Занятие 1 Формула Ньютона-Лейбница 1 Определение интеграла Римана

2.4 Объем пространственного тела

Вычисление объемов тел по известным поперечным сечениям. Пусть дано тело , ограниченное замкнутой поверхностью. И пусть известна площадь любого его сечения плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс (рисунок 2. 6). Эти сечения называются поперечными. Положение поперечного сечения определяется абсциссой точки его пересечения с осью . С изменением площадь поперечного сечения изменяется, т. е. является некоторой функцией от . Обозначим ее .

Рисунок 2. 6 – Пространственное тело с

поперечным сечением
Пусть функция непрерывна на отрезке , где и – абсциссы крайних сечений тела . Объем тела, заключенного между двумя плоскостями и , с площадью поперечного сечения вычисляется по формуле:

.

Вычисление объемов тел вращения. Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции , ограниченной кривой , осью Ох и прямыми , (рисунок 2. 7).


Рисунок 2. 7 – Тело, образованное вращением вокруг оси	Рисунок 2. 8 – Тело, образованное вращением вокруг оси

Если пересечь это тело плоскостями, перпендикулярными к оси Ох, получим круги, радиусы которых равны модулю ординат точек данной кривой. Следовательно, площадь сечения рассматриваемого тела равна .

Применяя формулу , получаем формулу для вычисления объема тела вращения

.

Если тело образовано вращением вокруг оси криволинейной трапеции (рисунок 2. 8), то его объем вычисляется по формуле ,

где , , – уравнение кривой .

Если криволинейный сектор, ограниченный кривой и лучами , , вращается вокруг полярной оси, то объем тела вращения вычисляется по формуле

.
Вопросы для самоконтроля
1 По каким формулам вычисляются площади криволинейных трапеций, ограниченных линиями, заданными в декартовой системе координат, в параметрическом виде и в полярной системе координат?

2 Приведите формулы для вычисления длин дуги кривой, заданной в декартовой системе координат, в параметрическом виде и в полярной системе координат.

3 Как вычисляется площадь поверхности тела?

4 Как вычисляется объем пространственных тел?

Решение типовых примеров
1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной аркой синусоиды и прямой (рисунок 2.8).

Рисунок 2.8 – Фигура, ограниченная линиями

,

Решение. По формуле (2.1) находим:

.

2 Вычислить площадь эллипса , , где (рисунок 2. 10).

Рисунок 2. 10 – Эллипс

Решение. Оси координат совпадают с осями симметрии данного эллипса и поэтому делят его на четыре одинаковые части. Следовательно, , где – площадь части эллипса, расположенная в первом квадранте. Тогда

.

3 Вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного кардиоидой , где.

Решение. По формуле (2.3) получим:

.

4 Вычислить длину дуги полукубической параболы , если .

Решение. По формуле (2.4) имеем:

.

5 Вычислить длину астроиды , , если .

Решение. По формуле (2.5) в силу симметричности астроиды относительно осей получим:

.

6 Вычислить длину первого витка спирали Архимеда .

Решение. Первый виток спирали образуется при изменении полярного угла . Поэтому по формуле (2.6):

.

7 Вычислить площадь поверхности, полученной вращением одной арки циклоиды , , , вокруг оси .

Решение. По формуле (2.8) имеем:

.

8 Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом

.

Решение. Пересечем эллипсоид плоскостью . В сечении получим эллипс

Площадь поперечного сечения равна .

Тогда .

9 Вычислить объем тела, получающегося от вращения вокруг оси одной арки синусоиды .

Решение. Имеем

.
Задания для аудиторной работы
1 Найти площадь фигуры, ограниченной кривой и прямыми , , .

2 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой.

3 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

4 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми и .

5 Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой

, .

6 Найти площадь петли кривой , .

7 Найти площадь одного лепестка кривой .

8 Найти площадь фигуры, ограниченной двумя последовательными витками логарифмической спирали , начиная с .

9 Найти длину параболы от до .

10 Найти длину одной арки циклоиды

, , .

11 Найти длину петли кривой , .

12 Найти длину кардиоиды .

13 Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг полярной оси кардиоиды .

14 Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги цепной линии , .

15 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой , , , и осью .

16 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной кривыми , .
Задания для домашней работы
1 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми , .

2 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми и ,

3 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

4 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми и (первая четверть).

5 Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды , , .

6 Найти площадь петли кривой , .

7 Найти площадь одного лепестка кривой .

8 Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли .

9 Найти длину кривой между точками пересечения с осью (первая четверть).

10 Найти длину кривой , , от до .

11 Найти длину петли кривой , .

12 Найти длину кривой .

13 Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси астроиды , , где .

14 Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги кривой , .

15 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной кривыми , .

16 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой , и осью .

17 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной кривыми , .

Практическое занятие 3 Физические приложения определенного интеграла
3.1 Работа переменной силы

3.2 Работа электродвигателя переменной мощности

3.3 Сила давления жидкости

3.4 Статические моменты, моменты инерции и координаты центра масс

3.1 Работа переменной силы

Пусть материальная точка движется по прямой линии под действием некоторой переменной силы . За ось примем прямую, вдоль которой движется материальная точка. Пусть начальная и конечная точки пути имеют абсциссы и () соответственно. В каждой точке отрезка модуль силы принимает определенное значение и является некоторой функцией абсциссы, т. е . Будем считать функцию непрерывной. Тогда работа переменной силы на прямолинейном пути от до задается формулой:

.
3.2 Работа электродвигателя переменной мощности

Пусть мощность электродвигателя в момент времени равна . Работа , совершаемая двигателем за промежуток времени выражается формулой:

.
3.3 Сила давления жидкости

Пусть пластинка, имеющая вид криволинейной трапеции, погружена вертикально в жидкость таким образом, что ее боковые стороны параллельны поверхности жидкости и находятся ниже ее уровня на расстояниях и соответственно (рисунок 3.1).


Рисунок 3.1 –Пластинка , погруженная вертикально в жидкость	Рисунок 3.2 – Пластинка , погруженная вертикально в жидкость

Если пластинка находится в горизонтальном положении на глубине от поверхности жидкости, то сила давлений жидкости на эту пластинку будет равна весу столба жидкости, основанием которого является данная пластинка, а высотой – глубина : , где м/с²; – плотность жидкости, – площадь пластинки.

Если же пластинка погружена в жидкость вертикально, то давление жидкости – сила давления на единицу площади – изменяется с глубиной погружения. По закону Паскаля давление в жидкости передается одинаково по всем направлениям, в том числе и на вертикальную пластинку.

Выберем систему координат так, как показано на рисунке 3.1. Пусть уравнение кривой имеет вид , где функция непрерывна на отрезке . Сила давления жидкости на всю пластинку определяется интегралом:

Если в жидкость вертикально погружена пластинка (рисунок 3.2), ограниченная прямыми , и кривыми , , то сила давления на эту пластинку вычисляется по формуле:

.

3.4 Статические моменты, моменты инерции и координаты центра масс

Основные определения. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат . Статическим моментом материальной точки , в которой сосредоточена масса , относительно оси (оси ) называется величина, численно равная произведению массы этой точки и расстояния до оси (оси ): ().

Моментом инерции материальной точки в которой сосредоточена масса , относительно оси (оси , точки ) называется величина, численно равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси (оси , точки ):

, , .

Если дана система материальных точек , , …, , в которых сосредоточены массы , , …, , то статические моменты находятся по формулам:

, ,

а моменты инерции – по формулам:

, , .

Центром масс системы материальных точек называется точка, обладающая тем свойством, что если в ней сосредоточить всю массу системы, то статический момент этой точки относительно любой ее оси равен статическому моменту данной системы материальных точек относительно той же оси.

Поэтому, обозначая центр масс системы , получаем:

, .

Таким образом, координаты центра масс системы материальных точек вычисляются по следующим формулам:

, .

Линия (фигура) называется однородной, если на всей линии (фигуре). Если при этом , то масса линии (фигуры) численно равна длине линии (площади фигуры).

Вычисление массы, статических моментов, координат центра масс и моментов инерции плоской кривой. Пусть на спрямляемой кривой , заданной уравнением , распределена масса с плотностью (рисунок 3.3). По следующим формулам вычисляются:

масса кривой: ;

статические моменты кривой относительно осей , :

, ;

координаты центра масс: , ;

моменты инерции относительно осей , и начала координат :

, , .


Рисунок 3.3 – Кривая	Рисунок 3.4 – Криволинейная трапеция

Для параметрического и полярного задания плоской линии соответствующие формулы приводятся в таблице 3.1.
Таблица 3.1 – Формулы для вычисления массы, статических моментов, координат центра масс и моментов инерции плоской линии

Параметрическое задание , ,	Полярное задание ,
Масса

Статические моменты
,	, ,
Моменты инерции
, ,	, ,

Вычисление статических моментов, моментов инерции и координат центра масс плоской фигуры. Пусть дана материальная криволинейная трапеция , ограниченная графиком функции , , осью и прямыми , (рисунок 3.4). И пусть на фигуре распределена масса с плотностью . По следующим формулам вычисляются:

масса фигуры: ;

статические моменты относительно осей координат:

, ;

моменты инерции относительно осей , :

, ;

координаты центра масс: , .

Для параметрического и полярного задания плоской фигуры соответствующие формулы приводятся в таблице 3.2.

Таблица 3.2 – Формулы для вычисления массы, статических моментов, координат центра масс и моментов инерции плоской фигуры

Параметрическое задание , ,	Полярное задание ,
Масса

Статические моменты
,	, ,
Моменты инерции
, ,	, ,

Для нахождения центра тяжести плоской фигуры, имеющей сложную форму, разбивают фигуру на простейшие фигуры, координаты центра масс которых либо известны, либо достаточно легко определяются. При этом сложную фигуру представляют в виде объединения простейших фигур, из которых вырезаны некоторые фигуры. Эти фигуры (вырезанные) обозначим через , , …, , а их площади – , , …, . Тогда координаты центра масс фигуры можно найти по формулам:

, ,

где – координаты центра масс фигуры ; – площадь фигуры , . В этих формулах площадь фигуры берется со знаком «+», если , и со знаком «–», если , т.е. если элементарная фигура вырезана. При нахождении координат центра масс используется также свойство симметрии фигуры: если фигура имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит в этой плоскости, на этой оси или в этом центре.

Решение типовых примеров
1 Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей и дуги цепной линии при .

Решение. Имеем

, .

Тогда

,

,

,

.

2 Найти координаты центра масс дуги окружности

, , .

Решение. Масса дуги окружности в первой четверти есть

.

Имеем

, ,

.

Тогда

,

.

Следовательно,

, .

3 Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой м/с. Требуется найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

Решение. Так как путь, пройденный телом со скоростью за отрезок времени выражается интегралом ,

то имеем

(м).

4 Какую работу необходимо затратить, для того, чтобы тело массы поднять с поверхности Земли, радиус которой , на высоту ? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?

Решение. Работа переменной силы , действующей вдоль оси на отрезке , выражается интегралом

.

Согласно закону всемирного тяготения сила , действующая на тело массы , равна

где – масса земли, – расстояние массы от центра земли, – гравитационная постоянная. Так как на поверхности Земли, т.е. при , имеем , то можно записать

Отсюда получаем . Тогда .

Следовательно, искомая работа равна:

.

Отсюда при имеем

.

5 Вычислить кинетическую энергию однородного кругового конуса, вращающегося с угловой скоростью вокруг своей оси, если заданы радиус основания конуса , высота и плотность .

Решение. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью , равна , где момент инерции тела относительно оси вращения. Пусть – элементарная масса полого цилиндра высоты с внутренним радиусом и толщиной стенок (рисунок 3.5)

Рисунок 3.5 – Геометрическая интерпретация

типового примера 5
Тогда

, .

Из подобия треугольников и имеем

Отсюда

Следовательно,

и элементарный момент инерции равен

Таким образом, момент инерции всего конуса есть

и кинетическая энергия конуса равна

.

6 Найти силу давления воды на вертикальную треугольную пластину с основанием и высотой , погруженную в воду вершиной вниз так, что основание находится на поверхности воды.

Решение. Согласно закону Паскаля сила давления жидкости с удельным весом на площадку при глубине погружения равна

.

Введем систему координат (рисунок 3.6) и рассмотрим элементарную прямоугольную площадку, находящуюся на глубине и имеющую основание и высоту .

Рисунок 3.6 – Геометрическая интерпретация

типового примера 6
Из подобия треугольников и имеем

.

Отсюда .

Следовательно, (для воды ).

,

Таким образом, сила давления воды на всю пластину равна

.

7 Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 10 см, если известно, что для удаления ее на 1см необходимо приложить силу в 1 кН.

Решение. Согласно закону Гука, сила , растягивающая пружину пропорциональна ее растяжению

,

где – коэффициент пропорциональности, – растяжение пружины (в метрах).

Так как по условию при м сила 1 кН, то из равенства

,

получаем

, .

Следовательно, искомая работа равна

кДж.
Задания для аудиторной работы
1 Какую работу затрачивает подъемный кран при извлечении железобетонной надолбы со дна реки глубиною в 5 м, если надолба имеет форму правильного тетраэдра с ребром 1м, плотность железобетона 2500 кг/м³.

2 Найти работу, затраченную на выкачивание воды из сосуда, имеющего форму полуцилиндра, длина которого , радиус .

3 Водопроводная труба имеет диаметр 6 см.; один ее конец соединен с баком, в котором уровень воды на 100 см выше верхнего края трубы, а другой закрыт заслонкой. Найти полное давление на заслонку.

4 Найти величину давления воды на вертикальную стенку в форме полукруга, диаметр которого 6 м и находится на поверхности воды (рисунок 3.7).


Рисунок 3.7 – К задаче 4 аудиторной работы	Рисунок 3.8 – К задаче 6 аудиторной работы

следующая страница >>