Занятие 1 Формула Ньютона-Лейбница 1 Определение интеграла Римана - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа дисциплины дополнительные главы математического анализА 1 30.73kb.
Вопросы по «Мат анализу» 1 8.83kb.
Жизнь и деятельность Лейбница Вклад Лейбница в развитие символической... 1 133.03kb.
Вопросы на 3 балла по курсу математического анализа 4-ый семестр 1 99.71kb.
Занятие 2 Аналитические функции. Условия Коши-Римана 1 Производная... 1 145.14kb.
Литература [1], гл. XII-XIV; [2], т. 1, гл. 10-12; [3], гл. 5 549.66kb.
Педагогическое образование профиль Математика и Информатика вопросы... 1 33.48kb.
Экзаменационные вопросы для групп 2021-2023, 2028, весна 2004 г. 1 22.67kb.
Первая часть программы экзамена по курсу «Математический анализ»... 1 25.68kb.
Программа имени Ньютона (Британская академия, Лондонское королевское... 1 16.22kb.
Занятие по методу Характерологическая креатология, направление «Воспоминания... 1 62.33kb.
Программа по дисциплине примерный перечень контрольных вопросов по... 1 45.72kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Занятие 1 Формула Ньютона-Лейбница 1 Определение интеграла Римана - страница №1/3

Тема 2 Определенный интеграл
Практическое занятие 1 Формула Ньютона-Лейбница
1.1 Определение интеграла Римана

1.2 Критерий интегрируемости Дарбу

1.3 Основные свойства определенного интеграла

1.4 Формула Ньютона-Лейбница


1.1 Определение интеграла Римана

Пусть функция определена и ограничена на отрезке , . И пусть – разбиение отрезка на частичных отрезков , , точками (рисунок 1.1): . Тогда – длина частичного отрезка , .


Рисунок 1.1 – Определение интеграла Римана


На каждом частичном отрезке произвольным образом выберем точку и составим сумму:

. (1.1)

Сумма (1.1) называется интегральной суммой Римана для функции на отрезке соответствующей данному разбиению отрезка и выбору промежуточных точек , .

Пусть – длина наибольшего частичного отрезка разбиения , называемая диаметром разбиения

.

Функция называется интегрируемой на отрезке (или интегрируемой по Риману), если существует конечный предел при интегральной суммы (1.1):



(1.2)

Число называется определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции на отрезке и обозначается :



= .

Выражение называется подынтегральным выражением, подынтегральной функцией, переменной интегрирования, и – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Класс всех функций , интегрируемых по Риману на отрезке , обозначается .

Определение интеграла Римана на языке - формулируется следующим образом.

Число называется определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции на отрезке , если для любого существует такое , что каково бы ни было разбиение отрезка на частичные отрезки , , диаметр которого , и каковы бы ни были точки , , выполняется неравенство

.

Интегральная сумма не зависит от того, какой буквой обозначен аргумент данной функции. Следовательно, и ее предел, т.е. определенный интеграл, не зависит от обозначения переменной интегрирования:



.

Обозначение определенного интеграла похоже на обозначение неопределенного интеграла от той же функции . Вычисление определенного интеграла сводится к вычислению неопределенного интеграла от той же подынтегральной функции (п.1.4). Однако между определенным и неопределенным интегралами имеется существенное различие: определенный интеграл от функции на отрезке есть некоторое число, в то время как неопределенный интеграл представляет собой множество всех первообразных функций данной функции на отрезке .



Теорема 1 (необходимое условие интегрируемости) Если существует, то функция ограничена на отрезке .
1.2 Критерий интегрируемости Дарбу

Пусть функция определена на отрезке , . Для произвольного разбиения отрезка обозначим и .



Нижней суммой Дарбу, соответствующей разбиению называется сумма

.

Верхней суммой Дарбу, соответствующей разбиению называется сумма

.

Если функция ограничена, то нижние и верхние грани конечны. Тогда суммы Дарбу и при любом разбиении принимают конечные значения.



Нижним интегралом функции называется верхняя грань возможных ее нижних сумм Дарбу :

.

Верхним интегралом функции называется верхняя грань возможных ее верхних сумм Дарбу :

.

Очевидно, что .



Теорема 2 (Критерий Дарбу) Для того чтобы функция , ограниченная на отрезке , была интегрируема по Риману на нем, необходимо и достаточно, чтобы суммы Дарбу удовлетворяли условию

.

Следствия. 1 Для того чтобы ограниченная на отрезке функция была на нем интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы

,

где = – колебание функции на частичном отрезке разбиения , .



2 Если функция была интегрируема по Риману на отрезке и , – ее суммы Дарбу, то

.

Теорема 3 Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 4 Если функция монотонна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
1.3 Основные свойства определенного интеграла

Определенный интеграл обладает следующими свойствами:

– если нижний и верхний пределы интегрирования равны , то интеграл равен нулю:

;

– если, то ;

– при перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

;

– постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:



;

– определенный интеграл от суммы (разности) конечного числа интегрируемых на функций , , …, равен сумме (разности) определенных интегралов от слагаемых:



;

(аддитивность) если существуют интегралы и , то существует также интеграл и справедливо равенство:



, .

Геометрический смысл свойства аддитивности состоит в том, что площадь криволинейной трапеции с основанием равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями и (рисунок 1.2);





Рисунок 1.2 – Геометрический смысл свойства аддитивности

Рисунок 1.3– Геометрический смысл свойства монотонности

(интегрирование неравенств) если , то



, ;

(монотонность) если интегрируемые функции и удовлетворяют неравенству , то



, .

Геометрическая интерпретация данного свойства: площадь криволинейной трапеции не меньше площади криволинейной трапеции (рисунок 1.3);

– если функция интегрируема на отрезке , то и функция также интегрируема на этом отрезке и



;

– если и соответственно наименьшее и наибольшее значения функции , непрерывной на отрезке , то справедливо неравенство:



; (1.3)

Геометрический смысл заключается в том, что площадь прямоугольника равна , площадь прямоугольника равна , а площадь криволинейной трапеции не меньше площади первого прямоугольника и не больше площади второго (рисунок 1.4).






Рисунок 1.4 – Геометрический смысл неравенства (1.3)

Рисунок 1.5 – Геометрический смысл неравенства (1.4)

– если функция непрерывна на отрезке , то существует такая точка , что



. (1.4)

Число , называется интегральным средним значением функции на отрезке .



Геометрически данное свойство означает, что существует такая точка , для которой площадь прямоугольника равна площади криволинейной трапеции .
1.4 Формула Ньютона-Лейбница

Пусть в определенном интеграле нижний предел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется так, что . Интеграл вида



, ,

называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела .

С геометрической точки зрения, функция представляет собой площадь криволинейной трапеции (рисунок 1.6).

Рисунок 1.6 – Геометрический смысл интеграла

с переменным верхним пределом
Интеграл вида

, ,

называется определенным интегралом с переменным нижним пределом и является функцией нижнего предела .



Теорема 5 Если функция интегрируема на отрезке , то функции и непрерывны на .

Теорема 6 Если функция интегрируема на отрезке и непрерывна в точке , то функции , дифференцируемы в этой точке и

, .

Пусть функция непрерывна во всех точках отрезка . Тогда на этом отрезке у нее существует первообразная. При этом для любой точки функция является одной из первообразных функций на отрезке . Совокупность всех первообразных непрерывной на некотором отрезке функции представляет собой неопределенный интеграл:



.

Таким образом, установлена связь между неопределенным и определенным интегралами.



Теорема 7 Если функция непрерывна на отрезке и – какая-нибудь первообразная на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-Лейбница:

.

Она также записывается в виде:



.

Формула Ньютона – Лейбница позволяет избавиться от вычисления определенных интегралов как пределов интегральных сумм, что позволяет вычисление определенного интеграла свести к вычислению неопределенного интеграла.



Теорема 8 Если функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывно дифференцируема на отрезке , причем и , , то справедлива формула замены переменной

.

При вычислении интеграла методом замены переменной одновременно с преобразованием подынтегрального выражения изменяются соответственно и пределы интегрирования.



Теорема 9 Пусть функции и непрерывны вместе со своими производными , на отрезке . Тогда справедлива формула интегрирования по частям в определенном интеграле

.
Вопросы для самоконтроля
1 Какая функция называется интегрируемой на отрезке?

2 Сформулируйте определение интеграла Римана.

3 Сформулируйте необходимое условие интегрируемости функций.

4 Дайте определения верхних и нижних сумм Дарбу.

5 Дайте определения верхних и нижних интегралов. Сформулируйте критерий интегрируемости Дарбу.

6 Сформулируйте теорему об интегрируемости непрерывной на отрезке функции.

7 Является ли монотонная на отрезке функция интегрируемой на нем?

8 Перечислите основные свойства определенного интеграла.

9 Что называется определенным интегралом с переменным верхним пределом?

10 Является ли интеграл с переменным верхним пределом непрерывной функцией?

11 Можно ли дифференцировать интеграл по переменному верхнему пределу? При каких условиях это возможно?

12 Какая формула связывает неопределенный и определенный интегралы?

13 Сформулируйте теорему о замене переменной в определенном интеграле.

14 Сформулируйте теорему об интегрировании по частям в определенном интеграле.



Решение типовых примеров
1 Вычислить определенный интеграл , рассматривая его как предел интегральных сумм.

Решение. Разделим отрезок интегрирования на равных частей длины . Точки деления

, , , …, , .

В качестве точек выберем, например, левые концы каждого частичного отрезка. Тогда



, , …, .

Следовательно,





.

Применяя формулу суммы квадратов целых чисел



,

находим


.

Тогда


.

2 Оценить интеграл .

Решение. При имеем .

Тогда


.

Отсюда , , .

Поэтому

.

3 Найти , если .

Решение. Используя теорему 6, получим

.

4 Вычислить интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

а) ; в) ;

б) ; г) .
Решение. а) имеем:

;

б) имеем:



;
в) имеем:

;

г) имеем: .



5 Вычислить интеграл .

Решение. Имеем:



.

6 Вычислить интеграл .

Решение. Имеем



.
Задания для аудиторной работы
1 Вычислить по определению интегралы:

а) ; б) .



2 Определить знаки интегралов, не вычисляя их:

а) ; б) .



3 Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше:

а) и ; б) и .



4 Найти среднее значение функции на данном отрезке:

а) , ; б) , .



5 Оценить интегралы:

а) ; б) .



6 Доказать, что если функция четная на , то

.

7 Найти производные следующих функций:

а) ; б) .



8 Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .



9 Вычислить интегралы с помощью замены переменной:

а) ; б) ; в) .



10 Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:

а) ; б) ; б) .


Задания для домашней работы
1 Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм:

а) ; б) .



2 Определить знаки интегралов, не вычисляя их:

а) ; б) .



3 Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше:

а) и ; б) и .



4 Найти среднее значение функции на данном отрезке:

а) , ; б) , .



5 Оценить интегралы:

а) ; б) .



6 Доказать, что если функция нечетная на , то .

7 Найти производные следующих функций:

а) ; б) .



8 Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .



9 Вычислить интегралы с помощью замены переменной:

а) ; в) ;

б) ; г) .

10 Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:

а) ; б) ; в) .


Практическое занятие 2 Геометрические приложения определенного интеграла
2.1 Площадь криволинейной трапеции

2.2 Длина дуги плоской кривой

2.3 Площадь поверхности вращения

2.4 Объем пространственного тела


2.1 Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции в декартовой системе координат. Если функция неотрицательна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции (рисунок 2. 1) вычисляется по формуле:



. (2.1)

Рисунок 2. 1 –Криволинейная трапеция aABb


Если , то и , . Следовательно, площадь вычисляется по формуле:

.

Если же криволинейная трапеция ограничена кривой , осью ординат и прямыми , (рисунок 2. 2), то ее площадь определяется формулами:



, если ,

, если ,






Рисунок 2. 2 – Криволинейная трапеция для функции

Рисунок 2. 3 – Криволинейная трапеция, ограниченная

, , ,

Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми , , , , то эту площадь рассматривают как разность площадей двух криволинейных трапеций и (рисунок 2. 3). В этом случае можно воспользоваться одной из формул:



, если ,

, если .

В параметрическом виде. Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной уравнениями в параметрической форме , , где , осью Ох и прямыми , , причем , , то ее площадь при вычисляется по формуле



, (2.2)

которая получается заменой переменной



, ,

.

Пределы , определяют из уравнений , .

В полярной системе координат. Пусть фигура ограничена кривой , заданной в полярной системе координат уравнением

, .

Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная линией и радиус-векторами , (рисунок 2. 4).

При этом криволинейный сектор является правильной фигурой, если любой луч , , исходящий из полюса , пересекает кривую не более чем в одной точке. И пусть функция непрерывна на отрезке .


Рисунок 2. 4 – Криволинейный сектор


Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле:

. (2.3)

2.2 Длина дуги плоской кривой

В декартовой системе координат. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке и дуга – график этой функции, заключенный между вертикальными прямыми и (рисунок 2. 5).



Рисунок 2. 5 –Дуга


Если функция на отрезке имеет непрерывную производную , то длина дуги , вычисляется по формуле:

. (2.4)

Кривая называется спрямляемой, если имеет непрерывную производную .

В параметрическом виде. Пусть уравнение кривой задано параметрическими уравнениями:

, ,

где , , – непрерывные функции с непрерывными производными, причем .

Для вычисления длины дуги кривой воспользуемся формулой , предварительно выполнив замену переменной: . Тогда и . Подставляя в формулу длины дуги, после преобразований получим:

=. (2.5)

В полярной системе координат. Пусть кривая задана в полярной системе координат уравнением . Предположим, что и непрерывны на отрезке .

Декартовы и полярные координаты связаны соотношениями:

, .

Учитывая, что , получим:



, , .

Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой.

Найдем производные от и по параметру :

, .

Отсюда . Следовательно,



. (2.6)
2.3 Площадь поверхности вращения

В декартовой системе координат. Пусть функция не отрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке . Тогда поверхность, образованная вращением графика этой функции вокруг оси , имеет площадь , которая может быть вычислена по формуле:



. (2.7)

В параметрическом виде. Пусть поверхность получается вращением вокруг оси кривой , заданной параметрическими уравнениями



, ,

где , , – непрерывные функции с непрерывными производными, причем , при , , . Тогда, производя в интеграле (2.7) замену переменной , после преобразований получим:



. (2.8)

В полярных координатах. Пусть кривая задана уравнением в полярных координатах уравнением , , где имеет непрерывную производную на .

Тогда, учитывая формулы , , из (2.8) получим:

. (2.9)

следующая страница >>