4. Поэтому -й знаменатель равен . Следовательно, общий член ряда имеет вид .



3 Вычислить сумму ряда .

Решение. Поскольку

,

то


, ,

, ,

……………………………….….

Следовательно,

.

Тогда


.

Значит, ряд сходится и сумма ряда равна .



4 Исследовать сходимость рядов:

а) , , ;

б), .

Решение. а) для ряда

составим частичные суммы:



, , …, , , ….

Последовательность частичных сумм этого ряда не имеет предела и поэтому данный ряд расходится;

б) сумма первых членов ряда

имеет вид



, .

Так как


то

При ряд совпадает с рядом , при , и .

Следовательно, ряд сходится при и его сумма , при он расходится.



5 Исследовать сходимость ряда

Решение. Вычислим предел:

.

Согласно теореме 1 не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Значит, данный ряд расходится.



6 Исследовать сходимость гармонического ряда

.

Решение. Очевидно, что , однако гармонический ряд расходится. Докажем, что гармонический ряд расходится двумя способами.

1 способ. Действительно, предположим, что ряд сходится и его сумма равна . Тогда

.

Из неравенства



, ,

предельным переходом по получаем противоречие: .



2 способ. Имеем:

=.

Для любого положим и . Так как , ,то получим:

=.

Таким образом, для любого критерий Коши не выполняется. Следовательно, гармонический ряд расходится.



7 Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда (ряда Дирихле)

, .

Решение. При ряд совпадает с гармоническим рядом и расходится.

Если , то и . В этом случае ряд расходится, так как нарушается необходимое условие сходимости ряда.

Пусть и . Положим . Функция монотонно убывает на промежутке .

Обобщенный гармонический ряд сходится и расходится одновременно с интегралом .

Известно, что несобственный интеграл

Следовательно, ряд сходится при и расходится при .



8 Исследовать сходимость рядов:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

Решение. а) так как и обобщенный гармонический ряд сходится (), то согласно признаку сравнения сходится и данный ряд;

б) сравним ряд с гармоническим рядом . Поскольку



, ,

и гармонический ряд расходится, то расходится и исходный ряд;

в) вычислим предел:

.

Так как , то по признаку Д’аламбера данный ряд сходится;

г) вычислим предел:

.

Так как , то согласно признаку Д’аламбера исходный ряд расходится;

д) так как

,

то согласно признаку Коши данный ряд расходится;

е) сравним ряд с обобщенным гармоническим рядом . Вычислим предел:

,.

Поскольку для ряда имеем , то исходный ряд сходится вместе с обобщенным гармоническим рядом.


Задания для аудиторной работы
1 Записать первые шесть членов ряда по заданному общему члену:

а) ; в) ;

б) ; г) .

2 Записать формулу общего члена для рядов:

а) ; в) ;

б) ; г) .

3 Найти суммы рядов:

а) ; в) ;

б) ; г) .

4 Используя необходимое условие, исследовать сходимость рядов:

а) ; б) .



5 С помощью интегрального признака исследовать сходимость рядов:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .



6 С помощью признаков сравнения исследовать сходимость рядов:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; и) .

7 С помощью признака Д’аламбера исследовать сходимость рядов:

а) ; в) ;

б) ; г) .

8 С помощью признака Коши исследовать сходимость рядов:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .


Задания для домашней работы
1 Записать первые шесть членов ряда по заданному общему члену:

а) ; в) ;

б) ; г) .

2 Записать формулу общего члена для рядов:

а) ; в);

б) ; г) .

3 Найти суммы рядов:

а) ; в) ;

б) ; г) .

4 Используя необходимое условие, исследовать сходимость рядов:

а) ; б) .



5 С помощью интегрального признака исследовать сходимость рядов:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .



6 С помощью признаков сравнения исследовать сходимость рядов:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; и) .
7 С помощью признака Даламбера исследовать сходимость рядов:

а) ; в) ;

б) ; г) .

8 С помощью признака Коши исследовать сходимость рядов:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .



Практическое занятие 2 Знакопеременные ряды
2.1 Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница

2.2 Абсолютно и условно сходящиеся ряды

2.3 Признаки Дирихле и Абеля
2.1 Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница

Знакочередующимся называется ряд, все члены которого поочередно меняют знак:

,

где , , – числа одного знака.



Теорема 1 (признак Лейбница) Пусть члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям:

1) ;

2) .

Тогда ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, т. е. .

Ряд, удовлетворяющий условиям теоремы 1 называется рядом Лейбница.

Остаток ряда Лейбница удовлетворяет неравенству .

Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными.


2.2 Абсолютно сходящиеся ряды

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд с неотрицательными членами сходится.



Теорема 2 Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Обратное утверждение в общем случае не имеет места.

Абсолютно сходящиеся ряды обладают свойствами:

– если ряд абсолютно сходится и =, =, то ;

– если ряды и абсолютно сходятся, то при любых и ряд абсолютно сходится;

– если ряд абсолютно сходится, то ряд, составленный из тех же членов, но взятых в другом порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна сумме исходного ряда;

– если ряды и абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений членов этих рядов, расположенных в любом порядке, также абсолютно сходится.

Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Для ряда обозначим через , , …,,… и , , …, , … соответственно его неотрицательные и отрицательные члены, взятые в том же порядке, в котором они расположены в ряде . Рассмотрим ряды и , члены которых неотрицательны.

Теорема 3 Если ряд условно сходится, то оба ряда и расходятся.

Теорема 4 (Римана) Если ряд условно сходится, то, каково бы ни было действительное число , можно так переставить его члены, что сумма получившегося ряда будет равна .
2.3 Признаки Дирихле и Абеля

Для исследования сходимости знакопеременных рядов часто используются признаки Дирихле и Абеля.



Теорема 5 (признак Дирихле) Пусть

1) последовательность монотонна и ,

2) последовательность сумм , , ограничена.

Тогда ряд сходится.

Теорема 6 (признак Абеля) Пусть

1) последовательность ограничена и монотонна,

2) ряд сходится.

Тогда ряд сходится.
Вопросы для самоконтроля
1 Какой ряд называется знакочередующимся?

2 Сформулируйте признак Лейбница.

3 Какой ряд называется абсолютно сходящимся?

4 Перечислите свойства абсолютно сходящихся рядов.

5 Какой ряд называется условно сходящимся?

6 Какими свойствами обладают условно сходящиеся ряды?

7 Сформулируйте признак Дирихле.

8 Сформулируйте признак Абеля.


Решение типовых примеров
1 Исследовать сходимость ряда .

Решение. Так как и , то данный ряд, согласно признаку Лейбница, сходится.

2 Исследовать сходимость рядов:

а) , б) .



Решение. а) ряд, составленный из абсолютных величин исходного ряда, имеет вид и является сходящимся. Значит, ряд является абсолютно сходящимся;

б) по признаку Лейбница ряд сходится. С другой стороны, ряд является расходящимся гармоническим рядом. Значит, ряд не является абсолютно сходящимся.



3 Найти сумму ряда .

Решение. Ряд является расходящимся, так как не существует.

Ряды


и

,

полученные из него путем объединения его членов, сходятся:

,

.

Таким образом, для исходного ряда сумма ряда не существует, а ряды, полученные из него указанным объединением его членов, имеют конечные суммы.



4 Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Последовательность монотонно убывающая и .

Рассмотрим последовательность . При , , имеем







.

Поэтому


.

При , , все рассматриваемые суммы ограничены. В силу признака Дирихле ряд сходится.

При , , все члены ряда обращаются в нуль и ряд также сходится.

5 Исследовать сходимость ряда .

Решение. Последовательность ограничена и монотонна. Ряд сходится по признаку Дирихле. Согласно признаку Абеля ряд сходится.

6 Сколько членов ряда нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,0001?

Решение. Этот ряд является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим условиям признака Лейбница:

,

.

Следовательно, данный ряд сходится, причем абсолютно, поскольку ряд



является сходящимся обобщенным гармоническим рядом ().

Определим число членов, которые нужно взять, чтобы вычислить его сумму с заданной точностью.

Если


или ,

то .

Следовательно, нужно взять 10 членов данного ряда.

Так как , то оценка ряда есть



.

7 Составить сумму рядов и . Сходится ли полученный ряд?

Решение. Ряд есть геометрический со знаменателем , его сумма , второй геометрический ряд со знаменателем , его сумма .

По определению суммы двух рядов полученный ряд имеет вид



.

Данный ряд сходится, его сумма



.
Задания для аудиторной работы
1 Исследовать сходимость знакопеременных рядов:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .



2 Исследовать абсолютно или условно сходятся ряды:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .



3 С точностью до 0,001 вычислить сумму рядов:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .



4 Найти сумму ряда .

5 Составить ряд, полученный из разности соответствующих членов рядов и . Сходится ли полученный ряд?

6 Даны два ряда и . Записать первые пять членов их произведения. Сходится ли полученный ряд?
Задания для домашней работы
1 Исследовать сходимость знакопеременных рядов:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .



2 Исследовать, абсолютно или условно сходятся ряды:

а) ; в) ;

б) ; г) .

3 С точностью до 0,001 вычислить сумму рядов:

а) ; в) ;



б) ; г) .

4 Найти сумму ряда .

5 Составить ряд, полученный из разности соответствующих членов рядов и . Сходится ли полученный ряд?

6 Даны два ряда и . Записать первые пять членов их произведения. Сходится ли полученный ряд?