Занятие 1 Формула Ньютона-Лейбница 1 Определение интеграла Римана - umotnas.ru o_O
Занятие 1 Формула Ньютона-Лейбница 1 Определение интеграла Римана - umotnas.ru o_O
|
Похожие работы
|
Занятие 1 Формула Ньютона-Лейбница 1 Определение интеграла Римана - страница №3/3
5 Найти давление бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотою 3,5 м и радиусом 1,5 м, на его стенки, если плотность бензина 900 кг/м3. 6 Какое давление испытывает прямоугольная пластинка длиною и шириною , , если она наклонена к горизонту жидкости под углом и ее большая сторона находится на глубине (рисунок 3.8). 7 Найти момент инерции относительно оси площади эллипса , . 8 Найти статические моменты и моменты инерции дуги астроиды , , лежащей в первой четверти. 9 Найти координаты центра тяжести параболического сегмента, ограниченного линиями , . Задания для домашней работы 1 Найти работу, затрачиваемую на выкачивание воды из конического сосуда, основание которого горизонтально и расположено ниже вершины, если радиус основания и высота . 2 Из цилиндрической цистерны выкачивается жидкость. Какую работу надо затратить на это, если длина цистерны , а диаметр . 3 Подъемным краном при помощи каната, прикрепленного к вершине, поднимается конической формы камень из воды. Какую работу затратит подъемный кран на полное извлечение камня из воды, если вершина конуса находилась на поверхности воды. Радиус основания конуса 1 м, высота 3 м, плотность 2,5 г/см3. Указание:. 4 В жидкость с плотностью погружена треугольная пластинка вершиной вверх. Найти давление жидкости на пластинку, если основание треугольника , высота . Вершина треугольника расположена на поверхности. 5 Скорость точки меняется по закону м/сек. Какой путь пройдет эта точка за промежуток времени . 6 Найти момент инерции параболического сегмента, ограниченного параболой и прямой относительно . 7 Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной дугой эллипса , , расположенной в первой четверти, и осями координат. 8 Найти координаты центра тяжести параболического сегмента, ограниченного линиями , . 9 Найти координаты центра тяжести дуги астроиды , , лежащей в первой четверти. 10 Найти координаты центра тяжести параболического сегмента, ограниченного линиями , , , . Практическое занятие 4 Несобственные интегралы 4.1 Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования 4.2 Несобственный интеграл от неограниченных функций 4.3 Формулы для несобственных интегралов 4.4 Признаки сходимости несобственных интегралов При введении понятия определенного интеграла как предела интегральной суммы предполагалось, что пределы интегрирования и являются конечными и подынтегральная функция на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода. В этом случае определенные интегралы называются собственными. Если хотя бы одно из указанных условий не выполняется, то интегралы называются несобственными. При этом определение интеграла Римана теряет смысл. Действительно, в случае бесконечного отрезка интегрирования его нельзя разбить на частичных отрезков конечной длины, а в случае неограниченной функции интегральная сумма не имеет конечного предела. 4.1 Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования Пусть функция непрерывна на промежутке . Тогда она будет непрерывной на любом конечном отрезке , . Для функции непрерывной на , существует определенный интеграл , зависящий от верхнего предела . Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной на промежутке функции называется предел : . Если существует конечный предел , то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует или равен , то расходящимся. Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования от непрерывной функции на промежутке . Поскольку , , то по определению . Этот несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся. Интегралы , , называются также несобственными интегралами первого рода. С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл означает, что фигура, ограниченная кривой , прямыми , и бесконечно вытянутая в направлении оси , имеет конечную площадь (рисунок 4.1). Рисунок 4.1 – Геометрический смысл несобственного интеграла 1-го рода Очевидно, что, если существует интеграл , то и существует интеграл в смысле главного значения. Обратное верно не всегда: интеграл в смысле главного значения может существовать, а соответствующий ему несобственный интеграл – нет. 4.2 Несобственный интеграл от неограниченных функций Пусть функция определена на промежутке и неограничена в левосторонней окрестности точки ( – точка бесконечного разрыва), т. е. . Будем считать, что функция интегрируема на для любого . Несобственным интегралом от функции непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв в точке называется при предел: , . Аналогично определяется несобственный интеграл от функции на промежутке : , . Если же функция имеет разрыв второго рода в некоторой внутренней точке отрезка , то интеграл необходимо представить в виде суммы двух интегралов: . Если пределы в правых частях формул существуют и конечны, то интеграл является сходящимся, в противном случае – расходящимся. Несобственные интегралы от неограниченных функций называются несобственными интегралами второго рода. Рисунок 4.2 – Геометрический смысл несобственного интеграла от неограниченных функций В силу свойств предела функции и определения несобственного интеграла как предела функции, являющейся интегралом Римана с переменным пределом интегрирования, многие свойства определенного интеграла предельным переходом переносятся на несобственные интегралы. Не ограничивая общности, ниже приводятся свойства несобственного интеграла от функции, определенной на полуинтервале и интегрируемой по Риману на любом отрезке , : – (формула Ньютона-Лейбница) если функция непрерывна на промежутке и какая-либо ее первообразная, то ; – (линейность) если несобственные интегралы и сходятся, то для любых чисел и несобственный интеграл также сходится и ; – (монотонность) если несобственные интегралы и сходятся и для всех выполняется неравенство , то ; – (замена переменной) если функция непрерывна на промежутке , функция непрерывно дифференцируема на промежутке , , и выполняются условия , , , то – (интегрирование по частям) пусть и непрерывны на промежутке , а их производные и кусочно-непрерывны на любом отрезке , . Тогда . 4.4 Признаки сходимости несобственных интегралов Будем рассматривать случай несобственного интеграла от функций, определенных на полуинтервале и интегрируемых по Риману на любом отрезке , (несобственный интеграл 1-го или 2-го рода). Теорема 1 (признак сравнения) Пусть на промежутке определены две неотрицательные функции и , интегрируемые на каждом конечном отрезке , , причем справедливо . Тогда 1) из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , 2) из расходимости интеграла следует расходимость интеграла . Следствие (предельный признак сравнения) Пусть на промежутке определены две неотрицательные функции и , интегрируемые на каждом конечном отрезке , , причем , и существует конечный предел . Тогда 1) если интеграл сходится и , то интеграл сходится, 2) если интеграл расходится и , то интеграл расходится, 3) если , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл . Теорема 2 (критерий Коши абсолютной сходимости интеграла) Несобственный интеграл абсолютно сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такое , что для всех и , удовлетворяющих условию , , выполняется неравенство . Теорема 3 Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он сходится. Обратное верно не всегда. Теорема 4 (признак Дирихле) Пусть на промежутке функция непрерывна и имеет ограниченную первообразную, и функция непрерывно дифференцируема и . Тогда интеграл сходится. Теорема 5 (признак Абеля) Пусть на промежутке функция непрерывна и интеграл сходится и функция непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна. Тогда интеграл сходится. Вопросы для самоконтроля 1 Какой интеграл называется несобственным интегралом первого рода? Когда несобственный интеграл первого рода сходится, расходится? 2 Какой интеграл называется несобственным интегралом второго рода? Когда несобственный интеграл второго рода сходится, расходится? 3 Перечислите основные свойства несобственных интегралов. 4 Сформулируйте критерий Коши сходимости несобственных интегралов. 5 Сформулируйте признак сравнения. 6 Сформулируйте предельный признак сравнения. 7 Какой несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся? 8 Сформулируйте признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов. Решение типовых примеров 1 Вычислить интегралы а) ; б) ; в) . Решение. а) имеем: ; б) при имеем: . При получим: Значит, интеграл сходится при и расходится при ; в) при имеем: При имеем: Значит, интеграл сходится при и расходится при . 2 Вычислить интеграл , . Решение. Проинтегрируем по частям: , т. е. . Поскольку то, применяя последовательно рекуррентную формулу, получим . 3 Исследовать на сходимость интегралы а) ; б) . Решение. а) сравним интеграл с расходящимся интегралом . Поскольку при , то ; Значит, интеграл расходится; б) сравним данный интеграл со сходящимся интегралом . Поскольку то из сходимости интеграла согласно признаку сравнения следует, что интеграл сходится. 4 Исследовать на сходимость интегралы а) , б) . Решение. а) имеем . Поскольку и интеграл сходится, то интеграл абсолютно сходится. Следовательно, интеграл сходится; б) из неравенства следует, что для любого выполняется неравенство . Интеграл расходится. Интеграл сходится, поскольку и интеграл сходится ( и интеграл сходится). Значит, интеграл расходится. сходится. Задания для аудиторной работы 1 Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость): а) ; д) ; б) ; е) ; в) ; ж) ; г) ; и) . а) ; в) ; б) ; г) . а) , (), ; б) , . а) ; в) ; б) ; г) . а) ; д) ; б) ; е) ; в) ; ж) ; г) ; и) . а) ; б) ; в) . Задания для домашней работы 1 Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость): а) ; д) ; б) ; е) ; в) ; ж) ; г) ; и) . а) ; в) ; б) ; г) . а) , (), ; б) , (), . а) , в) , б) , г) . а) ; д) ; б) ; е) ; в) ; ж) ; г) ; и) . а) ; б) ; в) . |
|
|